第8章 概率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
基础过关练
题组一 定义法求条件概率
1.某单位开展主题为“学习强国,我学习我成长”的知识竞赛活动,甲选手答对第一道题的概率为,连续答对两道题的概率为.用事件A表示“甲选手答对第一道题”,事件B表示“甲选手答对第二道题”,则P(B|A)=( )
A.
2.先后两次抛一枚质地均匀的正方体骰子,记事件A=“第一次抛出的点数小于3”,事件B=“两次点数之和大于3”,则P(B|A)=( )
A.
3.如图,高速服务区的停车场某片区内有A至H共8个停车位(每个车位只停一辆车),现有2辆黑色车和2辆白色车要在该停车场该片区内停车,则在2辆黑色车停在同一列的条件下,2辆白色车也停在同一列的概率为( )
A.
4.在某地区进行流行病调查,随机调查了100名某种疾病患者的年龄(单位:岁),发现有30名的年龄在区间[40,50)内.已知该地区这种疾病的患病率为0.15%,年龄在区间[40,50)内的人口占该地区总人口的20%.现从该地区任选一人,若此人年龄在区间[40,50)内,则此人患该疾病的概率为( )
A.0.05% B.0.125% C.0.225% D.0.325%
5.已知A,B为随机试验的两个事件,是事件A的对立事件,若P(A)=,则P(B|)=( )
A.
6.在我国长江中下游地区,每年的6月中旬到7月上、中旬为梅雨期,这段时间内阴雨天气较多.这个地区的一个市级监测资料表明,该市某天为阴雨天气的概率是0.8,连续两天为阴雨天气的概率是0.72,已知某天为阴雨天气,则随后一天也为阴雨天气的概率是 .
7.(教材习题改编)袋子中有10个除颜色外其他均完全相同的球,其中7个白球,3个黑球.每次从袋子中随机摸出1个球,摸出的球不再放回.在第1次摸到白球的条件下,第2次摸到白球的概率为 .
题组二 缩小样本空间法求条件概率
8.有两位游客慕名来到芜湖,都准备从甲、乙、丙、丁4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“两人中至少有一人选择丙景点”,事件B为“两人选择的景点不同”,则P(B|A)=( )
A.
9.元宵节是中国传统节日,当天人们会吃汤圆、赏花灯、猜灯谜.小华爸爸手里有6个灯谜,其中4个事物谜,2个字谜,小华随机抽取2个灯谜,记事件A为“取到的2个为同一类灯谜”,事件B为“取到的2个均为事物谜”,则P(B|A)=( )
A.
10.某市为迎接即将到来的省辩论大赛,准备在全市高中生范围内选择成员,经过第一轮比赛,9人脱颖而出,其中5名女生,4名男生,并且男生和女生中各有1名参加过去年的比赛.现从这9人中选2名男生与2名女生参赛,若在至少有1名参加过去年比赛的成员被选中的条件下,2名去年参赛的成员都被选中的概率是( )
A.
11.某学校某班有五名学生报名参加社团活动,社团活动共有“记者在线”“机器人行动”“音乐之声”三个项目,每人都要报名且限报其中一项,已知其中一项恰好只有三名学生报名,则只有学生甲一人报名“记者在线”的概率为 .
题组三 条件概率的性质
12.已知A,B为两个随机事件,P(A)=,则P(|A)= .
13.在一个不透明的袋子中装有10个球,其中1个红球,2个黄球,3个黑球,4个白球,这些球除颜色外完全相同,从中依次摸2个球,则在第一次摸到红球的条件下,第二次摸到黄球或黑球的概率为 .
14.银行卡的密码由6位数字组成.某人在银行自动取款机上取钱时,忘记了密码的最后一位数字.如果记得密码的最后一位数字是奇数,则不超过2次就按对的概率为 .
题组四 概率的乘法公式的应用
15.设P(A|B)=P(B|A)=,则P(B)=( )
A.
16.已知A,B为两个随机事件,P(B)=0.3,P(B|A)=0.9,P(B|)=0.2,则P(A)=( )
A.0.1 B.
17.从装有3个红球和3个蓝球的袋中,每次随机摸出1个球,摸出的球不再放回,记Ai表示事件“第i次摸出红球”,i=1,2,…,6.
(1)求在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率;
(2)记P(A1A2A3)表示A1,A2,A3同时发生的概率,P(A3|A1A2)表示已知A1与A2都发生时A3发生的概率.
①证明:P(A1A2A3)=P(A1)P(A2|A1)·P(A3|A1A2);
②求P(A3).
答案与分层梯度式解析
第8章 概率
8.1 条件概率
8.1.1 条件概率
基础过关练
1.D 2.B 3.A 4.C 5.C 8.D 9.B 10.C
15.B 16.B
1.D 因为P(AB)=,所以P(B|A)=.故选D.
2.B 由题意可得P(A)=,所以P(B|A)=.故选B.
3.A 设事件A=“2辆黑色车停在同一列”,事件B=“2辆白色车停在同一列”,则所求概率为P(B|A),
易得P(A)=,
所以P(B|A)=.故选A.
4.C 设“此人年龄在区间[40,50)内”为事件A,“此人患该疾病”为事件B,则所求概率为P(B|A)==0.225%.故选C.
5.C ∵P(A)=,
∴P(.故选C.
6.答案 0.9
解析 设“第一天为阴雨天气”为事件A,“第二天为阴雨天气”为事件B,
由题意知P(A)=0.8,P(AB)=0.72,
所以P(B|A)==0.9.
7.答案
解析 记事件A为“第1次摸到白球”,事件B为“第2次摸到白球”,
则P(A)=,
所以P(B|A)=.
8.D 两人中至少有一人选择丙景点分两种情况:一是两人均选择丙景点,二是只有一人选择丙景点,故事件A包含的样本点个数为1+=7,而事件AB包含的样本点个数为=6,
所以P(B|A)=.故选D.
9.B 由题意可得事件A包含两种情况:取到的2个都是事物谜,取到的2个都是字谜,故n(A)=,易得n(AB)=,所以P(B|A)=.故选B.
10.C 设事件A=“至少有1名参加过去年比赛的成员被选中”,事件B=“2名去年参赛的成员都被选中”,
则n(AB)==42,
所以P(B|A)=,故选C.
11.答案
解析 记事件A为“其中一项恰好只有三名学生报名”,事件B为“只有学生甲一人报名‘记者在线’”,
则事件A包含=120个样本点.
若A,B同时发生,即其中一项恰好只有三名学生报名,且只有学生甲一人报名“记者在线”,
则事件AB包含=8个样本点,
所以P(B|A)=.
12.答案
解析 因为P(A|B)=,
所以P(AB)=,
故P(B|A)=,
所以P(.
13.答案
解析 设“第一次摸到红球”为事件A,“第二次摸到黄球”为事件B,“第二次摸到黑球”为事件C.
则P(A)=,
∴P(B|A)=,
∴P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A)=,
∴所求的概率为.
14.答案
解析 设Ai为“第i(i=1,2)次按对密码”,“不超过2次就按对”为事件A,则A=A1∪(A2),
记B=“密码的最后一位数字是奇数”,
则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P(.
15.B 由题意得P(AB)=P(A)P(B|A)=,
又P(A|B)=.故选B.
16.B ∵P(B|A)==0.9,∴P(BA)=0.9P(A),
∵P(B|),
则P(BA)+P(B),
即P(BA)+P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即P(B)=0.9P(A)+0.2[1-P(A)],
即0.3=0.7P(A)+0.2,解得P(A)=.故选B.
17.解析 (1)P(A2|,
所以在第一次摸出蓝球的条件下第二次摸出红球的概率为.
(2)①证明:因为P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2),P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1),
所以P(A1A2A3)=P(A1A2)P(A3|A1A2)=P(A1)·P(A2|A1)P(A3|A1A2).
②P(A3)=P(A1A2A3)+P()·P(A2||A1)·P(A3|A1.
方法总结 乘法公式可以推广到三个或三个以上的事件.设A,B,C是三个随机事件,且P(AB)>0,则P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
1(共15张PPT)
8.1 条件概率
知识点 1 条件概率
8.1.1 条件概率
必备知识 清单破
一般地,设A,B为两个事件,P(A)>0,我们称 为事件A发生的条件下事件B发生的条件概
率,记为P(B|A),读作“A发生的条件下B发生的概率”,即P(B|A)= (P(A)>0).
由条件概率公式可知P(AB)=P(B|A)·P(A).
注意:当事件A与事件B相互独立时,P(AB)=P(A)P(B),则P(B|A)=P(B).
知识点 2 概率的乘法公式
知识拓展 乘法公式的推广:当Ai(i=1,2,3,…,n)为随机事件,且P(A1A2…An-1)>0时,P(A1A2…An)= P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)·…·P(An|A1A2…An-1).
(1)P(Ω|A)=1,P( |A)=0;
(2)若B,C互斥,则P((B+C)|A)=P(B|A)+P(C|A);
(3)设 和B互为对立事件,则P( |A)=1-P(B|A).
知识点 3 条件概率的性质
知识辨析
1.P(B|A)与P(A|B)的意义是否相同
2.在事件A发生的条件下事件B发生,是否相当于事件A与B同时发生
3.当P(B)>0时,事件A与B相互独立的充要条件是P(B|A)=P(A)吗
4.P(B|A)= 是否可能成立
一语破的
1.不相同.P(B|A)是在事件A发生的条件下,事件B发生的概率,P(B|A)= (P(A)>0);P(A|B)是
在事件B发生的条件下,事件A发生的概率,P(A|B)= (P(B)>0).
2.是.
3.不是.当P(B)>0时,事件A与B相互独立的充要条件是P(A|B)=P(A).
4.可能成立.当B A时,P(AB)=P(B),所以P(B|A)= = .
求条件概率的方法
(1)定义法:利用定义,分别求P(A)和P(AB),得P(B|A)= ,这是通用的求条件概率的方法.
(2)缩小样本空间法:借助古典概型的概率公式,先求事件A包含的样本点个数n(A),再求事件 AB包含的样本点个数n(AB),则P(B|A)= .
(3)求较复杂事件的条件概率时,往往把该事件分成两个(或多个)互斥的较简单的事件,求出 这些简单事件的概率后,再利用条件概率公式及性质即可求解.
关键能力 定点破
定点 1 条件概率
典例1 现有6个节目,其中4个舞蹈节目,2个语言类节目,如果不放回地依次抽取2个节目参加 比赛,求:
(1)第1次和第2次都抽到舞蹈节目的概率;
(2)在第1次抽到舞蹈节目的条件下,第2次抽到舞蹈节目的概率.
解析 设第1次抽到舞蹈节目为事件A,第2次抽到舞蹈节目为事件B,则第1次和第2次都抽到 舞蹈节目为事件AB.
(1)因为n(Ω)= =30,n(AB)= =12,
所以P(AB)= = = .
(2)解法一:由(1)知P(AB)= ,
因为P(A)= = ,
所以P(B|A)= = = .
解法二:因为n(AB)= =12,n(A)= =20,
所以P(B|A)= = = .
典例2 在某次考试中,从20道题中随机抽取6道题,若考生至少能答对其中的4道题,则考试通 过;若至少能答对其中的5道题,则获得优秀.已知某考生能答对其中的10道题,并且知道他在 这次考试中已经通过,求他获得优秀的概率.
解析 设事件A为“该考生6道题全答对”,
事件B为“该考生答对了其中的5道题”,
事件C为“该考生答对了其中的4道题”,
事件D为“该考生在这次考试中通过”,
事件E为“该考生在这次考试中获得优秀”,
则A,B,C两两互斥,且D=A∪B∪C,E=A∪B,由古典概型的概率公式及概率的加法公式可知,P (D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)= + + = .
∵P(AD)=P(A∩D)=P(A),P(BD)=P(B∩D)=P(B),
∴P(E|D)=P((A∪B)|D)=P(A|D)+P(B|D)= + = + = ,
∴他获得优秀的概率是 .
概率的乘法公式实质上是条件概率公式的变形,当P(A)>0时,已知P(A),P(B|A),P(AB)中的 两个值就可以求出第三个值.
定点 2 概率的乘法公式及其应用
典例1 银行储蓄卡的密码由6位数字组成.某人在银行自助取款机上取钱时,忘记了密码的最 后1位数字.
(1)任意按最后1位数字,求不超过2次就按对的概率;
(2)如果记得密码的最后1位是偶数,求不超过2次就按对的概率.
解析 设Ai=“第i(i=1,2)次按对密码”,则事件A“不超过2次就按对密码”可表示为A=A1∪ A2.
(1)事件A1与事件 A2互斥,由互斥事件的概率加法公式和概率的乘法公式,得P(A)=P(A1)+P
( A2)=P(A1)+P( )·P(A2| )= + × = .
因此,任意按最后1位数字,不超过2次就按对的概率为 .
(2)设B=“密码的最后1位是偶数”,
则由条件概率的性质可得P(A|B)=P(A1|B)+P( A2|B)= + × = .
因此,如果记得密码的最后1位是偶数,那么不超过2次就按对的概率为 .
典例2 在某次空战演习中,甲机先向乙机开火,击落乙机的概率是0.2;若乙机未被击落,则进行 还击,击落甲机的概率为0.3;若甲机未被击落,则再次进攻,击落乙机的概率是0.4,求这三个回 合中,甲、乙两机被击落的概率.
解析 设A=“乙机被击落”,B=“甲机被击落”,A1=“乙机第一回合被击落”,A2=“乙机第 三回合被击落”,由题意知A1,A2互斥,且A=A1∪A2,
依题意,有P(A1)=0.2,P(B| )=0.3,P(A2| )=0.4,
由概率的乘法公式可得P(B)=P( B)=P( )P(B| )=0.8×0.3=0.24,
从而P(A2)=P( A2)=P( )P( | )·P(A2| )=0.8×0.7×0.4=0.224,
由互斥事件的概率加法公式可得P(A)=P(A1∪A2)=P(A1)+P(A2)=0.424.
即这三个回合中,甲、乙两机被击落的概率分别为0.24,0.424.
