第四章 概率与统计-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 第四章 概率与统计-《精讲精练》26版高中同步新教材数学人教B版（2019）选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 227.4KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教B版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-15 11:24:15 | ||
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文档简介
(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第四章 概率与统计
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.从一副不含大、小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是( )
A.
2.已知随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
3.根据一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系,若求得其回归直线方程为=0.85x-85.7,则在样本点(165,57)处的随机误差为( )
A.54.55 B.2.45
C.3.45 D.111.55
4.某班级有50名学生,期末考试数学成绩X服从正态分布N(120,σ2),已知P(X>140)=0.2,则数学成绩在[100,140]内的学生人数为( )
A.5 B.10
C.20 D.30
5.现在,很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度,某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民,得到如下2×2列联表:
A城市 B城市 总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附: χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中的数据,下列说法中正确的是( )
A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D.可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
6.下图为变量x,y的一组成对数据的散点图,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是( )
A.相关系数r变大
B.残差平方和变大
C.决定系数R2=1-变大
D.解释变量x与响应变量y的相关性变强
7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
8.甲箱中装有编号为1,3,5的大小相同的小球,乙箱中装有编号为2,4的大小相同的小球.现从甲箱中任取一个小球,上面的数字用ξ1表示,从乙箱中任取一个小球,上面的数字用ξ2表示,记X=则( )
A.E(X)D(Y) B.E(X)>E(Y),D(X)>D(Y)
C.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y) D.E(X)>E(Y),D(X)二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.某工厂研究某种产品的产量x(单位:吨)与所需材料y(单位:吨)之间的相关关系,在生产过程中收集了4组数据如表所示:
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 5.9
根据表中的数据可得回归直线方程为,则以下结论正确的是( )
A.变量x与y正相关
B.y与x的相关系数r<0
C.=0.35
D.预测产量为8吨时所需材料为5.95吨
10.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),X,Y的正态曲线如图所示,则下列结论正确的是( )
A.μ1<μ2,
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(XP(Y11.骰子通常作为桌上游戏的小道具.最常见的骰子是六面骰,它是一个质地均匀的正方体,六个面上分别写有数字1,2,3,4,5,6.现有一款闯关游戏,共有4关,规则如下:在第n(n=1,2,3,4)关要掷六面骰n次,每次观察向上的面的点数并记录下来,若这n次掷六面骰所出现的点数之和大于2n+n,则算闯过第n关.假定每次闯关互不影响,则( )
A.直接挑战第2关并过关的概率为
B.连续挑战前两关并过关的概率为
C.若直接挑战第3关,设A=“三个点数之和等于15”,B=“至少出现一个5点”,则P(A|B)=
D.直接挑战第4关并过关的概率为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.有两个分类变量x和y,其中一组观测数据的2×2列联表如下:
y1 y2 总计
x1 a 15-a 15
x2 20-a 30+a 50
总计 20 45 65
其中a,15-a均为大于5的整数,则a= 时,在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“x和y之间有关系”.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
13.已知随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2
P
则当p=时,E(X)= ;当014.游乐场某游戏设备是一个圆盘,圆盘被分成红色和绿色两个区域,圆盘上有一个可以绕中心旋转的指针,且指针受电子程序控制,前后两次停在相同区域的概率为.某游客连续转动指针三次,记指针停在绿色区域的次数为X,若开始时指针停在红色区域,则E(X)= .
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)2021年8月国务院印发《全民健身计划(2021—2025年)》,其中提出了各方面的主要任务,包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活力、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身运动中,瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民,对其是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式进行了调查.
愿意 不愿意 总计
男性 25 25 50
女性 40 10 50
总计 65 35 100
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式与性别有关
(2)为了推广全民健身,某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动,在全市范围内开设一期公益瑜伽课,先从上述参与调查的100名市民里选择愿意的人中按性别进行分层抽样抽出13人,再从这13人中随机抽取2人免费参加.该市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,补贴方案:男性每人1 000元,女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
16. (15分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中有“难度系数”和“区分度”两个指标,难度系数=.
(1)某次数学考试(满分为150分)结束后,随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147分,142分,137分,普通班三人的成绩分别为97分,102分,113分,通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01);
(2)该校高三年级6次数学考试的统计数据如下表:
难度系数x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82
区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
①计算样本相关系数r,|r|<0.75时,认为相关性弱;|r|≥0.75时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01);
②令ti=|xi-0.74|(i=1,2,…,6),求出y关于t的回归直线方程,并预测x=0.75时y的值(精确到0.01).
附:≈0.011 2,
=0.007 3.
相关系数r=.
17.(15分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图:
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知小明的预赛成绩不低于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛;
(3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ18.(17分)某校总务处的主任要购买学校教学用的粉笔,并且有非常明确的判断一盒粉笔是“优质产品”还是“非优质产品”的方法.某品牌的粉笔整箱出售,每箱共有20盒,根据以往的经验,其中会有某些盒的粉笔为非优质产品,其余的都为优质产品,并且每箱含有0,1,2盒非优质产品的概率依次为0.7,0.2,0.1.为了购买该品牌的粉笔,该校总务处主任设计了一种购买的方案:欲买一箱粉笔,随机查看该箱中的4盒粉笔,如果没有非优质产品,则购买,否则不购买.设“买下所查看的一箱粉笔”为事件A,“箱中有i盒粉笔为非优质产品”为事件Bi(i=0,1,2).
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及期望;
(3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
19.(17分)黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一,其鳞片金黄、体形梭长,尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律,丰富黄河鲤早期养殖经验,某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象,从出卵开始持续观察20天,试验期间,每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长,取其均值作为第ti天的观测值yi(单位:mm),其中ti=i,i=1,2,3,…,20.根据以往的统计资料,该组数据(ti,yi)可以用Logistic曲线拟合模型y=进行统计分析,其中a,b,u为参数.基于这两个模型,绘制得到如下的散点图和残差图:
(1)你认为哪个模型的拟合效果更好 分别结合散点图和残差图进行说明;
(2)假定u=12.5,且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理,得到如下统计量的值:,根据(1)中的判断结果及给定数据,求y关于t的回归直线方程,并预测第22天时黄河鲤仔鱼的体长(结果精确到小数点后两位).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程.参考数据:e-4≈0.018 3.
答案与解析
第四章 概率与统计
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B
7.B 8.C 9.ACD 10.AC 11.ACD
1.C 设X为抽出的5张牌中A的张数,可知X服从超几何分布,
则P(X=3)=.故选C.
2.A 易得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16,故选A.
3.B 把x=165代入=0.85×165-85.7=54.55,
所以在样本点(165,57)处的随机误差为57-54.55=2.45.故选B.
4.D 由题意得μ=120,
则P(X>140)=P(X<100)=0.2,所以P(100≤X≤140)=0.6,
所以数学成绩在[100,140]内的学生人数为0.6×50=30.故选D.
5.D 由题意得, χ2=≈6.465,
又3.841<6.465<6.635,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选D.
6.B 由题图中数据得,>R2,故B中说法错误,C中说法正确.故选B.
7.B 由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)0.5,所以p=0.6.故选B.
8.C 摸球的情况有6种,其概率均为.
①甲1,乙2,②甲3,乙2,③甲5,乙2,④甲1,乙4,⑤甲3,乙4,⑥甲5,乙4,
对应的X,Y的取值情况如下:①时,X=2,Y=1,②时,X=3,Y=2,③时,X=5,Y=2,④时,X=4,Y=1,⑤时,X=4,Y=3,⑥时,X=5,Y=4.
∴P(X=2)=,
P(Y=1)=.
∴E(X)=2×,
E(Y)=1×,
∴D(X)=,
D(Y)=.
∴E(X)>E(Y),D(X)=D(Y),故选C.
9.ACD 对于A,表中变量y随x的增大而增大,是正相关关系,选项A正确;对于B,因为y与x正相关,所以相关系数r>0,选项B错误;对于C,=0.7×8+0.35=5.95,即预测产量为8吨时所需材料为5.95吨,选项D正确.故选ACD.
10.AC 对于A,由X~N(μ1,,所以A正确.
对于B,若加工时间只有a个小时,则由P(X≤a)=,可知应选择工艺1,所以B错误.
对于C,若加工时间只有c个小时,则由P(X≤c)=1-P(X>c),P(Y≤c)=1-P(Y>c),而P(X>c)>P(Y>c),所以P(X≤c)对于D, t0∈(b,c),P(X11.ACD 设直接挑战第n(n=1,2,3,4)关并过关的概率为Pn.
对于A选项,22+2=6,所以2次点数之和应大于6才算过关,
即直接挑战第2关并过关的概率P2=,故A正确.
对于B选项,21+1=3,所以挑战第1关并过关的概率P1=,
则连续挑战前两关并过关的概率P=P1P2=,故B错误.
对于C选项,总的样本点有63=216(个),
“至少出现一个5点”的样本点有63-53=216-125=91(个),
故P(B)=,
所以P(A|B)=,故C正确.
对于D选项,24+4=20,总的样本点有64个,
而“4次点数之和大于20”包含的样本点有七类:
含5,5,5,6的有4个,含5,5,6,6的有6个,
含6,6,6,6的有1个,含4,6,6,6的有4个,
含5,6,6,6的有4个,含4,5,6,6的有12个,
含3,6,6,6的有4个.共有4+6+1+4+4+12+4=35(个).
所以P4=,故D正确.故选ACD.
12.答案 9
解析 由题意知χ2≥6.635,则≥6.635,解得a≥8.65或a≤0.58,
又a>5且15-a>5,a∈Z,所以8.65≤a<10,a∈Z,所以a=9.
13.答案
解析 由题意得E(X)=0×.
当p=.
当014.答案
解析 该游客转动指针的结果的树状图如下:
∴P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×.
15.解析 (1)由已知得χ2=≈9.89>6.635.(2分)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式与性别有关.(4分)
(2)从参与调查的100名市民里选择愿意的人中按性别进行分层抽样抽出13人,其中男性人数为×13=8.(6分)
记补贴金额为X元,则X的所有可能取值为1 000,1 500,2 000.
P(X=1 000)=,
P(X=2 000)=,(9分)
则X的分布列为
X 1 000 1 500 2 000
P
(11分)
所以E(X)=1 000×.(13分)
16.解析 (1)实验班三人成绩的平均值为142,普通班三人成绩的平均值为104,故估计本次考试的区分度为≈0.25.(3分)
(2)①由题表数据可知×(0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21,
故r=≈-0.13.(5分)
因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述y与x的关系.(7分)
②y与t的对应数据如下表:
t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08
区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
则≈-0.86,(9分)
所以≈0.25,(11分)
所以y关于t的回归直线方程为=-0.86t+0.25,(13分)
当x=0.75时,t=0.01,则=-0.86×0.01+0.25≈0.24.
所以预测x=0.75时y的值为0.24.(15分)
17.解析 (1)预赛成绩在[60,80)内的为0.012 5×20×100=25(人),预赛成绩在[80,100]内的为0.007 5×20×100=15(人),
则至少有1人预赛成绩优良的概率为,(2分)
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,(5分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
EX=0×.(6分)
(2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53,
因为σ2=362,所以Z~N(53,362),(8分)
所以P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=×(1-0.954 5)=0.022 75,
故全市参加预赛的学生中,成绩不低于91分的有12 000×0.022 75=273(人),
因为273<300,
所以小明有资格参加复赛.(10分)
(3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分,
则ξ~B(n,0.8),故Eξ=0.8n,
Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,(12分)
故EY=100-0.2(1+2+3+…+n)+2Eξ=-,(13分)
因为n∈N+,
所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(15分)
18.解析 (1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)=.(3分)
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×,
P(X=1)=0.2×,
P(X=2)=0.1×.(6分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(8分)
所以E(X)=0×.(10分)
(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=0.7×1+0.2×,(13分)
按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=,(15分)
因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.(17分)
19.解析 (1)Logistic非线性回归模型y=拟合效果更好.
从散点图看,散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近;
从残差图看,该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内.(4分)
(2)将y==a-bt,(6分)
令wi=ln,得w=a-bt,
则-=0.208,(10分)
所以=-1.608+0.208×10.5=0.576.(12分)
所以y关于t的回归直线方程为.(14分)
当t=22时,≈12.28.
故预测第22天时黄河鲤仔鱼的体长为12.28 mm.(17分)
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
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密 封 线 内 不 要 答 题
)
第四章 概率与统计
全卷满分150分 考试用时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.从一副不含大、小王的52张扑克牌(即A,2,3,…,10,J,Q,K不同花色的各4张)中任意抽出5张,恰有3张A的概率是( )
A.
2.已知随机变量X的分布列如下表,则E(5X+4)等于( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11 C.2.2 D.2.3
3.根据一组样本数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)的散点图分析x与y之间是否存在线性相关关系,若求得其回归直线方程为=0.85x-85.7,则在样本点(165,57)处的随机误差为( )
A.54.55 B.2.45
C.3.45 D.111.55
4.某班级有50名学生,期末考试数学成绩X服从正态分布N(120,σ2),已知P(X>140)=0.2,则数学成绩在[100,140]内的学生人数为( )
A.5 B.10
C.20 D.30
5.现在,很多人都喜欢骑“共享单车”,但也有很多市民并不认可.为了调查人们对这种交通方式的认可度,某同学从交通拥堵不严重的A城市和交通拥堵严重的B城市分别随机调查了20名市民,得到如下2×2列联表:
A城市 B城市 总计
认可 13 5 18
不认可 7 15 22
总计 20 20 40
附: χ2=,n=a+b+c+d.
α=P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.01 0.005
k 2.706 3.841 6.635 7.879
根据表中的数据,下列说法中正确的是( )
A.没有95%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
B.有99%以上的把握认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
C.可以在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
D.可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”
6.下图为变量x,y的一组成对数据的散点图,去掉D(3,10)后,下列说法错误的是( )
A.相关系数r变大
B.残差平方和变大
C.决定系数R2=1-变大
D.解释变量x与响应变量y的相关性变强
7.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p,各成员的支付方式相互独立,设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,D(X)=2.4,P(X=4)
8.甲箱中装有编号为1,3,5的大小相同的小球,乙箱中装有编号为2,4的大小相同的小球.现从甲箱中任取一个小球,上面的数字用ξ1表示,从乙箱中任取一个小球,上面的数字用ξ2表示,记X=则( )
A.E(X)
C.E(X)>E(Y),D(X)=D(Y) D.E(X)>E(Y),D(X)
9.某工厂研究某种产品的产量x(单位:吨)与所需材料y(单位:吨)之间的相关关系,在生产过程中收集了4组数据如表所示:
x 3 4 6 7
y 2.5 3 4 5.9
根据表中的数据可得回归直线方程为,则以下结论正确的是( )
A.变量x与y正相关
B.y与x的相关系数r<0
C.=0.35
D.预测产量为8吨时所需材料为5.95吨
10.某工厂加工一种零件,有两种不同的工艺选择,用这两种工艺加工一个零件所需时间t(单位:小时)均近似服从正态分布,用工艺1加工一个零件所用时间X~N(μ1,),X,Y的正态曲线如图所示,则下列结论正确的是( )
A.μ1<μ2,
B.若加工时间只有a个小时,应选择工艺2
C.若加工时间只有c个小时,应选择工艺2
D. t0∈(b,c),P(X
A.直接挑战第2关并过关的概率为
B.连续挑战前两关并过关的概率为
C.若直接挑战第3关,设A=“三个点数之和等于15”,B=“至少出现一个5点”,则P(A|B)=
D.直接挑战第4关并过关的概率为
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.有两个分类变量x和y,其中一组观测数据的2×2列联表如下:
y1 y2 总计
x1 a 15-a 15
x2 20-a 30+a 50
总计 20 45 65
其中a,15-a均为大于5的整数,则a= 时,在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“x和y之间有关系”.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
13.已知随机变量X的分布列如下:
X 0 1 2
P
则当p=时,E(X)= ;当0
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)2021年8月国务院印发《全民健身计划(2021—2025年)》,其中提出了各方面的主要任务,包括加大全民健身场地设施供给、广泛开展全民健身赛事活动、提升科学健身指导服务水平、激发体育社会组织活力、促进重点人群健身活动开展和营造全民健身社会氛围等.在各种健身运动中,瑜伽逐渐成为一种新型的热门健身运动.某瑜伽馆在9月份随机采访了100名市民,对其是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式进行了调查.
愿意 不愿意 总计
男性 25 25 50
女性 40 10 50
总计 65 35 100
(1)能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式与性别有关
(2)为了推广全民健身,某市文化馆计划联合该瑜伽馆举办“瑜你一起”的公益活动,在全市范围内开设一期公益瑜伽课,先从上述参与调查的100名市民里选择愿意的人中按性别进行分层抽样抽出13人,再从这13人中随机抽取2人免费参加.该市文化馆拨给瑜伽馆一定的经费补贴,补贴方案:男性每人1 000元,女性每人500元.求补贴金额的分布列及数学期望.
附: χ2=,其中n=a+b+c+d.
P(χ2≥k) 0.1 0.05 0.025 0.01 0.005
k 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
16. (15分)某省级示范高中高三年级对各科考试的评价指标中有“难度系数”和“区分度”两个指标,难度系数=.
(1)某次数学考试(满分为150分)结束后,随机从实验班和普通班各抽取三人,实验班三人的成绩分别为147分,142分,137分,普通班三人的成绩分别为97分,102分,113分,通过样本估计本次考试的区分度(精确到0.01);
(2)该校高三年级6次数学考试的统计数据如下表:
难度系数x 0.64 0.71 0.74 0.76 0.77 0.82
区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
①计算样本相关系数r,|r|<0.75时,认为相关性弱;|r|≥0.75时,认为相关性强.通过计算说明,能否利用线性回归模型描述y与x的关系(精确到0.01);
②令ti=|xi-0.74|(i=1,2,…,6),求出y关于t的回归直线方程,并预测x=0.75时y的值(精确到0.01).
附:≈0.011 2,
=0.007 3.
相关系数r=.
17.(15分)某市为提升中学生的环境保护意识,举办了一次“环境保护知识竞赛”,分预赛和复赛两个环节,预赛成绩排名前300名的学生参加复赛.已知共有12 000名学生参加了预赛,现从参加预赛的全体学生中随机抽取100人的预赛成绩(单位:分)作为样本,得到如下频率分布直方图:
(1)规定预赛成绩不低于80分为优良,若从上述样本中预赛成绩不低于60分的学生中随机抽取2人,求至少有1人预赛成绩优良的概率,并求预赛成绩优良的人数的分布列及数学期望;
(2)由频率分布直方图可认为该市全体参加预赛的学生的预赛成绩Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ可近似为样本中的100名学生预赛成绩的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表),且σ2=362,已知小明的预赛成绩不低于91分,利用该正态分布,估计小明是否有资格参加复赛;
(3)复赛规则如下:①每人的复赛初始分均为100分;②参赛学生可在开始答题前自行决定答题数量n,每一题都需要“花”掉(即减去)一定分数来获取答题资格,规定答第k题时“花”掉的分数为0.2k(k=1,2,…,n);③每答对一题加2分,答错既不加分也不减分;④答完n题后参赛学生的最终分数即为复赛成绩,已知参加复赛的学生甲答对每道题的概率均为0.8,且每题答对与否都相互独立.若学生甲期望获得最佳的复赛成绩,则他的答题数量n应为多少
附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ
(1)求P(A|B0),P(A|B1),P(A|B2);
(2)随机查看某一箱该品牌粉笔中的4盒,设X为其中非优质产品的盒数,求X的分布列及期望;
(3)假设购买100箱该品牌粉笔,若按照主任所设计的方案进行购买,箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望比随机购买的箱中每盒粉笔都是优质产品的箱数的期望大10,则所设计的方案有效.讨论该方案是否有效.
19.(17分)黄河鲤是我国华北地区的主要淡水养殖品种之一,其鳞片金黄、体形梭长,尤以色泽鲜丽、肉质细嫩、气味清香而著称.为研究黄河鲤早期生长发育的规律,丰富黄河鲤早期养殖经验,某院校研究小组以当地某水产养殖基地的黄河鲤仔鱼为研究对象,从出卵开始持续观察20天,试验期间,每天固定时段从试验水体中随机取出同批次9尾黄河鲤仔鱼测量体长,取其均值作为第ti天的观测值yi(单位:mm),其中ti=i,i=1,2,3,…,20.根据以往的统计资料,该组数据(ti,yi)可以用Logistic曲线拟合模型y=进行统计分析,其中a,b,u为参数.基于这两个模型,绘制得到如下的散点图和残差图:
(1)你认为哪个模型的拟合效果更好 分别结合散点图和残差图进行说明;
(2)假定u=12.5,且黄河鲤仔鱼的体长y与天数t具有很强的相关关系.现对数据进行初步处理,得到如下统计量的值:,根据(1)中的判断结果及给定数据,求y关于t的回归直线方程,并预测第22天时黄河鲤仔鱼的体长(结果精确到小数点后两位).
附:对于一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),其回归直线方程.参考数据:e-4≈0.018 3.
答案与解析
第四章 概率与统计
1.C 2.A 3.B 4.D 5.D 6.B
7.B 8.C 9.ACD 10.AC 11.ACD
1.C 设X为抽出的5张牌中A的张数,可知X服从超几何分布,
则P(X=3)=.故选C.
2.A 易得E(X)=0×0.3+2×0.2+4×0.5=2.4,故E(5X+4)=5E(X)+4=5×2.4+4=16,故选A.
3.B 把x=165代入=0.85×165-85.7=54.55,
所以在样本点(165,57)处的随机误差为57-54.55=2.45.故选B.
4.D 由题意得μ=120,
则P(X>140)=P(X<100)=0.2,所以P(100≤X≤140)=0.6,
所以数学成绩在[100,140]内的学生人数为0.6×50=30.故选D.
5.D 由题意得, χ2=≈6.465,
又3.841<6.465<6.635,所以可以在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否认可与城市的拥堵情况有关”.故选D.
6.B 由题图中数据得,>R2,故B中说法错误,C中说法正确.故选B.
7.B 由题意得X~B(10,p).因为D(X)=2.4,所以10p(1-p)=2.4,解得p=0.6或p=0.4.因为P(X=4)
8.C 摸球的情况有6种,其概率均为.
①甲1,乙2,②甲3,乙2,③甲5,乙2,④甲1,乙4,⑤甲3,乙4,⑥甲5,乙4,
对应的X,Y的取值情况如下:①时,X=2,Y=1,②时,X=3,Y=2,③时,X=5,Y=2,④时,X=4,Y=1,⑤时,X=4,Y=3,⑥时,X=5,Y=4.
∴P(X=2)=,
P(Y=1)=.
∴E(X)=2×,
E(Y)=1×,
∴D(X)=,
D(Y)=.
∴E(X)>E(Y),D(X)=D(Y),故选C.
9.ACD 对于A,表中变量y随x的增大而增大,是正相关关系,选项A正确;对于B,因为y与x正相关,所以相关系数r>0,选项B错误;对于C,=0.7×8+0.35=5.95,即预测产量为8吨时所需材料为5.95吨,选项D正确.故选ACD.
10.AC 对于A,由X~N(μ1,,所以A正确.
对于B,若加工时间只有a个小时,则由P(X≤a)=,可知应选择工艺1,所以B错误.
对于C,若加工时间只有c个小时,则由P(X≤c)=1-P(X>c),P(Y≤c)=1-P(Y>c),而P(X>c)>P(Y>c),所以P(X≤c)
对于A选项,22+2=6,所以2次点数之和应大于6才算过关,
即直接挑战第2关并过关的概率P2=,故A正确.
对于B选项,21+1=3,所以挑战第1关并过关的概率P1=,
则连续挑战前两关并过关的概率P=P1P2=,故B错误.
对于C选项,总的样本点有63=216(个),
“至少出现一个5点”的样本点有63-53=216-125=91(个),
故P(B)=,
所以P(A|B)=,故C正确.
对于D选项,24+4=20,总的样本点有64个,
而“4次点数之和大于20”包含的样本点有七类:
含5,5,5,6的有4个,含5,5,6,6的有6个,
含6,6,6,6的有1个,含4,6,6,6的有4个,
含5,6,6,6的有4个,含4,5,6,6的有12个,
含3,6,6,6的有4个.共有4+6+1+4+4+12+4=35(个).
所以P4=,故D正确.故选ACD.
12.答案 9
解析 由题意知χ2≥6.635,则≥6.635,解得a≥8.65或a≤0.58,
又a>5且15-a>5,a∈Z,所以8.65≤a<10,a∈Z,所以a=9.
13.答案
解析 由题意得E(X)=0×.
当p=.
当0
解析 该游客转动指针的结果的树状图如下:
∴P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=.
∴X的分布列为
X 0 1 2 3
P
∴E(X)=0×.
15.解析 (1)由已知得χ2=≈9.89>6.635.(2分)
所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为是否愿意把瑜伽作为主要的健身方式与性别有关.(4分)
(2)从参与调查的100名市民里选择愿意的人中按性别进行分层抽样抽出13人,其中男性人数为×13=8.(6分)
记补贴金额为X元,则X的所有可能取值为1 000,1 500,2 000.
P(X=1 000)=,
P(X=2 000)=,(9分)
则X的分布列为
X 1 000 1 500 2 000
P
(11分)
所以E(X)=1 000×.(13分)
16.解析 (1)实验班三人成绩的平均值为142,普通班三人成绩的平均值为104,故估计本次考试的区分度为≈0.25.(3分)
(2)①由题表数据可知×(0.18+0.23+0.24+0.24+0.22+0.15)=0.21,
故r=≈-0.13.(5分)
因为|r|<0.75,所以相关性弱,故不能利用线性回归模型描述y与x的关系.(7分)
②y与t的对应数据如下表:
t 0.10 0.03 0 0.02 0.03 0.08
区分度y 0.18 0.23 0.24 0.24 0.22 0.15
则≈-0.86,(9分)
所以≈0.25,(11分)
所以y关于t的回归直线方程为=-0.86t+0.25,(13分)
当x=0.75时,t=0.01,则=-0.86×0.01+0.25≈0.24.
所以预测x=0.75时y的值为0.24.(15分)
17.解析 (1)预赛成绩在[60,80)内的为0.012 5×20×100=25(人),预赛成绩在[80,100]内的为0.007 5×20×100=15(人),
则至少有1人预赛成绩优良的概率为,(2分)
设抽取的2人中预赛成绩优良的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,
P(X=0)=,
P(X=2)=,(5分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
EX=0×.(6分)
(2)根据题意,得μ=(10×0.005+30×0.01+50×0.015+70×0.012 5+90×0.007 5)×20=53,
因为σ2=362,所以Z~N(53,362),(8分)
所以P(Z≥91)=P(Z≥μ+2σ)=×(1-0.954 5)=0.022 75,
故全市参加预赛的学生中,成绩不低于91分的有12 000×0.022 75=273(人),
因为273<300,
所以小明有资格参加复赛.(10分)
(3)设学生甲答对的题数为ξ,复赛成绩为Y分,
则ξ~B(n,0.8),故Eξ=0.8n,
Y=100-0.2(1+2+3+…+n)+2ξ,(12分)
故EY=100-0.2(1+2+3+…+n)+2Eξ=-,(13分)
因为n∈N+,
所以当答题数量n为7或8时,学生甲可获得最佳的复赛成绩.(15分)
18.解析 (1)由已知得P(A|B0)=1,P(A|B1)=.(3分)
(2)由题意可知X的所有可能取值为0,1,2,
P(X=0)=0.7+0.2×,
P(X=1)=0.2×,
P(X=2)=0.1×.(6分)
所以X的分布列为
X 0 1 2
P
(8分)
所以E(X)=0×.(10分)
(3)由题意知,P(A)=P(B0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)·P(A|B2)=0.7×1+0.2×,(13分)
按照主任所设计的方案购买的一箱粉笔中,箱中每盒粉笔都是优质产品的概率为P(B0|A)=,(15分)
因为100×-100×0.7≈6<10,所以该方案无效.(17分)
19.解析 (1)Logistic非线性回归模型y=拟合效果更好.
从散点图看,散点更均匀地分布在该模型拟合曲线附近;
从残差图看,该模型下的残差更均匀地集中在以残差为0的直线为对称轴的水平带状区域内.(4分)
(2)将y==a-bt,(6分)
令wi=ln,得w=a-bt,
则-=0.208,(10分)
所以=-1.608+0.208×10.5=0.576.(12分)
所以y关于t的回归直线方程为.(14分)
当t=22时,≈12.28.
故预测第22天时黄河鲤仔鱼的体长为12.28 mm.(17分)