(共15张PPT)
知识点 1 正态曲线
知识 清单破
4.2.5 正态分布
1.正态曲线的概念
一般地,φ(x)= (其中μ=E(X),即X的均值;σ = ,即X的标准差)对应的图象
称为正态曲线(或钟形曲线),φ(x)也常常记为φμ,σ(x).
2.正态曲线的性质
(1)正态曲线关于直线x=μ对称(即μ决定正态曲线对称轴的位置),具有中间高、两边低的特
点;
(2)正态曲线与x轴所围成的图形面积为1;
(3)如图所示,σ决定正态曲线的“胖瘦”:σ越大,说明标准差越大,数据的集中程度越弱,所以
曲线越“胖”;σ越小,说明标准差越小,数据的集中程度越强,所以曲线越“瘦”.
知识点 2 正态分布
1.概念:一般地,如果随机变量X落在区间[a,b]内的概率,总是等于φμ,σ(x)对应的正态曲线与x轴
在区间[a,b]内围成的面积,则称X服从参数为μ与σ的正态分布,记作X~N(μ,σ2),此时φμ,σ(x)称为
X的概率密度函数.
2.若X~N(μ,σ2),则
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈68.3%,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈95.4%,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%.
3.“3σ原则”
由P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈99.7%知,随机变量X约有99.7%的可能会落在距均值3个标准差的范
围之内,也就是说只有约0.3%的可能会落入这一范围之外(这样的事件可看成小概率事件),这
一结论通常称为正态分布的“3σ原则”.
知识点 3 标准正态分布
1.μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1).
2.任意正态分布Y~N(μ,σ2)都可以通过X= 转化为标准正态分布X~N(0,1).
3.如果X~N(0,1),那么对于任意a,通常记Φ(a)=P(X
0时,有如下性质:
(1)Φ(-a)=1-Φ(a);
(2)P(|X|(3)P(|X|>a) =2[1-Φ(a)].
知识辨析
判断正误,正确的画“√”,错误的画“ ”.
1.随机变量的概率密度函数φ(x)的表达式中,参数μ,σ的意义分别是随机变量的均值与方差.
( )
2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的区域的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( )
3.正态曲线可以关于y轴对称. ( )
概率密度函数φ(x)的表达式中,参数μ,σ的意义分别是随机变量的均值与标准差.
提示
正态曲线与x轴围成的区域的面积总为1,不会随参数μ,σ的变化而变化.
提示
√
4.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量.( )
5.正态曲线的对称轴的位置由μ确定,曲线形状由σ确定.( )
服从正态分布的随机变量X为连续型随机变量.
提示
√
在正态分布下求概率的关键在于恰当地利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间转化
为已知概率的区间.当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:[μ-σ,μ+σ],[μ-2σ,
μ+2σ],[μ-3σ,μ+3σ],利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算.
一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)对任意的实数a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X讲解分析
疑难 1 正态分布的概率问题
疑难 情境破
典例 (1)已知随机变量X~N(1,σ2),且P(X>-2)=0.8,则P(-2A.0.6 B.0.4
C.0.2 D.0.9
(2)在某项测量中,测量结果X服从正态分布N(1,4),则X在(-1,1)内取值的概率约为 .
(若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA
0.341 5
解析 (1)因为P(X>-2)=0.8,所以P(X≤-2)=1-P(X>-2)=0.2,
所以P(-2(2)由题意得μ=1,σ=2,所以P(-1因为正态曲线关于直线x=1对称,所以P(-1 利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X在三个特殊区间上取值的概率,可以解决两类实
际问题:
一类是估计在某一范围内的数量,具体方法是先确定随机变量在该范围内取值的概率,再乘
样本容量.
另一类是利用“3σ原则”作决策.决策步骤如下:①确定一次试验中取值a是否落入范围[μ-3σ,
μ+3σ]内;②作出判断,若a∈[μ-3σ,μ+3σ],则接受统计假设,若a [μ-3σ,μ+3σ],则拒绝统计假设.
讲解分析
疑难 2 正态分布的实际应用
典例1 某地区一次联考的数学成绩X近似地服从正态分布N(85,σ2),已知P(X≤122)=0.96,现随
机从这次考试的成绩中抽取一个容量为100的样本,则成绩低于48的个体数大约为 ( )
A.6 B.4
C.94 D.96
B
解析 由P(X≤122)=0.96,可得P(X>122)=0.04,所以P(X<48)=0.04,所以成绩低于48的个体数
大约为100×0.04=4.故选B.
典例2 法国数学家庞加莱是一个喜欢吃面包的人,他每天都会到同一家面包店购买一个面包.
该面包店的面包师声称自己所出售的面包的平均质量是1 000 g,上下浮动不超过50 g.这句话
用数学语言来表达就是:每个面包的质量服从均值为1 000 g,标准差为50 g的正态分布.
(1)已知如下结论:若X~N(μ,σ2),从X的取值中随机抽取k(k∈N+,k≥2)个数据,记这k个数据的平
均值为Y,则随机变量Y~N .利用该结论解决下面问题.
(i)假设面包师的说法是真实的,随机购买25个面包,记这25个面包的平均质量为Y g,求P(Y<98
0);
(ii)庞加莱每天都会将买来的面包称重并记录,25天后,得到的数据都落在区间(950,1 050)内,
经计算得这25个面包的平均质量为978.72 g,庞加莱通过分析举报了该面包师,从概率角度说
明庞加莱举报该面包师的理由;
(2)假设有两箱面包(面包除颜色外,其他都一样),已知第一箱中装有6个面包,其中黑色面包有
2个;第二箱中装有8个面包,其中黑色面包有3个.现随机挑选一箱,然后从该箱中随机取出2个
面包,求取出黑色面包的个数的分布列及数学期望.
附:①若随机变量η服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤η≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤η≤μ+2σ)≈0.954,
P(μ-3σ≤η≤μ+3σ)≈0.997;
②通常把发生概率小于0.05的事件称为小概率事件,并认为小概率事件基本不会发生.
解析 (1)(i)因为 =100,
所以Y~N(1 000,102),
因为P(μ-2σ≤Y≤μ+2σ)≈0.954,
所以P(Y<μ-2σ)≈ =0.023,
因为980=1 000-2×10,
所以P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.023.
(ii)由(i)知P(Y<980)=P(Y<μ-2σ)=0.023,庞加莱计算得这25个面包的平均质量为978.72 g,978.72
<980,而0.023<0.05,事件“Y<980”为小概率事件,小概率事件基本不会发生,这就是庞加莱
举报该面包师的理由.
(2)设取出黑色面包的个数为ξ,则ξ的所有可能取值为0,1,2,
P(ξ=0)= × + × = ,
P(ξ=1)= × + × = ,
P(ξ=2)= × + × = .
故ξ的分布列为
ξ 0 1 2
P
所以E(ξ)= ×0+ ×1+ ×2= .4.2.5 正态分布
基础过关练
题组一 正态曲线及其特点
1.下图是当σ取三个不同值σ1,σ2,σ3时的正态曲线,那么σ1,σ2,σ3的大小关系是( )
A.σ1>1>σ2>σ3>0 B.0<σ1<σ2<1<σ3
C.σ1>σ2=1>σ3>0 D.0<σ1<σ2=1<σ3
2.设随机变量X~N(0,1),定义f(x)=P(X≥x),其中x>0,则下列等式成立的是( )
A. f(2x)=2f(x)
B. f(-x)=1-f(x)
C.P(X≤x)=2f(x)-1
D.P(|X|≥x)=2-f(x)
3.若随机变量X服从正态分布N(0,1),且X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率分别为P1,P2,则P1,P2的大小关系为 .
4.关于标准正态分布N(0,1)的概率密度函数f(x)=·的说法中:
①f(x)为偶函数;②f(x)的最大值是;
③f(x)在x>0时单调递减,在x≤0时单调递增;
④f(x)的图象关于直线x=1对称.
正确说法的编号有 .
5.若一个随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且概率密度函数f(x)=的图象如图所示,则数学期望E(X)= ,方差D(X)= .
题组二 正态分布的概率计算
6.设随机变量X~N(μ,σ2),若P(X≤1)=0.3,P(1A.1 B.2
C.3 D.4
7.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(XA.0.75 B.0.5
C.0.3 D.0.25
8.若随机变量X~N(10,22),则下列结论错误的是( )
A.P(X≥10)=0.5
B.P(X≤8)+P(X≤12)=1
C.P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10)
D.D(2X+1)=8
9.已知随机变量X~N,且P=0.25,P(X>2)=0.1,则P= .
题组三 正态分布的实际应用
10.某市高三联考后,统一调查研究本次考试的数学成绩,得出全体学生的数学成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(90,50),则下列说法错误的是( )
A.本次联考的数学平均分近似为90分
B.本次联考数学成绩的方差近似为50
C.随机抽取一名学生的成绩,P(X>110)>P(X<60)
D.随机抽取一名学生的成绩,P(8011.某工厂生产的零件外直径X(单位:cm)服从正态分布N(10,0.04),现从该厂上午、下午生产的零件中各随机取出一个,测得其外直径分别为9.75 cm和9.35 cm,则可认为( )
A.上午生产情况异常,下午生产情况正常
B.上午生产情况正常,下午生产情况异常
C.上午、下午生产情况均正常
D.上午、下午生产情况均异常
12.甲、乙两类水果的质量(单位:kg)分别服从正态分布N(μ1,),其正态曲线如图所示,则下列说法错误的是( )
A.甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg
B.甲类水果的质量比乙类水果的质量更集中于平均值左右
C.甲类水果的平均质量比乙类水果的平均质量小
D.乙类水果的质量服从正态分布的参数σ2=1.99
13.新能源汽车具有零排放、噪声小、能源利用率高等特点,近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量(单位:kW·h/100 km)情况,随机调查得到了1 200个样本,据统计,该型号新能源汽车的耗电量ξ~N(13,σ2),若P(12<ξ<14)=0.7,则样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有( )
A.180辆 B.360辆 C.600辆 D.840辆
14.某次数学考试中,学生成绩X(单位:分)服从正态分布N(105,σ2).若P(90≤X≤120)=,则从参加这次考试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于120分的概率是 .
15.一机械制造加工厂的某条生产线在设备正常运行的情况下,生产的零件尺寸z(单位:mm)服从正态分布N(240,σ2),且P(z≤248)=0.95.
(1)求P(z<232或z>248);
(2)若从该条生产线上随机选取3个零件,设X表示零件尺寸小于232 mm或大于248 mm的零件个数,求X=2的概率.
能力提升练
题组一 正态分布及其概率计算
1.设随机变量X~N(0,22),随机变量Y~N(0,32),P(|X|≤1)与P(|Y|≤1)之间的大小关系是( )
A.P(|X|≤1)≤P(|Y|≤1)
B.P(|X|≤1)=P(|Y|≤1)
C.P(|X|≤1)>P(|Y|≤1)
D.P(|X|≤1)2.若对某物理量做n次测量,最后结果的误差Xn~N,则为使|Xn|≥的概率控制在0.046以下,至少要测量的次数为( )
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
A.32 B.64 C.128 D.256
题组二 正态分布的实际应用
3.某校期末统考数学成绩服从正态分布N(76,16).按15%,35%,35%,15%的比例将考试成绩划为A,B,C,D四个等级,其中分数大于或等于83的为A等级,则B等级的分数应为 .(用区间表示)
4.某车间生产一批零件,现从中随机抽取10个零件,测量其内径Z(单位:cm)的数据如下:87,87,88,92,95,97,98,99,103,104.设这10个数据的平均值为μ,标准差为σ.
(1)求μ与σ;
(2)假设这批零件的内径Z(单位:cm)服从正态分布N(μ,σ2).
①从这批零件中随机抽取5个,设这5个零件中内径大于107 cm的零件个数为X,求D(2X+1);
②若该车间又购进一台新设备,安装调试后,试生产了5个零件,测量其内径(单位:cm)分别为76,85,93,99,108,以原设备生产性能为标准,这台设备是否需要进一步调试 说明你的理由.
参考数据:0.9974≈0.99.若X~N(μ,σ2),则P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
5.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准》,要求各学校每学年开展覆盖本校各年级学生的《标准》测试工作.为做好全省的迎检工作,某市在高三年级开展了一次体质健康模拟测试,并从中随机抽取了200名学生的数据,根据他们的健康指数绘制了如图所示的频率分布直方图.
(1)估计这200名学生健康指数的平均数和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(2)由频率分布直方图知,该市学生的健康指数X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2.
①求P(50.73②已知该市高三学生约有10 000名,记体质健康指数在区间(50.73,78.54)内的人数为ξ,试求Eξ.
参考数据:≈9.27,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ6.公平正义是社会主义和谐社会的重要特征,是社会主义法治观念的价值追求.考试作为一种公平公正选拔人才的有效途径正被广泛采用.某企业准备通过考试(按照高分优先录取的原则)录用300名应聘人员,其中275个高薪职位,25个普薪职位.已知此次招聘中,实际报名人数为2 000,考试满分为400分,考试成绩的部分统计结果如下:考试平均成绩是180分,360分及以上的高分考生有30名(一般地,对于一次成功的考试来说,考试成绩应服从正态分布).
(1)求此次招聘中的最低录用分数(结果保留整数);
(2)已知考生甲的成绩为286分,试判断甲能否被录用,若被录用,进一步判断其能否获得高薪职位.
附:①当X~N(μ,σ2)时,令Y=,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1)时,P(Y<2.17)≈0.985,P(Y<1.28)≈0.900,P(Y<1.09)≈0.863,P(Y<1.04)≈0.85.
答案与分层梯度式解析
4.2.5 正态分布
基础过关练
1.D 2.B 6.C 7.D 8.D 10.D 11.B 12.D
13.A
1.D 由正态曲线的性质及曲线所表示的意义可知,当x=0时,曲线所对应的函数取得最大值,所以σ2=1.当0<σ<1时,正态曲线与y轴交点的纵坐标大于;当σ>1时,正态曲线与y轴交点的纵坐标小于.故选D.
2.B 因为随机变量X~N(0,1),
所以此正态曲线关于直线x=0对称.
因为f(x)=P(X≥x)(x>0),
所以根据正态曲线的对称性可得f(-x)=P(X≥-x)=P(X≤x)=1-f(x),故B正确;
f(2x)=P(X≥2x),2f(x)=2P(X≥x),P(X≥2x)与2P(X≥x)不一定相等,故A错误;
P(X≤x)=1-P(X≥x)=1-f(x),故C错误;
P(|X|≥x)=P(X≥x或X≤-x)=2f(x),故D错误.
3.答案 P1=P2
解析 根据标准正态曲线的特点可得,该曲线关于直线x=0对称,所以随机变量X在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率相等,即P1=P2.
4.答案 ①②③
解析 由概率密度函数f(x)=·,可得f(x)的图象关于直线x=0对称,
所以f(x)为偶函数,所以①正确,④不正确;
根据正态曲线的性质得,当x=0时,函数f(x)取得最大值,为f(0)=·e0=,所以②正确;
根据正态曲线的性质得, f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减,所以③正确.
5.答案 5;1
解析 由题图可知,当x=5时,f(x)=有最大值,为,所以μ=5,σ=1,
所以X~N(5,1),所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1.
6.C 由题意得P(X≥5)=1-P(X≤1)-P(17.D 由已知得P(X故选D.
8.D 因为随机变量X~N(10,22),所以μ=10,σ=2,所以P(X≥10)=0.5,故A正确;
P(X≤8)+P(X≤12)=P(X≥12)+P(X≤12)=1,故B正确;
P(8≤X≤12)=2P(8≤X≤10),故C正确;
D(2X+1)=4D(X)=16,故D错误.
故选D.
9.答案 0.15
解析 由题意知μ=,所以P(X<-1)=P(X>2)=0.1,
所以P-P(X<-1)=0.15.
10.D 对于A,B,因为全体学生的数学成绩X近似服从正态分布N(90,50),所以μ=90,σ2=50,所以A,B正确;
对于C,因为X~N(90,50),所以P(X>110)=P(X<70)>P(X<60),所以C正确;
对于D,因为X~N(90,50),所以P(80P(100故选D.
11.B ∵X服从正态分布N(10,0.04),∴μ=10,σ=0.2,根据“3σ原则”知X∈[10-0.2×3,10+0.2×3],即X∈[9.4,10.6]时生产情况正常,∴上午生产情况正常,下午生产情况异常,故选B.
12.D 由题图可知,甲类水果的平均质量μ1=0.4 kg,乙类水果的平均质量μ2=0.8 kg,故A,C中说法正确;由题图可知B中说法正确;乙类水果的质量服从的正态分布的参数满足=1.99,∴σ2≠1.99,故D中说法不正确.故选D.
13.A 因为ξ~N(13,σ2),且P(12<ξ<14)=0.7,
所以P(ξ≥14)=×(1-0.7)=0.15,所以样本中耗电量不小于14 kW·h/100 km的汽车大约有1 200×0.15=180(辆).故选A.
14.答案
解析 因为学生成绩X服从正态分布N(105,σ2),且P(90≤X≤120)=,所以P(X>120)=,故任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩高于120分的概率P=.
15.解析 (1)因为z~N(240,σ2),且P(z≤248)=0.95,所以P(z>248)=1-P(z≤248)=0.05,
因为=240,所以P(z<232)=P(z>248)=0.05.
故P(z<232或z>248)=0.05+0.05=0.1.
(2)依题意可得X~B(3,0.1),
所以P(X=2)=×0.12×(1-0.1)=0.027.
能力提升练
1.C 因为X~N(0,22),Y~N(0,32),所以X与Y的正态曲线均关于y轴对称,且P(|X|≤1)=P(-1≤X≤1),P(|Y|≤1)=P(-1≤Y≤1),
因为σ越大,正态曲线越扁平,
所以P(|X|≤1)>P(|Y|≤1).
故选C.
2.C 由题意得P<0.046,
所以P≥1-0.046=0.954.
因为μ=0,所以P(-2σ≤Xn≤2σ)≈0.954,
所以2σ≤ σ=≤ n≥128.故选C.
3.答案 [76,83)
解析 设考试成绩为X,
由题意可知,μ=76,σ=4,P(X≥76)=0.5,P(X≥83)=0.15,
所以P(76≤X<83)=P(X≥76)-P(X≥83)=0.5-0.15=0.35,
所以B等级的分数应为[76,83).
4.解析 (1)μ=×(87+87+88+92+95+97+98+99+103+104)=95,
σ2=×[(87-95)2+(87-95)2+(88-95)2+(92-95)2+(95-95)2+(97-95)2+(98-95)2+(99-95)2+(103-95)2+(104-95)2]=36,则σ=6.
(2)①由题可知Z~N(95,62),
所以P(Z>107)=P(Z>μ+2σ)≈0.5-=0.023,
则X~B(5,0.023),
所以D(X)=5×0.023×(1-0.023)=0.112 355,
故D(2X+1)=4D(X)=0.449 42.
②需要.理由如下:
因为P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.997,
所以5个零件中恰有1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内的概率为×0.9974×(1-0.997)≈5×0.99×0.003=0.014 85.
因为76 [μ-3σ,μ+3σ]=[77,113],所以试生产的5个零件中出现了1个零件的内径不在[μ-3σ,μ+3σ]内,出现的频率是=0.2,大概是0.014 85的13倍,根据“3σ原则”可知,这台设备需要进一步调试.
5.解析 (1)由题意得,=40×0.02+50×0.3+60×0.4+70×0.23+80×0.04+90×0.01=60,
s2=(40-60)2×0.02+(50-60)2×0.3+(60-60)2×0.4+(70-60)2×0.23+(80-60)2×0.04+(90-60)2×0.01
=400×0.02+100×0.3+0×0.4+100×0.23+400×0.04+900×0.01=86,
所以估计这200名学生健康指数的平均数为60,样本方差为86.
(2)①由(1)可知μ=60,σ=≈9.27,
则P(50.73=P(μ-σ②由①可知1名学生的健康指数在(50.73,78.54)内的概率为0.819,
依题意得ξ~B(10 000,0.819),
则Eξ=10 000×0.819=8 190.
6.解析 (1)设考生的成绩为X分,则X~N(180,σ2).
令Y=,则Y~N(0,1).
由360分及以上的高分考生有30名,得P(X≥360)=,所以P(X<360)=1-=0.985,
即P=0.985,则≈2.17,
所以σ≈83,所以X~N(180,832).
设最低录用分数为x0分,
则P(X≥x0)=P,
即P=0.85,
即≈1.04,所以x0≈267,
所以此次招聘中的最低录用分数为267分.
(2)因为286>267,所以甲能被录用.
易得P(X<286)=P≈P(Y<1.28)≈0.90,所以不低于甲的成绩的人数约为2 000×(1-0.90)=200,所以甲大约排在第200名,所以甲能获得高薪职位.
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