8.2.4 超几何分布
基础过关练
题组一 超几何分布及其概率计算
1.(多选题)一个袋中装有6个同样大小的黑球,编号分别为1,2,3,4,5,6,还有4个同样大小的白球,编号分别为7,8,9,10.现从中任取4个球,下列变量服从超几何分布的是( )
A.X表示取出球的最大号码
B.Y表示取出球的最小号码
C.取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,Z表示取出的4个球的总得分
D.T表示取出的黑球个数
2.(教材习题改编)一袋中装有大小、质地均相同的5个白球,3个黄球和2个黑球,从中任取3个球,则至少含有1个黑球的概率是( )
A.
3.若随机变量X~H(3,2,10),则P(X=1)= .
4.在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品,从这10件产品中任取3件,求:
(1)取出的3件产品中一等品件数为X的概率分布;
(2)取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率.
题组二 超几何分布的数学期望
5.学校要从5名男生和3名女生中随机抽取2人参加社区志愿者服务,若用X表示抽取的志愿者中女生的人数,则E(X)=( )
A. D.1
6.已知6件产品中有2件次品,4件正品,检验员从中随机抽取3件进行检测,记取到的正品数为X,则下列结论正确的是( )
A.E(2X-1)= B.D(X)=
C.E(X)=1 D.D(2X-1)=
7.某班为了庆祝中秋节,设计了一个小游戏:在一个不透明箱中装有4个黑球,3个红球和1个黄球,这些球除颜色外完全相同.每名学生从中一次随机摸出3个球,观察颜色后放回.若摸出的球中有X个红球,则分得X个月饼;若摸出的球中有黄球,则需要表演一个节目.
(1)求一学生既分得月饼又要表演节目的概率;
(2)求每名学生分得月饼数的概率分布和数学期望.
能力提升练
题组一 超几何分布的应用
1.(多选题)北京冬奥会之后,某市多个中小学开展了冬奥会项目科普活动.为了调查学生对冬奥会项目的了解情况,在该市中小学中随机抽取了10所学校中的部分同学,10所学校中了解冬奥会项目的人数如图所示:
若从这10所学校中随机选取3所学校进行冬奥会项目的宣讲活动,记X为被选中的学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的学校数,则下列说法中正确的是( )
A.X的可能取值为0,1,2,3
B.P(X=0)=
C.E(X)=1.2
D.D(X)=
2.有40件产品,其中有10件次品,从中不放回地抽18件产品,最可能抽到的次品数是 .
3.某市移动公司为了提高服务质量,决定对使用A,B两种套餐的集团用户进行调查,准备从本市n(n∈N*)个人数超过1 000的大集团和3个人数低于200的小集团中随机抽取若干个集团进行调查,若一次抽取2个集团,全是大集团的概率为.
(1)在取出的2个集团是同一类集团的情况下,求全为小集团的概率;
(2)若一次抽取3个集团,假设取出大集团的个数为X,求X的概率分布和数学期望.
4.某商场举行有奖促销活动,顾客每购买满400元的商品即可抽奖一次.抽奖规则如下:抽奖者掷各面标有1~6点数的正方体骰子1次,若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖;否则获得三等奖,结束抽奖.已知抽奖箱中装有2个红球和m(m≥2,m∈N*)个白球,抽奖者从箱中任意摸出2个球,若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖(抽奖箱中的所有小球除颜色外均相同).
(1)若m=4,求顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率;
(2)若一等奖可获奖金400元,二等奖可获奖金300元,三等奖可获奖金100元,记顾客一次抽奖所获得的奖金为X元,若商场希望X的数学期望不超过150,求m的最小值.
题组二 超几何分布与二项分布的综合应用
5.为推动党史学习教育工作扎实开展,营造“学党史、悟思想、办实事、开新局”的浓厚氛围,某校党委决定在教师党员中开展“学党史”知识竞赛.该校理综支部经过层层筛选,还有最后一个参赛名额要在甲、乙两名教师中产生,支部书记设计了两种测试方案供两名教师选择.
方案一:从装有6个不同问题的纸盒中依次有放回地抽取4个问题作答;
方案二:从装有6个不同问题的纸盒中依次不放回地抽取4个问题作答.
已知这6个问题中,甲、乙两名教师都能正确回答其中的4个问题,且甲、乙两名教师对每个问题回答正确与否都是相互独立、互不影响的.假设甲教师选择方案一,乙教师选择方案二.
(1)求甲、乙两名教师都只答对2个问题的概率;
(2)若测试过程中每名教师答对1个问题得2分,答错得0分.你认为安排哪名教师参赛比较合适 请说明理由.
6.随着网络的快速发展,电子商务成为新的经济增长点,市场竞争也日趋激烈,除了产品品质外,客服团队良好的服务品质也是电子商务的核心竞争力,衡量一位客服工作能力的重要指标——询单转化率,是指咨询该客服的顾客中成交人数占比,可以看成一位顾客咨询该客服后成交的概率.已知某网店共有10位客服,按询单转化率分为A,B两个等级如表所示:
等级 A B
询单转化率 [70%,90%) [50%,70%)
人数 6 4
视A,B等级客服的询单转化率分别为对应区间的中点值,完成下列两个问题的解答:
(1)现从这10位客服中任意抽取4位进行培训,设抽取的A等级客服的人数为X,求随机变量X的概率分布,并求这4人的询单转化率的中位数不低于70%的概率;
(2)已知该网店日均咨询顾客约为1万人,为保证服务质量,每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人,在网店的前期经营中,进店咨询的每位顾客由系统等可能地安排给任一位客服接待,为了提升店铺成交量,网店实施改革,经系统调整,进店咨询的每位顾客被任一位A等级客服接待的概率为a,被任一位B等级客服接待的概率为b,若希望改革后经咨询日均成交人数至少比改革前增加300,则a应该控制在什么范围内
答案与分层梯度式解析
8.2.4 超几何分布
基础过关练
1.CD 2.B 5.C 6.D
1.CD
2.B 至少含有1个黑球的概率是.故选B.
3.答案
解析 因为X~H(3,2,10),
所以P(X=1)=.
4.解析 (1)由题意得X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
(2)设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1,“恰好取出2件一等品”为事件A2,“恰好取出3件一等品”为事件A3.
事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3,
P(A1)=,
P(A2)=P(X=2)=,
P(A3)=P(X=3)=,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=.
5.C 由题意可得,X的可能取值为0,1,2,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
故E(X)=0×.故选C.
6.D 解法一:根据题意可得,X的可能取值为1,2,3,且X服从超几何分布,
则P(X=1)=,
P(X=3)=,
所以E(X)=1×=2,
D(X)=(1-2)2×,
E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,
D(2X-1)=4D(X)=,故选D.
解法二:根据题意知,X服从超几何分布H(3,4,6),
所以E(X)=,
所以E(2X-1)=2E(X)-1=2×2-1=3,D(2X-1)=4D(X)=,故选D.
知识总结 超几何分布的期望与方差
若X~H(n,M,N),则E(X)=.
7.解析 (1)记“一学生既分得月饼又要表演节目”为事件A,
由题可知有两种可能:“2个红球,1个黄球”和“1个黑球,1个红球,1个黄球”,
所以P(A)=.
(2)由题意可知,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
所以E(X)=0×.
能力提升练
1.ACD 由题图可得,这10所学校中了解冬奥会项目的人数在30以上的有4所,则X的可能取值为0,1,2,3,故A正确;
易知X~H(3,4,10),且P(X=k)=(k=0,1,2,3),则P(X=0)=,故B错误;
E(X)==1.2,故C正确;
D(X)=(0-1.2)2×,故D正确.
故选ACD.
2.答案 4
解析 设抽到的次品数为X,易知X服从超几何分布,
假设抽到次品数为n的概率最大,
则有
即
解得≤n≤,
又n∈N*,所以n=4,
故最可能抽到的次品数是4.
3.解析 (1)由题意知共有(n+3)个集团,取出2个集团的方法总数是,其中全是大集团的取法有种,故一次抽取2个集团全是大集团的概率为,
整理,得9n2-39n-30=0,解得n=5或n=-(舍去).
若取出的2个全是大集团,则有=10种情况;若取出的2个全是小集团,则有=3种情况,
故在取出的2个集团是同一类集团的情况下,全为小集团的概率为.
(2)由题意得,X的可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)=,
P(X=2)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
则E(X)=0×.
4.信息提取 ①若掷得的点数不大于4,则可继续在抽奖箱中抽奖,否则获得三等奖,结束抽奖;②若2个球均为红球,则获得一等奖,若2个球为1个红球和1个白球,则获得二等奖,否则,获得三等奖.
数学建模 根据红球的个数判断获得的奖项可知其概率模型为超几何分布.(1)顾客获得三等奖分为两种情况,利用古典概型求概率;(2)先根据骰子的点数判断是获得三等奖还是继续抽奖,然后根据顾客摸出小球的情况得到X的取值和对应的概率,利用X的数学期望不超过150求出m的最小值.
解析 (1)设顾客获得三等奖为事件A,则事件A有两种情况:
顾客掷骰子掷得的点数大于4,其概率为;
顾客掷骰子掷得的点数不大于4,且摸出的2个球均为白球,其概率为,
所以P(A)=.
故当m=4时,顾客参加一次抽奖活动获得三等奖的概率为.
(2)由题意得,X的可能取值为100,300,400,
则P(X=100)=,
P(X=300)=,
P(X=400)=,
故E(X)=100P(X=100)+300P(X=300)+400×P(X=400)=,
由题意可得,E(X)≤150,即3m2-23m-18≥0,
又m≥2,m∈N*,所以m≥9,
即m的最小值为9.
5.解析 (1)设甲、乙两名教师都只答对2个问题分别为事件A与事件B,
则P(A)=.
(2)设甲教师得了X分,则答对题数为,
故E(X)=2E,
设乙教师得了Y分,则Y的可能取值为4,6,8,
则P(Y=4)=,
P(Y=8)=,
则E(Y)=4×,
D(Y)=,
因为E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以乙教师发挥更稳定,故选择乙教师参赛比较合适.
6.解析 (1)依题意,A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,X的可能取值为0,1,2,3,4,且X服从超几何分布,
则P(X=0)=,
P(X=1)=,
P(X=2)=,
P(X=3)=,
P(X=4)=,
所以X的概率分布为
X 0 1 2 3 4
P
当X=0时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,60%,其中位数为60%;
当X=1时,4人的询单转化率分别为60%,60%,60%,80%,其中位数为60%;
当X=2时,4人的询单转化率分别为60%,60%,80%,80%,其中位数为70%;
当X=3时,4人的询单转化率分别为60%,80%,80%,80%,其中位数为80%;
当X=4时,4人的询单转化率分别为80%,80%,80%,80%,其中位数为80%.
所以当X≥2时,这4人的询单转化率的中位数不低于70%,
所以P(X≥2)=1-P(X=0)-P(X=1)=1-.
(2)设改革前、后A等级客服的接待顾客人数分别为Y,Z,则改革前每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P1=,
所以Y~B=6 000.
因为A,B等级客服的询单转化率分别为80%,60%,
所以改革前日均成交人数为6 000×80%+(10 000-6 000)×60%=7 200.
改革后,每位进店咨询的顾客被A等级客服接待的概率P2=6a,
所以Z~B(10 000,6a),则E(Z)=10 000×6a=60 000a,
故改革后日均成交人数为60 000a×80%+(10 000-60 000a)×60%=12 000a+6 000.
令12 000a+6 000≥7 200+300,解得a≥.①
由题意可得,6a+4b=1,所以b=.
因为每位客服日接待顾客的数量不超过1 300人,
所以②
由①②,得,
所以a应该控制在内.
1(共9张PPT)
8.2.4 超几何分布
必备知识 清单破
对一般情形,一批产品共N件,其中有M件不合格品,随机取出的n件产品中,不合格品数X 的概率分布如表所示.
知识点 1 超几何分布
X 0 1 2 … l
P …
其中l=min{n,M}.
一般地,若一个随机变量X的分布列为P(X=r)= ,其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,r=m,m+1,
m+2,…,l,m=max{0,n-N+M},l=min{n,M},则称X服从超几何分布,记为X~H(n,M,N),并将P(X=r)= 记为H(r;n,M,N).
注:r为样本中不合格品数,n为样本容量,M为不合格品总数,N为总体中的个体总数.
一般地,当X~H(n,M,N)时,E(X)= kPk= ,其中l=min{n,M}.
知识点 2 超几何分布的均值
知识辨析
1.如何判断一个随机变量是否服从超几何分布
2.超几何分布和二项分布的关系是怎样的
3.在超几何分布中,随机变量X的取值r的最大值一定是不合格品总数M吗
一语破的
1.(1)总体是否可分为两类明确的对象;
(2)是不是不放回抽样;
(3)随机变量是不是样本中其中一类个体的个数.
2.超几何分布与二项分布都是随机变量取非负整数值的离散型概率分布,但超几何分布需要 知道总体容量,是“不放回”抽取,二项分布不需要知道总体容量,是“有放回”抽取(独立重 复).当总体容量N非常大时,超几何分布可近似地看作二项分布,并且随着N的增加,这种近似 的精确度也会增加.
3.不一定.当抽取的产品的件数n不大于总体中的不合格品总数M时,r的最大值为n.
关键能力 定点破
利用超几何分布模型解决实际问题的一般步骤
(1)辨模型:结合实际情境分析是不是不放回抽样,且所求概率分布问题的总体是由差异明显 的两部分组成,如“男生、女生”“正品、次品”等,只有具有该特征的概率模型才可能为 超几何分布模型.
(2)算概率:可以直接借助公式P(X=r)= 求解,也可以利用排列组合及概率知识求解,借
助公式求解时应明确参数M,N,n,r的含义.
(3)写出概率分布,并解决相关问题.
定点 超几何分布的应用
典例 一个盒子中有10个球,其中3个红球,7个白球.从这10个球中任取3个.
(1)若采用无放回抽取,求取出的3个球中红球的个数X的概率分布及数学期望;
(2)若采用有放回抽取,求取出的3个球中红球的个数Y的概率分布及数学期望.
解析 (1)由题意知,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则P(X=0)= = = ;
P(X=1)= = = ;
P(X=2)= = = ;
P(X=3)= = .
∴X的概率分布为
X 0 1 2 3
P
故E(X)=0× +1× +2× +3× = .
(2)由题意知,Y~B ,
则P(Y=0)= × = ;
P(Y=1)= × × = ;
P(Y=2)= × × = ;
P(Y=3)= × = .
∴Y的概率分布为
Y 0 1 2 3
P
E(Y)=3× = .
