甘肃省武威市凉州区凉州区金塔、和平九年制学校2025年一模数学试题
一、选择题（共30分）
1．（2025·凉州模拟）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
2．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点，
∴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图像与轴有两个交点，
∴，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C选项正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴与时，值相等，
∴当时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C 。
【分析】观察二次函数的图象信息，确定a和c的取值，然后再根据对称轴的公式，同时结合a的取值，即可确定b的取值；再根据二次函数与x的交点问题，根据判别式即可判断；将x=-1和x=3分别代入二次函数中，对选项进行对比即可求解。
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】根据题干中图形旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理：，代入数据即可求解。
4．（2025·凉州模拟）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
，分别切于点A，B，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B。
【分析】连接，，根据切线的性质得到，根据 ，可得， 再根据四边形 是菱形，可得，根据等边对等角，可得，进而得到的度数，进而可求出的值，然后再根据线段的关系：，代入数据即可求出的长。
5．（2025·凉州模拟） 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（不合格产品）=.
故答案为：C.
【分析】简单随机事件概率，随机事件包含的结果数与试验总结果数的比是该随机事件的概率，据此据求解即可.
6．（2025·凉州模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的面积．
故答案为：A。
【分析】根据A与点B关于原点对称的性质，可得，然后再根据轴，可知的面积，代入数据，即可求解。
7．（2025·凉州模拟）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的值为，
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，可得，然后再根据 ，易得，最后再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解。
8．（2025·凉州模拟）如图，内接于，，，则的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，
，
，
，
，，
，
，
的半径为4。
故答案为：A。
【分析】在弦所对优弧上取一点，然后再连接，，，过O点做作于，根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后再根据圆周角和圆心角的定义，可求出的度数，最后再根据正弦函数的定义和特殊角的三角函数值：，代入数据即可求出的长。
9．（2025·凉州模拟）图中几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，1，1，
故答案为：D。
【分析】根据主视图的定义：主视图是指在正面内得到的由前向后观察物体的视图。据此即可求解。
10．（2025·凉州模拟）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，
∵直线与反比例函数相交于点，
∴，，
解得：，，
∴直线解析式为，反比例函数，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵点和点，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∴，
联立，解得：或，
∴，
∴
，
故答案为：。
【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，将A点坐标分别代入一次函数和 反比例函数，求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式，然后令x=0，求出B点坐标，然后再根据旋转的角度，易得是等腰直角三角形，再根据 ，易证，设，由点和点，则，，代入数据，即可求出a的值，可得F点的坐标， 设直线的解析式为 ，因F点在AC直线上，将A点坐标和F点坐标代入 ，求得直线的解析式，然后建立方程组，求出C点坐标，最后再通过，代入数据即可求解。
二、填空题（共24分）
11．（2025·凉州模拟）设，是方程的两个根，则 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是方程的两个根，
。
故答案为：。
【分析】根据韦达定理，可得，，，然后再代入数据即可求解。
12．（2025·凉州模拟）已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ．
【答案】2
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：或，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴开口向上，
∴，
故答案为：2。
【分析】根据二次函数的定义，可得，即可解出的值，最后再利用二次函数图象性质，即可求解。
13．（2025·凉州模拟）如图，在正方形中，E是的中点，F是延长线上一点，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，旋转的最小角度为 ．
【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，的对应边是和之间夹角即为旋转的度数，
在正方形中，点E是的中点，点F是延长线上一点，，
故旋转的角度为90度。
故答案为：。
【分析】观察图形及旋转后的图形位置，可知，的对应边是，和之间夹角即为旋转的度数，在正方形中，根据正方形的性质，即可求解。
14．（2025·凉州模拟）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ．
【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设为正六边形的中心，连接，如图，
∴，
∴是等边三角形，
∵正六边形的边长为1，
∴．
故答案为：2。
【分析】设为正六边形的中心，连接，根据正六边的性质，易得是等边三角形，然后再根据正六边形的边长，即可求出FC的值。
15．（2025·凉州模拟）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，交y轴于点，
∵，
∴点C为A、B中点，
设，
∴，
∵点A在上，点B在上，
∴，
∴即，
∴的面积为：，
∴，
由图象得：，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】设直线的解析式为，交y轴于点，根据 ，可知点C为A、B中点，设，因点A在上，点B在上，则，根据中点坐标公式，可求出，再由三角形的面积公式：，代入数据可求出的值，然后再结合函数图象即可求解。
16．（2025·凉州模拟）如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则 ．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作交于点G，
则，，
∴，，
即
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】过点E作交于点G，根据平行线的性质，易得，，然后再根据相似三角形的性质，可得，，即可求出，即可求得结果。
17．（2025·凉州模拟）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 ．
【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：是的半径，是的弦，，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】根据垂径定理可知，代入数据求出BD的值，然后再根据直角三角形的性质，可得，再根据圆的切线可知，最后再根据正切函数的定义：，代入数据，即可求出AE的值。
18．（2025·凉州模拟）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个．
【答案】7
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可知：当小立方块最少时，如图：（画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）；
（个）；
故答案为：7．
【分析】根据主视图和俯视图，可以在俯视图的位置上标出当小立方块最少时，每个位置上的小正方体的个数（答案不唯一），即可得出答案。
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）．
（1）求出顶点，的坐标；
（2）在图中画出．
【答案】（1）解：根据旋转方式结合网格的特点可得
的位置如图：即为所求，
∴。
（2）解：如图：即为所求。
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题干中图形旋转的方式并结合网格的特点，分别确定坐标位置，然后再求出点，的坐标即可；
（2）连接、、，即可得到。
（1）解：根据旋转方式结合网格的特点可得的位置如图：即为所求，
∴．
（2）解：如图：即为所求．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
【答案】解：（1）
。
（2）
，
∵，
∴原式。
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则和特殊锐角三角函数值，然后再将各个式子进行相加减即可求解。
（2）先对括号内的分式进行通分，运算，然后再将除号后的分式根据完全平方公式和提取公因式的方法，对该分式进行分解，然后再将除法换算成乘法，最后再进行约分，运算，化简，最后再将题干中的代入化简后的分式中，即可求解。
21．（2025·凉州模拟）如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长．
【答案】解：设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，
的长为。
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”，列出分式方程：，求出x的值，然后再根据“墙EF最长可利用28米”，可得，据此即可求出AB的长。
22．（2025·凉州模拟）如图，在等腰中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转到，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：中，，，
，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在与中，
，
。
（2）解：
，
；
。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题干信息，易得，根据E点绕A点逆时针旋转到，可得，易得，进而可以证明；
（2）结合（1），以及等腰三角形的性质，可得，进而得到，再根据直角三角形的互余的性质即可求出的度数。
（1）解：中，，，
，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在与中，
，
；
（2）解：
，
；
．
23．（2025·凉州模拟）如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
【答案】（1）证明：连接，设交于，如图所示：
和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
又和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
即，
是的切线。
（2）解：连接，，设交于，如图所示：
，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
。
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接，设交于，根据圆周角定理，可得，再根据三角形的外角定理，可知，，易得，结合半径相等以及同弧所对的圆周角相等，可知，，，从而得到，即，得证；
（2）连接，，设交于，先证明，进而可得，然后再结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得，，，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求得，根据等面积关系，可得，代入数据，即可求出，进而可得。
（1）证明：连接，设交于，如图所示：
和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
又和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：连接，，设交于，如图所示：
，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
24．（2025·凉州模拟）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为。
（2）解：令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数中，即可求出k，求出反比例函数的解析式，再将点代入反比例函数的解析式中，求出m，即可得点C的坐标，设直线的函数表达式为，因为直线过B、C两点，用B和D两点的坐标代入，建立方程组即可求出和的值，进而即可求出BD的解析式。
（2）令，然后再结合图像中各点的位置，确定点D的坐标，然后再根据，代入数据即可求解。
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5．
25．（2025·凉州模拟）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求直径和的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，可得出，再根据圆周角定理，得出，根据圆内接四边形及平行线的性质可得出，故而得出∠CAG=∠AGC，根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）如图，连接，首先根据垂径定理得出CE=DE=1，于是AE=3，再根据AA可证得，得出BE=，进而可得出直径AB=；再根据勾股定理求得，所以DF=，根据面积法可求得AH，根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得．
（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
26．（2025·凉州模拟）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
【答案】（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形。
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，平分，即可，，然后再根据平行四边形的判定定理，易得四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理，即可证明。
（2）在中，根据勾股定理，，代入数据求出BD的值，在解，根据正弦函数的定义：和勾股定理：，代入数据即可求出AE的和BD的值。
（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
27．（2025·凉州模拟）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点坐标；
（2）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
【答案】（1）解：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴
（2）解：如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或。
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或。
【分析】（1）将A点坐标和B点坐标分别代入抛物线，建立方程组，求出b和c，进而可求出抛物线的解析式，然后再通过配方，将抛物线的一般方程化成顶点式方程，继而即可求出D点坐标。
（2）设交于点，根据勾股定理，易得BE的值，然后再根据对称的性质，易得的坐标，根据中点坐标公式，即可求出的坐标，设直线的解析式为，然后再将F的坐标代入该解析式，即可求得直线解析式，最后再联合抛物线和一次函数的解析式，即可求出M求解；
（3）分别根据在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解。
（1）解：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴；
（2）解：如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或；
（3）解：当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或．
1 / 1甘肃省武威市凉州区凉州区金塔、和平九年制学校2025年一模数学试题
一、选择题（共30分）
1．（2025·凉州模拟）用配方法解一元二次方程 ，配方正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
2．（2025·凉州模拟）在平面直角坐标系中，若二次函数的图象如图所示，则以下结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，相交于点F，若时，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·凉州模拟）如图，已知的半径长是1，，分别切于点A，B，连结并延长交于点C，连结，．若四边形是菱形，则的长是（ ）
A． B．3 C． D．4
5．（2025·凉州模拟） 外观相同的5件产品中有2件为不合格产品．现从中随机抽取1件进行检测，抽到不合格产品的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·凉州模拟）如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于A，B两点，轴于点C，则的面积为（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．（2025·凉州模拟）如图，D，E分别是的边，上的点，且，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·凉州模拟）如图，内接于，，，则的半径为（ ）
A．4 B． C． D．
9．（2025·凉州模拟）图中几何体的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·凉州模拟）如图，直线与反比例函数相交于点，与轴交于点，将射线绕点逆时针旋转，交反比例函数图象于点，则点构成的三角形面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分）
11．（2025·凉州模拟）设，是方程的两个根，则 ．
12．（2025·凉州模拟）已知是关于x的二次函数，且当时，y随x的增大而增大，则k的值为 ．
13．（2025·凉州模拟）如图，在正方形中，E是的中点，F是延长线上一点，，绕点A按逆时针方向旋转到的位置，旋转的最小角度为 ．
14．（2025·凉州模拟）如图，正六边形的边长为1，则对角线的长是 ．
15．（2025·凉州模拟）如图，在轴上方，直线与和的图象分别交于、两点，交轴于点，且，连接、，若的面积为5，则 ．
16．（2025·凉州模拟）如图，在中，点在的延长线上，点在边上，交于，若，则 ．
17．（2025·凉州模拟）如图，是的半径，是的弦，于点，是的切线，交的延长线于点．若，，则线段的长为 ．
18．（2025·凉州模拟）一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有 个．
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，将绕原点按逆时针方向旋转，得到（点A，，的对应点分别为点，，）．
（1）求出顶点，的坐标；
（2）在图中画出．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中m满足．
21．（2025·凉州模拟）如图，利用一面墙（墙最长可利用28米），围成一个矩形花园．与墙平行的一边上要预留2米宽的入口（如图中所示，不用砌墙）．用砌60米长的墙的材料围成一个面积为300平方米矩形花园，求的长．
22．（2025·凉州模拟）如图，在等腰中，，，是上一点，将绕点逆时针旋转到，连接、．
（1）求证：；
（2）若，求的度数．
23．（2025·凉州模拟）如图，在中，，，以为直径的交于点，是上一点，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，求的长度．
24．（2025·凉州模拟）如图，一次函数与反比例函数相交于，两点，过点A作轴于点C，连接并延长，交反比例函数的图象于点D，连接．
（1）求直线的函数表达式；
（2）求的面积．
25．（2025·凉州模拟）如图，的直径⊥弦，垂足为E，以为邻边作平行四边形，交于点G，连接．
（1）求证：；
（2）若，求直径和的长．
26．（2025·凉州模拟）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，，求和的长．
27．（2025·凉州模拟）如图，已知抛物线过点，与轴交于点，点在轴上，，点是抛物线的顶点，点是直线上方抛物线上一点．
（1）求抛物线的解析式和点坐标；
（2）若点关于直线的对称点在轴上，求点的坐标；
（3）点是抛物线对称轴上的一动点（点不与点、重合），过点作直线的垂线交于点，交轴于点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：
移项得 ，
二次项系数化1的 ，
配方得
即
故答案为：A
【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案.
2．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：根据二次函数图象可得图象开口向下，对称轴在轴右侧，与轴的交点在正半轴上，与轴由两个交点，
∴，
∴，
∴，故A选项错误，不符合题意；
∵图像与轴有两个交点，
∴，故B选项错误，不符合题意；
当时，，故C选项正确，符合题意；
∵对称轴为直线，
∴与时，值相等，
∴当时，，故D选项错误，不符合题意；
故答案为：C 。
【分析】观察二次函数的图象信息，确定a和c的取值，然后再根据对称轴的公式，同时结合a的取值，即可确定b的取值；再根据二次函数与x的交点问题，根据判别式即可判断；将x=-1和x=3分别代入二次函数中，对选项进行对比即可求解。
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；旋转的性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：由旋转的性质得：，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】根据题干中图形旋转的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据等腰三角形的性质可得，最后根据三角形的内角和定理：，代入数据即可求解。
4．【答案】B
【知识点】等腰三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；菱形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图，连接，，
，分别切于点A，B，
，
，
，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：B。
【分析】连接，，根据切线的性质得到，根据 ，可得， 再根据四边形 是菱形，可得，根据等边对等角，可得，进而得到的度数，进而可求出的值，然后再根据线段的关系：，代入数据即可求出的长。
5．【答案】C
【知识点】等可能事件的概率
【解析】【解答】解：P（不合格产品）=.
故答案为：C.
【分析】简单随机事件概率，随机事件包含的结果数与试验总结果数的比是该随机事件的概率，据此据求解即可.
6．【答案】A
【知识点】反比例函数图象的对称性；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴，
∵轴，
∴的面积．
故答案为：A。
【分析】根据A与点B关于原点对称的性质，可得，然后再根据轴，可知的面积，代入数据，即可求解。
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定；相似比；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
即的值为，
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，可得，然后再根据 ，易得，最后再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，代入数据即可求解。
8．【答案】A
【知识点】垂径定理；圆周角定理；圆内接四边形的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：如图，在弦所对优弧上取一点，连接，，，作于，
，
，
，
，，
，
，
的半径为4。
故答案为：A。
【分析】在弦所对优弧上取一点，然后再连接，，，过O点做作于，根据圆内接四边形的性质求出的度数，然后再根据圆周角和圆心角的定义，可求出的度数，最后再根据正弦函数的定义和特殊角的三角函数值：，代入数据即可求出的长。
9．【答案】D
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从正面可看到从左往右三列小正方形的个数为：2，1，1，
故答案为：D。
【分析】根据主视图的定义：主视图是指在正面内得到的由前向后观察物体的视图。据此即可求解。
10．【答案】D
【知识点】因式分解法解一元二次方程；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；三角形全等的判定-AAS；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，
∵直线与反比例函数相交于点，
∴，，
解得：，，
∴直线解析式为，反比例函数，
当时，，
∴，
∴，
∵，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
∵点和点，
∴，，
∵，
∴，
解得，
∴，
设直线的解析式为，
则，解得，
∴，
令，则，
∴，
∴，
联立，解得：或，
∴，
∴
，
故答案为：。
【分析】过作于，过作轴于，过作延长线于，连接，设交轴于点，将A点坐标分别代入一次函数和 反比例函数，求出直线AB的解析式和反比例函数的解析式，然后令x=0，求出B点坐标，然后再根据旋转的角度，易得是等腰直角三角形，再根据 ，易证，设，由点和点，则，，代入数据，即可求出a的值，可得F点的坐标， 设直线的解析式为 ，因F点在AC直线上，将A点坐标和F点坐标代入 ，求得直线的解析式，然后建立方程组，求出C点坐标，最后再通过，代入数据即可求解。
11．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：，是方程的两个根，
。
故答案为：。
【分析】根据韦达定理，可得，，，然后再代入数据即可求解。
12．【答案】2
【知识点】二次函数的定义；二次函数y=ax²的性质
【解析】【解答】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：或，
∵当时，y随x的增大而增大，
∴开口向上，
∴，
故答案为：2。
【分析】根据二次函数的定义，可得，即可解出的值，最后再利用二次函数图象性质，即可求解。
13．【答案】
【知识点】旋转的性质
【解析】【解答】解：根据旋转的性质，的对应边是和之间夹角即为旋转的度数，
在正方形中，点E是的中点，点F是延长线上一点，，
故旋转的角度为90度。
故答案为：。
【分析】观察图形及旋转后的图形位置，可知，的对应边是，和之间夹角即为旋转的度数，在正方形中，根据正方形的性质，即可求解。
14．【答案】2
【知识点】等边三角形的判定与性质；正多边形的性质
【解析】【解答】解：设为正六边形的中心，连接，如图，
∴，
∴是等边三角形，
∵正六边形的边长为1，
∴．
故答案为：2。
【分析】设为正六边形的中心，连接，根据正六边的性质，易得是等边三角形，然后再根据正六边形的边长，即可求出FC的值。
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：设直线的解析式为，交y轴于点，
∵，
∴点C为A、B中点，
设，
∴，
∵点A在上，点B在上，
∴，
∴即，
∴的面积为：，
∴，
由图象得：，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】设直线的解析式为，交y轴于点，根据 ，可知点C为A、B中点，设，因点A在上，点B在上，则，根据中点坐标公式，可求出，再由三角形的面积公式：，代入数据可求出的值，然后再结合函数图象即可求解。
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：如图，过点E作交于点G，
则，，
∴，，
即
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】过点E作交于点G，根据平行线的性质，易得，，然后再根据相似三角形的性质，可得，，即可求出，即可求得结果。
17．【答案】
【知识点】垂径定理；切线的性质；解直角三角形
【解析】【解答】解：是的半径，是的弦，，，
，
，
，
，
是的切线，
，
，
，
，
故答案为：。
【分析】根据垂径定理可知，代入数据求出BD的值，然后再根据直角三角形的性质，可得，再根据圆的切线可知，最后再根据正切函数的定义：，代入数据，即可求出AE的值。
18．【答案】7
【知识点】由三视图判断小正方体的个数
【解析】【解答】解：由主视图和俯视图可知：当小立方块最少时，如图：（画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）；
（个）；
故答案为：7．
【分析】根据主视图和俯视图，可以在俯视图的位置上标出当小立方块最少时，每个位置上的小正方体的个数（答案不唯一），即可得出答案。
19．【答案】（1）解：根据旋转方式结合网格的特点可得
的位置如图：即为所求，
∴。
（2）解：如图：即为所求。
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据题干中图形旋转的方式并结合网格的特点，分别确定坐标位置，然后再求出点，的坐标即可；
（2）连接、、，即可得到。
（1）解：根据旋转方式结合网格的特点可得的位置如图：即为所求，
∴．
（2）解：如图：即为所求．
20．【答案】解：（1）
。
（2）
，
∵，
∴原式。
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂，绝对值的性质，算术平方根的定义，负整数指数幂的运算法则和特殊锐角三角函数值，然后再将各个式子进行相加减即可求解。
（2）先对括号内的分式进行通分，运算，然后再将除号后的分式根据完全平方公式和提取公因式的方法，对该分式进行分解，然后再将除法换算成乘法，最后再进行约分，运算，化简，最后再将题干中的代入化简后的分式中，即可求解。
21．【答案】解：设矩形花园，则，
则有，
解得：或，
墙最长可利用28米，
，
，
的长为。
【知识点】矩形的性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】设矩形花园，则，根据“矩形花园的面积为300平方米”，列出分式方程：，求出x的值，然后再根据“墙EF最长可利用28米”，可得，据此即可求出AB的长。
22．【答案】（1）解：中，，，
，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在与中，
，
。
（2）解：
，
；
。
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题干信息，易得，根据E点绕A点逆时针旋转到，可得，易得，进而可以证明；
（2）结合（1），以及等腰三角形的性质，可得，进而得到，再根据直角三角形的互余的性质即可求出的度数。
（1）解：中，，，
，
由旋转可知：，，
∴，
∴，
在与中，
，
；
（2）解：
，
；
．
23．【答案】（1）证明：连接，设交于，如图所示：
和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
又和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
即，
是的切线。
（2）解：连接，，设交于，如图所示：
，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
。
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；圆周角定理；切线的判定；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）连接，设交于，根据圆周角定理，可得，再根据三角形的外角定理，可知，，易得，结合半径相等以及同弧所对的圆周角相等，可知，，，从而得到，即，得证；
（2）连接，，设交于，先证明，进而可得，然后再结合等腰三角形“三线合一”的性质，可得，，，在中，根据勾股定理：，代入数据即可求得，根据等面积关系，可得，代入数据，即可求出，进而可得。
（1）证明：连接，设交于，如图所示：
和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
，
是直径，
，
，
，，
，
，
，
又和所对的弧都是，和都是圆周角，
，
，
即，
是的切线；
（2）解：连接，，设交于，如图所示：
，，，
，
，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
．
24．【答案】（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为。
（2）解：令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将点代入反比例函数中，即可求出k，求出反比例函数的解析式，再将点代入反比例函数的解析式中，求出m，即可得点C的坐标，设直线的函数表达式为，因为直线过B、C两点，用B和D两点的坐标代入，建立方程组即可求出和的值，进而即可求出BD的解析式。
（2）令，然后再结合图像中各点的位置，确定点D的坐标，然后再根据，代入数据即可求解。
（1）解：∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
∵点在反比例函数上，
∴，
解得，
即，
∵轴于点C，
∴，
设直线的函数表达式为，将、代入得，
，
解得，
∴直线的函数表达式为；
（2）解：令，
解得，，
当时，，
∴，
由（1）可得，
，
即的面积为5．
25．【答案】（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
【知识点】勾股定理；平行四边形的性质；垂径定理；圆周角定理
【解析】【分析】（1）连接，根据垂径定理，可得出，再根据圆周角定理，得出，根据圆内接四边形及平行线的性质可得出，故而得出∠CAG=∠AGC，根据等腰三角形的判定可得出结论；
（2）如图，连接，首先根据垂径定理得出CE=DE=1，于是AE=3，再根据AA可证得，得出BE=，进而可得出直径AB=；再根据勾股定理求得，所以DF=，根据面积法可求得AH，根据勾股定理求得，利用等腰三角形的性质即可求得，即可求得．
（1）证明：如图，连接，
的直径⊥弦，
，
，
，
四边形为内接四边形，
，
四边形是平行四边形，
，
；
（2）解：如图，连接，
，
，
，
∵是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
直径为，
如图，过点作交于点，
根据勾股定理可得，
四边形为平行四边形，
，，
，
根据平行四边形的面积等于，
可得，
，
，
，
26．【答案】（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形。
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
。
【知识点】勾股定理；菱形的性质；菱形的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（1）根据，平分，即可，，然后再根据平行四边形的判定定理，易得四边形是平行四边形，最后再根据菱形的判定定理，即可证明。
（2）在中，根据勾股定理，，代入数据求出BD的值，在解，根据正弦函数的定义：和勾股定理：，代入数据即可求出AE的和BD的值。
（1）证明：，平分，
，．
，
四边形是平行四边形．
，
四边形是菱形．
（2）解：，，，
在中，，
．
，
在中，，，
．
四边形是菱形，
．
27．【答案】（1）解：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴
（2）解：如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，将代入
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或。
（3）或或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；一次函数的实际应用-几何问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】（3）解：当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或。
【分析】（1）将A点坐标和B点坐标分别代入抛物线，建立方程组，求出b和c，进而可求出抛物线的解析式，然后再通过配方，将抛物线的一般方程化成顶点式方程，继而即可求出D点坐标。
（2）设交于点，根据勾股定理，易得BE的值，然后再根据对称的性质，易得的坐标，根据中点坐标公式，即可求出的坐标，设直线的解析式为，然后再将F的坐标代入该解析式，即可求得直线解析式，最后再联合抛物线和一次函数的解析式，即可求出M求解；
（3）分别根据在轴上方和下方两种情况讨论，当在轴下方时只有当是等腰三角形时，只能，根据勾股定理建立方程结合等腰三角形的定义，解方程即可求解；当在轴上方时，分三种情况讨论，分别画出图形，结合勾股定理，建立方程，即可求解。
（1）解：抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∵，
∴；
（2）解：如图，设交于点，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∵点，关于直线的对称，
∴垂直平分
∴，
∴，
∴为的中点，则，
∵，
∴，
设直线的解析式为，代入，
∴，
解得：，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴M点坐标为或；
（3）解：当在轴下方时，连接，如图，
依题意，当是等腰三角形时，只能，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∵，，
∴为的垂直平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
当在轴上方时，
①当时，如图，连接，
∴，
∵，
∴为的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
解得：，
∴，
②当时，如图，设，交于点，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
解得：（舍去）或，
∴，
③当为等腰三角形，时，如图，
，
，
∴，
综上所述，为等腰三角形时，请直接写出点的坐标为或或或．
1 / 1
