8.3 正态分布
基础过关练
题组一 正态密度曲线及其特点
1.对A,B两地国企员工上班迟到的情况进行了统计,可知A,B两地国企员工上班迟到的时间均符合正态分布,其中A地员工上班迟到的时间为X(单位:min),X~N(2,4),对应的曲线为C1,B地员工上班迟到的时间为Y(单位:min),Y~N,对应的曲线为C2,则下列图象正确的是( )
2.(多选题)某乡镇为了考核甲、乙两村的文化惠民工程,在两村的村民中进行满意度测评,满分100分,规定:得分不低于80分的为“高度满意”,得分不超过60分的为“不满意”.经统计发现甲村的评分X和乙村的评分Y都近似服从正态分布,其中X~N(70,),0<σ1<σ2,则( )
A.X对应的正态密度曲线比Y对应的正态密度曲线更扁平
B.甲村的平均分低于乙村的平均分
C.甲村的高度满意率与不满意率相等
D.乙村的高度满意率比不满意率大
3.若一个随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且已知函数f(x)=的图象如图所示,则该随机变量X的数学期望E(X)= ,方差D(X)= .
题组二 正态分布的概率计算
4.已知随机变量X~N(1,4),则P(3
附:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σA.0.341 3 B.0.477 2
C.0.135 9 D.0.067 95
5.若随机变量X~N(90,σ2),且P(X≤70)=0.12,则P(90≤X≤110)=( )
A.0.12 B.0.24 C.0.28 D.0.38
6.已知随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),且,则P(3<ξ<5)=( )
A.
7.已知随机变量X~N(2,σ2),若P(X≤1.5)=m,P(2≤X≤2.5)=1-3m,则P(X≤2.5)=( )
A.0.25 B.0.5 C.0.75 D.0.85
8.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),若P(2题组三 正态分布的实际应用
9.每袋食盐的标准质量为500克,现采用自动流水线包装食盐,抽取一袋食盐检测,它的实际质量与标准质量存在一定的误差,误差值为实际质量减去标准质量.随机抽取100袋食盐,检测发现误差X(单位:克)近似服从正态分布N(0,σ2),P(X≥2)=0.02,则X介于-2与2之间的食盐袋数大约为( )
A.4 B.48 C.50 D.96
10.青少年的身高一直是家长和社会关注的重点,它不仅关乎个体成长,也是社会健康素养发展水平的体现.某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况,从本市全体高三学生中随机抽查了1 200人,经统计后发现样本的身高X(单位:cm)近似服从正态分布N(172,σ2),且身高在168 cm至176 cm之间的人数占样本容量的75%,则样本中身高不低于176 cm的约有( )
A.150人 B.300人 C.600人 D.900人
11.某校高二年级对物选组合学生进行物理学科抽测,总分100分,学生的抽测结果X服从正态分布N(70,100),其中60分为及格线,90分为优秀线.若高二年级共有物选组合学生682人,则抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数约为( )
附:随机变量ξ服从正态分布N(μ,δ2),则P(μ-δ<ξ<μ+δ)=0.682 6,P(μ-2δ<ξ<μ+2δ)=0.954 4,P(μ-3δ<ξ<μ+3δ)=0.997 4.
A.456 B.558 C.584 D.651
12.某小区居民前往高铁站有两种方案可选,方案一:穿过市区,路程较短但交通拥挤,经测算所需时间X1(单位:分钟)服从正态分布N1(50,100);方案二:骑共享单车到地铁站,乘地铁前往,路程长,但意外阻塞较少,经测算所需时间X2(单位:分钟)服从正态分布N2(60,16).该小区的甲、乙两人分别有70分钟与64分钟可用,要使两人按时到达高铁站的可能性更大,则甲、乙两人选择的方案分别为( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.方案一,方案一 B.方案一,方案二
C.方案二,方案一 D.方案二,方案二
13.在某次数学测试中,学生成绩X(单位:分)近似服从正态分布N(100,δ2).若P(80≤X≤120)=,则从参加这次测试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩低于80分的概率是 .
14.某保险公司有一款保险产品,该产品今年保费为200元/人,赔付金额为5万元/人.假设该保险产品的客户为10 000名,每人被赔付的概率均为0.25%,记10 000名客户中获得赔偿的人数为X.
(1)求E(X),并计算该公司今年这一款保险产品利润的期望;
(2)二项分布是离散型的,而正态分布是连续型的,它们是不同的概率分布,但是,随着二项分布的试验次数的增加,二项分布折线图与正态分布曲线几乎一致,所以当试验次数较大时,可以利用正态分布处理二项分布的相关概率计算问题,我们知道,若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p),当n较大且p较小时,我们为了简化计算,常用E(X)的值估算D(X)的值.
请根据上述信息,求:
①该公司今年这一款保险产品的利润为50~100万元的概率;
②该公司今年这一款保险产品亏损的概率.
参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997.
能力提升练
题组一 正态分布及其概率计算
1.已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2)(σ>0),则“m=1”是“P(X≥m2)+P(X>m+2)=1”的( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
2.设随机变量X~N(μ,σ2),且P(X≥a)=0.5,P(XA.0.25 B.0.3 C.0.5 D.0.75
3.已知随机变量X~B(2,p),随机变量Y~N(2,σ2),若P(X≤1)=0.36,P(Y<4)=p,则P(0A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
4.随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),随机变量η服从标准正态分布N(0,1),若P(η<1)=P(ξ<4)=a,则P(1<ξ<1+σ)= .(用字母a表示)
题组二 正态分布的实际应用
5.正态分布是一种重要的概率分布,它是由法国数学家棣莫弗(De Moivre)于1733年提出的,但由于德国数学家高斯(C. F. Gauss)率先应用于天文学研究,故正态分布又称为高斯分布,记作Y~N(μ,σ2).μ=0,σ=1的正态分布称为标准正态分布,如果令X=,则可以证明X~N(0,1),即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布.如果X~N(0,1),那么对任意的a,通常记Φ(a)=P(XA.756 B.748 C.782 D.764
6.(多选题)某市两万名高三学生数学期末统考成绩(满分150分)近似服从正态分布N(96,256),则下列说法正确的是( )
附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σA.该次成绩高于144分的学生约有27人
B.任取该市一名高三学生,其成绩低于80分的概率约为0.023
C.若将该次成绩的前2.28%划定为优秀,则优秀分数线约为128分
D.试卷平均得分与试卷总分比值为该试卷难度,则该份试卷难度为0.60
7.某蓝莓基地种植蓝莓,按1个蓝莓果质量Z克分为:Z>20的为A级,18附:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σA.4 B.5 C.6 D.7
8.(多选题)某企业使用新技术对某款芯片制造工艺进行改进.部分芯片由智能检测系统进行筛选,其中部分次品芯片会被淘汰,筛选后的芯片及未经筛选的芯片进入流水线由工人进行抽样检验.记用A表示事件“某芯片通过智能检测系统筛选”,用B表示事件“某芯片经人工抽检后合格”.改进生产工艺后,该款芯片的某项质量指标ξ服从正态分布N(5.40,0.052),现从中随机抽取M个,这M个芯片中恰有m个的质量指标ξ在区间(5.35,5.55)内,则下列说法正确的是( )
附:若ξ~N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)≈0.682 6,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)≈0.997 4.
A.P(B|A)>P(B)
B.P(A|B)C.P(5.35<ξ<5.55)≈0.84
D.P(m=45)取得最大值时,M的估计值为53
9.某市统计高中生身体素质的状况,规定身体素质指标值不小于60就认为身体素质合格.现从全市随机抽取100名高中生的身体素质指标值xi(i=1,2,3,…,100),经计算,=100×(722+36).若该市高中生的身体素质指标值服从正态分布N(μ,σ2),则估计该市高中生身体素质的合格率为 .(用百分数作答,精确到0.1%)
参考数据:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
10.某商场在五一假期期间开展了一项有奖闯关活动,并对每一关根据难度进行赋分,竞猜活动共五关,规定:上一关不通过则不进入下一关,本关第一次未通过有再挑战一次的机会,两次均未通过,则闯关失败,且各关能否通过相互独立,已知甲、乙、丙三人都参加了该闯关活动.
(1)若甲第一关通过的概率为,求甲可以进入第三关的概率;
(2)已知该闯关活动的累计得分近似服从正态分布,且满分为450分,现要根据得分给2 500名参加者中得分前400名发放奖励.
①假设该闯关活动平均分为171分,351分以上共有57人,已知甲的得分为270分,则甲能否获得奖励 请说明理由;
②丙得知他的分数为430分,而乙告诉丙:“这次闯关活动平均分为201分,351分以上共有57人”,请结合统计学知识帮助丙辨别乙所说信息的真伪.
注:通常把概率小于0.05的事件称为小概率事件,小概率事件基本不会发生.
附:若随机变量X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
答案与分层梯度式解析
8.3 正态分布
基础过关练
1.B 2.BCD 4.C 5.D 6.A 7.C 9.D 10.A
11.B 12.C
1.B 由题意得μX=2,μY=3,故曲线C1的对称轴在曲线C2的左侧,排除C,D;由,得曲线C2比曲线C1瘦高,即曲线C1比曲线C2矮胖,排除A.故选B.
2.BCD 对于A,曲线越扁平,方差越大,因为0<σ1<σ2,所以Y对应的正态密度曲线比X对应的正态密度曲线更扁平,故A错误;
对于B,甲村的平均分为70分,乙村的平均分为75分,故B正确;
对于C,因为甲村的平均分为70,所以P(X≥80)=P(X≤60),故C正确;
对于D,因为乙村的平均分为75,所以P(X≥80)>P(X≤60),故D正确.故选BCD.
3.答案 5;1
解析 由题图可得,当x=5时,f(x)=有最大值,为,所以μ=5,σ=1,所以X~N(5,1),
所以E(X)=μ=5,D(X)=σ2=1.
4.C 易知P(1所以P(35.D 因为随机变量X~N(90,σ2),所以根据正态密度曲线的对称性可得P(90≤X≤110)==0.38.故选D.
6.A 因为随机变量ξ服从正态分布N(4,σ2),
所以μ=4,即正态密度曲线的对称轴是直线x=4,
则P(ξ<3)=1-P(ξ<5),
又,所以P(ξ<3)=,
所以P(3<ξ<5)=P(ξ<5)-P(ξ<3)=.
故选A.
7.C 因为随机变量X~N(2,σ2),所以P(X≤1.5)=P(X≥2.5)=m,
则P(X≥2)=P(X≥2.5)+P(2≤X≤2.5)=m+1-3m=0.5,解得m=0.25,
所以P(X≤2.5)=1-P(X>2.5)=0.75.故选C.
8.答案 4
解析 由题意得P(X≤2)=1-P(X≥6)-P(29.D 由题知,X~N(0,σ2),因为P(X≥2)=0.02,所以P(0故100×0.96=96(袋).故选D.
10.A 由题知,X~N(172,σ2),P(168所以P(172则P(X≥176)=0.5-0.375=0.125,所以样本中身高不低于176 cm的约有0.125×1 200=150(人).故选A.
11.B 抽测结果在及格线与优秀线之间的学生的占比为=0.818 5,
故抽测结果在及格线与优秀线之间的学生人数约为682×0.818 5≈558.故选B.
12.C 对于甲,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤70)=P(X1≤μ1+2σ1)≈1-=0.977,
若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤70),
因为P(X2≤68)=P(X2≤μ2+2σ2)≈1-=0.977,所以P(X2≤70)>0.977.
综上所述,甲应选择方案二.
对于乙,若选择方案一,则按时到达高铁站的概率为P(X1≤64),
因为P(X1≤60)=P(X1≤μ1+σ1)≈1-=0.841 5,所以P(X1≤64)>0.841 5,
若选择方案二,则按时到达高铁站的概率为P(X2≤64)=P(X2≤μ2+σ2)≈1-=0.841 5.
综上所述,乙应选择方案一.故选C.
13.答案
解析 因为P(80≤X≤120)=,X近似服从正态分布N(100,δ2),
所以P(X<80)=,
则从参加这次测试的学生中任意选取3名学生,至少有2名学生的成绩低于80分的概率为.
14.解析 (1)由题意得X~B(10 000,0.25%),
则E(X)=10 000×0.002 5=25,
记该公司今年这一款保险产品的利润为Y万元,则Y=200-5X,
所以E(Y)=E(200-5X)=200-5E(X)=75.
(2)①由(1)知E(X)=25,则由题意可得D(X)=25,
故X近似服从正态分布N(25,25),
若该公司今年这一款保险产品的利润Y=200-5X∈(50,100),则X∈(20,30),
P(Y=200-5X∈(50,100))=P(20故该公司今年这一款保险产品的利润为50~100万元的概率约为0.683.
②若该公司今年这一款保险产品的利润Y=200-5X<0,则X>40,
P(Y=200-5X<0)=P(X>40)=P(X>μ+3σ)≈=0.001 5.
故该公司今年这一款保险产品亏损的概率约为0.001 5.
能力提升练
1.A 2.A 3.C 5.D 6.AC 7.A 8.ACD
1.A 因为X~N(2,σ2),所以P(X<1)=P(X>3),P(X>4)=P(X<0),
若m=1,则P(X≥1)+P(X>3)=P(X≥1)+P(X<1)=1,
即P(X≥m2)+P(X>m+2)=1,故充分性成立;
若P(X≥m2)+P(X>m+2)=1,则m2+m+2=2×2,
解得m=1或m=-2,故必要性不成立,
所以“m=1”是“P(X≥m2)+P(X>m+2)=1”的充分不必要条件.故选A.
2.A 因为X~N(μ,σ2),P(X≥a)=0.5,所以a=μ,
因为P(X所以P(X≥b)=,
所以根据正态密度曲线的对称性,得P(X≤2a-b)=P(X≥b)=0.25.故选A.
3.C 因为X~B(2,p),P(X≤1)=0.36,
所以P(X≤1)=(1-p)2+2p(1-p)=0.36,解得p=0.8或p=-0.8(舍去),
因为P(Y<4)=p=0.8,所以P(Y≥4)=1-0.8=0.2,
又Y~N(2,σ2),所以P(04.答案 a-
解析 随机变量η服从标准正态分布N(0,1),根据正态密度曲线的对称性,可知P(η<0)=,
因为P(η<1)=a,所以P(0<η<1)=a-,
即P(μ<η<μ+σ)=a-,
随机变量ξ服从正态分布N(1,σ2),根据正态密度曲线的对称性,可知P(ξ<1)=,
因为P(ξ<4)=a,所以P(1<ξ<4)=a-,
即P(1<ξ<1+σ)=a-.
5.D 设该校高三年级学生的期中考试数学成绩为Y分,则Y~N(100,62),
令X=,则X~N(0,1),
所以成绩落在(88,112]内的概率为P=P(-2由Φ(2)=0.977 2,得Φ(2)=P(X<2)=0.977 2,
所以P(-2故成绩落在(88,112]内的人数约为800×0.954 4≈764.故选D.
6.AC 对于A,设两万名高三学生数学期末统考成绩为X分,则X~N(96,256),
所以μ=96,σ=16,则μ+3σ=144,
所以P(X>144)≈=0.001 35,
所以该次成绩高于144分的学生约有0.001 35×20 000=27(人),故A正确;
对于B,μ=96,σ=16,μ-σ=80,
所以P(X<80)≈=0.158 65,故B不正确;
对于C,μ+2σ=128,μ-2σ=64,
所以P(μ-2σ所以P(X>128)=×100%=0.022 75×100%≈2.28%,
若将该次成绩的前2.28%划定为优秀,则优秀分数线约为128分,故C正确;
对于D,试卷平均得分为96分,试卷总分150分,
所以=0.64,故D不正确.
故选AC.
7.A 因为蓝莓果质量Z近似服从正态分布N(15,9),
所以μ=15,σ=3,
则P=P(Z>18)=P(Z>μ+σ)=≈0.2,
设第k次抽到优等果的概率为P(X=k),则P(X=k)=0.8k-1×0.2(k=1,2,3,…,n-1),
恰好抽取n次的概率P(X=n)=0.8n-1,
所以E(X)=0.2×k·0.8k-1+n·0.8n-1,
设M=k·0.8k-1,则0.8M=k·0.8k,
两式相减,得0.2M=0.8k-1-(n-1)·0.8n-1=-(n-1)·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1,
所以E(X)=0.2M+n·0.8n-1=5(1-0.8n-1)-(n-1)·0.8n-1+n·0.8n-1=5(1-0.8n),
由5(1-0.8n)≤3,得0.8n≥0.4,
又0.84=0.409 6>0.4,0.85=0.327 68<0.4,
所以n的最大值为4.故选A.
8.ACD 依题意,P(B|A)>P(B),故A正确;
由P(A)·P(B|A)>P(A)·P(B),得P(AB)>P(A)·P(B),又P(AB)+P(A)=P(A)·P(B|A)+P(A)·P(|A)=P(A),
所以P(AB)>P(B)·[P(AB)+P(A)],
即P(AB)-P(AB)·P(B)>P(B)·P(A),
因此,即,
则P(A|B)>P(A|),故B错误;
P(5.35<ξ<5.55)=P(5.40-0.05<ξ<5.40+3×0.05)
=P(μ-σ≈×(0.682 6+0.997 4)=0.84,故C正确;
m~B(M,0.84),P(m=45)=×0.8445×0.16M-45,
设f(x)=×0.8445×0.16x-45,
则 ,
令0.16×>1,得x<≈52.6,即f(53)>f(52),
,
令0.16×<1,得x>,即f(53)>f(54),
所以P(m=45)取得最大值时,M的估计值为53,故D正确.
故选ACD.
9.答案 97.7%
解析 因为数据x1,x2,x3,…,x100的平均值xi=72,方差s2=×[100×(722+36)-100×722]=36,
所以μ的估计值为72,σ的估计值为6.
设该市高中生的身体素质指标值为X,则X~N(72,62),
由P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,得P(72-12≤X≤72+12)=P(60≤X≤84)≈0.954 5,
P(X>84)=P(X>μ+2σ)=P(X<μ-2σ)==0.022 75,
所以P(X≥60)=P(60≤X≤84)+P(X>84)≈0.954 5+0.022 75=0.977 25×100%≈97.7%.
故估计该市高中生身体素质的合格率为97.7%.
10.解析 (1)设事件Ai表示“第i次通过第一关”,事件Bi表示“第i次通过第二关”,其中i=1,2,甲可以进入第三关的概率为P,
由题意知,P=P(A1B1)+P(B2)
=P(A1)P(B1)+P()·P(B2)+P()P(B2)
=.
(2)设该闯关活动的累计得分为X分,则X~N(μ,σ2).
①甲能获得奖励.理由如下:
由题意可知μ=171,
因为=0.022 8,且P(X>μ+2σ)=≈0.022 8,
所以μ+2σ=351,则σ==90,
因为=0.16,且P(X>μ+σ)=≈0.158 7<0.16,
所以前400名参赛者的最低得分低于μ+σ=261分,而甲的得分为270分,所以甲能获得奖励.
②假设乙所说信息为真,则μ=201,
P(X≥μ+2σ)=≈0.022 8,
而=0.022 8,所以μ+σ=351,所以σ==75,
从而μ+3σ=201+3×75=426<430,
而P(X≥μ+3σ)=≈0.001 35<0.05,
所以X≥μ+3σ为小概率事件,即丙的分数为430分是小概率事件,可认为其一般不可能发生,但却又发生了,所以可认为乙所说信息为假.
6(共15张PPT)
8.3 正态分布
必备知识 清单破
1.概率密度曲线
在频率分布直方图中,如果数据无限增多且组距无限缩小,那么频率分布直方图上的折 线将趋于一条光滑的曲线,我们将此曲线称为概率密度曲线.
2.正态密度曲线
称函数P(x)= (x∈R)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线.这里有两
个参数μ和σ,其中σ>0,μ∈R.
知识点 1 正态密度曲线
3.正态密度曲线的特征
(1)当x<μ时,曲线上升;当x>μ时,曲线下降;当曲线向左右两边无限延伸时,以x轴为渐近线.
(2)曲线关于直线x=μ对称.
(3)σ越大,曲线越扁平;σ越小,曲线越尖陡.
(4)在曲线下方和x轴上方范围内的区域面积为1.
1.正态分布
设X是一个随机变量,若对任给区间(a,b],P(a
2.标准正态分布
μ=0且σ=1的正态分布称为标准正态分布,记作X~N(0,1).
知识点 2 正态分布
若X~N(μ,σ2),则 ~N(0,1).
如图,随机变量X的取值
落在区间(μ-σ,μ+σ)内的概率约为68.3%;
落在区间(μ-2σ,μ+2σ)内的概率约为95.4%;
落在区间(μ-3σ,μ+3σ)内的概率约为99.7%.
知识点3 正态总体在三个特殊区间内的取值
事实上,μ就是随机变量X的均值,σ2就是随机变量X的方差,它们分别反映X取值的平均大小和 稳定程度.
知识辨析
1.若随机变量X~N(μ,σ2),则X可以是离散型随机变量吗
2.正态密度曲线对应的函数中的参数μ,σ的意义分别是什么
3.正态密度曲线与x轴围成的区域的面积是随参数μ,σ的变化而变化的吗
一语破的
1.不可以.服从正态分布的随机变量X是连续型随机变量.
2.参数μ,σ表示的分别是样本的均值和标准差.
3.不是.正态密度曲线与x轴围成的区域的面积总为1,不会随参数μ,σ的变化而变化.
关键能力 定点破
在正态分布下求概率的关键在于充分恰当地利用正态曲线的对称性,把待求概率的区间 转化为已知概率的区间.当条件中无已知概率时,则要将区间转化为三个特殊区间:(μ-σ,μ+σ), (μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ).利用随机变量X在这三个特殊区间取值的概率进行计算.
一般地,若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则
(1)P(X≥a)=1-P(X(2)对任意的实数a,有P(X≤μ-a)=P(X≥μ+a);
(3)P(a≤X≤b)=P(X≤b)-P(X定点 1 正态分布的概率问题
典例 已知两个随机变量X,Y,其中X~B ,Y~N(μ,σ2)(σ>0),若E(X)=E(Y),且P(Y<-2)=0.1,则P
(|Y-7|<3)=( )
A.0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4
D
解析 因为X~B ,
所以E(X)=10× =4,
又因为E(X)=E(Y),Y~N(μ,σ2),
所以μ=E(Y)=4,
所以P(Y>10)=P(Y<-2)=0.1,
所以P(|Y-7|<3)=P(44)-P(Y>10)=0.5-0.1=0.4.故选D.
利用服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量X的取值落在三个特殊区间内的概率,可以解决两 类实际问题:
一类是估计在某一范围内的数量.具体方法是先确定随机变量的取值在该范围内的概率,再 乘样本容量即可;
另一类是利用3σ原则作决策.决策步骤如下:①确定一次试验中取值a是否落在区间(μ-3σ,μ+3 σ)内;②作出判断,若a∈(μ-3σ,μ+3σ),则接受统计假设,若a (μ-3σ,μ+3σ),则拒绝统计假设.
定点 2 正态分布的实际应用
典例1 某省高考改革试点方案规定高考总成绩由语文、数学、外语三门统考科目和思想政 治、历史、地理、物理、化学、生物六门选考科目组成,将每门选考科目的考生原始成绩从 高到低划分为A,B+,B,C+,C,D+,D,E,共8个等级,参照正态分布原则,确定各等级人数所占比例 分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%,选考科目成绩计入考生总成绩时,将A至E等级内的 考生原始成绩,依照等比例转换法则,分别转换到[91,100],[81,90],[71,80],[61,70],[51,60],[41,5 0],[31,40],[21,30]这八个分数区间内,得到考生的等级成绩.如果山东省某次高考模拟考试物 理科目的原始成绩X~N(50,256),那么D等级的原始分最高大约为( )
附:①若X~N(μ,σ2),Y= ,则Y~N(0,1);②当Y~N(0,1)时,P(Y≤1.3)≈0.9.
A.23 B.29 C.36 D.43
B
解析 由题意知X~N(50,256),
则有μ=50,σ=16,
设D等级的原始分最高大约为x,对应的等级分为40,而P(等级分≥40)=1-(7%+3%)=0.9,
∴P =0.9,而P(Y≤1.3)≈0.9,由对称性知P(Y≥-1.3)≈0.9,
∴ =-1.3,解得x=29.2≈29.故选B.
典例2 从某企业生产的某种产品中随机抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量 结果得频率直方图,如图所示:
(1)求这100件产品质量指标值的平均数 和方差s2(同一组的数据用该组区间的中点值作为
代表);
(2)由频率直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本 平均数 ,σ2近似为样本方差s2.
①若某用户从该企业购买了10件这种产品,记X表示这10件产品中质量指标值位于[187.4,22 5.2]的产品件数,求E(X);
②一天内抽取的产品中,若出现了质量指标值在[μ-3σ,μ+3σ]之外的产品,就认为这一天的生 产过程中可能出现了异常情况,需要对当天的生产过程进行检查.下面的表格记录了检验员 在一天内抽取的15件产品(编号分别为1~15)的质量指标值,根据近似值判断是否需要对当天 的生产过程进行检查.
产品编号 1 2 3 4 5
质量指标值 162.3 173.5 188 189.6 194
产品编号 6 7 8 9 10
质量指标值 194.9 199 204 206.3 207.2
产品编号 11 12 13 14 15
质量指标值 216 216.7 227 228.1 237.9
附: ≈12.6.若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.683,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954,P(μ-3σ≤X
≤μ+3σ)≈0.997.
解析 (1)由题意得, =170×0.025+180×0.09+190×0.22+200×0.32+210×0.24+220×0.08+230×
0.025=200,
s2=(-30)2×0.025+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+02×0.32+102×0.24+202×0.08+302×0.025=159.
(2)①由题意得,Z~N(200,159),则μ-σ≈200-12.6=187.4,μ+2σ≈200+12.6×2=225.2,一件产品的 质量指标值位于区间[187.4,225.2]的概率约为 =0.818 5,则X~B(10,0.818 5),
∴E(X)=10×0.818 5=8.185.
②μ-3σ≈200-12.6×3=162.2,μ+3σ≈200+12.6×3=237.8.∵237.9 [162.2,237.8],
∴需要对当天的生产过程进行检查.