8.1.2 全概率公式
基础过关练
题组 全概率公式的应用
1.设A,B为两个事件,已知P(A)=,则P(A|B)=( )
A.
2.已知某工厂仓库中有10盒同样规格的零部件,其中有4盒、3盒、3盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的,且甲、乙、丙三厂生产该种零部件的次品率依次为,现从这10盒零部件中任取一盒,再从这盒中任取一个零部件,则取得的零部件是次品的概率为( )
A.0.06 B.0.07 C.0.075 D.0.08
3.(多选题)某市场供应多种品牌的N95口罩,相应的市场占有率和优质率的信息如表所示.在该市场中随机买一种品牌的N95口罩,记A1,A2,A3表示买到的口罩分别为甲品牌、乙品牌、其他品牌,B表示买到的口罩是优质品,则( )
品牌 甲 乙 其他
市场占有率 50% 30% 20%
优质率 80% 90% 70%
A.P(A2+A3)=0.5 B.P(BA1)=0.8
C.P(B)=0.81 D.P(A2|B)=0.3
4.小明上学要经过两个有红绿灯的路口,已知小明在第一个路口遇到红灯的概率为,若他在第一个路口遇到红灯,第二个路口没有遇到红灯的概率为;在第一个路口没有遇到红灯,第二个路口遇到红灯的概率为,则小明在第二个路口遇到红灯的概率为 .
5.现有两个罐子,1号罐子中装有3个红球、2个黑球,2号罐子中装有4个红球、2个黑球.先从1号罐子中随机取出1个球放入2号罐子,再从2号罐子中取出1个球,则从2号罐子中取出的球是红球的概率为 .
6.甲、乙、丙三人同时对树上的某物进行射击,击中的概率分别为0.4,0.5,0.7,已知一人击中且此物被击落的概率为0.2,两人击中且此物被击落的概率为0.6,若三人都击中,此物必定被击落,三人是否击中此物相互独立,则此物被击落的概率为 .
7.青团是江南人家在清明节时吃的一道传统点心,据考证,青团之称大约始于唐代,距今已有1 000多年的历史.现有甲、乙两个箱子装有大小、外观均相同的青团,已知甲箱中有3个蛋黄馅的青团,2个肉馅的青团和5个青菜馅的青团,乙箱中有3个蛋黄馅的青团,3个肉馅的青团和4个青菜馅的青团.
(1)求从甲箱中取出1个青团是蛋黄馅的概率;
(2)若依次从甲箱中取出2个青团,求在第一个是蛋黄馅的条件下,第二个是肉馅的概率;
(3)若先从甲箱中随机取出1个青团放入乙箱,再从乙箱中随机取出1个青团,求从乙箱中取出的青团是蛋黄馅的概率.
8.北京冬奥会的志愿者中,来自甲、乙、丙三所高校的人员情况如下:甲高校学生志愿者7名,教职工志愿者2名;乙高校学生志愿者6名,教职工志愿者3名;丙高校学生志愿者5名,教职工志愿者4名.
(1)从这三所高校的志愿者中各任取1名,求这3名志愿者中既有学生又有教职工的概率;
(2)先从这三所高校中任选一所,再从这所高校的志愿者中任取1名,求这名志愿者是教职工志愿者的概率.
9.受环境和气候影响,近阶段在相邻的甲、乙、丙三个市内突发了支原体肺炎,经初步统计,这三个市分别有8%,6%,4%的人感染了支原体肺炎病毒,已知这三个市的人口数之比为4∶6∶10,现从这三个市中任意选取一个人.
(1)求这个人感染支原体肺炎病毒的概率;
(2)若此人感染支原体肺炎病毒,求他来自甲市的概率.
答案与分层梯度式解析
8.1.2 全概率公式
基础过关练
1.B 2.C 3.AC
1.B 由P(B)=,得P(,显然P(A)=P(B)P(A|B)+P(),
即,所以P(A|B)=.
故选B.
2.C 设事件A1,A2,A3分别表示任取的一盒来自甲厂、乙厂、丙厂,事件B表示任取的一盒中的一个零部件为次品,P(A1)=,
故P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)·P(B|A3)==0.075.故选C.
3.AC 由题意得P(A1)=0.5,P(A2)=0.3,P(A3)=0.2.
对于A,因为A2与A3互斥,所以P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)=0.3+0.2=0.5,故A正确;
对于B,P(BA1)=P(A1)P(B|A1)=0.5×0.8=0.4,故B错误;
对于C,P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)=0.5×0.8+0.3×0.9+0.2×0.7=0.81,故C正确;
对于D,P(A2|B)=,故D错误.
故选AC.
4.答案
解析 设小明在第一个路口遇到红灯为事件A,在第二个路口遇到红灯为事件B,
则由题意得P(A)=,
故P(B)=P(A)P(B|A)+P(.
5.答案
解析 记从1号罐子中取出红球的事件为A1,取出黑球的事件为A2,从2号罐子中取出红球的事件为B,
显然Ω=A1∪A2,且A1,A2互斥,易得P(A1)=,
所以P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=.
6.答案 0.458
解析 用事件A1,A2,A3分别表示甲、乙、丙击中树上的此物,Bi表示有i(i=1,2,3)个人击中树上的此物,C表示此物被击落,则P(A1)=0.4,P(A2)=0.5,P(A3)=0.7,P(C|B1)=0.2,P(C|B2)=0.6,
P(C|B3)=1,所以P(B1)=P(A1)P(A3)=0.4×0.5×0.3+0.6×0.5×0.7+0.4×0.5×0.7=0.41,P(B3)=P(A1A2A3)=P(A1)·P(A2)P(A3)=0.4×0.5×0.7=0.14.
由全概率公式得P(C)=P(Bi)P(C|Bi)=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.458.
7.解析 (1)由题知,甲箱中共有3+2+5=10个青团,其中有3个是蛋黄馅的,
所以从甲箱中取出1个青团是蛋黄馅的概率为.
(2)设事件B=“从甲箱中取出的第一个青团是蛋黄馅的”,事件C=“从甲箱中取出的第二个青团是肉馅的”,
则P(C|B)=.
(3)设事件D=“从乙箱中取出的青团是蛋黄馅的”,事件A1,A2,A3分别是从甲箱中取出蛋黄馅的青团,肉馅的青团和青菜馅的青团,
则P(D)=P(A1)P(D|A1)+P(A2)P(D|A2)+P(A3)·P(D|A3)=.
8.解析 (1)设事件A为“从这三所高校的志愿者中各任取1名,这3名志愿者全是学生”,则P(A)=.
设事件B为“从这三所高校的志愿者中各任取1名,这3名志愿者全是教职工”,则P(B)=.
设事件C为“从这三所高校的志愿者中各任取1名,这3名志愿者中既有学生又有教职工”,则P(C)=1-P(A)-P(B)=1-.
(2)设事件D为“这名志愿者是教职工志愿者”,事件E1为“选甲高校”,事件E2为“选乙高校”,事件E3为“选丙高校”,
则P(E1)=P(E2)=P(E3)=.
所以P(D)=P(E1)P(D|E1)+P(E2)P(D|E2)+P(E3)P(D|E3)=.
9.解析 记事件D:选取的这个人感染了支原体肺炎病毒,事件E:此人来自甲市,事件F:此人来自乙市,事件G:此人来自丙市,则Ω=E∪F∪G,且E,F,G彼此互斥.
(1)由题意可得P(E)==0.3,
P(G)==0.5,P(D|E)=0.08,P(D|F)=0.06,
P(D|G)=0.04,
则由全概率公式可得P(D)=P(E)·P(D|E)+P(F)·P(D|F)+P(G)·P(D|G)
=0.2×0.08+0.3×0.06+0.5×0.04=0.054,
所以从这三个市中任取一人,这个人感染支原体肺炎病毒的概率为0.054.
(2)由条件概率的计算公式可得P(E|D)=,
所以当此人感染支原体肺炎病毒时,他来自甲市的概率为.
6(共11张PPT)
知识点 1 全概率公式
8.1.2 全概率公式 8.1.3 贝叶斯公式
必备知识 清单破
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且它们的和 Ai=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中的
任意事件B,有P(B)= .这个公式称为全概率公式.
一般地,若事件A1,A2,…,An两两互斥,且A1∪A2∪…∪An=Ω,P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对于Ω中 的任意事件B,P(B)>0,有P(Ai|B)·P(B)=P(B|Ai)P(Ai).因此P(Ai|B)= ,再由全概率公式
得P(Ai|B)= .这个公式称为贝叶斯公式*.
特别地,当0
0时,有P(A|B)=
= .
知识点 2 贝叶斯公式
知识辨析
1.全概率公式中的A1,A2,…,An可以是任意一组随机事件吗
2.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),则事件B发生的 可能性,就是各种可能情形Ai发生可能性的概率之和吗
3.全概率公式的主要作用是“由结果推测原因”吗
一语破的
1.不可以.A1,A2,…,An必须为一组两两互斥的事件,且其和事件是样本空间.
2.不是.全概率公式的直观解释:已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(i=1,2,…,n),则事件B发 生的可能性,就是各种可能情形Ai发生的可能性与已知在Ai发生的条件下事件B发生的可能 性的乘积之和.
3.不是.全概率公式的主要作用是“由原因推测结果”,贝叶斯公式的主要作用是“由结果推 测原因”.
1.全概率公式的适用条件
当所研究事件的试验前提或前一步骤试验有多种可能,在这多种可能中均有所研究的事 件时,要求所研究事件的概率可用全概率公式.
2.运用全概率公式求事件B发生的概率的一般步骤
(1)确定样本空间Ω的划分A1,A2,…,An;
(2)计算划分后的每个小事件的概率,即P(Ai), i =1,2,…,n;
(3)求每个小事件发生的条件下,事件B发生的概率,即P(B|Ai), i =1,2,…,n;
(4)利用全概率公式计算P(B),即P(B)=
关键能力 定点破
定点 1 全概率公式及其应用
典例1 有一批同一型号的产品,已知其中一厂生产的占30%,二厂生产的占50%,三厂生产的占 20%,且这三个厂的产品次品率分别为2%,1%,1%,求从这批产品中任取一件是次品的概率.
解析 设事件A为“任取一件为次品”,事件Bi为“任取一件为i厂的产品”,i=1,2,3.
则P(B1)=0.3,P(B2)=0.5,P(B3)=0.2,
P(A|B1)=0.02,P(A|B2)=0.01,P(A|B3)=0.01,
故由全概率公式可得P(A)=P(B1)·P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|B3)=0.3×0.02+0.5×0.01+0.2× 0.01=0.013.
典例2 已知某超市的玻璃杯成箱出售,每箱20只,假设各箱含0,1,2只残次品的概率分别是0.8, 0.1,0.1,某顾客欲购一箱玻璃杯,在购买时,售货员随机取出一箱,顾客开箱随机查看4只,若无 残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回,试求顾客买下该箱玻璃杯的概率.
解析 记事件B为“顾客买下该箱玻璃杯”,事件Ai为“取出的一箱中有i只残次品”,i=0,1,2.
则P(A0)=0.8,P(A1)=0.1,P(A2)=0.1,
P(B|A0)=1,P(B|A1)= = ,P(B|A2)= = ,
由全概率公式可得,P(B)=P(A0)P(B|A0)+P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)=0.8×1+0.1× +0.1× = .
即顾客买下该箱玻璃杯的概率为 .
贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因,在运用贝叶斯公式时,一般已知条 件和未知条件如下:
(1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的,但是每种情况发生的概率已知,即P(Ai)已知;
(2)事件B是已经发生的确定事实,且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知,即P(B|Ai) 已知;
(3)P(B)未知,需要使用全概率公式计算得到;
(4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B).
定点 2 贝叶斯公式及其应用
典例 为丰富学生的课外活动,学校羽毛球社团举行羽毛球团体赛,赛制采取5局3胜制,每局都 是单打模式,每队有5名队员,比赛中每名队员至多上场一次且上场顺序是随机的,每局比赛结 果互不影响,经过小组赛后,最终甲、乙两队进入最后的决赛,根据前期比赛的数据统计,甲队 的明星队员M对乙队的每名队员的胜率均为 ,甲队其余的4名队员对乙队的每名队员的胜
率均为 .(注:比赛结果没有平局)
(1)若甲队的明星队员M在前4局比赛中不出场,求甲、乙两队比赛4局,甲队最终获胜的概率;
(2)求甲、乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利的概率;
(3)若甲、乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利,求甲队的明星队员M上场的概率.
解析 (1)设事件Aj=“甲队第j局获胜”,其中j=1,2,3,4,事件B=“甲、乙两队比赛4局甲队最 终获胜”,
则P(Aj)= ,B= A2A3A4+A1 A3A4+A1A2 A4,
所以P(B)=P(B= A2A3A4+A1 A3A4+A1A2 A4)= × × × + × × × + × × × = .
(2)设事件C=“甲、乙两队比赛3局,甲队获得最终胜利”,事件D=“在前3局比赛中,甲队的 明星队员M上场比赛”,
由全概率公式知,P(C)=P(C|D)·P(D)+P(C| )·P( ),
易得P(D)= = ,
所以P( )=1- = ,
P(C|D)= × = ,
P(C| )= = ,
所以P(C)= × + × = .
(3)由(2)及贝叶斯公式可得,所求概率为P(D|C)= = = = .