四川省成都市金牛区铁路中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、A卷
1．（2024九上·金牛开学考）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： 选项A：我们可以发现它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A不符合题意。
选项B：我们可以发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项B符合题意；
选项C：我们可以发现它是轴对称图形，但它不是中心对称图形，选项C不符合题意；
选项D：我们可以发现它不是中心对称图形，但它是轴对称图形，选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项中的图形进行判断即可.
2．（2024九上·金牛开学考）若a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A．﹣4a＞﹣4b B．a＞b C．4﹣a＞4﹣b D．a2＞b2
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：根据不等式性质3，在不等式a＞b的两边同时乘以-4，不等号的方向改变，即-4a＜-4b，故本选项错误；
B：根据不等式性质2，在不等式a＞b的两边同时乘以，不等号方向不变，即，故本选项正确；
C：根据不等式性质3，在不等式a＞b的两边同时乘以-1，不等号的方向改变，即-a＜-b．再在不等式的两边同时加上4，不等式号方向不变，即4-a＜4-b．故本选项错误；
D：因为不确定a，b的正负性，不等式a＞b的两边分别乘以a、b，不等式不一定成立．故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质对每个选项进行判断即可.
3．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长
，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，，再根据等角对等边即可得到和是等腰三角形，从而表示出的周长为AB+AC=9.
4．（2024九上·金牛开学考）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4）
【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：等式的的右边 不是表示整式的乘积，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；
B：等式的右边(a 1)2 不等于左边a2 2a 1，故选项B不符合题意；
C：等式的右边(x+3)2+1不是整式乘积的形式，故选项C不符合题意；
D：等式的左边m(m 4)等于左边m2 4m，即 m2 4m=m(m 4)，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据题意，首先我们需要明确因式分解的定义：即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，然后我们对每个选项进行逐一分析，判断其是否符合因式分解的定义即可.
5．（2024九上·金牛开学考）下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质及最简分式的定义逐一辨析即可.
6．（2024九上·金牛开学考）将点P（2，3）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，7） D．（0，﹣1）
【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 已知点P的坐标为(2，3)，
根据题目，点P向左平移2个单位，横坐标减2，得到新的横坐标为2-2=0，
点P向上平移4个单位，纵坐标加4，得到新的纵坐标为3+4=7，
所以，平移后点Q的坐标为(0，7)，
故答案为：C.
【分析】根据点的平移的规律：左右平移，左减右加只变横坐标，上下平移，上加下减只变纵坐标，按规律即可得到点Q的坐标.
7．（2024九上·金牛开学考）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【答案】D
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】先由矩形的性质“对边相等、四个角都是直角”，再由勾股定理即可计算出对角线AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质求出DO的长.
8．（2024九上·金牛开学考）某化工厂要在规定时间内搬运2400千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的1.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．16（15x+x）＝2400 B．16（15x﹣x）＝2400
C． D．
【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由于A型机器人每小时搬运x千克化工原料，所以B型机器人每小时搬运的化工原料量为 1.5 x 千克，
由题意可列：
故答案为：C.
【分析】 首先需要理解题目中给出的信息，可以得出B型机器人每小时搬运的1.5x千克，接下来根据B型机器人单独完成搬运所需的时间比A型机器人少16小时，利用工作时间、工作总量和工作效率之间的关系，可以建立一个关于x的分式方程即可.
9．（2024九上·金牛开学考）分解因式：8a2﹣2ab2＝ ．
【答案】2a（4a﹣b2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： 观察表达式8a2 2ab2，我们可以发现两项都含有2a这个公因式，
提取公因式的过程如下：8a2 2ab2=2a(4a b2)，
故答案为：2a(4a b2).
【分析】根据因式分解的步骤，先考虑提公因式，观察8a2-2ab2，我们可以发现公因式，然后提出公因式，观察结果能不能再分解，进而确定结果.
10．（2024九上·金牛开学考）如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ．
【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵经过平移得到，连接，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形平移的性质，对应点的平移的距离是相等，即可解答.
11．（2024九上·金牛开学考）分式 的值为0，则x= ．
【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：因为分式值为0，所以有 ，∴x=3．故答案为3．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
12．（2024九上·金牛开学考）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴中：，
∵面积，
∴，
故答案为：
【分析】根据菱形的性质得到和，再在中利用勾股定理求出长，然后利用三角形的面积求出AE长即可.
13．（2024九上·金牛开学考）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图知，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，先由作图步骤判断出AP、DP是角平分线，再由平行四边形的性质得出，根据勾股定理即可解答.
14．（2024九上·金牛开学考）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：
（2）整理得： ，
等式两边同时乘(x-1)2，得 x(x 1)+3=(x 1)2，
解得：x=-2，
当x=-2时，(x-1)2≠0，
故x=-2是原分式方程的解
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，然后找到它们的公共解集；
（2）首先找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解出整式方程的解，然后检验，确定分式方程的解.
15．（2024九上·金牛开学考）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝3．
【答案】解：原式=
=
=
当x=3时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将代数式进行化简，化简为最简分式，然后将x的值代入最简分式，得出最终结果即可.
16．（2024九上·金牛开学考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在第四象限．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）求出（2）中线段AB所扫过的面积．
【答案】（1）由对称的性质可知A1(2，4)，B1(4，4)，C1(1，1)，连接即可得 △A1B1C1如下图：
（2）由旋转的性质可知A2(-4，-2)，B2(-4，-4)，C2(-1，-1)，连接即可得 △A2B2C2如下图：
（3）由旋转的性质可知，AB扫过的面积为扇形BOB2与扇形AOA2的面积差：
因为
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)由平面直角坐标系可知A(2，-4)，B(4，-4)，C(1，-1)，则可知点A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，然后连接A1，B1，C1可得 △A1B1C1；
（2）找到点A，B，C 绕原点O顺时针旋转90°后的 A2，B2，C2，然后依次连接即可得到 △A2B2C2；
（3）由旋转的性质知：扇形BOB2与扇形AOA2的面积差即为AB扫过的图形面积.
17．（2024九上·金牛开学考）如图，四边形是边长为1的正方形，分别延长，至点E，F，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是边长为的正方形，，∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，互相垂直平分，再由线段关系推出EF、AC互相垂直平分，即可证明出四边形为菱形．
（2）根据正方形的性质及勾股定理求出AC、EF的长，再根据菱形面积公式计算即可.
（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵四边形是边长为的正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
18．（2024九上·金牛开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上．
（1）求出线以的长度；
（2）求出的函数关系式；
（3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
；
（2）解：过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，，
设，，，
①当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
此时点不存在；
③为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由直线求出A、B的坐标， 再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过点作轴交于点，证明 ，可得
，，设，，则 ，将其代入直线AB上，求出t值即得C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（3） 分三种情况：①当为平行四边形的对角线 ②当为平行四边形的对角线 ③为平行四边形的对角线时，据此分别求解即可.
二、B卷（共8小题，满分50分）
19．（2024九上·金牛开学考）已知，，则 ．
【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n+mn2=mn（m+n）=2×3=6.
故第1空答案为：6.
【分析】首先把m2n+mn2进行因式分解，然后再整体代入求代数式的值即可。
20．（2024九上·金牛开学考）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】0或2
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：关于的分式方程化为整式方程得：
，
即，
由于分式方程无解，
所以或者分式方程有增根，
当时，，
解得，
综上所述，的值为0或2，
故答案为：0或2．
【分析】先将分式方程化为整式方程，若该分式方程无解，则可分为两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但最简公分母为零，分别求解即可.
21．（2024九上·金牛开学考）如图，一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），则关于x的不等式组的解集为 ．
【答案】2≤x＜4
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 不等式组
由函数图象可知， 一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），交点的横坐标为2，对于不等式①，可以理解成一次函数不等式①可理解为一次函数 在一次函数y=-x+4的上方对应的自变量取值范围，即，
对于直线y=-x+4，令y=0，则x=4，结合图象可知当x<4时，函数图象在x轴上方，即-x+4>0，
∴不等式②的解集为x<4，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4，
故答案为：2≤x＜4.
【分析】 由图象可知两条直线的交点的横坐标为2，结合不等式组，不等式①可理解为一次函数 在一次函数y=-x+4的上方对应的自变量取值范围，不等式②可理解为一次函数y=-x+4在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，进而确定不等式组的解.
22．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，
∵是等边三角形，
∴，DF=FE
∴
∵
∴∠C=60°
∴
∴
∴
∴DG=CF，
∴
∴AG=DG
过G作GH⊥AB于H
AD=AB-DB=15-6=9
AH=
在Rt△AHG中，AG=2HG，
.
故答案为：.
【分析】如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，过G作GH⊥AB于H，先证明，由全等性质得出DG=CF，再由等腰三角形的性质得出AG=DG，故在Rt△AHG中，利用勾股定理求出CF即可.
23．（2024九上·金牛开学考）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．
【答案】7.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即的值为定值，
当最小时，有最小值，
∵当时，的最小值，
∴的最小值，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形面积关系：，推算出的值为定值，连接交于点O，再由垂线段最短即可判断出AP的最小值为OA，根据菱形的性质及勾股定理即可计算出答案.
24．（2024九上·金牛开学考）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元．
（1）求A，B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件．该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元，求商店至少购进A商品多少件？
（3）若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元．然后将A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元．请直接写出a的值．
【答案】（1）解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
（2）解：设至少购进A商品a件，可得：
（a-20）×10+（140-a+20）×0.8×10-5a-6（140-a）≥360
解得：a≥40．
答：至少购进A商品40件；
（3）a的值为2.4．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，根据题意得720≤5m+6（140-m）≤740，
解得100≤m≤120，
∴w=2am+3a（140-m）=-am+420a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+420a=768，
∴a=2.4．
答：a的值为2.4．
【分析】（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，根据“采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元”，列出二元一次方程组，即可解答；
（2）设至少购进A商品a件，根据“购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元”列出不等式即可解答；
（3）设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，先根据“购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元”列出不等式组解得m的取值范围，再根据总利润=每件的利润×销售数量，表示出销售利润w与购进m件A之间的关系，得w关于m的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质可知当m=100时，w取得最大值为768元，得出关于a的方程，即可解答．
（1）解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
（2）解：设至少购进A商品a件，可得：
（a-20）×10+（140-a+20）×0.8×10-5a-6（140-a）≥360
解得：a≥40．
答：至少购进A商品40件；
（3）解：设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，
根据题意得720≤5m+6（140-m）≤740，
解得100≤m≤120，
∴w=2am+3a（140-m）=-am+420a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+420a=768，
∴a=2.4．
答：a的值为2.4．
25．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图，连接，若，，，求的面积；
（3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
的面积为；
（3）解：如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故的长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线定义及等腰三角形的判定得到=，再由平行四边形的判定即可证明结论；
（2）如图，过点A作于点，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理计算AE长，最后运用平行四边形面积公式即可求得答案；
（3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，先证明出四边形是菱形，再结合轴对称的性质推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，勾股定理得出，运用角平分线性质可得，进而得出，在等腰△BEN中，利用等腰三角形性质及勾股定理即可解答.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
的面积为；
（3）解：如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故的长为．
26．（2024九上·金牛开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点是轴上一动点，点在的右侧，，．
①当最小时，求点的坐标；
②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．
【答案】（1）解：对于直线，当时，，即，
∴，
∵四边形为正方形，
设，
∵，
解得或（舍去），
即，，
将点，代入直线，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：①过点作轴于点，如图，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
由题意可得，，
即有，
∴，
∴点在定直线上，如下图，
设直线交轴于点，
对于直线：，
令，可得，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
作点关于直线：的对称点，连接、，
则在同一直线上，
由轴对称的性质可得垂直平分线，，，
当点在同一直线上时
则此时，取最小值，
∵，
∴，
∴，即，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的表达式为：，
联立和，可得，
解得，
则点的坐标为；
②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，，
∵点是线段的中点，即，，
∴，，
∴，
分两种情况讨论：
当点在直线下方时，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，此时点与点重合，
∴；
当点在直线上方时，如图，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设直线交于点，
当时，，
∴点，
作点关于直线的对称点，
∴，
此时，
∴点为直线与的交点，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线为，
联立和，
可得，解得，
即．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式列出方程，解得，从而得到，，利用待定系数法即可求解；
（2）①先根据题意，确定动点在直线上运动，作点关于直线的对称点，则此时最小，求出CT解析式后与动点E轨迹解析式联立即可求解；
②分两种情况讨论：当点在直线下方时，依据图形的几何性质即可确定点与点重合，符合题设条件；当点在直线上方时，设直线交于点，作点关于直线的对称点，易得点为直线与的交点，确定AN解析式后与直线联立即可解答.
（1）解：对于直线，
当时，，即，
∴，
∵四边形为正方形，
设，
∵，
解得或（舍去），
即，，
将点，代入直线，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：①过点作轴于点，如图，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
由题意可得，，
即有，
∴，
∴点在定直线上，如下图，
设直线交轴于点，
对于直线：，
令，可得，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
作点关于直线：的对称点，连接、，
则在同一直线上，
由轴对称的性质可得垂直平分线，，，
当点在同一直线上时
则此时，取最小值，
∵，
∴，
∴，即，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的表达式为：，
联立和，可得，
解得，
则点的坐标为；
②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，，
∵点是线段的中点，即，，
∴，，
∴，
分两种情况讨论：
当点在直线下方时，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，此时点与点重合，
∴；
当点在直线上方时，如图，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设直线交于点，
当时，，
∴点，
作点关于直线的对称点，
∴，
此时，
∴点为直线与的交点，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线为，
联立和，
可得，解得，
即．
综上所述，点的坐标为或．
1 / 1四川省成都市金牛区铁路中学2024-2025学年九年级上学期数学开学考试试卷
一、A卷
1．（2024九上·金牛开学考）下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九上·金牛开学考）若a＞b，则下列不等式正确的是（ ）
A．﹣4a＞﹣4b B．a＞b C．4﹣a＞4﹣b D．a2＞b2
3．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，的平分线交于点O，过点O作分别交于点E，F，若，则的周长是（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
4．（2024九上·金牛开学考）下列由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．a2﹣2a﹣1＝（a﹣1）2
C．x2+6x+10＝（x+3）2+1 D．m2﹣4m＝m（m﹣4）
5．（2024九上·金牛开学考）下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九上·金牛开学考）将点P（2，3）向左平移2个单位，向上平移4个单位得到点Q，则点Q的坐标是（ ）
A．（4，7） B．（4，﹣1） C．（0，7） D．（0，﹣1）
7．（2024九上·金牛开学考）如图，矩形中，是对角线的中点，连接．若，，则的长为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
8．（2024九上·金牛开学考）某化工厂要在规定时间内搬运2400千克化工原料，现有A，B两种机器人可供选择，已知B型机器人每小时完成的工作量是A型机器人的1.5倍，B型机器人单独完成所需的时间比A型机器人少16小时，如果设A型机器人每小时搬运x千克化工原料，则可以列出以下哪个方程（ ）
A．16（15x+x）＝2400 B．16（15x﹣x）＝2400
C． D．
9．（2024九上·金牛开学考）分解因式：8a2﹣2ab2＝ ．
10．（2024九上·金牛开学考）如图，经过平移得到，连接，若，则点A与点之间的距离为 ．
11．（2024九上·金牛开学考）分式 的值为0，则x= ．
12．（2024九上·金牛开学考）如图所示，菱形的对角线、相交于点．若，，，垂足为，则的长为 ．
13．（2024九上·金牛开学考）如图，四边形是平行四边形，按以下步骤操作：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，交于点E，交于点F；再分别以点E，F为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点M；②以点D为圆心，适当长为半径画弧，交于点H，交于点G；再分别以点G，H为圆心，以大于长为半径作弧，两弧相交于点N；③作射线相交于点P．若，则的长为 ．
14．（2024九上·金牛开学考）（1）解不等式组：；
（2）解分式方程：．
15．（2024九上·金牛开学考）先化简，再求值：（x﹣）÷，其中x＝3．
16．（2024九上·金牛开学考）如图，在平面直角坐标系中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，△ABC在第四象限．
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；
（2）请画出△ABC绕原点O顺时针旋转90°后的△A2B2C2；
（3）求出（2）中线段AB所扫过的面积．
17．（2024九上·金牛开学考）如图，四边形是边长为1的正方形，分别延长，至点E，F，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）求四边形的面积．
18．（2024九上·金牛开学考）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于、两点，点在线段上，将线段绕着点逆时针旋转得到线段，此时点恰好落在直线上．
（1）求出线以的长度；
（2）求出的函数关系式；
（3）若点是轴上的一个动点，点是线段上的点（不与点、重合），是否存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点坐标；若不存在，说明理由．
二、B卷（共8小题，满分50分）
19．（2024九上·金牛开学考）已知，，则 ．
20．（2024九上·金牛开学考）若关于的分式方程无解，则的值为 ．
21．（2024九上·金牛开学考）如图，一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），则关于x的不等式组的解集为 ．
22．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，，点分别在边上，连接，若，且是等边三角形，则 ．
23．（2024九上·金牛开学考）如图，在菱形中，，点P为线段上不与端点重合的一个动点．过点P作直线、直线的垂线，垂足分别为点E、点F．连结，在点P的运动过程中，的最小值等于 ．
24．（2024九上·金牛开学考）某商店购进A，B两种商品共140件进行销售．已知采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元．
（1）求A，B商品每件进价分别是多少元？
（2）若该商店出售A，B两种商品时，先都以标价10元出售，售出一部分后再降价促销，都以标价的8折售完所有剩余商品．其中以10元售出的商品件数比购进A种商品件数少20件．该商店此次降价前后销售A，B两种商品共获利不少于360元，求商店至少购进A商品多少件？
（3）若采购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元．然后将A商品每件加价2a元销售，B商品每件加价3a元销售，140件商品全部售出的最大利润为768元．请直接写出a的值．
25．（2024九上·金牛开学考）如图，在中，的平分线交于点，的平分线交于点．
（1）求证：四边形为平行四边形；
（2）如图，连接，若，，，求的面积；
（3）如图，连接，作关于直线对称的，其中点A，的对应点分别为点，，恰好有，垂足为若，求的长．
26．（2024九上·金牛开学考）如图，直线与坐标轴分别交于点，，以为边在轴的右侧作正方形，且．
（1）求直线的解析式；
（2）如图1，点是轴上一动点，点在的右侧，，．
①当最小时，求点的坐标；
②如图2，点是线段的中点，另一动点在直线上，且，请求出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称图形
【解析】【解答】解： 选项A：我们可以发现它是轴对称图形，但不是中心对称图形，故选项A不符合题意。
选项B：我们可以发现它既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项B符合题意；
选项C：我们可以发现它是轴对称图形，但它不是中心对称图形，选项C不符合题意；
选项D：我们可以发现它不是中心对称图形，但它是轴对称图形，选项D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义对每个选项中的图形进行判断即可.
2．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解： A：根据不等式性质3，在不等式a＞b的两边同时乘以-4，不等号的方向改变，即-4a＜-4b，故本选项错误；
B：根据不等式性质2，在不等式a＞b的两边同时乘以，不等号方向不变，即，故本选项正确；
C：根据不等式性质3，在不等式a＞b的两边同时乘以-1，不等号的方向改变，即-a＜-b．再在不等式的两边同时加上4，不等式号方向不变，即4-a＜4-b．故本选项错误；
D：因为不确定a，b的正负性，不等式a＞b的两边分别乘以a、b，不等式不一定成立．故本选项错误；
故答案为：B.
【分析】根据不等式的性质对每个选项进行判断即可.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定
【解析】【解答】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
，，
的周长
，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的定义和平行线的性质可得，，再根据等角对等边即可得到和是等腰三角形，从而表示出的周长为AB+AC=9.
4．【答案】D
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A：等式的的右边 不是表示整式的乘积，不符合因式分解的定义，故选项A不符合题意；
B：等式的右边(a 1)2 不等于左边a2 2a 1，故选项B不符合题意；
C：等式的右边(x+3)2+1不是整式乘积的形式，故选项C不符合题意；
D：等式的左边m(m 4)等于左边m2 4m，即 m2 4m=m(m 4)，故选项D符合题意；
故答案为：D.
【分析】 根据题意，首先我们需要明确因式分解的定义：即把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，然后我们对每个选项进行逐一分析，判断其是否符合因式分解的定义即可.
5．【答案】B
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：A、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
B、，正确，故此选项符合题意；
C、是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
D、，是最简分式，不能再约分，故此选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据分式的基本性质及最简分式的定义逐一辨析即可.
6．【答案】C
【知识点】用坐标表示平移
【解析】【解答】解： 已知点P的坐标为(2，3)，
根据题目，点P向左平移2个单位，横坐标减2，得到新的横坐标为2-2=0，
点P向上平移4个单位，纵坐标加4，得到新的纵坐标为3+4=7，
所以，平移后点Q的坐标为(0，7)，
故答案为：C.
【分析】根据点的平移的规律：左右平移，左减右加只变横坐标，上下平移，上加下减只变纵坐标，按规律即可得到点Q的坐标.
7．【答案】D
【知识点】矩形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，，
，，
，
，
故答案为：D．
【分析】先由矩形的性质“对边相等、四个角都是直角”，再由勾股定理即可计算出对角线AC的长，再由直角三角形斜边中线的性质求出DO的长.
8．【答案】C
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：由于A型机器人每小时搬运x千克化工原料，所以B型机器人每小时搬运的化工原料量为 1.5 x 千克，
由题意可列：
故答案为：C.
【分析】 首先需要理解题目中给出的信息，可以得出B型机器人每小时搬运的1.5x千克，接下来根据B型机器人单独完成搬运所需的时间比A型机器人少16小时，利用工作时间、工作总量和工作效率之间的关系，可以建立一个关于x的分式方程即可.
9．【答案】2a（4a﹣b2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解： 观察表达式8a2 2ab2，我们可以发现两项都含有2a这个公因式，
提取公因式的过程如下：8a2 2ab2=2a(4a b2)，
故答案为：2a(4a b2).
【分析】根据因式分解的步骤，先考虑提公因式，观察8a2-2ab2，我们可以发现公因式，然后提出公因式，观察结果能不能再分解，进而确定结果.
10．【答案】
【知识点】平移的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵经过平移得到，连接，且，
∴，
故答案为：．
【分析】根据图形平移的性质，对应点的平移的距离是相等，即可解答.
11．【答案】3
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：因为分式值为0，所以有 ，∴x=3．故答案为3．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
12．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，
∴，，，
∴中：，
∵面积，
∴，
故答案为：
【分析】根据菱形的性质得到和，再在中利用勾股定理求出长，然后利用三角形的面积求出AE长即可.
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∴，
由作图知，平分，平分，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意，先由作图步骤判断出AP、DP是角平分线，再由平行四边形的性质得出，根据勾股定理即可解答.
14．【答案】（1）解：，
解不等式①得：，
解不等式②得：x<2，
∴不等式组的解集为：
（2）整理得： ，
等式两边同时乘(x-1)2，得 x(x 1)+3=(x 1)2，
解得：x=-2，
当x=-2时，(x-1)2≠0，
故x=-2是原分式方程的解
【知识点】解一元一次不等式组；去分母法解分式方程
【解析】【分析】（1）分别解两个不等式，然后找到它们的公共解集；
（2）首先找到最简公分母，将分式方程转化为整式方程，解出整式方程的解，然后检验，确定分式方程的解.
15．【答案】解：原式=
=
=
当x=3时，原式=
【知识点】分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】首先将代数式进行化简，化简为最简分式，然后将x的值代入最简分式，得出最终结果即可.
16．【答案】（1）由对称的性质可知A1(2，4)，B1(4，4)，C1(1，1)，连接即可得 △A1B1C1如下图：
（2）由旋转的性质可知A2(-4，-2)，B2(-4，-4)，C2(-1，-1)，连接即可得 △A2B2C2如下图：
（3）由旋转的性质可知，AB扫过的面积为扇形BOB2与扇形AOA2的面积差：
因为
【知识点】扇形面积的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】(1)由平面直角坐标系可知A(2，-4)，B(4，-4)，C(1，-1)，则可知点A，B，C关于x轴的对称点A1，B1，C1，然后连接A1，B1，C1可得 △A1B1C1；
（2）找到点A，B，C 绕原点O顺时针旋转90°后的 A2，B2，C2，然后依次连接即可得到 △A2B2C2；
（3）由旋转的性质知：扇形BOB2与扇形AOA2的面积差即为AB扫过的图形面积.
17．【答案】（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）解：∵四边形是边长为的正方形，，∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
【知识点】菱形的判定与性质；正方形的性质
【解析】【分析】（1）连接，根据正方形的性质得出，互相垂直平分，再由线段关系推出EF、AC互相垂直平分，即可证明出四边形为菱形．
（2）根据正方形的性质及勾股定理求出AC、EF的长，再根据菱形面积公式计算即可.
（1）证明：如图，连接，交于点，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∵，
∴，即，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴四边形是菱形．
（2）∵四边形是边长为的正方形，，
∴，
∴，
∴，
∴四边形的面积为．
18．【答案】（1）解：当时，，
，
当时，，
，
；
（2）解：过点作轴交于点，
，
，
，
，
，
，
，，
设，，
，
点在直线上，
，
解得，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为；
（3）解：存在以、、、为顶点的四边形是平行四边形，理由如下：
由（2）可知，，
设，，，
①当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
②当为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
此时点不存在；
③为平行四边形的对角线时，，，
解得，，
；
综上所述：点坐标或．
【知识点】一次函数的图象；待定系数法求一次函数解析式；勾股定理；平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS
【解析】【分析】（1） 由直线求出A、B的坐标， 再利用勾股定理求出AB的长即可；
（2）过点作轴交于点，证明 ，可得
，，设，，则 ，将其代入直线AB上，求出t值即得C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式即可；
（3） 分三种情况：①当为平行四边形的对角线 ②当为平行四边形的对角线 ③为平行四边形的对角线时，据此分别求解即可.
19．【答案】
【知识点】代数式求值；因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：m2n+mn2=mn（m+n）=2×3=6.
故第1空答案为：6.
【分析】首先把m2n+mn2进行因式分解，然后再整体代入求代数式的值即可。
20．【答案】0或2
【知识点】分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：关于的分式方程化为整式方程得：
，
即，
由于分式方程无解，
所以或者分式方程有增根，
当时，，
解得，
综上所述，的值为0或2，
故答案为：0或2．
【分析】先将分式方程化为整式方程，若该分式方程无解，则可分为两种情况：①整式方程无解；②整式方程有解，但最简公分母为零，分别求解即可.
21．【答案】2≤x＜4
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解： 不等式组
由函数图象可知， 一次函数与y＝﹣x+4的图象相交于点E（2，n），交点的横坐标为2，对于不等式①，可以理解成一次函数不等式①可理解为一次函数 在一次函数y=-x+4的上方对应的自变量取值范围，即，
对于直线y=-x+4，令y=0，则x=4，结合图象可知当x<4时，函数图象在x轴上方，即-x+4>0，
∴不等式②的解集为x<4，
∴不等式组的解集为：2≤x＜4，
故答案为：2≤x＜4.
【分析】 由图象可知两条直线的交点的横坐标为2，结合不等式组，不等式①可理解为一次函数 在一次函数y=-x+4的上方对应的自变量取值范围，不等式②可理解为一次函数y=-x+4在x轴上方的部分对应的自变量的取值范围，进而确定不等式组的解.
22．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】解：如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，
∵是等边三角形，
∴，DF=FE
∴
∵
∴∠C=60°
∴
∴
∴
∴DG=CF，
∴
∴AG=DG
过G作GH⊥AB于H
AD=AB-DB=15-6=9
AH=
在Rt△AHG中，AG=2HG，
.
故答案为：.
【分析】如图所示，在FA上截取FG=EC，连接DG，过G作GH⊥AB于H，先证明，由全等性质得出DG=CF，再由等腰三角形的性质得出AG=DG，故在Rt△AHG中，利用勾股定理求出CF即可.
23．【答案】7.8
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：如图，连接交于点O，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：，
即的值为定值，
当最小时，有最小值，
∵当时，的最小值，
∴的最小值，
故答案为：．
【分析】连接，根据三角形面积关系：，推算出的值为定值，连接交于点O，再由垂线段最短即可判断出AP的最小值为OA，根据菱形的性质及勾股定理即可计算出答案.
24．【答案】（1）解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
（2）解：设至少购进A商品a件，可得：
（a-20）×10+（140-a+20）×0.8×10-5a-6（140-a）≥360
解得：a≥40．
答：至少购进A商品40件；
（3）a的值为2.4．
【知识点】二元一次方程组的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（3）解：设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，根据题意得720≤5m+6（140-m）≤740，
解得100≤m≤120，
∴w=2am+3a（140-m）=-am+420a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+420a=768，
∴a=2.4．
答：a的值为2.4．
【分析】（1）设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，根据“采购A商品10件与B商品20件共170元，采购A商品20件与B商品30件共280元”，列出二元一次方程组，即可解答；
（2）设至少购进A商品a件，根据“购进A、B两种商品降价前后共获利不少于360元”列出不等式即可解答；
（3）设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，先根据“购这140件商品的费用不低于720元，不高于740元”列出不等式组解得m的取值范围，再根据总利润=每件的利润×销售数量，表示出销售利润w与购进m件A之间的关系，得w关于m的一次函数关系式，最后利用一次函数的性质可知当m=100时，w取得最大值为768元，得出关于a的方程，即可解答．
（1）解：设A商品每件的进价为x元，B商品每件的进价为y元，
依题意得：，
解得：．
答：A商品每件的进价为5元，B商品每件的进价为6元；
（2）解：设至少购进A商品a件，可得：
（a-20）×10+（140-a+20）×0.8×10-5a-6（140-a）≥360
解得：a≥40．
答：至少购进A商品40件；
（3）解：设销售利润为w元，购进A商品m件，则B商品（140-m）件，
根据题意得720≤5m+6（140-m）≤740，
解得100≤m≤120，
∴w=2am+3a（140-m）=-am+420a，
∵a为正数，
∴-a＜0，
∴w随m的增大而减小，
∴当m=100时，w取得最大值，最大值为-a×100+420a=768，
∴a=2.4．
答：a的值为2.4．
25．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
的面积为；
（3）解：如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故的长为．
【知识点】平行四边形的判定与性质；菱形的判定与性质；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形性质、角平分线定义及等腰三角形的判定得到=，再由平行四边形的判定即可证明结论；
（2）如图，过点A作于点，先证明四边形是矩形，再利用勾股定理计算AE长，最后运用平行四边形面积公式即可求得答案；
（3）如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，先证明出四边形是菱形，再结合轴对称的性质推出、是等腰直角三角形，再证得是等腰直角三角形，勾股定理得出，运用角平分线性质可得，进而得出，在等腰△BEN中，利用等腰三角形性质及勾股定理即可解答.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
同理可得：，
，
，
即，
四边形为平行四边形；
（2）解：如图，过点作于点，
则，
，
，
，
，
四边形是矩形，
，，
由（1）得：，，
，
设，则，
，
在中，，
，
解得：，
，
，
的面积为；
（3）解：如图，过点作交于点，过点作于点，连接交的延长线于点，
由（1）知，
四边形是平行四边形，
由（1）知，
四边形是菱形，
，，
又关于直线对称的，其中点，的对应点分别为点，，
，，，
由（1）知四边形为平行四边形，
，
又，
，
，
、是等腰直角三角形，
垂直平分，
即，
又，，
，
，
即是等腰直角三角形，
，
由勾股定理得，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
又，，
，
，
又是等腰直角三角形，
，
故的长为．
26．【答案】（1）解：对于直线，当时，，即，
∴，
∵四边形为正方形，
设，
∵，
解得或（舍去），
即，，
将点，代入直线，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：①过点作轴于点，如图，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
由题意可得，，
即有，
∴，
∴点在定直线上，如下图，
设直线交轴于点，
对于直线：，
令，可得，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
作点关于直线：的对称点，连接、，
则在同一直线上，
由轴对称的性质可得垂直平分线，，，
当点在同一直线上时
则此时，取最小值，
∵，
∴，
∴，即，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的表达式为：，
联立和，可得，
解得，
则点的坐标为；
②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，，
∵点是线段的中点，即，，
∴，，
∴，
分两种情况讨论：
当点在直线下方时，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，此时点与点重合，
∴；
当点在直线上方时，如图，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设直线交于点，
当时，，
∴点，
作点关于直线的对称点，
∴，
此时，
∴点为直线与的交点，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线为，
联立和，
可得，解得，
即．
综上所述，点的坐标为或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；一次函数中的角度问题
【解析】【分析】（1）由三角形的面积公式列出方程，解得，从而得到，，利用待定系数法即可求解；
（2）①先根据题意，确定动点在直线上运动，作点关于直线的对称点，则此时最小，求出CT解析式后与动点E轨迹解析式联立即可求解；
②分两种情况讨论：当点在直线下方时，依据图形的几何性质即可确定点与点重合，符合题设条件；当点在直线上方时，设直线交于点，作点关于直线的对称点，易得点为直线与的交点，确定AN解析式后与直线联立即可解答.
（1）解：对于直线，
当时，，即，
∴，
∵四边形为正方形，
设，
∵，
解得或（舍去），
即，，
将点，代入直线，
可得，解得，
∴直线的表达式为；
（2）解：①过点作轴于点，如图，
由题意可得，，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
设，则，，
由题意可得，，
即有，
∴，
∴点在定直线上，如下图，
设直线交轴于点，
对于直线：，
令，可得，
即，
∴，，
∴，
∵，
∴，即，
作点关于直线：的对称点，连接、，
则在同一直线上，
由轴对称的性质可得垂直平分线，，，
当点在同一直线上时
则此时，取最小值，
∵，
∴，
∴，即，
∴点，
设直线的解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
直线的表达式为：，
联立和，可得，
解得，
则点的坐标为；
②如下图，连接，由题意可得为等腰直角三角形，，
∵点是线段的中点，即，，
∴，，
∴，
分两种情况讨论：
当点在直线下方时，如图，
∵四边形为正方形，
∴，
∴，此时点与点重合，
∴；
当点在直线上方时，如图，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线解析式为，
设直线交于点，
当时，，
∴点，
作点关于直线的对称点，
∴，
此时，
∴点为直线与的交点，
设直线解析式为，
将点，代入，
可得，解得，
∴直线为，
联立和，
可得，解得，
即．
综上所述，点的坐标为或．
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