专题强化练5 离散型随机变量的均值与方差-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 专题强化练5 离散型随机变量的均值与方差-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 36.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 11:24:15 | ||
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文档简介
专题强化练5 离散型随机变量的均值与方差
1.(多选题)设0ξ 0 m 1
P
A.Eξ减小
B.Eξ增大
C.Dξ先增后减,最大值为
D.Dξ先减后增,最小值为
2.(多选题)口袋中有n个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球次数为X,若P(X=2)=,则下列结论正确的有( )
A.n=7 B.P(X=4)=
C.E(X)=
3.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条,当2条棱相交时,ξ=0;当2条棱平行时,ξ的值为2条棱之间的距离;当2条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的均值为 .
4.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试邀请的概率为,得到乙、丙两公司面试邀请的概率均为p,且3个公司是否邀请其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试邀请的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望EX= .
5.某蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市,超市以每份15元的价格卖给顾客,若当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(x,y∈N+).以频率作为概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望为决策依据,若购进17份比购进18份的利润的期望大,则x的最小值是 .
前8小时内 的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 16 16 15 13 y
6.某盲盒抽奖活动中,主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖.已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示:
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 20 10
米色内饰 15 5
(1)从这50个模型中随机取1个,用事件A表示“取出的模型外观为红色”,用事件B表示“取出的模型内饰为米色”,求P(B)和P(B|A),并判断事件A与B是否相互独立;
(2)活动规定在一次抽奖中,每人可以一次性拿两个盲盒,对其中的模型给出以下假设:
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均同色、外观和内饰均不同色、仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:该抽奖活动的奖金金额为一等奖300元,二等奖200元,三等奖100元.
请你分析奖项对应的结果,设奖金金额为X元,写出X的分布列及数学期望EX(精确到整数).
7.考试中学生答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但有语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等中的一种或多种情况发生,记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:
教师评分(满分12分) 11 10 9
所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两位老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1时,取两者所评分数的平均数为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一评、二评中与之接近的分数的平均数为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均数为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如表所示,比例视为概率,且一评、二评与仲裁的三位老师评分互不影响)
(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题所得分数X的分布列及数学期望EX;
(2)本次数学考试有6道解答题,每题满分12分,乙同学6道题的解答均为“B类解答”.丙同学的前4题均为满分,第5题为“B类解答”,第6题得6分.以乙、丙两位同学6道解答题得分的均值为依据,谈谈你对“B类解答”的认识.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5 离散型随机变量的均值与方差
1.BD 由题意得,=1,所以a=1,
Eξ=0×,
所以当m在(0,1)上增大时,Eξ增大;
Dξ=,所以当m在(0,1)上增大时,Dξ先减后增,当m=时,Dξ取得最小值,为.
故选BD.
2.ABC 易知X=2表示第一次取到红球,第二次取到白球,所以P(X=2)=,又n为正整数,所以n=7.
X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以E(X)=1×,
所以D(X)=.故选ABC.
3.答案
解析 易得正方体中两条平行的棱之间的距离为1或.
从正方体的12条棱中任取2条,共有=66种取法,其中相交的有=24(种),平行且距离为的有=6(种),其余的是异面或距离为1的平行线,共有66-24-6=36(种),
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1
P
则Eξ=0×.
4.答案
解析 随机变量X的可能取值是0,1,2,3.
由题意,知P(X=0)=,
于是P(X=1)=,
P(X=3)=,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-,
∴X的数学期望EX=0×.
5.答案 25
解析 由题意可得x+y=30,故y=30-x(x,y∈N+).
若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,设当天的利润为Y1元,则Y1的分布列为
Y1 65 75 85
P
则Y1的数学期望EY1=65×.
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,设当天的利润为Y2元,则Y2的分布列为
Y2 60 70 80 90
P
则Y2的数学期望EY2=60×.
∵购进17份比购进18份的利润的期望大,
∴83-,且x<30,解得24又x∈N+,∴x的最小值为25.
6.解析 (1)由题表知,P(A)=,
而P(AB)=,
所以P(AB)≠P(A)P(B),因此事件A,B不相互独立.
(2)设事件C:外观和内饰均为同色,事件D:外观和内饰均不同色,事件E:仅外观或仅内饰同色,
则P(C)=,
P(D)=,
P(E)=,
所以P(E)>P(C)>P(D),
因此抽取的两个模型的外观和内饰均不同色是一等奖;外观和内饰均同色是二等奖;外观同色但内饰不同色,或内饰同色但外观不同色是三等奖.
由题可知,X的可能取值为300,200,100,
则X的分布列为
X 300 200 100
P
EX=300×≈169.
7.解析 (1)由题意得,X的可能取值为9,9.5,10,10.5,11.
设一评、二评、仲裁三位老师所评分数分别是x,y,z,
则P(X=9)=P(x=9,y=9)+P(x=9,y=11,z=9)+P(x=11,y=9,z=9)
=,
P(X=9.5)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)=2×,
P(X=10)=P(x=10,y=10)=,
P(X=10.5)=P(x=10,y=11)+P(x=11,y=10)+P(x=9,y=11,z=10)+P(x=11,y=9,z=10)=2×,
P(X=11)=P(x=11,y=11)+P(x=9,y=11,z=11)+P(x=11,y=9,z=11)=,
故X的分布列为
X 9 9.5 10 10.5 11
P
所以EX=9×.
(2)由题意知,乙同学得分的均值为,
丙同学得分的均值为.
丙同学得分的均值更高,所以“会而不对”和不会做一样都会丢分,在做题过程中要规范作答,尽量避免“B类解答”的出现.
9
1.(多选题)设0
P
A.Eξ减小
B.Eξ增大
C.Dξ先增后减,最大值为
D.Dξ先减后增,最小值为
2.(多选题)口袋中有n个白球,3个红球,依次从口袋中任取一球,若取到红球,则继续取球,且取出的红球不放回;若取到白球,则停止取球.记取球次数为X,若P(X=2)=,则下列结论正确的有( )
A.n=7 B.P(X=4)=
C.E(X)=
3.设ξ为随机变量,从棱长为1的正方体的12条棱中任取2条,当2条棱相交时,ξ=0;当2条棱平行时,ξ的值为2条棱之间的距离;当2条棱异面时,ξ=1,则随机变量ξ的均值为 .
4.某毕业生参加人才招聘会,分别向甲、乙、丙3个公司投递了个人简历.假定该毕业生得到甲公司面试邀请的概率为,得到乙、丙两公司面试邀请的概率均为p,且3个公司是否邀请其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试邀请的公司个数.若P(X=0)=,则随机变量X的数学期望EX= .
5.某蔬菜种植基地将采摘的有机蔬菜以每份三斤称重并保鲜分装,以每份10元的价格销售到生鲜超市,超市以每份15元的价格卖给顾客,若当天前8小时卖不完,则超市通过促销以每份5元的价格卖给顾客(根据经验,当天能够把剩余的有机蔬菜都低价处理完毕,且处理完毕后,当天不再进货).该生鲜超市统计了100天有机蔬菜在每天的前8小时内的销售量(单位:份),制成如下表格(x,y∈N+).以频率作为概率,该生鲜超市当天销售有机蔬菜利润的期望为决策依据,若购进17份比购进18份的利润的期望大,则x的最小值是 .
前8小时内 的销售量 15 16 17 18 19 20 21
频数 10 x 16 16 15 13 y
6.某盲盒抽奖活动中,主办方从一批汽车模型中随机抽取50个装入盲盒用于抽奖.已知抽出的50个汽车模型的外观和内饰的颜色分布如下表所示:
红色外观 蓝色外观
棕色内饰 20 10
米色内饰 15 5
(1)从这50个模型中随机取1个,用事件A表示“取出的模型外观为红色”,用事件B表示“取出的模型内饰为米色”,求P(B)和P(B|A),并判断事件A与B是否相互独立;
(2)活动规定在一次抽奖中,每人可以一次性拿两个盲盒,对其中的模型给出以下假设:
假设1:拿到的两个模型会出现三种结果,即外观和内饰均同色、外观和内饰均不同色、仅外观或仅内饰同色;
假设2:按结果的可能性大小,概率越小奖项越高;
假设3:该抽奖活动的奖金金额为一等奖300元,二等奖200元,三等奖100元.
请你分析奖项对应的结果,设奖金金额为X元,写出X的分布列及数学期望EX(精确到整数).
7.考试中学生答对但得不了满分的原因多为答题不规范,具体表现为:解题结果正确,无明显推理错误,但有语言不规范、缺少必要文字说明、卷面字迹不清、得分要点缺失等中的一种或多种情况发生,记此类解答为“B类解答”.为评估此类解答导致的失分情况,某市教研室做了项试验:从某次考试的数学试卷中随机抽取若干属于“B类解答”的题目,扫描后由近百名数学老师集体评阅,统计发现,满分12分的题,阅卷老师所评分数及各分数所占比例大约如下表:
教师评分(满分12分) 11 10 9
所占比例
某次数学考试试卷评阅采用“双评+仲裁”的方式,规则如下:两位老师独立评分,称为一评和二评,当两者所评分数之差的绝对值小于或等于1时,取两者所评分数的平均数为该题得分;当两者所评分数之差的绝对值大于1时,再由第三位老师评分,称之为仲裁,取仲裁分数和一评、二评中与之接近的分数的平均数为该题得分;当一、二评分数和仲裁分数差值的绝对值相同时,取仲裁分数和前两评中较高的分数的平均数为该题得分.(假设本次考试阅卷老师对满分为12分的题目中的“B类解答”所评分数及比例均如表所示,比例视为概率,且一评、二评与仲裁的三位老师评分互不影响)
(1)本次数学考试中甲同学某题(满分12分)的解答属于“B类解答”,求甲同学此题所得分数X的分布列及数学期望EX;
(2)本次数学考试有6道解答题,每题满分12分,乙同学6道题的解答均为“B类解答”.丙同学的前4题均为满分,第5题为“B类解答”,第6题得6分.以乙、丙两位同学6道解答题得分的均值为依据,谈谈你对“B类解答”的认识.
答案与分层梯度式解析
专题强化练5 离散型随机变量的均值与方差
1.BD 由题意得,=1,所以a=1,
Eξ=0×,
所以当m在(0,1)上增大时,Eξ增大;
Dξ=,所以当m在(0,1)上增大时,Dξ先减后增,当m=时,Dξ取得最小值,为.
故选BD.
2.ABC 易知X=2表示第一次取到红球,第二次取到白球,所以P(X=2)=,又n为正整数,所以n=7.
X的可能取值为1,2,3,4,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以E(X)=1×,
所以D(X)=.故选ABC.
3.答案
解析 易得正方体中两条平行的棱之间的距离为1或.
从正方体的12条棱中任取2条,共有=66种取法,其中相交的有=24(种),平行且距离为的有=6(种),其余的是异面或距离为1的平行线,共有66-24-6=36(种),
则P(ξ=0)=,
P(ξ=1)=,
所以ξ的分布列为
ξ 0 1
P
则Eξ=0×.
4.答案
解析 随机变量X的可能取值是0,1,2,3.
由题意,知P(X=0)=,
于是P(X=1)=,
P(X=3)=,
P(X=2)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=3)=1-,
∴X的数学期望EX=0×.
5.答案 25
解析 由题意可得x+y=30,故y=30-x(x,y∈N+).
若该超市一天购进17份这种有机蔬菜,设当天的利润为Y1元,则Y1的分布列为
Y1 65 75 85
P
则Y1的数学期望EY1=65×.
若该超市一天购进18份这种有机蔬菜,设当天的利润为Y2元,则Y2的分布列为
Y2 60 70 80 90
P
则Y2的数学期望EY2=60×.
∵购进17份比购进18份的利润的期望大,
∴83-,且x<30,解得24
6.解析 (1)由题表知,P(A)=,
而P(AB)=,
所以P(AB)≠P(A)P(B),因此事件A,B不相互独立.
(2)设事件C:外观和内饰均为同色,事件D:外观和内饰均不同色,事件E:仅外观或仅内饰同色,
则P(C)=,
P(D)=,
P(E)=,
所以P(E)>P(C)>P(D),
因此抽取的两个模型的外观和内饰均不同色是一等奖;外观和内饰均同色是二等奖;外观同色但内饰不同色,或内饰同色但外观不同色是三等奖.
由题可知,X的可能取值为300,200,100,
则X的分布列为
X 300 200 100
P
EX=300×≈169.
7.解析 (1)由题意得,X的可能取值为9,9.5,10,10.5,11.
设一评、二评、仲裁三位老师所评分数分别是x,y,z,
则P(X=9)=P(x=9,y=9)+P(x=9,y=11,z=9)+P(x=11,y=9,z=9)
=,
P(X=9.5)=P(x=9,y=10)+P(x=10,y=9)=2×,
P(X=10)=P(x=10,y=10)=,
P(X=10.5)=P(x=10,y=11)+P(x=11,y=10)+P(x=9,y=11,z=10)+P(x=11,y=9,z=10)=2×,
P(X=11)=P(x=11,y=11)+P(x=9,y=11,z=11)+P(x=11,y=9,z=11)=,
故X的分布列为
X 9 9.5 10 10.5 11
P
所以EX=9×.
(2)由题意知,乙同学得分的均值为,
丙同学得分的均值为.
丙同学得分的均值更高,所以“会而不对”和不会做一样都会丢分,在做题过程中要规范作答,尽量避免“B类解答”的出现.
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