6.1.3 共面向量定理
基础过关练
题组一 判断向量共面或四点共面
1.下面关于空间向量的说法正确的是( )
A.若非零向量a,b平行,则a,b所在直线平行
B.若向量a,b所在直线是异面直线,则a,b不共面
C.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面
D.若A,B,C,D四点不共面,则向量不共面
2.若向量a,b,c不共面,则下列选项中三个向量不共面的是 ( )
A.b-c,b,b+c B.a+b,c,a+b+c
C.a+b,a-c,c D.a-b,a+b,a
3.已知A,B,C三点不共线,O是平面ABC外任意一点,下列条件中能确定点M,A,B,C共面的是( )
A.
B.
C.
D.
题组二 共面向量定理的应用
4.已知P为空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,且,则实数x的值为( )
A.
5.已知向量e1,e2,e3不共面,且a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=11e1+5e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ= .
6.已知圆锥PO(P为圆锥顶点,O为底面圆的圆心)的轴截面是边长为2的等边三角形,A,B,C为底面圆周上三点,空间一动点Q满足,则||的最小值为 .
7.对任意空间四边形ABCD,已知E,F分别是AD,BC的中点.证明:(1)共面;
(2)不共线.
能力提升练
题组 共面向量定理的应用
1.已知点D在△ABC所确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,若正实数x,y满足,则的最小值为( )
A. C.2 D.4
2.如图,已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面A1B1C1D1为平行四边形,,AC1与平面EFG交于点M,则=( )
A.
3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,H分别在棱BB1,BC,BA上,且满足,O是平面B1HN,平面ACM与平面B1BDD1的一个公共点,设,则x+y+3z=( )
A.2 B.
4.如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若P为侧面ADD1A1内(含边界)的动点,且存在x,y∈R,使成立,则点P的轨迹长度为( )
A.
5.已知A,B,C三点不在同一条直线上,A,B,C,P四点共面,对空间任意一点O,满足,则实数t= ,= .
6.一种糖果的包装纸由一个边长为6的正方形和2个等腰直角三角形组成(如图1),沿AD,BC将2个三角形折起到与平面ABCD垂直,连接EF,AE,CF,AC,如图2,若点P满足,且x+y+z=1,则||的最小值为 .
7.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,且PA=PD=AD,若E,F分别为PC,BD的中点.求证:
(1)EF∥平面PAD;
(2)EF⊥平面PCD.(用向量方法证明)
答案与分层梯度式解析
6.1.3 共面向量定理
基础过关练
1.D 2.C 3.D 4.B
1.D 由向量平行与直线平行的区别,可知A不正确;空间向量为自由向量,与起点位置无关,通过平移可将空间中任意两个向量平移到一个平面内,因此空间中任意两个向量都是共面的,故B,C都不正确;因为AB,AC,AD是空间中共端点A但不共面的三条线段,所以向量不共面.故选D.
2.C A中,b-c=2b-(b+c),∴b-c,b,b+c三个向量共面,故A不符合题意;
B中,a+b+c=(a+b)+c,∴a+b,c,a+b+c三个向量共面,故B不符合题意;
C中,不存在实数λ,μ,使得a+b=λ(a-c)+μc成立,∴a+b,a-c,c三个向量不共面,故C符合题意;
D中,a=[(a-b)+(a+b)],∴a-b,a+b,a三个向量共面,故D不符合题意.故选C.
3.D 要想空间中的四点M,A,B,C共面,只需满足,且x+y+z=1即可.
对于A,x+y+z=2+-1≠1,故M,A,B,C四点不共面;
对于B,x+y+z=3-2-2≠1,故M,A,B,C四点不共面;
对于C,x+y+z=≠1,故M,A,B,C四点不共面;
对于D,x+y+z==1,故M,A,B,C四点共面.故选D.
4.B ,∵P是空间中任意一点,A,B,C,D四点满足任意三点均不共线,但四点共面,
∴=1,解得x=-,故选B.
5.答案 1
解析 因为向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得c=ma+nb,即11e1+5e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)·e2+(m-2n)e3,即
6.答案
解析 因为,
所以Q,A,B,C四点共面.
易得PO⊥平面ABC,所以||≥||.
因为圆锥PO的轴截面是边长为2的等边三角形,
所以|,所以||的最小值为.
7.证明 (1)如图,在空间四边形ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,
则,①
.②
①+②得,2,
所以,
由共面向量定理,得共面.
(2)假设共线,则存在实数λ,使得,即),
所以-,
整理,得,
所以共面,这与空间四边形ABCD中不共面相矛盾,故假设不成立,结论得证.
能力提升练
1.B 2.A 3.C 4.C
1.B 由A,B,C,D四点共面,可知x+2y-1=1,即x+2y=2,
由x>0,y>0,得,当且仅当(x>0,y>0),即x=y=时等号成立,故选B.
2.A 由题可设(0<λ<1),易知,
所以,又M,E,F,G四点共面,所以3λ+3λ+λ=1,解得λ=.故选A.
3.C 解法一:如图1,由题意可得.
∵O,A,C,M四点共面,O,H,N,B1四点共面,
∴,
∴x+y+3z=,故选C.
解法二:如图2,连接BD,记AC与BD的交点为Q,BQ的中点为P,连接MQ,B1P,记MQ与B1P的交点为O,过P作PT∥MQ交BB1于T.
截面BDD1B1如图3,
∵P为BQ的中点,PT∥MQ,∴T为BM的中点,
∴MT=MB1,
∴,因此.
∵,
∴x+y+3z=.故选C.
4.C 如图,连接EF,因为成立,所以共面,即B1P∥平面BEF.
取A1D1的中点Q,连接B1Q,B1A,AQ,根据正方体的性质得B1Q∥BE,B1A∥FE,且B1Q∩B1A=B1,BE∩FE=E,所以平面B1AQ∥平面BEF,所以点P在AQ上运动,点P的轨迹为线段AQ.因为A1A=1,A1Q=,所以AQ=,故选C.
5.答案 1;0
解析 由,得,
由A,B,C,P四点共面,得1-1+t=1,所以t=1,
所以,所以,所以四边形ABPC为平行四边形,则,所以=0.
6.答案 4
解析 因为点P满足,且x+y+z=1,
所以A,C,F,P四点共面,即P是平面ACF上的动点,
所以||的最小值即为E到平面ACF的距离.
由题意,将题图2中的几何体补成棱长为6的正方体,如图,
易知AF=AC=CF=AE=FE=CE=6,
设E到平面ACF的距离为h,则V三棱锥E-ACF=·S△ACF·h=V正方体-4V三棱锥E-ABC,
即)2·h=63-4××6×6×6,解得h=4,
所以||的最小值为4.
7.证明 (1)连接PF,因为E,F分别为PC,BD的中点,所以,
所以向量共面,
又EF 平面PAD,DA,PD 平面PAD,DA∩PD=D,
所以EF∥平面PAD.
(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,底面ABCD是正方形,所以CD⊥平面PAD,又PA 平面PAD,所以CD⊥PA.
设AD=1,则,即1=,
所以=0,
所以)·)·=0,
所以EF⊥PD,EF⊥CD,
又PD,CD 平面PCD,PD∩CD=D,
所以EF⊥平面PCD.
3(共27张PPT)
6.1 空间向量及其运算
知识点 1 空间向量的概念
必备知识 清单破
1.空间向量的加法、减法与数乘运算的意义
(1)a+b= + = + = (如图①);
(2)a-b= - = (如图①);
(3)λa(λ∈R):如图②,
当λ>0时,λa=λ = ;
当λ<0时,λa=λ = ;
当λ=0时,λa=0.
知识点 2 空间向量的线性运算
图① 图②
2.运算律
(1)a+b=b+a;
(2)(a+b)+c=a+(b+c);
(3)λ(μa)=λμa(λ,μ∈R);
(4)λ(a+b)=λa+λb,(λ+μ)a=λa+μa(λ,μ∈R).
向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算.
对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
知识点 3 近共线向量定理
知识拓展 证明空间三点A,B,P共线的方法:
(1) =λ (λ∈R);
(2)对空间任一点O, = +λ (λ∈R);
(3)对空间任一点O, =x +y (x+y=1).
1.空间向量的夹角
如图,a,b是空间两个非零向量,过空间任意一点O,作 =a, =b,∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫作
向量a与向量b的夹角,记作
.
(1)=;
(2)如果=0,那么向量a与b同向;如果=π,那么向量a与b反向;如果= ,那么称a
与b互相垂直,并记作a⊥b.
知识点 4 空间向量的数量积
2.空间向量的数量积
设a,b是空间两个非零向量,我们把数量|a||b|cos叫作向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b =|a||b|cos.
(1)规定:零向量与任一向量的数量积为0.
(2)空间向量的数量积的运算律:
①a·b=b·a;
②(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R);
③(a+b)·c=a·c+b·c.
误区警示 (1)两个向量的数量积的结果是数量,而不是向量,它可以是正数、负数或零;(2)两 个向量的数量积的运算不满足消去律(a·b=a·c /b=c)和乘法的结合律((a·b)·c≠a·(b·c)).
3.投影向量
(1)对于空间任意两个非零向量a,b,设向量 =a, =b(如图),过点A作AA1⊥OB,垂足为A1.上
述由向量a得到向量 的变换称为向量a向向量b投影,向量 称为向量a在向量b上的投影
向量.
与平面向量的情形类似,我们有a·b= ·b,即向量a,b的数量积就是向量a在向量b上的投影向
量与向量b的数量积.
(2)如图,设向量m= ,过C,D分别作平面α的垂线,垂足分别为C1,D1,得向量 .我们将上述由
向量m得到向量 的变换称为向量m向平面α投影,向量 称为向量m在平面α上的投影向
量.
对于平面α内的任一向量n,有m·n= ·n,也就是说,空间向量m,n的数量积就是向量m在平面α
上的投影向量与向量n的数量积.
1.共面向量
一般地,能平移到同一平面内的向量叫作共面向量.任意两个空间向量都是共面向量.
2.共面向量定理
如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使得
p=xa+yb.
3.共面向量定理的推论
推论1:空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x,y),使 =x +y ,或对
空间任意一点O,有 = +x +y .
知识点 5 共面向量定理
推论2:空间中的一点P与不共线的三点A,B,C共面的充要条件是存在唯一的有序实数组(x,y,z) 使得 =x +y +z 且x+y+z=1,其中O为空间任意一点.
知识辨析
1.空间中任意两个向量共面吗
2.空间中任意三个向量是否共面
3.由 ∥ 能得到AB∥CD吗
4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,< , >是多少度
一语破的
1.共面.空间向量为自由向量,只与向量的大小和方向有关,与表示向量的有向线段的起点位 置无关,空间中任意两个向量平移后可能共线,也可能相交,故空间中任意两个向量共面.
2.不一定共面.如:三棱锥的三条侧棱对应的向量不共面.
3.不能.AB∥CD或A、B、C、D四点共线.
4.120°.因为△AB1D1为正三角形,所以< , >=180°-60°=120°.
1.空间向量的加法运算满足三角形法则,进而可以推广到多边形法则,简记为:首尾相接,首尾 连.
2.空间向量的减法运算满足三角形法则,简记为:共起点,连终点,指向被减.
3.空间向量的数乘运算的几何意义为“伸缩变换”:数的正负决定了伸缩的方向,数的绝对值 大小决定了伸缩的长度.
4.因为空间向量的加法和减法都满足三角形法则,所以在表示空间向量时,要有意识地将其放 入三角形中.对于三角形中有分点的爪形图,常用结论是:在△ABC中,D是线段BC上一点,且 = ,则 = + .
关键能力 定点破
定点 1 空间向量的线性运算
典例 如图所示,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中, =a, =b, =c,M是A1D1的中点,N是CA1
上的点,且CN∶NA1=1∶4,则 = ( )
A. a+b+c B. a+ b+ c
C. a- b- c D. a+ b- c
D
解析 在△A1MN中, = + .
∵M是A1D1的中点,
∴ = =- =- =- b.
∵N是CA1上的点,且CN∶NA1=1∶4,
∴ = = ( + + )= (- + + )= (-c+a+b),
∴ =- b+ (-c+a+b)= a+ b- c.
1.求空间向量的数量积的方法
(1)定义法:a·b=|a||b|cos.
(2)投影向量法:若a在b上的投影向量为m或a在b所在平面上的投影向量为n,则a·b=m·b或a·b= n·b.
2.空间向量的数量积的应用
(1)求模:|a|= = ,|a±b|= = ;
(2)求夹角:cos= ;
(3)证明两向量垂直:a⊥b a·b=0.
定点 2 空间向量的数量积运算及其应用
典例1 已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AB上一点,则 · 的取值范围是
.
思路点拨 利用定义或投影向量表示出 · ,结合函数最值求解.
[-1,0]
解析 设| |=x(0≤x≤2),则| |=2-x.
解法一(定义法):连接A1C,易得| |2=12,
∴ · =| |·| |cos∠A1PC= ·(| |2+| |2-| |2)= [x2+4+(2-x)2+4-12]=x2-2x=(x-1)2-1,
令y=(x-1)2-1,
∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0,
故 · ∈[-1,0].
解法二(投影向量法):∵ 在平面ABCD上的投影向量为 ,
∴ · = · ,
∵ 在 上的投影向量为 ,
∴ · = · ,
∴ · = · =| || |·cos< , >=x(2-x)cos π=x2-2x=(x-1)2-1,
令y=(x-1)2-1,
∵0≤x≤2,∴-1≤y≤0,
故 · ∈[-1,0].
典例2 如图所示,在平面角为120°的二面角α-AB-β中,AC α,BD β,且AC⊥AB,BD⊥AB.已知 AC=AB=BD=6,则线段CD的长为 .
12
解析 因为AC⊥AB,BD⊥AB,
所以 · =0, · =0,
因为二面角α-AB-β的平面角为120°,
所以< , >=180°-120°=60°,
又 =( + + )2=| |2+| |2+| |2+2 · +2 · +2 · =3×62+2×62×cos 60°=14
4,
所以| |=12,故线段CD的长为12.
1.空间四点共面的判定方法
(1)在空间四点A,B,C,D中任选一点为起点(如点A),其余三点分别为终点,则可构造三个向量 (如 , , ),利用空间向量共面定理(如 =x +y )进行判定或证明.
(2)利用空间任意一点O,证明空间四点A,B,C,D满足 =x +y +z ,其中x+y+z=1.
2.利用共面向量定理证明线面平行
证明AB∥平面α,即证明 可由平面α内两个不共线的向量a,b线性表示,即 =xa+yb.
定点 3 共面向量定理及其应用
典例1 如图所示,P是平行四边形ABCD所在平面外一点,连接PA,PB,PC,PD,E,F,G,H分别是△ PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心,连接PE,PF,PG,PH,并延长分别交AB,BC,CD,DA于M,N,Q, R,并顺次连接MN,NQ,QR,RM.应用共面向量定理证明:E,F,G,H四点共面.
证明 ∵E,F,G,H分别是所在三角形的重心,
∴M,N,Q,R分别为AB,BC,CD,DA的中点,则易证四边形MNQR为平行四边形,且 = ,
= , = , = ,∴ = - = - = = ( + )= ( - )+
( - )= + = + ,
由共面向量定理得 , , 共面,
∴E,F,G,H四点共面.
典例2 如图,在三棱锥P-ABC中,D,E,N分别为棱PA,PC,BC的中点,M是线段AD的中点.求证:MN ∥平面BDE.
证明 证法一:连接AN.因为E,D分别是PC,PA的中点,所以 = .
因为M,N分别是AD,BC的中点,
所以 =- , = ( + ),
所以 = + =- + ( + )= ( - )+ = + .
又 与 不共线,所以根据共面向量定理可知 , , 共面.
因为MN 平面BDE,
所以MN∥平面BDE.
证法二:连接PN,交BE于点G,连接DG,如图.
因为N,E分别是BC,PC的中点,
所以G为△PBC的重心,
所以 = .
因为D是PA的中点,M是AD的中点,
所以 = ,
所以 = - = - = ( - )= ,
所以 ∥ .
又MN 平面BDE,DG 平面BDE,
所以MN∥平面BDE.6.1.2 空间向量的数量积
基础过关练
题组一 空间向量的数量积的概念与运算
1.对于任意空间向量a,b,c,下列说法正确的是( )
A.若a∥b,b∥c,则a∥c
B.a·(b+c)=a·b+a·c
C.若a·b=a·c,且a≠0,则b=c
D.(a·b)c=a(b·c)
2.在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,=( )
A.2 C.2 D.4
3.已知i,j,k是两两垂直的单位向量,若a=2i-j+k,b=i+2j-3k,则a·b等于( )
A.1 B.2 C.±3 D.-3
4.(多选题)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,下列命题是真命题的是( )
A.
B.=0
C.的夹角为60°
D.正方体ABCD-A1B1C1D1的体积为||
5.已知正四面体ABCD的棱长为2,若=a,=b,=c,则a·(a+b+c)= .
题组二 空间向量的数量积的应用
6.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a|=2,|b|=3,|c|=,则a与b的夹角为( )
A.30° B.60° C.120° D.150°
7.如图,已知二面角A-EF-D的大小为45°,四边形ABFE和四边形CDEF都是边长为1的正方形,则B,D两点间的距离是( )
A.
8.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,以顶点A为端点的三条棱的长度均为2,且它们彼此的夹角都是60°,直线BD1与直线AC所成角的余弦值为( )
A.
9.已知单位向量a,b满足a⊥b,若a+b与xa+b的夹角为,则实数x= .
题组三 投影向量及其应用
10.在空间四边形ABCD中,∠ABD=∠BDC=90°,AC=2BD,则上的投影向量为( )
A. B.
C. D.
11.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为CC1上任意一点,则=( )
A.-
12.已知正四面体PABC的棱长为2,E是AB的中点,则的值为( )
A.-1 B.1 C.3 D.7
能力提升练
题组一 空间向量的数量积的运算
1.(多选题)如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,PD=AD,则( )
A.()·=1
B.()·
C.
D.
2.如图,在正三棱锥P-ABC中,高PO=6,AB=3,E,F分别为PB,PC的中点,则=( )
A.
3.在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称为“鳖臑”.在如图所示的“鳖臑”A-BCD中,AB⊥平面BCD,∠BDC=90°,BD=2AB=2CD=2,E是BC的中点,H是△ABD内的动点(含边界),且EH∥平面ACD,则的取值范围是( )
A.[0,3] B.
C. D.
4.已知正四面体ABCD的棱长为2,若空间内任意一点P满足||=2,则的取值范围是 .
题组二 空间向量的数量积的应用
5.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=3,BD=4,=5,则cos<>=( )
A.
6.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,AB=AD=AA1=2,∠BAD=,∠BAA1=∠DAA1=,则AC1=( )
A.2 B.20 C.5 D.25
7.有一长方形的纸片ABCD,AB=4 cm,BC=3 cm,现沿它的对角线AC把它折叠成90°的二面角,如图,则折叠后= ,BD= cm.
8.如图,在矩形ABCD和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,0<λ<1,设=a,=b,=c.
(1)当λ=时,求MN与AE夹角的余弦值;
(2)是否存在λ使得MN⊥平面ABCD 若存在,求出λ的值;若不存在,请说明理由.
答案与分层梯度式解析
6.1.2 空间向量的数量积
基础过关练
1.B 2.D 3.D 4.ABC 6.C 7.D 8.D 10.B
11.B 12.A
1.B 对于A,若b=0,则a∥b,b∥c,但不能得到a∥c,故A错误;
对于B,a·(b+c)=a·b+a·c,故B正确;
对于C,若a·b=a·c,且a≠0,则|a||b|cos=|a||c|cos,则|b|cos=|c|cos,无法得到b=c,故C错误;
对于D,(a·b)c表示与c共线的向量,而a(b·c)表示与a共线的向量,所以(a·b)c与a(b·c)不一定相等,故D错误.
故选B.
2.D 易知,所以,又|,
所以|·|=4.故选D.
3.D 因为i,j,k是两两垂直的单位向量,所以i·j=i·k=j·k=0,i2=j2=k2=1,
所以a·b=(2i-j+k)·(i+2j-3k)=2i2-2j2-3k2=-3.
4.ABC 设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,
对于A,,故A中命题为真命题;
对于B,)·()
=()·()
=()·(·()
==a2-a2=0,故B中命题为真命题;
对于C,易知三角形AB1D1是等边三角形,所以的夹角为60°,故C中命题为真命题;
对于D,||=0,故D中命题为假命题.
故选ABC.
5.答案 8
解析 在正四面体ABCD中,∠BAC=∠BAD=∠DAC=,AB=AC=AD=2,则a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=22+2×2×cos +2×2×cos =8.
6.C 设a与b的夹角为θ,0°≤θ≤180°,由a+b+c=0,得a+b=-c,等号两边平方,得a2+2a·b+b2=c2,
又因为|a|=2,|b|=3,|c|=,所以4+2×2×3cos θ+9=7,解得cos θ=-,所以θ=120°,
故选C.
7.D ∵,
∴|.
8.D 如图,,
因为以顶点A为端点的三条棱的长度均为2,且它们彼此的夹角都是60°,
所以=4+4+4-2×2×2cos 60°+2×2×2cos 60°-2×2×2cos 60°=8,所以|,
由,得=4+4+2×2×2cos 60°=12,所以|.
则)·(=4,
所以|cos<.故选D.
9.答案 3-2
解析 ∵a+b与xa+b的夹角为,∴cos ,
即x2+4x-1=0,解得x=-2±3,
又x+1>0,即x>-,所以x=3-2.
10.B 因为∠ABD=∠BDC=90°,所以=0.
在空间四边形ABCD中,,则)·,
所以.
故选B.
11.B 解法一:如图,
连接A1C1,易知在平面A1B1C1D1上的投影向量为,
易得|,且<>=135°,
所以×1×cos 135°=-1.故选B.
解法二:易得,
所以)·,
由正方体的性质可得,
所以=0,
所以,
又|的方向相反,
所以=-1.
12.A 如图,连接CE,过点P作PO⊥平面ABC,则O为△ABC的重心,在平面ABC上的投影向量为,且,
∵△ABC是边长为2的等边三角形,
∴|>=150°,
∴×2×cos 150°=-1.故选A.
能力提升练
1.BD 2.B 3.B 5.B 6.A
1.BD 因为PD⊥底面ABCD,DA,DC 平面ABCD,所以PD⊥DA,PD⊥DC,所以()·=0,故A错误;
因为四边形ABCD是边长为1的菱形,且∠ADC=120°,所以△CBD为等边三角形,所以DB=1,所以()·=0+1×1×cos 120°=-,故B正确;
)·(|cos 120°+0=-1+,故C错误;
·(|·||cos 120°=-,故D正确.故选BD.
2.B 延长CO交AB于点D,易知O为等边△ABC的中心,所以CD⊥AB,则OC=×BCsin 60°=3,在Rt△POC中,PC=,则PB=PC=3,
连接EF,因为E,F分别为PB,PC的中点,
所以EF=,
在△OEF中,cos∠EOF=,
所以|·||cos∠EOF=.
故选B.
3.B 设F,G分别为AB,BD的中点,连接FG,EF,EG,如图,
易得FG∥AD,EF∥AC,EG∥CD,
又因为FG 平面EFG,AD 平面EFG,
所以AD∥平面EFG,
同理,AC∥平面EFG,
又因为AC∩AD=A,AC,AD 平面ACD,
所以平面EFG∥平面ACD.
又因为EH∥平面ACD,所以EH 平面EFG,所以H为线段FG上的点.
因为AB⊥平面BCD,CD 平面BCD,所以AB⊥CD,
由∠BDC=90°,得BD⊥CD,
又因为AB∩BD=B,AB,BD 平面ABD,所以CD⊥平面ABD,
又因为EG∥CD,所以EG⊥平面ABD,所以EG⊥FG,则cos∠EFG=.
因为BD=2AB=2CD=2,所以FG=,
所以·(
=2|·||cos(π-∠EFG)=2|·||cos∠EFG=2|·||.
又因为||∈,所以.
故选B.
4.答案 [4-2]
解析 如图,取BC的中点O,连接OP,因为点P满足||=2,所以||=1,即点P落在以O为球心,1为半径的球上.因为,所以)·.
因为正四面体ABCD的棱长为2,所以AO=DO=2×sin 60°=,
取AD的中点E,连接OE,易知OE⊥AD,所以上的投影向量的模为||,
所以|cos 0°==4.
设<>=θ,则|cos θ=4+2cos θ.
又因为cos θ∈[-1,1],
所以∈[4-2].
5.B )·)··(=5,
故=-5,所以cos <.故选B.
6.A 由题意可得)=4+4+4+2×2×2×cos=20,所以|,即AC1=2.故选A.
7.答案 -7;
解析 如图所示,作DE⊥AC,BF⊥AC,垂足分别为E,F,
由题意得AC==5(cm),则cos∠CAD=,cos∠CAB=.
易得DE=BF=(cm),则AE=CF=(cm),所以EF=AC-AE-CF=5-(cm),
因为二面角D-AC-B为直二面角,BF⊥AC,平面ADC∩平面ABC=AC,BF 平面ABC,所以BF⊥平面ADC,又DE 平面ADC,所以BF⊥DE,
所以·(=-7,
故,
所以|,即BD= cm.
8.解析 (1)=a+c,=a-b,
则)=λ(a+c)-[b+λ(a-b)]=(λ-1)b+λc,
当λ=时,b+c,则|,
所以(c-b)(a+c)=(a·c+c2-b·a-b·c)=,
易知||=5,
所以cos<,
故MN与AE夹角的余弦值为.
(2)假设存在λ使得MN⊥平面ABCD,
因为AB,AD 平面ABCD,所以MN⊥AB,MN⊥AD,
则=[(λ-1)b+λc]·a=(λ-1)b·a+λc·a=0,显然成立,
=[(λ-1)b+λc]·b=(λ-1)b2+λc·b=0,即9(λ-1)+=0,解得λ=,满足题意.
故存在λ=,使得MN⊥平面ABCD.
1第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
基础过关练
题组一 空间向量的概念与表示
1.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列向量与是相等向量的是( )
A.
2.下列关于空间向量的说法中正确的是( )
A.方向相反的两个向量是相反向量
B.空间中任意两个单位向量必相等
C.若||满足||,则
D.相等向量其方向必相同
题组二 空间向量的加减运算
3.在空间四边形OABC中,=( )
A.
4.如图,在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中,设=a,=b,=c,则下列各式的运算结果为的是( )
A.-a+b+c B.a-b+c
C.a-b-c D.a+b-c
题组三 空间向量的数乘运算
5.在三棱柱ABC-A1B1C1中,M为A1C1的中点,若=a,=b,=c,则=( )
A.-a+b+c B.a+b+c
C.-a-b+c D.a-b+c
6.(教材习题改编)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,点M在BB1上,点N在DD1上,且BM=D1D,若,则x+y+z=( )
A.
7.已知在四面体OABC中,E为OA的中点,,若=a,=b,=c,则=( )
A.a-b-c B.-a-b+c
C.-a+b+c D.-a+b+c
题组四 共线向量定理
8.已知向量e1,e2是平面上两个不共线的单位向量,且=e1+2e2,=-3e1+2e2,=3e1-6e2,则( )
A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线
C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线
9.已知在三棱柱ABC-A1B1C1中,P为空间一点,且满足,λ,μ∈[0,1],则下列说法错误的是( )
A.当λ=0时,点P在棱BB1上
B.当λ=μ时,点P在线段B1C上
C.当μ=1时,点P在棱B1C1上
D.当λ+μ=1时,点P在线段B1C上
能力提升练
题组一 空间向量的线性运算
1.在四面体ABCD中,点E满足(λ∈R),F为BE的中点,且,则λ=( )
A.
2.如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,AE的中点,G为△ACD的重心,则=( )
A.-
B.-
C.
D.
3.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,点E在侧棱PC上,且PE=EC,若=a,=b,=c,则=( )
A.-a-b-c B.a+b+c
C.a+b+c D.-a-b-c
题组二 共线向量的判定与应用
4.已知A,B,C三点共线,则对空间任一点O,存在3个均不为0的实数λ,m,n,使λ=0,那么λ+m+n的值为 .
5.如图,已知空间四边形ABCD,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且.用向量法求证:四边形EFGH是梯形.
6.四棱柱ABCD-A'B'C'D'的六个面都是平行四边形,点M在面对角线A'B上,且A'M=MB,点N在体对角线A'C上,且A'N=NC.
(1)若=a,=b,=c,用a,b,c表示向量;
(2)求证:M,N,D'三点共线.
答案与分层梯度式解析
第6章 空间向量与立体几何
6.1 空间向量及其运算
6.1.1 空间向量的线性运算
基础过关练
1.B 2.D 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C
9.B
1.B 如图所示,
对于A,向量方向相反,所以这两个向量不相等,故A错误;
对于B,向量的长度相等,方向相同,所以这两个向量相等,故B正确;
对于C,向量方向相反,所以这两个向量不相等,故C错误;
对于D,显然向量方向相反,所以这两个向量不相等,故D错误.
故选B.
2.D 相反向量指的是长度相等,方向相反的向量,故A错误;单位向量是模为1的向量,方向未定,故B错误;向量不能比较大小,故C错误;相等向量是模相等,方向相同的向量,故D正确.
3.B .
4.D 对于A,-a+b+c=;
对于B,a-b+c=;
对于C,a-b-c=;
对于D,a+b-c=.
故选D.
5.A 如图,a+b+c.故选A.
6.A 由题意得,
又,所以x=-1,y=1,z=,所以x+y+z=.故选A.
7.D 如图所示,
解法一:由题意得=b+a=b+a=b+(c-b)-a=-a+b+c.故选D.
解法二:由题意得a+b+c.故选D.
方法总结 对于爪形图线段中的分点问题,常用的结论如下:如图,在△ABC中,D是线段BC上一点(不含端点),且,则.
8.C 对于A,若A,B,C三点共线,则存在唯一的实数λ,使得,即e1+2e2=λ(-3e1+2e2),则无解,所以A,B,C三点不共线,故A错误;
对于B,若A,B,D三点共线,则存在唯一的实数μ,使得,即e1+2e2=μ(3e1-6e2),则无解,所以A,B,D三点不共线,故B错误;
对于C,易得=(e1+2e2)+(-3e1+2e2)=-2e1+4e2=,且AC,AD有公共点A,所以A,C,D三点共线,故C正确;
对于D,易得=(3e1-6e2)+(e1+2e2)=4e1-4e2,若B,C,D三点共线,则存在唯一的实数k,使得,即4e1-4e2=k(-3e1+2e2),则无解,所以B,C,D三点不共线,故D错误.故选C.
9.B 对于A,当λ=0时,,所以,又μ∈[0,1],所以点P在棱BB1上,故A中说法正确;
对于B,当λ=μ时,),即,故,又λ∈[0,1],所以点P在线段BC1上,故B中说法错误;
对于C,当μ=1时,,所以λ,即,故,又λ∈[0,1],所以点P在棱B1C1上,故C中说法正确;
对于D,当λ+μ=1时,,即,即,故,又λ∈[0,1],所以点P在线段B1C上,故D中说法正确.
故选B.
能力提升练
1.D 2.B 3.B
1.D 因为F为BE的中点,所以,
又,所以.
由,得),即,所以λ=.故选D.
2.B 因为E,F分别为BC,AE的中点,所以).
因为G为△ACD的重心,所以),
所以.故选B.
知识总结 若G为△ABC的重心,则).
3.B 在△PAE中,,
∵PE=EC,
∴PE=PC,即,
又=a+b-c,
∴=c+(a+b-c)=a+b+c.
故选B.
4.答案 0
解析 因为A,B,C三点共线,所以存在唯一的实数k使,显然k≠0且k≠1,否则点A,B重合或点B,C重合,故),整理得(k-1)=0,又λ=0,所以λ=k-1,m=1,n=-k,显然实数λ,m,n均不为0,所以λ+m+n的值为0.
5.证明 连接BD.∵E,H分别是AB,AD的中点,且,
∴,
∴,且||≠||.
又F不在EH上,∴四边形EFGH是梯形.
6.解析 (1)∵A'M=,
∴a-b-c.
∵A'N=),
∴a-b-c.
(2)证明:∵,且,
∴,即M,N,D'三点共线.
2