湖南省长沙市天心区怡海中学2024-2025学年九年级上学期入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·天心开学考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·天心开学考）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
3．（2024九上·天心开学考）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九上·天心开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2024九上·天心开学考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2024九上·天心开学考）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标为
B．图象的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为
7．（2024九上·天心开学考）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024九上·天心开学考）如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
9．（2024九上·天心开学考）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
10．（2024九上·天心开学考）如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·天心开学考）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8.由此可知 种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).
12．（2024九上·天心开学考）方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是 ．
13．（2024九上·天心开学考）若关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0，则m值是 .
14．（2024九上·天心开学考）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ．
15．（2024九上·天心开学考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若E为的中点，则的长为 ．
16．（2024九上·天心开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：；；；为实数其中结论正确的有 填所以正确的序号
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17．（2024九上·天心开学考）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过，
经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数，且，；时，，
（1）求出一次函数的解析式；
（2）若该商场获利为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；
（3）售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024九上·天心开学考）计算：．
19．（2024九上·天心开学考）解下列一元二次方程
；
．
20．（2024九上·天心开学考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
21．（2024九上·天心开学考）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
22．（2024九上·天心开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点，与轴相交于点求四边形的面积；
（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
23．（2024九上·天心开学考）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
24．（2024九上·天心开学考）我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为．
（1）在下列关于的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“”．
；
；
．
（2）若点、点是“和谐函数”其中上的“和谐点”，且，求的取值范围；
（3）若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，的最小值为，求的值．
25．（2024九上·天心开学考）如图，抛物线与轴交于点与点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点的运动过程中，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知，
-6的相反数为6，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可.
2．【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类二次根式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，所以A正确；
B、和不是同类二次根式，不能合并，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、，所以D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法可得出A正确；根据幂的乘方可得出C不正确；根据同类二次根式可得出B不正确；根据完全平方公式，可得出D不正确，综上即可得出答案.
5．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：函数的二次项系数为-1，所以抛物线开口向下，
因为当取时，，
所以抛物线与y轴的交点为（0，1）.
符合条件的图象是B．
故选B．
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
6．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 二次函数，
A：当x=0时，y=-1，所以图象与轴的交点坐标是(0，-1)，故选项A错误；
B：图象的对称轴是直线x=-1，在y轴左侧，故选项B错误；
C：因为a=2>0，所以当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
D：因为a=2>0，所以当x=-1时，y有最小值-3，故选项D正确，
故答案为：D.
【分析】对于A选项，令x=0，可得函数图象与y轴交点坐标；对于B选项，根据对称轴公式，可以判断对称轴的位置；对于C选项，因为2>0，所以在对称轴左侧y随x增大而减小，即可判断；对于D选项，因为函数开口向上，故x取对称轴时，y取最小值，进行判断即可.
7．【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：对于抛物线y=x2，可以写成y=(x-0)2+0的形式，
∴其顶点坐标为(0，0)，
已知原抛物线要向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
根据平移规律，平移后抛物线的顶点坐标为(-2，-5)，
∴新抛物线的表过式为：y=(x+2)2-5，
故答案为：A.
【分析】对于二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的顶点(h，k)的平移规律：“左右平移，左减右加；上下平移，上加下减”，即可判断.
8．【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：已知图案宽20cm，长30cm，
∴图案的总面积为20×30cm2，
∵有两横两竖的彩条，且彩条宽为xcm，
∴空白部分的宽为(20-2x)cm，空白部分的长为(30-2x)cm，
根据长方形面积公式，空白部分的面积为(20-2x)(30-2x)cm2，
已知彩条所占面积是图案面积的六分之一，
∴空白部分的面积就是图案面积的，
∵空白部分面积为(20-2x)(30-2x)cm2，图案面积为20×30cm2，
∴可列方程为，
故答案为：B.
【分析】 根据题意，先算出整个图案的面积，再分析出空白部分的长和宽，从而得到空白部分的面积表达式，最后根据彩条面积与图案面积的关系列出方程。
9．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为点分别是四边形边的中点，
所以是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
所以，，，，
所以四边形为平行四边形，
对于A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意；
对于B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意；
对于C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意；
对于D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理（三角形的中位线等于第三边的一半）可得，，，，从而得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．
10．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴；故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴，
∵MC＞BE，
∴＜，故③错误；
④设∠FEC=x，
∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=，
∴∠EFC=，
∴
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确．
综上可知：一定成立的是①②④，
故答案为：C．
【分析】AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得∠DCF=；延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），可得EF=MF，再证明；由EF=FM，可得，结合MC＞BE，＜；设∠FEC=x，则∠FCE=x，再分别表示：
11．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜10.8＜15.8，
∴甲种秧苗的长势更整齐.
故答案为：甲.
【分析】通过比较三组秧苗的方差，即可得出方差最小的长势更整齐.
12．【答案】、
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意知： 方程的两个根是，，
对于二次函数与轴的交点处，y=0，
∴知y=0时，x的值为-2或，
∴二次函数与轴的交点坐标是、，
故答案为：、.
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的值，由题意即可确定.
13．【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，得
x=0满足关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0，
∴m2-4=0，
解得，m=±2；
又∵二次项系数m-2≠0，即m≠2，
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】把x=0代入方程可得m2-4=0，从而求出m的值，再由二次项系数m-2≠0，从而确定答案.
14．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：因为平分，，，所以，
因为，，所以，所以，
所以．
故填：．
【分析】由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得，根据求出，然后利用勾股定理求解即可．
15．【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：因为矩形，所以，
因为， E为的中点，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
所以是等边三角形，，
所以，
所以，
故填：3．
【分析】证明，则，是等边三角形，，，根据，计算求解即可．
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知：抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，当x=-1时，y>0，当x=1时，y<0，
刚结论①：由图象开口向上知，a>0，与y轴交于负半轴，c<0，，可得b<0，故abc>0，结论①错误；
结论②：因为，得b=-2a，当x=-1时，y=a-b+c>0，即3a+c>0，结论②正确；
结论③：因为x=1时，y=a+b+c<0，x=-1时，y=a-b+c>0，故(a+c+b)(a+c-b)=(a+c)2-b2<0，故结论③正确；
结论④：因为抛物线对称轴为，函数图象开口向上，所以当x=1时，y有最小值，即，即，故结论④正确.
故答案为：.
【分析】根据二次函数的图象与性质对各结论进行判断即可，
①根据二次函数开口方向可以确定a的正负，根据图象与y轴交点位置可确定c的正负，根据对称轴的位置可确定b的正负，进而判断abc的正负；②由，得b=-2a，当x=-1时，y=a-b+c>0，即可判断；③当x=1时，y<0，当x=-1时，y>0，变形即可判断；④当x=1，y=a+b+c取最小值，变形即可判断.
17．【答案】（1）将，代入中，
解得：，
（2），
，
（3）又，
即，
则时获利最多，
将代入，得元．
答：售价定为元有最大利润为元
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）已知 ，；时，， 根据待定系数法列出二元一次方程组，进而求出k和b的值，进而得到一次函数解析式；
（2）根据总利润=销售量×单个利润得到w与x的关系式，进一步化简即可；
（3）根据二次函数的性质，配方成顶点式，然后结合自变量的取值范围，从而得到最大值.
18．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】解决本题需要运用到幂运算的规则（负数的偶次幂为正数，任何非零数的0次幂为1）、算术平方根的定义（一个正数的算术平方根为正数）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身）来逐步计算.
19．【答案】解：，
，
或，
解得，，；
，
，
，
，
或，
解得，，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对于方程 ，我们可以使用因式分解法来求解，因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，当两个整式的乘积为0时，那么这两个整式至少有一个为0，从而得到方程的解；
（2）对于方程 ，先将方程右边的式子变形，然后通过移项，再利用因式分解法来求解.
20．【答案】（1），是关于的一元二次方程的两实数根，
，
，
解得：
（2），，
又，
，
，
解得舍去，，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意知一元二次方程 有两个实数根，
，解不等式可得m的取值范围；
（2）根据根与系数关系可知，，然后将 展示，得到关于m的一元二次方程，解之可得.
21．【答案】（1）解：20；
补全条形统计图如图所示．
（2）D
（3）解：人．
估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数约人．
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a=20，然后用样本容量乘以可求出C组人数，补全条形统计图即可；
（2）按照中位数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可得解．
22．【答案】（1）将，代入得，，
解得，
直线的表达式为
（2）联立，
解得，
，
当时，，
解得，
，
，
四边形的面积为
（3）由题意知，关于的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围，
由图象可知，不等式的解集为
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）已知直线y1=kx+b过A(-6，0)和B(-1，5)两点，把这两点坐标代入直线方程，就得到关于k和b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出k和b的值，进而得到直线AB的表达式；
（2）因为点M是直线y1=kx十b与直线y2=-2x-3的交点，所以点M的坐标同时满足这两个直线方程，将两个方程联立成方程组，求解方程组就能得到点M的坐标，进而得到点D的坐标，四边形OBMD的面积为，求之可得；
（3）对于kx+b>-2x-3>0，先求出y=-2x-3中y=0时x的值，这是不等式右边等于0的边界情况，然后结合两直线图象，观察直线y1=kx+b在直线y2=-2x-3上方且y2=-2x-3在x轴上方(y≥0)部分对应的x的取值范围，就是不等式的解集。
23．【答案】（1）证明：因为平行四边形，所以，所以，
因为平分，所以，所以，
所以；
（2）解：因为平行四边形，∴，
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，
所以，
如图，连接，
因为，
所以，，，
所以，
由勾股定理得，，
所以的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；
（2）由题意得，，，证明，则，如图，连接，由，可得，，，则，由勾股定理（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半 ）得，，计算求解即可．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
24．【答案】（1）×；√；√
（2）是“和谐函数”，
，
整理得，，
点、点是“和谐函数”上的“和谐点”，
设，，
，，，
，
，
，
（3）“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
，且，
，
，
，
是关于的二次函数，对称轴为，
若，即，当时，有最小值，
，
或舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得；
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：（1）根据"和谐函数"的定义：令y=x，若含x的方程有解，则函数为"和谐函数"，
①令y=x，则方程变为x=x - 3，此方程无解，
∴y = x - 3不是 “和谐函数”，括号内应填 “×”；
②令y = x，则，解得，当时，，
∴函数 图象上存在横纵坐标相等的点，它是 “和谐函数”，括号内应填 “√”；
③令y = x，则 ，解得x = 0或x=3，当x = 0时，y = 0；当x=3时，y=3，
∴函数 图象上存在横纵坐标相等的点(0，0)和(3，3)，它是 “和谐函数”，括号内应填 “√”.
【分析】（1）通过判断函数图象上是否存在横纵坐标相等的点来确定是否为 “和谐函数”；
（2）先根据 “和谐函数” 的定义得出n关于k的二次函数，再利用二次函数的性质结合当时，的最小值为 ，得到k的值.
25．【答案】（1）解：∵抛物线=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)与点B(3，0)，
∴可设抛物线的交点式为y=a(x+1)(x-3)，
又∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，将C(0，3)代入y=a(x+1)(x-3)中，
得到3=a(0+1)(0-3)，
即3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
（2）解：连接AC，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，作CF⊥EF于点F，如图：
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，
∴，
∴AE=DF，DE=CF，
设D(m，n)，则DE=n，AE=m+1，CF=m，DF=3-n，
∴m+1=3-n，m=n，
解得m=n=1，
∴D(1，1)，
设直线AP的解析式为y=kx+b，将A(-1，0)，D(1，1)代入可得
解得，
∴直线AP的解析式为，
联立直线AP与抛物线的方程
解得(x=-1是点A的横坐标，舍去)，
当时，，
∴存在点P，使∠CAP=45°，；
（3）解：如图，过点P作PG⊥x轴于点G，
设点P的坐标为(t，-t2+2t+3)，则G(t，0)，
S1=S△ACP=S△AOC+S梯形OCPG-S△AGP=，
S2=S△BCP=S△BPG+S梯形OCPG-S△BOC=，
∴，
由题意知，0∴，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴的交点A(-1，0)，B(3，0)，设交点式y=a(x+1)(x-3)，然后将点C(0，3)代入解析式，从而求出a的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）连接AC，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，作CF⊥EF于点F，根据∠ACD=45°，证明，进而求出点D坐标，然后求出直线AP的解析式，联立直线AP与抛物线的方程求出点P的坐标；
（3）过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标，分别表示S1和S2，然后得出的表达式，再根据P点位置确定t的取值范围，从而得出的取值范围.
1 / 1湖南省长沙市天心区怡海中学2024-2025学年九年级上学期入学数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（2024九上·天心开学考）的相反数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求有理数的相反数的方法
【解析】【解答】解：根据相反数的定义可知，
-6的相反数为6，
故答案为：C.
【分析】根据相反数的定义：只有符号不同的两个数互为相反数，进行判断即可.
2．（2024九上·天心开学考）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（ ）
A．2，3，4 B．1，1， C．1，，2 D．8，15，17
【答案】A
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、，不能作为直角三角形的三边长，符合题意；
B、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
C、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
D、，能作为直角三角形的三边长，不符合题意；
故答案为：A
【分析】根据勾股定理逆定理逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024九上·天心开学考）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超过7.8万门，学习人次达1290000000，建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1290000000=1.29×109.
故答案为：C.
【分析】把一个数表示成a×10n的形式时，a和n的确定方法如下：将原数的小数点移到从左到右第1个不是0的数字的后边即可得到a的值，n的确定方法有两种：①n为比原数整数位数少1 的正整数；②小数点向左移动了几位，n就等于几.
4．（2024九上·天心开学考）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；同类二次根式；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，所以A正确；
B、和不是同类二次根式，不能合并，所以B不正确；
C、，所以C不正确；
D、，所以D不正确.
故答案为：A.
【分析】根据同底数幂的除法可得出A正确；根据幂的乘方可得出C不正确；根据同类二次根式可得出B不正确；根据完全平方公式，可得出D不正确，综上即可得出答案.
5．（2024九上·天心开学考）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：函数的二次项系数为-1，所以抛物线开口向下，
因为当取时，，
所以抛物线与y轴的交点为（0，1）.
符合条件的图象是B．
故选B．
【分析】利用二次函数的开口方向和顶点坐标，结合图象找出答案即可．
6．（2024九上·天心开学考）关于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象与轴的交点坐标为
B．图象的对称轴在轴的右侧
C．当时，的值随值的增大而减小
D．的最小值为
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解： 二次函数，
A：当x=0时，y=-1，所以图象与轴的交点坐标是(0，-1)，故选项A错误；
B：图象的对称轴是直线x=-1，在y轴左侧，故选项B错误；
C：因为a=2>0，所以当x<-1时，y随x的增大而减小，当x>-1时，y随x的增大而增大，故选项C错误；
D：因为a=2>0，所以当x=-1时，y有最小值-3，故选项D正确，
故答案为：D.
【分析】对于A选项，令x=0，可得函数图象与y轴交点坐标；对于B选项，根据对称轴公式，可以判断对称轴的位置；对于C选项，因为2>0，所以在对称轴左侧y随x增大而减小，即可判断；对于D选项，因为函数开口向上，故x取对称轴时，y取最小值，进行判断即可.
7．（2024九上·天心开学考）将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，平移后所得新抛物线的表达式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：对于抛物线y=x2，可以写成y=(x-0)2+0的形式，
∴其顶点坐标为(0，0)，
已知原抛物线要向左平移2个单位，再向下平移5个单位，
根据平移规律，平移后抛物线的顶点坐标为(-2，-5)，
∴新抛物线的表过式为：y=(x+2)2-5，
故答案为：A.
【分析】对于二次函数顶点式y=a(x-h)2+k的顶点(h，k)的平移规律：“左右平移，左减右加；上下平移，上加下减”，即可判断.
8．（2024九上·天心开学考）如图，要设计一幅宽，长的图案，其中有两横两竖的彩条，各彩条的宽度相等，如果要使彩条所占面积是图案面积的六分之一．设彩条的宽为，根据题意可列方程（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：已知图案宽20cm，长30cm，
∴图案的总面积为20×30cm2，
∵有两横两竖的彩条，且彩条宽为xcm，
∴空白部分的宽为(20-2x)cm，空白部分的长为(30-2x)cm，
根据长方形面积公式，空白部分的面积为(20-2x)(30-2x)cm2，
已知彩条所占面积是图案面积的六分之一，
∴空白部分的面积就是图案面积的，
∵空白部分面积为(20-2x)(30-2x)cm2，图案面积为20×30cm2，
∴可列方程为，
故答案为：B.
【分析】 根据题意，先算出整个图案的面积，再分析出空白部分的长和宽，从而得到空白部分的面积表达式，最后根据彩条面积与图案面积的关系列出方程。
9．（2024九上·天心开学考）如图，点分别是四边形边的中点．则正确的是（ ）
A．若，则四边形为矩形
B．若，则四边形为菱形
C．若是平行四边形，则与互相平分
D．若是正方形，则与互相垂直且相等
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：因为点分别是四边形边的中点，
所以是的中位线，是的中位线，是的中位线，是的中位线，
所以，，，，
所以四边形为平行四边形，
对于A、若，则，四边形为菱形，故A错误，不符合题意；
对于B、若，则，则四边形为矩形，故B错误，不符合题意；
对于C、任意四边形的中点四边形都是平行四边形，与不一定互相平分，故C错误，不符合题意；
对于D、若是正方形，则，由是的中位线，是的中位线，得，，因此与互相垂直且相等，故正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据三角形的中位线定理（三角形的中位线等于第三边的一半）可得，，，，从而得到四边形为平行四边形，再根据矩形的判定、菱形的判定、正方形的性质，进行逐一判断即可得到答案．
10．（2024九上·天心开学考）如图，在中，是的中点，作，垂足在线段上连接，则下列结论中一定成立的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①③ C．①②④ D．①②③④
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等腰三角形的性质；平行四边形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：①∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在 ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴；故①正确；
②延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∴EF=CF，故②正确；
③∵EF=FM，
∴，
∵MC＞BE，
∴＜，故③错误；
④设∠FEC=x，
∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=，
∴∠EFC=，
∴
∵，
∴∠DFE=3∠AEF，故④正确．
综上可知：一定成立的是①②④，
故答案为：C．
【分析】AD=2AB，F是AD的中点，易得AF=FD=CD，继而证得∠DCF=；延长EF，交CD延长线于M，分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质得出△AEF≌△DMF（ASA），可得EF=MF，再证明；由EF=FM，可得，结合MC＞BE，＜；设∠FEC=x，则∠FCE=x，再分别表示：
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．（2024九上·天心开学考）为了比较甲、乙、丙三种水稻秧苗的长势，每种秧苗各随机抽取40株，分别量出每株高度，计算发现三组秧苗的平均高度一样，并且得到甲、乙、丙三组秧苗高度的方差分别是3.6，10.8，15.8.由此可知 种秧苗长势更整齐(填“甲”、“乙”或“丙”).
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵3.6＜10.8＜15.8，
∴甲种秧苗的长势更整齐.
故答案为：甲.
【分析】通过比较三组秧苗的方差，即可得出方差最小的长势更整齐.
12．（2024九上·天心开学考）方程的两个根是，，那么二次函数与轴的交点坐标是 ．
【答案】、
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由题意知： 方程的两个根是，，
对于二次函数与轴的交点处，y=0，
∴知y=0时，x的值为-2或，
∴二次函数与轴的交点坐标是、，
故答案为：、.
【分析】根据二次函数与一元二次方程的关系可知，一元二次方程ax2+bx+c=0的解就是二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标的值，由题意即可确定.
13．（2024九上·天心开学考）若关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0的一个根为0，则m值是 .
【答案】-2
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：根据题意，得
x=0满足关于x的一元二次方程（m-2）x2+x+m2-4=0，
∴m2-4=0，
解得，m=±2；
又∵二次项系数m-2≠0，即m≠2，
∴m=-2.
故答案为：-2.
【分析】把x=0代入方程可得m2-4=0，从而求出m的值，再由二次项系数m-2≠0，从而确定答案.
14．（2024九上·天心开学考）如图，在中，，平分交于点D，，垂足为E，若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：因为平分，，，所以，
因为，，所以，所以，
所以．
故填：．
【分析】由角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等）可得，根据求出，然后利用勾股定理求解即可．
15．（2024九上·天心开学考）如图，在矩形中，，对角线与相交于点O，，垂足为E，若E为的中点，则的长为 ．
【答案】3
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；矩形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：因为矩形，所以，
因为， E为的中点，
所以，，
又因为，
所以，
所以，
所以是等边三角形，，
所以，
所以，
故填：3．
【分析】证明，则，是等边三角形，，，根据，计算求解即可．
16．（2024九上·天心开学考）二次函数的图象如图所示，对称轴是直线下列结论：；；；为实数其中结论正确的有 填所以正确的序号
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象知：抛物线对称轴为直线x=1，开口向上，当x=-1时，y>0，当x=1时，y<0，
刚结论①：由图象开口向上知，a>0，与y轴交于负半轴，c<0，，可得b<0，故abc>0，结论①错误；
结论②：因为，得b=-2a，当x=-1时，y=a-b+c>0，即3a+c>0，结论②正确；
结论③：因为x=1时，y=a+b+c<0，x=-1时，y=a-b+c>0，故(a+c+b)(a+c-b)=(a+c)2-b2<0，故结论③正确；
结论④：因为抛物线对称轴为，函数图象开口向上，所以当x=1时，y有最小值，即，即，故结论④正确.
故答案为：.
【分析】根据二次函数的图象与性质对各结论进行判断即可，
①根据二次函数开口方向可以确定a的正负，根据图象与y轴交点位置可确定c的正负，根据对称轴的位置可确定b的正负，进而判断abc的正负；②由，得b=-2a，当x=-1时，y=a-b+c>0，即可判断；③当x=1时，y<0，当x=-1时，y>0，变形即可判断；④当x=1，y=a+b+c取最小值，变形即可判断.
三、计算题：本大题共1小题，共9分。
17．（2024九上·天心开学考）某商场试销一种成本为每件元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不超过，
经试销发现，销售量件与销售单价元符合一次函数，且，；时，，
（1）求出一次函数的解析式；
（2）若该商场获利为元，试写出利润与销售单价之间的关系式；
（3）售价定为多少元时，商场可以获利最大，最大利润为多少元？
【答案】（1）将，代入中，
解得：，
（2），
，
（3）又，
即，
则时获利最多，
将代入，得元．
答：售价定为元有最大利润为元
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）已知 ，；时，， 根据待定系数法列出二元一次方程组，进而求出k和b的值，进而得到一次函数解析式；
（2）根据总利润=销售量×单个利润得到w与x的关系式，进一步化简即可；
（3）根据二次函数的性质，配方成顶点式，然后结合自变量的取值范围，从而得到最大值.
四、解答题：本题共8小题，共63分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
18．（2024九上·天心开学考）计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】解决本题需要运用到幂运算的规则（负数的偶次幂为正数，任何非零数的0次幂为1）、算术平方根的定义（一个正数的算术平方根为正数）、绝对值的性质（正数的绝对值是它本身）来逐步计算.
19．（2024九上·天心开学考）解下列一元二次方程
；
．
【答案】解：，
，
或，
解得，，；
，
，
，
，
或，
解得，，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）对于方程 ，我们可以使用因式分解法来求解，因式分解就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，当两个整式的乘积为0时，那么这两个整式至少有一个为0，从而得到方程的解；
（2）对于方程 ，先将方程右边的式子变形，然后通过移项，再利用因式分解法来求解.
20．（2024九上·天心开学考）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根．
（1）求的取值范围；
（2）若，求的值．
【答案】（1），是关于的一元二次方程的两实数根，
，
，
解得：
（2），，
又，
，
，
解得舍去，，
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【分析】（1）由题意知一元二次方程 有两个实数根，
，解不等式可得m的取值范围；
（2）根据根与系数关系可知，，然后将 展示，得到关于m的一元二次方程，解之可得.
21．（2024九上·天心开学考）年月日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情某校为了普及“航空航天”知识，从该校名学生中随机抽取了名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩分 百分比
组
组
组
组
组
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中 ▲ ，并补全条形统计图；
（2）这名学生成绩的中位数会落在 组填、、、或；
（3）试估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数．
【答案】（1）解：20；
补全条形统计图如图所示．
（2）D
（3）解：人．
估计该校名学生中成绩在分以上包括分的人数约人．
【知识点】统计表；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a=20，然后用样本容量乘以可求出C组人数，补全条形统计图即可；
（2）按照中位数的定义求解即可；
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可得解．
22．（2024九上·天心开学考）如图直线：经过点，．
（1）求直线的表达式；
（2）若直线与直线相交于点，与轴相交于点求四边形的面积；
（3）根据图象，直接写出关于的不等式的解集．
【答案】（1）将，代入得，，
解得，
直线的表达式为
（2）联立，
解得，
，
当时，，
解得，
，
，
四边形的面积为
（3）由题意知，关于的不等式的解集为直线在直线上方部分，直线在轴以及轴上方部分所对应的的取值范围，
由图象可知，不等式的解集为
【知识点】两一次函数图象相交或平行问题；一次函数中的面积问题
【解析】【分析】（1）已知直线y1=kx+b过A(-6，0)和B(-1，5)两点，把这两点坐标代入直线方程，就得到关于k和b的二元一次方程组，解这个方程组就能求出k和b的值，进而得到直线AB的表达式；
（2）因为点M是直线y1=kx十b与直线y2=-2x-3的交点，所以点M的坐标同时满足这两个直线方程，将两个方程联立成方程组，求解方程组就能得到点M的坐标，进而得到点D的坐标，四边形OBMD的面积为，求之可得；
（3）对于kx+b>-2x-3>0，先求出y=-2x-3中y=0时x的值，这是不等式右边等于0的边界情况，然后结合两直线图象，观察直线y1=kx+b在直线y2=-2x-3上方且y2=-2x-3在x轴上方(y≥0)部分对应的x的取值范围，就是不等式的解集。
23．（2024九上·天心开学考）如图，在平行四边形中，平分，交于点E，交的延长线于点F．
（1）求证：；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：因为平行四边形，所以，所以，
因为平分，所以，所以，
所以；
（2）解：因为平行四边形，∴，
因为，，
所以，，
因为，，，
所以，
所以，
如图，连接，
因为，
所以，，，
所以，
由勾股定理得，，
所以的长为．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）由平行四边形，可得，则，由平分，可得，则，进而可证；
（2）由题意得，，，证明，则，如图，连接，由，可得，，，则，由勾股定理（直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半 ）得，，计算求解即可．
（1）证明：∵平行四边形，
∴，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∴；
（2）解：∵平行四边形，
∴，
∵，，
∴，，
∵，，，
∴，
∴，
如图，连接，
∵，
∴，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴的长为．
24．（2024九上·天心开学考）我们不妨约定：若某函数图象上存在横纵坐标相等的点，则把该函数称为“和谐函数”，其图象上这一点，称为“和谐点”，例如：“和谐函数”，其“和谐点”为．
（1）在下列关于的函数中，是“和谐函数”的，请在相应的题目后面括号中打“”．
；
；
．
（2）若点、点是“和谐函数”其中上的“和谐点”，且，求的取值范围；
（3）若“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，且当时，的最小值为，求的值．
【答案】（1）×；√；√
（2）是“和谐函数”，
，
整理得，，
点、点是“和谐函数”上的“和谐点”，
设，，
，，，
，
，
，
（3）“和谐函数”的图象上存在唯一的一个“和谐点”，
，且，
，
，
，
是关于的二次函数，对称轴为，
若，即，当时，有最小值，
，
或舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得舍去；
若，即，当时，有最小值，
，
解得；
综上所述：或
【知识点】二次函数的最值；二次函数与一元二次方程的综合应用；含字母系数的二次函数
【解析】【解答】解：（1）根据"和谐函数"的定义：令y=x，若含x的方程有解，则函数为"和谐函数"，
①令y=x，则方程变为x=x - 3，此方程无解，
∴y = x - 3不是 “和谐函数”，括号内应填 “×”；
②令y = x，则，解得，当时，，
∴函数 图象上存在横纵坐标相等的点，它是 “和谐函数”，括号内应填 “√”；
③令y = x，则 ，解得x = 0或x=3，当x = 0时，y = 0；当x=3时，y=3，
∴函数 图象上存在横纵坐标相等的点(0，0)和(3，3)，它是 “和谐函数”，括号内应填 “√”.
【分析】（1）通过判断函数图象上是否存在横纵坐标相等的点来确定是否为 “和谐函数”；
（2）先根据 “和谐函数” 的定义得出n关于k的二次函数，再利用二次函数的性质结合当时，的最小值为 ，得到k的值.
25．（2024九上·天心开学考）如图，抛物线与轴交于点与点，与轴交于点，点是抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在点的运动过程中，是否存在点，使？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）当点在第一象限时，连接，设的面积为，的面积为，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1，0)与点B(3，0)，
∴可设抛物线的交点式为y=a(x+1)(x-3)，
又∵抛物线与y轴交于点C(0，3)，将C(0，3)代入y=a(x+1)(x-3)中，
得到3=a(0+1)(0-3)，
即3=-3a，解得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-(x+1)(x-3)=-x2+2x+3.
（2）解：连接AC，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，作CF⊥EF于点F，如图：
∴∠ACD=∠CAD=45°，
∴AD=CD，
∵∠DAE+∠ADE=90°=∠ADE+∠CDF，
∴∠DAE=∠CDF，
又∵∠DEA=∠CFD=90°，AD=CD，
∴，
∴AE=DF，DE=CF，
设D(m，n)，则DE=n，AE=m+1，CF=m，DF=3-n，
∴m+1=3-n，m=n，
解得m=n=1，
∴D(1，1)，
设直线AP的解析式为y=kx+b，将A(-1，0)，D(1，1)代入可得
解得，
∴直线AP的解析式为，
联立直线AP与抛物线的方程
解得(x=-1是点A的横坐标，舍去)，
当时，，
∴存在点P，使∠CAP=45°，；
（3）解：如图，过点P作PG⊥x轴于点G，
设点P的坐标为(t，-t2+2t+3)，则G(t，0)，
S1=S△ACP=S△AOC+S梯形OCPG-S△AGP=，
S2=S△BCP=S△BPG+S梯形OCPG-S△BOC=，
∴，
由题意知，0∴，
∴，
∴的取值范围为.
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；三角形全等的判定-AAS；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）根据二次函数与x轴的交点A(-1，0)，B(3，0)，设交点式y=a(x+1)(x-3)，然后将点C(0，3)代入解析式，从而求出a的值，从而确定抛物线的解析式；
（2）连接AC，过点C作CD⊥AC交AP于点D，过点D作DE⊥x轴于点E，作CF⊥EF于点F，根据∠ACD=45°，证明，进而求出点D坐标，然后求出直线AP的解析式，联立直线AP与抛物线的方程求出点P的坐标；
（3）过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标，分别表示S1和S2，然后得出的表达式，再根据P点位置确定t的取值范围，从而得出的取值范围.
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