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7.4 二项式定理
知识点 二项式定理及相关概念
7.4.1 二项式定理
必备知识 清单破
1.二项式定理:(a+b)n= an+ b+…+ br+…+ bn(n∈N*).
2.二项展开式的通项:Tr+1= an-rbr(r=0,1,…,n).
3.二项式系数: (r=0,1,…,n).
知识辨析
1.(a+b)n的展开式中某一项的二项式系数与a,b的值是否有关
2.(a+b)n的展开式中的第r项是什么
3.(a-2b)6的展开式中的第四项的二项式系数与第四项的系数是否相同
4.在 的二项展开式中,是否存在常数项
5.若(3x-1)7=a7x7+a6x6+…+a1x+a0,则a7+a6+…+a1的值是多少
一语破的
1.无关.
2.Tr= ,r=1,2,3,…,n+1.
3.不相同.因为(a-2b)6的展开式的通项为 a6-r(-2b)r,r=0,1,2,3,4,5,6,所以第四项的二项式系数
为 =20,第四项的系数为 (-2)3=-160.
4.存在.二项展开式的第(r+1)项为Tr+1= x6-r·(-2)r· =(-2)r x6-2r,r=0,1,2,3,4,5,6,要得到常数
项,需6-2r=0,得r=3,所以二项展开式中存在常数项,为第4项,即T4=(-2)3 =-160.
5.129.令x=1,得a7+a6+…+a1+a0=27,令x=0,得a0=-1,∴a7+a6+…+a1=27+1=129.
1.二项展开式的通项的注意点
(1)Tr+1是展开式中的第(r+1)项,而不是第r项,且Tr+1 an-rbr,r=0,1,2,…,n.
(2)公式中a,b的指数和为n,且a,b不能随便调换位置.
(3)通常将通项中的系数和字母分离开,以便于解决问题.
(4)对于二项式(a-b)n的展开式的通项要特别注意符号问题.
关键能力 定点破
定点 1 由二项展开式的通项求特定项(项的系数)
2.求二项展开式中特定项的常用方法
(1)对于常数项,隐含条件是字母的指数为0(即0次幂).
(2)对于有理项,一般先写出展开式的通项,然后令其所有的字母的指数都等于整数.解这类问 题必须合并通项中同一字母的指数,根据具体要求,令其为整数,再根据数的整除性来求解.
(3)对于二项展开式中的整式项,其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数,求解方式与
求有理项一致.
典例 (1) 的展开式中的有理项共有 ( )
A.4项 B.5项 C.6项 D.7项
(2)(多选) 的展开式中 ( )
A.有常数项
B.有一次项
C.含x3项的二项式系数为-5
D.含x3项的系数为-5
(3)在(x- )n(n∈N*)的展开式中,第二项与第四项的系数之比为1∶2,则含x2的项为 .
C
BD
12x2
解析 (1)因为 的二项展开式的通项为Tr+1= ·2r (r=0,1,2,…,10),令20- 为整
数,得r=0,2,4,6,8,10,所以有理项共有6项.
故选C.
(2) 的二项展开式的通项为Tr+1= x5-rx-r(-1)r=(-1)r x5-2r,
令5-2r=0,无整数解,所以展开式中没有常数项,令5-2r=1,得r=2,所以展开式中有一次项,故A错 误,B正确;
令5-2r=3,得r=1,所以含x3的项是T2=- x3,含x3项的二项式系数是 =5,该项的系数为-5,故C错
误,D正确.
故选BD.
(3)(x- )n(n∈N*)的展开式的第二项与第四项分别为T2= xn-1·(- )=- ·nxn-1,T4= xn-3·(- )3
=-2 xn-3.
依题意得 = ,
即n2-3n-4=0且n≥3,所以n=4.
故(x- )n=(x- )4,其展开式的通项为Tr+1= x4-r(- )r(r=0,1,2,3,4),令4-r=2,得r=2,即(x- )4的
展开式中含x2的项为T3= x2(- )2=12x2.
知识拓展 二项式系数基本定理:(axα+bxβ)n(a,b∈R,ab≠0,α≠β,n∈N*)的展开式中,xt的系数 为 an-rbr,其中r= .
三项式求特定项的方法
(1)因式分解法:先通过因式分解将三项式变成两个二项式,然后用二项式定理分别展开.
(2)逐层展开法:先将三项式分成两组(一项组和两项组),用二项式定理展开,再把其中的两项 组展开.
(3)利用组合知识:把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积,利用组合知识分析项的构成,注 意最后把各个同类项合并.
定点 2 三项展开式问题
典例1 的展开式中x2的系数为 .
800
解析 解法一:(x2+3x+2)5=[(1+x)(2+x)]5=(1+x)5(2+x)5,
(1+x)5的展开式的通项为Tr+1= xr,(2+x)5的展开式的通项为Tk+1= 25-kxk,
所以 的展开式的通项为Tr+1,k+1= 25-kxr+k,其中0≤r≤5,0≤k≤5,且r,k∈N,
令r+k=2,可得 或 或
因此, 的展开式中x2的系数为 23+ 24+ 25=800.
解法二: = ,且它的展开式的通项为Tk+1= (x2+3x)5-k2k(k=0,1,2,…,5),
的展开式的通项为Tr+1= (x2)5-k-r(3x)r= 3rx10-2k-r(0≤r≤5-k,r∈N),
所以Tk+1= 2k3rx10-2k-r(k=0,1,2,…,5,且0≤r≤5-k,r∈N),
令10-2k-r=2,可得k=3,r=2或k=4,r=0.
当k=3,r=2时,x2的系数为 2332=720;
当k=4,r=0时,x2的系数为 2430=80.
综上, 的展开式中x2的系数为720+80=800.
解法三:(x2+3x+2)5表示5个因式(x2+3x+2)的乘积,要得到含x2的项,分以下两种情况:①从1个因 式中取x2,其余4个因式中都取2,②从2个因式中取3x,其余3个因式中都取2,故x2的系数为 ×24
+ ×32×23=80+720=800.
典例2 的展开式中常数项是 .
-252
解析 解法一: = , 的展开式的通项为Tr+1= x10-r· =(-1)r x10-
2r,
令10-2r=0,得r=5,
∴展开式中常数项为(-1)5 =-252.
解法二:∵ = ,
∴其展开式的通项为Tr+1= ·(-2)r(r=0,1,2,…,5),
而 的展开式的通项为T'k+1= · = x10-2r-4k(k=0,1,2,…,5-r),
∴Tr+1= x10-2r-4k·(-2)r(r=0,1,2,…,5,k=0,1,…,5-r),
令10-2r-4k=0,得r+2k=5,
∴ 或 或
∴常数项为 ·(-2)1+ ·(-2)3+ ·(-2)5=-252.
解法三: 可以看成5个 相乘,常数项可由下列几种可能得到:
5个因式中,1个取x2,1个取 ,3个取-2,得 ·x2· · · ·(-2)3=-160;
5个因式中,2个取x2,2个取 ,1个取-2,得 · · · · ·(-2)=-60;
5个因式中,均取-2,得 (-2)5=-32.
∴常数项为-160-60-32=-252.
解决展开式中系数或展开式中系数的和、差问题的常用方法是赋值法,根据所求,灵活 对字母赋值,一般赋的值为0,1或-1.
一般地,若f(x)=(ax+b)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,则(ax+b)n的展开式中各项系数之和为f(1),奇 数项系数之和为a0+a2+a4+…= ,偶数项系数之和为a1+a3+a5+…= .
定点 3 赋值法求展开式中的系数和
典例 (1)(多选)若(1-2x)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022(x∈R),则下列说法正确的是 ( )
A.a0,a1,a2,…,a2 022为展开式的二项式系数
B.a0+a2+a4+…+a2 022=
C. + + +…+ =1
D.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=32 022
(2)若(1+x+x2)6=a0+a1x+a2x2+…+a12x12,则a2+a4+…+a12= ;
(3)(a+x)(1+x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32,则a= .
BD
364
3
解析 (1)a0,a1,a2,…,a2 022是(1-2x)2 022的展开式的相应项的系数,不是二项式系数,第(r+1)(r∈N,r ≤2 022)项的二项式系数是组合数 ,故A错误;令f(x)=(1-2x)2 022,
则a0+a2+a4+…+a2 022= = ,故B正确;a0=f(0)=1,a0+ + + +…+ =f =
0,所以 + + +…+ =-a0=-1,故C错误;|a0|+|a1|+|a2|+…+|a2 022|=f(-1)=32 022,故D正确.
故选BD.
(2)令x=1,得a0+a1+a2+…+a12=36,
令x=-1,得a0-a1+a2-…+a12=1,
则a0+a2+a4+…+a12= .
令x=0,得a0=1,
∴a2+a4+…+a12= -1=364.
(3)设(a+x)(1+x)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5.
令x=1,得(a+1)×24=a0+a1+a2+a3+a4+a5.①
令x=-1,得0=a0-a1+a2-a3+a4-a5.②
①-②,得16(a+1)=2(a1+a3+a5)=2×32,
∴a=3.7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
题组一 二项式定理的正用与逆用
1.若(1+b(a,b均为有理数),则a+b=( )
A.33 B.29 C.23 D.19
2.(x-y)(x+y)10的展开式中的项数为( )
A.11 B.12 C.22 D.211
3.若(x+a)5=(x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1,则a=( )
A.-1 B.0 C.1 D.2
4.已知3n-2+…+=1 024,则n= .
题组二 二项展开式的特定项或特定项的系数
5.(1-2x)6的展开式的第3项为( )
A.60 B.-120 C.60x2 D.-120x2
6.设n为正整数,的展开式中存在常数项,则n的最小值为( )
A.2 B.3 C.4 D.5
7.的展开式中含x4项的系数为 .
8.的系数为 .
9.已知的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3.
(1)求n的值;
(2)求展开式中所有的有理项.
题组三 赋值法求系数和
10.设(1+2x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,则a1+a2+…+a5=( )
A.-2 B.-1 C.242 D.243
11.(多选题)若(x+2+m)9=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a9(x+1)9,且(a0+a2+…+a8)2-(a1+a3+…+a9)2=39,则实数m的值为( )
A.1 B.-2 C.-3 D.0
12.设(1-3x)9=a0+a1x+a2x2+…+a9x9,则|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|的值为( )
A.29 B.49 C.39 D.59
13.已知多项式(x+1)5=a0(x-1)5+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a0+a1+…+a5= .
14.已知(a-2x)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a7(x-1)7,其中a>0,且此二项展开式的x3项的系数是-22 680,则
(1)实数a的值为 ;
(2)(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)的值为 .(结果可保留幂的形式)
能力提升练
题组一 二项展开式的特定项与项的系数
1.若(2+x)10=a0+a1(x+3)+a2(x+3)2+…+a10(x+3)10,则a7=( )
A.45 B.120 C.-10 D.-120
2.已知(x2+x+a)·(2x-1)6的展开式中各项系数之和为3,则展开式中x的系数为( )
A.-10 B.-11 C.-13 D.-15
3.已知(ax-2)(x+1)4的展开式中x3的系数为-2,则实数a= .
4.已知(1+x)·的展开式中常数项为280,则n= .
5.在(-1)6·(2+1)9的展开式中,x的系数为 .
6.(2x2+x-y)5的展开式中x6y2的系数为 .(用数字作答)
7.已知(a>0,n∈N*)的展开式中,前3项的二项式系数之和等于56.
(1)求n的值;
(2)若展开式中的常数项为.
①求a的值;
②第(k+1)项的系数是第k项系数的6倍,求k的值.
题组二 二项式系数和
8.已知(1-3x)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,则a2+a4=( )
A.-32 B.32 C.495 D.585
9.若(1+2x)(1-x+x2)9=a0+a1x+a2x2+…+a19x19,则a1+a2+…+a18的值是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
10.(多选题)已知(1-2x)6=a0+a1x+a2x2+…+a6x6,则( )
A.a0=1
B.a2=120
C.|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=729
D.a1+a2+…+a5=0
11.(多选题)已知(2x-1)7=a0+a1(x-1)+a2(x-1)2+…+a6(x-1)6+a7(x-1)7,则( )
A.a0=1
B.a1+a2+a3+…+a7=37-1
C.a5=-672
D.a1+2a2+3a3+…+7a7=14×36
12.(多选题)已知(1+x)7=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a7(1-x)7,则下列选项正确的有( )
A.a0=1
B.a6=14
C.a0+a1+…+a7=1
D.a1+a3+a5+a7=-364
13.的展开式中,不含x的各项系数之和为 .
14.若x2+x8=a0+a1(x+1)+…+a7(x+1)7+a8(x+1)8,则a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8= .
答案与分层梯度式解析
7.4 二项式定理
7.4.1 二项式定理
基础过关练
1.B 2.B 3.B 5.C 6.B 10.C 11.AC 12.B
1.B ∵(1+b,∴a=17,b=12,∴a+b=29,故选B.
2.B 因为(x+y)10=x10+10x9y+45x8y2+…+45x2y8+10xy9+y10,
所以x(x+y)10=x11+10x10y+45x9y2+…+45x3y8+10x2y9+xy10,
y(x+y)10=x10y+10x9y2+45x8y3+…+45x2y9+10xy10+y11,
则(x-y)(x+y)10=x(x+y)10-y(x+y)10=x11+9x10y+35x9y2+…-35x2y9-9xy10-y11,
共有12项,故选B.
3.B (x+1)5-5(x+1)4+10(x+1)3-10(x+1)2+5(x+1)-1=(-1)5=[(x+1)-1]5=x5,所以x+a=x,即a=0.
故选B.
4.答案 5
解析 3n-2+…+3n-2×12+…+30×1n=(3+1)n=4n=1 024=210,即22n=210,解得n=5.
5.C (1-2x)6的展开式的第3项为T3=×14×(-2x)2=60x2.故选C.
6.B 的展开式的通项为Tr+1=(2x2)n-r··x2n-3r,
令2n-3r=0,得n=r,因为n∈N*,所以当r=2时,n取得最小值3.故选B.
7.答案 40
解析 (x+2)5的展开式的通项为Tr+1=x5-r·,
令5-=4,解得r=2,故含x4项的系数为22=40.
8.答案 -12
解析 26-r(-1)rx4-ryr-4(0≤r≤6,r∈N),
令r-4=1,解得r=5,所以26-5(-1)5=-6×2=-12.
9.解析 (1)因为的展开式中,第2项与第3项的二项式系数之比为1∶3,
所以,即,
解得n=7或n=0(舍去),故n的值为7.
(2)的展开式的通项为Tr+1=)7-r·(r=0,1,2,…,7),
当∈Z,即r=1,3,5,7时,对应的是有理项,
所以的展开式中,有理项为T2=·36·x2=5 103x2,T4=·34·x-1=2 835x-1,T6=·32·x-4=189x-4,T8=·30·x-7=x-7.
10.C 令x=0,得15=a0,即a0=1,
令x=1,得35=a0+a1+a2+a3+a4+a5,
∴a1+a2+a3+a4+a5=35-1=242.
故选C.
11.AC 令x=0,得a0+a1+a2+…+a9=(2+m)9,
令x=-2,得a0-a1+a2-…-a9=m9,
由题意得(2+m)9·m9=39,即m2+2m=3,解得m=-3或m=1.
故选AC.
12.B 易得(1-3x)9的通项为Tr+1=(-3)rxr,
∴a0,a2,a4,a6,a8为正数,a1,a3,a5,a7,a9为负数,
∴|a0|+|a1|+|a2|+…+|a9|=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9,
令x=-1,得(1+3)9=a0-a1+a2-a3+…+a8-a9=49,
∴|a0|+|a1|+…+|a9|=49.
13.答案 31
解析 令x=1,得a1+a2+a3+a4+a5=25=32,
令x=0,得-a0=1,即a0=-1,
所以a0+a1+…+a5=32-1=31.
14.答案 (1)3 (2)
解析 (1)(a-2x)7的展开式中含x3的项为a4·(-2x)3=-280a4x3,
∴-280a4=-22 680,则a4=81,
又a>0,∴a=3.
(2)由(1)可得(3-2x)7=[1-2(x-1)]7=a0+a1(x-1)+…+a7(x-1)7,
令x=2,则a0+a1+…+a7=(1-2)7=-1①,
令x=0,则a0-a1+a2-…-a7=(1+2)7=37②,
①+②得,a0+a2+a4+a6=,
①-②得,a1+a3+a5+a7=,
∴(a0+a2+a4+a6)(a1+a3+a5+a7)=.
能力提升练
1.D 2.B 8.C 9.A 10.AC 11.ABD 12.BC
1.D (2+x)10=[-1+(x+3)]10=·(-1)10·(x+3)0+·(-1)9·(x+3)1+…+·(x+3)10,
展开式中含有(x+3)7的系数为a7=·(-1)3=-=-120.故选D.
2.B 令x=1,可得展开式中各项系数之和为2+a,则2+a=3,解得a=1,
∴(x2+x+a)(2x-1)6=(x2+x+1)(2x-1)6,
(2x-1)6的展开式的通项为Tk+1=·(2x)6-k·(-1)k=·26-k·(-1)k·x6-k.
当在(x2+x+1)中取x2时,(2x-1)6的展开式中需取x-1,不符合条件;
当在(x2+x+1)中取x时,(2x-1)6的展开式中需取x0,则6-k=0,即k=6,此时x的系数为·20·(-1)6=1;
当在(x2+x+1)中取1时,(2x-1)6的展开式中需取x,则6-k=1,即k=5,此时x的系数为·21·(-1)5=-12.
综上所述,(x2+x+a)(2x-1)6的展开式中x的系数为1+(-12)=-11.
故选B.
3.答案 1
解析 (ax-2)(x+1)4=ax(x+1)4-2(x+1)4,
因为(x+1)4的展开式中含x2的项为x2,含x3的项为x3,
所以(ax-2)(x+1)4的展开式中含x3的项为axx3,
故a=-2,解得a=1.
4.答案 7
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(2x)n-r·2n-r·xn-2r,0≤r≤n,r∈N.
①当n为偶数时,n-2r为偶数,令n=2r,得(1+x)··2r=280,此时方程无解;
②当n为奇数时,n-2r为奇数,令n=2r-1,得(1+x)··2r-1=280,解得r=4,n=7.
综上所述,n=7.
5.答案 687
解析 (-1)6的展开式的通项为Tr+1=)6-r·(-1)r=·(-1)r,r=0,1,2,…,6,
(2+1)9的展开式的通项为Tk+1=·29-k,k=0,1,2,…,9,
所以(-1)6·(2+1)9的展开式的通项为Tr+1,k+1=·(-1)r·29-k·(-1)r·29-k·,其中r=0,1,2,…,6,k=0,1,2,…,9.令6-=1,得3r+2k=30,所以r=4,k=9或r=6,k=6,
所以展开式中x的系数为×(-1)6×23=687.
6.答案 80
解析 解法一:(2x2+x-y)5的展开式的通项为Tk+1=(2x2+x)5-k·(-y)k,
令k=2,得T3=(2x2+x)3y2,
(2x2+x)3的展开式的通项为T'r+1=(2x2)3-rxr=23-r·x6-r,令6-r=6,得r=0,
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为=80.
解法二:因为(2x2+x-y)5可看成5个(2x2+x-y)相乘,
所以要得到含x6y2的项,只需从5个因式中任选3个因式取2x2,剩余的2个因式取-y,然后相乘即可.
所以在(2x2+x-y)5的展开式中,x6y2的系数为×23×(-1)2=80.
7.解析 (1)依题意得=56,即1+n+=56,整理,得n2+n-110=0,
又n∈N*,所以n=10.
(2)①由(1)知,的展开式的通项为Tr+1=,r∈N,r≤10,
令r-20=0,得r=8,因此a2,即45a2=,
又a>0,所以a=.
②由①知,Tr+1=5r-10,r∈N,r≤10,
依题意,得5k-10=6·5k-11,
即5·=6·,
化简,得5(11-k)=6k,解得k=5.
8.C 令x=0,得a0=1,
令x=1,得(1-3)5=a0+a1+a2+a3+a4+a5,则a0+a1+a2+a3+a4+a5=(-2)5,
令x=-1,得(1+3)5=a0-a1+a2-a3+a4-a5,则a0-a1+a2-a3+a4-a5=45=210,
令S1=a0+a1+a2+a3+a4+a5,S2=a0-a1+a2-a3+a4-a5,
则a2+a4=-1=495.
故选C.
9.A 令x=0,得a0=1,
令x=1,得a0+a1+a2+…+a18+a19=(1+2)×(1-1+1)9=3,又(1+2x)(1-x+x2)9的展开式中含x19的项为2x·(x2)9=2x19,所以a19=2,
所以a1+a2+…+a18=3-a0-a19=3-1-2=0,故选A.
10.AC 对于A,令x=0,得a0=1,故A正确;
对于B,(1-2x)6的展开式的通项为Tr+1=·(-2x)r=(-2)rxr,令r=2,得a2=(-2)2=60,故B错误;
对于C,易知a1,a3,a5<0,a0,a2,a4,a6>0,
令x=-1,得36=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6,
而|a0|+|a1|+|a2|+…+|a6|=a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6=36=729,故C正确;
对于D,令r=6,得a6=(-2)6=64,
令x=1,得1=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6,
所以a1+a2+…+a5=1-64-1=-64,故D错误.
故选AC.
11.ABD 对于A,令x=1,得(2×1-1)7=a0 a0=1,故A正确;
对于B,令x=2,得(2×2-1)7=a0+a1+a2+…+a7 a1+a2+…+a7=37-1,故B正确;
对于C,因为(2x-1)7=[2(x-1)+1]7,所以含(x-1)5的项的系数为a5=×25×12=672,故C错误;
对于D,等式两边同时求导,得7×(2x-1)6×2=a1+2a2·(x-1)+…+7a7(x-1)6,在该式中,令x=2,则有14×36=a1+2a2+…+7a7,故D正确.
故选ABD.
12.BC 令t=1-x,则x=1-t,所以(2-t)7=a0+a1t+a2t2+…+a7t7.
对于A,令t=0,得a0=(2-0)7=27=128,故A错误;
对于B,因为(2-t)7的展开式的通项为Tr+1=27-r·(-t)r=(-1)r27-rtr,
令r=6,则a6=(-1)6×2=14,故B正确;
对于C,令t=1,得a0+a1+a2+…+a7=(2-1)7=1①,故C正确;
对于D,令t=-1,得a0-a1+a2-…-a7=(2+1)7=37②,
由①②得a1+a3+a5+a7==-1 093,故D错误.故选BC.
13.答案 256
解析 的展开式的通项为Tr+1=·(-4y+2)r,易知r=8时的项不含x,此时T8+1=·(-4y+2)8=(-4y+2)8,令y=1,可得各项系数之和为256.
14.答案 29
解析 令x=0,得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=0,又因为x2+x8=[(x+1)-1]2+[(x+1)-1]8,所以a2=(-1)6=29,
所以a0+a1+2a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8=a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8+a2=29.
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