第三章 排列、组合与二项式定理-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第三章　排列、组合与二项式定理
全卷满分150分　考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.计算=(　　)
A.
2.已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等,则含x10的项的系数是(　　)
A.-8　　　　B.8　　　　C.4　　　　D.-4
3.的展开式中x2y6的系数为(　　)
A.30　　　　B.40　　　　C.70　　　　D.80
4.若(x-1)2 023-(x-2)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 023x2 023,则2a1+22a2+23a3+…+22 023a2 023=(　　)
A.22 022+2　　　　B.22 022-2
C.22 022+1　　　　D.22 022-1
5.“一笔画”游戏是指要求经过所有路线且节点可以多次经过,但连接节点间的路线不能重复画的游戏.下图是某一局“一笔画”游戏的图形,其中A,B,C为节点,若研究发现本局游戏只能以A为起点、C为终点或者以C为起点、A为终点,则完成该图“一笔画”的方法种数为(　　)
A.6　　　　B.12　　　　C.24　　　　D.30
6.某校为了制作一期展示我国近年来航天成就的展板,该校科普小组的6名同学计划分“神舟飞天”“嫦娥奔月”“火星探测”3个展区制作展板,每人只负责一个展区,每个展区至少有一人负责,则不同的任务分配方案有(　　)
A.990种　　　　B.630种
C.540种　　　　D.480种
7.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.下图所示的弦图是由四个全等的直角三角形和一个正方形构成.现有五种不同的颜色可供涂色,要求相邻的区域不能用同一种颜色,则不同的涂色方案种数为(　　)
A.180　　　　B.192　　　　C.420　　　　D.480
8.古希腊数学家阿基米德的墓碑上刻着一个圆柱,如图所示,圆柱内有一个内切球,这个球的直径恰好与圆柱的高相等,相传这个图形表达了阿基米德最引以为荣的发现.设圆柱的体积与球的体积的比值为m,圆柱的表面积与球的表面积的比值为n,则的展开式中的常数项是　　(　　)
A.15　　　　B.-15　　　　C.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9,则下列结论成立的是(　　)
A.a2=-144　　　　B.a0=1
C.a0+a1+a2+…+a9=1　　　　D.a0-a1+a2-a3+…-a9=-39
10.已知(+3x2)n的展开式中,各项系数之和比各二项式系数之和大992,则下列结论正确的是(　　)
A.展开式中的有理项是第2项和第5项
B.展开式中没有常数项
C.展开式中二项式系数最大的项是第3项和第4项
D.展开式中系数最大的项是第5项
11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名志愿者参加服务活动,有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排,则以下说法错误的是(　　)
A.若每人都安排一项工作,则不同的方法数为54
B.若每人都安排一项工作,且每项工作至少有1人参加,则不同的方法数为
C.如果司机工作不安排,其余三项工作至少安排1人,则这5名志愿者全部被安排的不同方法数为(
D.若每人都安排一项工作,且每项工作至少有1人参加,甲、乙不会开车但能从事其他三项工作,丙、丁、戊都能胜任四项工作,则不同安排方案的种数是
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.1-90+…+9010除以88的余数是　　　　.
13.2名老师带着8名学生去参加数学建模比赛,要选4人站成一排拍照,且2名老师同时参加拍照时两人不能相邻,则2名老师至少有1人参加拍照的排列方法有　　　　种.(用数字作答)
14.四根绳子上共挂有10只气球,绳子上的气球数依次为1,2,3,4,每枪只能打破一只气球,而且规定只有打破下面的气球才能打上面的气球,则将这些气球都打破的不同打法种数是　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15. (13分)(1)已知7,x∈N*,x>1,求x的值;
(2)求满足<2 020的正整数n的最大值.
16. (15分)已知(n∈N*).
(1)若其展开式中后三项的二项式系数的和等于67,求展开式中二项式系数最大的项;
(2)若n为满足817.(15分)从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,用这四个数字组成无重复数字的四位数,所有这些四位数构成集合M.
(1)求集合M中不含有数字0的元素的个数;
(2)求集合M中含有数字0的元素的个数;
(3)从集合M中随机选择一个元素,求这个元素能被5整除的概率.
18.(17分)在某班元旦晚会上,有6个演唱节目,4个舞蹈节目.
(1)当4个舞蹈节目接在一起时,有多少种不同的安排顺序
(2)当每2个舞蹈节目之间至少安排1个演唱节目时,有多少种不同的安排顺序
(3)若已定好节目单,后来情况有变,需加上诗歌朗诵和快板2个节目,但不能改变原来节目的相对顺序,有多少种不同的安排顺序
19.(17分)如图,已知图形ABCDEF的内部连有线段.
(1)由点A沿着图中的线段到达点E的最近路线有多少条
(2)由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有多少条
(3)图中总共有多少个矩形
答案与解析
第三章　排列、组合与二项式定理
1.A 2.D 3.A 4.A 5.C 6.C
7.C 8.A 9.ACD 10.BCD 11.ABC
1.A　因为,所以,故选A.
2.D　由已知得,所以n=12,的展开式的通项公式为Tr+1=x12-2r,令12-2r=10,解得r=1,所以含x10的项的系数是=-4,故选D.
3.A　因为的展开式中含x2y6的项为x(xy2)4,
所以x2y6的系数为4=30.故选A.
4.A　令x=0,得a0=(-1)2 023-(-2)2 022=-1-22 022.①
令x=2,得a0+2a1+22a2+23a3+…+22 023a2 023=12 023=1.②
②-①,得2a1+22a2+23a3+…+22 023a2 023=1+1+22 022=22 022+2,故选A.
5.C　以A为起点、C为终点时,自A连接到B时,三条路线依次连接,共有3×2=6种方法;自B连接到C时,在C右侧可顺时针连接或逆时针连接,共有2种方法,
∴以A为起点、C为终点时,共有6×2=12种方法.
同理,以C为起点、A为终点时,共有12种方法.
∴完成该图“一笔画”的方法种数为12+12=24.故选C.
6.C　分成三类:①一组1人,一组2人,一组3人,不同的分配方案有=360(种);②一组4人,其他两组各1人,不同的分配方案有=90(种);③每组都是2人,不同的分配方案有=90(种).故不同的分配方案共有360+90+90=540(种).故选C.
7.C　若相邻的区域不能用同一种颜色,则涂5块区域至少需要3种颜色.
若5块区域只用3种颜色涂色,则颜色的选法有种,相对的两个直角三角形必同色,此时不同的涂色方案种数为=60;
若5块区域只用4种颜色涂色,则颜色的选法有种,一组相对的两个直角三角形必同色,另一组相对的两个直角三角形必不同色,此时不同的涂色方案种数为=240;
若5块区域用5种颜色涂色,则每块区域涂色均不同,此时不同的涂色方案种数为=120.
综上,所有不同的涂色方案种数为60+240+120=420.故选C.
8.A　设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R,
所以圆柱的体积V1=πR2·2R=2πR3,球的体积V2=πR3,
所以m=.
圆柱的表面积S1=2πR·2R+2πR2=6πR2,球的表面积S2=4πR2,
所以n=,所以=1,
则,其展开式的通项公式为Tr+1=x12-3r(-1)r,令12-3r=0,解得r=4,所以常数项为(-1)4=15.故选A.
9.ACD　∵对任意实数x,有(2x-3)9=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+a3(x-1)3+…+a9(x-1)9=[-1+2(x-1)]9,
∴a2=-×22=-144,故A正确;
令x=1,可得a0=(2-3)9=-1,故B不正确;
令x=2,可得a0+a1+a2+…+a9=(2×2-3)9=1,故C正确;
令x=0,可得a0-a1+a2-a3+…-a9=(0-3)9=-39,故D正确.
故选ACD.
10.BCD　由题意得4n-2n=992,所以2n=32或2n=-31(舍去),所以n=5,所以(+3x2)5,其展开式的通项公式为Tr+1=(r=0,1,2,3,4,5).
对于A,当r=2或r=5时,是整数,所以展开式中的有理项是第3项和第6项,故A错误.
对于B,令=0,得r=-,所以展开式中没有常数项,故B正确.
对于C,易知展开式中二项式系数最大的项为第3项和第4项,故C正确.
对于D,由展开式的通项公式知展开式中各项的系数依次为1,15,90,270,405,243,所以展开式中第5项的系数最大,故D正确.故选BCD.
11.ABC　每人有四项工作可以安排,所以5人都安排一项工作的不同方法数为45,故选项A中说法错误;
每项工作至少有1人参加,则有一项工作安排2人,其他三项工作各1人,所以共有种不同方法,选项B中是每项工作先安排1人,还剩下1人在四项工作中选择,这样会有重复,比如:“甲、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机,戊安排翻译”与“戊、乙、丙、丁分别安排翻译、导游、礼仪、司机,甲安排翻译”重复计算了,故选项B中说法错误;
选项C中是先分组后分配,代表的是5人被分成3人、1人、1人三组,代表的是5人被分成2人、2人、1人三组,然后三组人分配三项工作,乘,然而在分组的过程中都有重复,比如:3人、1人、1人分组中,先选择了甲、乙、丙三人一组,剩下丁、戊分两组只有一种分法,而不是种分法,故选项C中说法错误;
选项D分两类考虑,第一类,司机安排1人,方法数为,另外4人分3组,方法数为(4人选2人为1组,有种方法,另外2人分2组只有一种分法),然后3组人安排除司机外的三项工作,方法数为,则不同安排方案的种数是,第二类,司机安排2人,方法数为,剩下3人安排另外三项工作,方法数为,则不同安排方案的种数是,由分类加法计数原理得,不同安排方案的种数为,故选项D中说法正确.故选ABC.
12.答案　1
解析　1-90+…+9010+…+8810+…+889),所以1-90+…+9010除以88的余数是1.
13.答案　3 024
解析　分以下两种情况讨论:
①若只有1名老师参与拍照,则需另选3名学生拍照,此时共有=2 688种排列方法;
②若2名老师都拍照,则需另选2名学生拍照,先将学生排序,然后将2名老师插入2名学生所形成的空位中,此时共有=336种排列方法.
综上所述,共有2 688+336=3 024种排列方法.
14.答案　12 600
解析　问题等价于编号为1,2,3,…,10的10只气球进行排列,其中2,3号,4,5,6号,7,8,9,10号的排列顺序是固定的,据此可得,将这些气球都打破的不同打法种数是=12 600.
15.解析　(1)由已知得7×,
化简得x2-15x+36=0,解得x=3或x=12,(4分)
易知x≤6,所以x=3.(6分)
(2)因为m,所以+…+n+…+n<2 020,
即n(+…+)<2 020,(9分)
所以n·2n-1<2 020,
结合n∈N*可得n≤8.(12分)
所以正整数n的最大值为8.(13分)
16.解析　(1)由已知得+n+1=67,整理得n2+n-132=0,即(n+12)·(n-11)=0,解得n=11或n=-12(舍去),(3分)
则,(5分)
第7项为×26x-5+3=924x-2.(7分)
(2)(r=0,1,…,n).(9分)
令当r=6时,n=9;当r=7时,n=×23=672.(15分)
17.解析　(1)①从1,3,5,7中任取2个数字,有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取2个数字,有=6种取法,
③四个数字全排列,有=24种排法,(3分)
∴集合M中不含有数字0的元素有6×6×24=864(个).(5分)
(2)①从1,3,5,7中任取2个数字,有=6种取法,
②从2,4,6,8中任取1个数字,有=4种取法,
③四个数字全排列,排除0在第一位的情况,有=18种排法,(8分)
∴集合M中含有数字0的元素有6×4×18=432(个).(10分)
(3)由(1)(2)知M中共有864+432=1 296个元素.(11分)
能被5整除的元素,即个位数字为0或5,
①个位数字为0的元素有=144(个),
②个位数字为5的元素有=156(个),
∴能被5整除的元素有144+156=300(个).(14分)
∴从集合M中随机选择一个元素,这个元素能被5整除的概率为.(15分)
18.解析　(1)分两步:第一步,将4个舞蹈节目捆绑,与6个演唱节目全排列,有=5 040种方法;(3分)
第二步,将4个舞蹈节目全排列,有=24种方法.
根据分步乘法计数原理,共有5 040×24=120 960种不同的安排顺序.(6分)
(2)分两步:第一步,将6个演唱节目排成一排(如图中的“□”),一共有=720种方法;
×□×□×□×□×□×□×(9分)
第二步,将4个舞蹈节目排在一头一尾或两个节目中间(即图中“×”的位置),相当于7个“×”选4个来排,一共有=840种方法.(11分)
根据分步乘法计数原理,共有720×840=604 800种不同的安排顺序.(12分)
(3)若所有节目没有顺序要求,全排列,则有种排法,(15分)
但原来的节目已定好顺序,所以共有=132种不同的安排顺序.(17分)
19.解析　(1)由题意知,点A沿着题图中的线段到达点E的最近路线需要向右移动3次,向上移动3次,故点A到达点E的最近路线的条数为=20.　(3分)
(2)设点G、H、P的位置如图所示:
则点A沿着图中的线段到达点C的最近路线可分为4种情况:
①沿着A→E→C,共有=60条最近路线;
②沿着A→G→C,共有=30条最近路线;
③沿着A→H→C,共有=16条最近路线;
④沿着A→P→C,共有=5条最近路线.(11分)
故由点A沿着图中的线段到达点C的最近路线有60+30+16+5=111条.(12分)
(3)由题意,要组成矩形则应从竖线中选出两条、横线中选出两条,可分为两种情况:
①矩形的边不在CD上,共有=90个矩形;
②矩形的一条边在CD上,共有=12个矩形.(16分)
故共有90+12=102个矩形.(17分)