专题强化练4 二项式定理的应用-《精讲精练》26版高中同步新教材数学苏教版（2019）选择性必修第二册

专题强化练4　二项式定理的应用　　　　　 　　　　 　　　　
1.设a>0,已知中x2的系数为(　　)
A.0　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.8
2.若(2x-1)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022(x∈R),则=(　　)
A.-
3.若7n+是9的倍数,则自然数n为(　　)
A.4的倍数 B.3的倍数
C.奇数 D.偶数
4.若(2x+1)100=a0+a1x+a2x2+…+a100x100,则2(a1+a3+…+a99)-3被8除所得的余数为(　　)
A.4　　　　B.5　　　　C.6　　　　D.7
5.已知a=2.57,b=+1,c=1.110,则(　　)
A.aC.b6.(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为(　　)
A.-160 B.-80
C.160 D.80
7.已知的系数为　　　　.
8.干支纪年是中国古代的一种纪年法,分别排出十天干与十二地支如下:
十天干:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;
十二地支:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.
把天干与地支按以下方法依次配对:把第一个天干“甲”与第一个地支“子”配出“甲子”,把第二个天干“乙”与第二个地支“丑”配出“乙丑”,……,若天干用完,则再从第一个天干开始循环使用,若地支用完,则再从第一个地支开始循环使用.已知2022年是壬寅年,则138年以后是　　　　年.
9.我们称n(n∈N*)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn|为该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1}(i=1,2,…,n),记范数为奇数的a的个数为An,则A3=　　　　,A2n=　　　　(用含n的式子表示,n∈N*).
10.已知函数fn(x)=(1+λx)n=a0+a1x+a2x2+…+anxn,其中λ∈R,n∈N.
(1)若n=8,a7=1 024,求ai(i=0,1,2,3,…,8)的最大值;
(2)若λ=2,求rar;(用n表示)
(3)若λ=-1,求证:xkfn-k(x)=x.
答案与分层梯度式解析
专题强化练4　二项式定理的应用
1.C 2.D 3.C 4.B 5.A 6.D
1.C　因为的展开式中只有第5项的二项式系数最大,
所以展开式一共有9项,即n=8,
令x=1,得展开式中所有项的系数和为(1+a)8=256,所以a=1,
则,
取1个x2和1个2,可得x2的系数为×2=4.
故选C.
方法总结　求三项式的展开式中特定项的系数时,可按照以下两种思路进行:(1)通过合并其中的两项或进行因式分解,转化为二项式定理的形式求解;(2)根据组合的方法“凑”出所求项,再根据要求求解.
2.D　∵(2x-1)2 022=a0+a1x+a2x2+…+a2 022x2 022(x∈R),
∴a1=×2×(-1)2 021=-2 022×2=-4 044,
令x=0,得a0=1,
令x==0,
则,
所以.
故选D.
3.C　易得7n+
=
=9+(-1)n+1-1],
∵7n+是9的倍数,
∴n+1为偶数,即n为奇数.故选C.
4.B　令x=1,得a0+a1+a2+…+a100=3100,①
令x=-1,得a0-a1+a2-…+a100=1,②
①-②,得2(a1+a3+a5+…+a99)=3100-1,
则2(a1+a3+a5+…+a99)-3=3100-4,
因为3100-4=950-4=(8+1)50-4
=-4
=·8-3
=·8-8+5,
·8-8能被8整除,
所以·8-8+5被8除所得的余数为5,
即2(a1+a3+a5+…+a99)-3被8除所得的余数为5.故选B.
5.A　因为1.62所以2.6<+1<2.7,即2.6因为c=1.110=(1+0.1)10
=×0.110
≈1+1+45×0.12+120×0.13+210×0.14
≈2+0.45+0.12+0.021=2.591,
所以2.57c>a.
故选A.
6.D　(x+2y)5(x-2y)7=(x2-4y2)5(x-2y)2=(x2-4y2)5·(x2-4xy+4y2),
(x2-4y2)5的展开式的通项为Tr+1=x10-2ry2r(r=0,1,…,5),
令r=1,得·(-4)1=-20,所以(x+2y)5(x-2y)7的展开式中x9y3的系数为-20×(-4)=80.
7.答案　-16
解析　.
因为x5-2r(r=0,1,…,5),
所以=-40,整理,得-10+10m=-40,解得m=-3,
所以=-16.
8.答案　癸卯
解析　因为138=(12+1)8=128+×12+1,所以138年以后地支为“寅”后面的“卯”.
因为138=(10+3)8=108+×10×37+38,38=6 561,38除以10的余数为1,所以138年以后天干为“壬”后面的“癸”,故138年以后是癸卯年.
9.答案　14;
解析　当n=3时,范数为奇数,则xi=0的个数为偶数,即0的个数为0或2,
所以A3=·2=14.
在2n维向量a=(x1,x2,…,x2n)中,范数为奇数,则xi=0的个数为奇数,即0的个数为1,3,5,…,2n-1,所以A2n=·2,
易得32n=(2+1)2n=①,
1=(2-1)2n=②,
由.
10.解析　(1)由题意得f8(x)=(1+λx)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
则a7=λ7=1 024,故λ=2,
故f8(x)=(1+2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,
设ai的最大值为at(t=0,1,2,3,…,8),
则解得5≤t≤6,又t=0,1,2,3,…,8,所以t=5或t=6,
故ai中的最大值为a5=a6=26=1 792.
(2)若λ=2,则(1+2x)n=rarxr-1,
令x=1,得rar=2n·3n-1.
(3)证明:若λ=-1,则fn(x)=(1-x)n,
xn(1-x)0,
因为,
所以xn-1(1-x)0]=x[(1-x)+x]n-1=x.
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