广东省江门市蓬江区杜阮镇杜阮中心初级中学2025年中考第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·蓬江模拟）如果收入100元记作元，则元表示（ ）
A．支出70元 B．收入70元 C．支出80元 D．收入80元
2．（2025·蓬江模拟）下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆
3．（2025·蓬江模拟）中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·蓬江模拟）如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．都不相同
5．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·蓬江模拟）不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·蓬江模拟）如图，，，三点在上，，则为（ ）
A．30° B．40° C．20° D．10°
8．（2025·蓬江模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
9．（2025·蓬江模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·蓬江模拟）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·蓬江模拟）若分式有意义，则的取值范围为 ．
12．（2025·蓬江模拟）因式分解： ．
13．（2025·蓬江模拟）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 .
14．（2025·蓬江模拟）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 ．
15．（2025·蓬江模拟）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ．
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·蓬江模拟）解方程组：
17．（2025·蓬江模拟）计算：．
18．（2025·蓬江模拟）如图，已知锐角三角形，．
（1）尺规作图：
①作的垂直平分线l；
②作的平分线，且交于点M．
（2）若l与交于点P，，求的度数．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·蓬江模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
20．（2025·蓬江模拟）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
21．（2025·蓬江模拟）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·蓬江模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中顶点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中顶点”．
（1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中顶点”．
（2）中，，点是边上的“中顶点”，求线段的长．
（3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中顶点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
23．（2025·蓬江模拟）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
（3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：元表示支出80元；
故选C．
【分析】根据相反意义的量，收入为正，则支出为负，从而得到答案．
2．【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】A、正方形是轴对称图形，故本选项错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，故本选项错误；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项正确；
D、圆是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D。
【分析】科学记数法的表示形式为：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
俯视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；；
所以主视图与俯视图相同，
故答案为：A。
【分析】根据三视图的概念：从正面，上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，即为三视图。从正面看到的图形叫作正视图（主视图），从上面看到的图形叫作俯视图，从侧面看到的图形叫作侧视图，在三视图中一般是选从左面看到的图形即左视图。据此即可判断。
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及代数式加减法的运算规则，然后再对各个选项进行逐一求解即可。
6．【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：3x﹣1＞5，
3x＞5+1，
3x＞6，
x＞2，
故答案为：A。
【分析】先将不等式的常数项移到不等号右边，然后再合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解，然后再根据求出的不等式解集在数轴上表示出来即可。
7．【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，，求出得的度数，然后再根据圆周角定理，即可求解。
8．【答案】B
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故答案为：B
【分析】由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
9．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+4≠0，
解得：x≠-4；
故答案为：x≠-4；
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
12．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】先提取公因式2得2（m2-16），再把m2-16利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案为。
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意， .
故答案为： .
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案.
14．【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵有两个实数根，，
∴，，
∴
故答案为：8。
【分析】根据韦达定理，分别求出和的值；然后再根据，然后再代入数据即可求解。
15．【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；胡不归模型
【解析】【解答】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时最小，即此时最小，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】在下方作，过点P作于E，根据含30度角的直角三角形的性质得到，故当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，易证是等边三角形，则，，，再求出的度数，进而得到代入疏忽求出DE的值，据此即可求解。
16．【答案】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
17．【答案】解：原式
。
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的性质，零次幂的运算法则，二次根式的运算法则和负整数指数幂的运算法则，然后再根据特殊角的三角函数值，然后对各个式子进行运算，最后再将结果进行加减即可。
18．【答案】解：（1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形．
（2）∵BC的垂直平分线为l，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∵BM平分∠ABC，
∠ABP＝∠CBP＝32°，
∵∠A＝60°，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①分别以BC为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧有两个交点，过这两点作直线即为的垂直平分线l；
②以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BC，CA于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半为半径作弧，两弧相交于∠ABC内一点，过点B和这个交点作射线，交AC于点M，即可完成作图；
（2）首先根据垂直平分线的性质，可得出PB＝PC，进而可得∠PBC＝∠PCB＝32°，再根据角平分线的定义，可得出∠ABP＝∠CBP＝32°，进而根据三角形外角的性质，可得出．
19．【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2
女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
20．【答案】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%。
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元。
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，先算出第二天的销量，然后再计算第三天的销量，即可求出x的值，最后再根据x的取值范围进行取舍即可。
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润，建立方程：，然后再求出y的值，最后再根据“要使顾客得到实惠”，则涨价应该取最小，即可求解。
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，根据“现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元”，然后再建立方程：
，求出z的值，然后再根据z的取值，即可求解。
（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
21．【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B，
设秋千绳索的长度为x尺，则OA=OA'=x，A'B=10，AB=5-1=4，
∴0B=OA-AB=x-4，
∴在Rt△A'OB中，OA'2=OB2+AB2，
x2=（x-4）2+102，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索OA的长度是14.5尺.
（2）解：能.
根据题意可知：∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，
在Rt△A'PO中，cosα=，
∴OP=OA'·cosα=OA·cosα，
同理可得：OQ=OA''·cosβ=OA·cosβ，
又∵h=OQ-OP，
∴h=OA·cosβ-OA·cosα=OA·（cosβ-cosα）
∴OA=.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据题意作A'B⊥OA构造直角三角形，设秋千绳索的长度为x尺，然后根据勾股定理，求解即可解决问题；
（2）根据题意可知，∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，再利用直角三角形的三角函数表示OP、OQ，再根据h=OQ-OP即可解决问题.
（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
22．【答案】（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）如图，根据三角形相似，可取格点，连接交于，点即为所求；
（）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解；
（）①证明可得，再根据点是中边上的“中顶点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解．
（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
23．【答案】（1）解：设抛物线，
把代入，，解得，，
∴
（2）解：∵顶点为，点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
当时，，即．
∴
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，即yF=，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将代入解析式求出a，即可求得；
（2）先求出C点坐标，再求得点E的纵坐标，作差即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得yF=，根据点F落在抛物线上，求得XF即可；
②过点B作BN⊥y轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
（1）∵抛物线的顶点坐标为．
设抛物线，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵顶点为．点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
设，
当时，，
∴．
∴．
（3）①根据题意，得，
∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
1 / 1广东省江门市蓬江区杜阮镇杜阮中心初级中学2025年中考第一次模拟考试数学试题
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025·蓬江模拟）如果收入100元记作元，则元表示（ ）
A．支出70元 B．收入70元 C．支出80元 D．收入80元
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：元表示支出80元；
故选C．
【分析】根据相反意义的量，收入为正，则支出为负，从而得到答案．
2．（2025·蓬江模拟）下列图形中，不一定是轴对称图形的是 （ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．直角三角形 D．圆
【答案】C
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】根据轴对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．【解答】A、正方形是轴对称图形，故本选项错误；
B、等腰三角形是轴对称图形，故本选项错误；
C、直角三角形不一定是轴对称图形，故本选项正确；
D、圆是轴对称图形，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了轴对称图形的知识，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（2025·蓬江模拟）中国载人航天工程办公室透露，神舟飞船是由专门为其研制的“长征二号”火箭发射升空，火箭的起飞质量为497000千克，数据497000．用科学记数法可以表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故答案为：D。
【分析】科学记数法的表示形式为：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．（2025·蓬江模拟）如图，这是由5个大小相同的小正方体搭成的几何体，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ）
A．主视图与俯视图相同 B．左视图与俯视图相同
C．主视图与左视图相同 D．都不相同
【答案】A
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：该几何体的主视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；
左视图：底层是两个小正方形，上层左边是一个小正方形；
俯视图：底层是三个小正方形，上层中间是一个小正方形；；
所以主视图与俯视图相同，
故答案为：A。
【分析】根据三视图的概念：从正面，上面和侧面（左面或右面）三个不同的方向看一个物体，描绘三张所看到的图，即为三视图。从正面看到的图形叫作正视图（主视图），从上面看到的图形叫作俯视图，从侧面看到的图形叫作侧视图，在三视图中一般是选从左面看到的图形即左视图。据此即可判断。
5．（2025·蓬江模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】根据幂的乘方、同底数幂的除法、合并同类项以及代数式加减法的运算规则，然后再对各个选项进行逐一求解即可。
6．（2025·蓬江模拟）不等式3x﹣1＞5的解集在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解一元一次不等式；在数轴上表示不等式的解集
【解析】【解答】解：3x﹣1＞5，
3x＞5+1，
3x＞6，
x＞2，
故答案为：A。
【分析】先将不等式的常数项移到不等号右边，然后再合并同类项，最后再将系数化为1，即可求解，然后再根据求出的不等式解集在数轴上表示出来即可。
7．（2025·蓬江模拟）如图，，，三点在上，，则为（ ）
A．30° B．40° C．20° D．10°
【答案】C
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据已知条件，，求出得的度数，然后再根据圆周角定理，即可求解。
8．（2025·蓬江模拟）验光师检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.25米调整到0.5米，则近视眼镜的度数减少了（ ）度．
A．150 B．200 C．250 D．300
【答案】B
【知识点】函数值；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设，
在图象上，
，
函数解析式为：，
当时，，
当时，，
度数减少了（度），
故答案为：B
【分析】由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令，时，分别求的值后作差即可．
9．（2025·蓬江模拟）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
10．（2025·蓬江模拟）如图，抛物线的对称轴是．下列结论：①；②；③；④，正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】
解：根据题意，则，，
∵，
∴，
∴，故①错误；
由抛物线与x轴有两个交点，则，故②正确；
∵，
令时，，
∴，故③正确；
在中，
令时，则，
令时，，
由两式相加，得，故④正确；
∴正确的结论有：②③④，共3个；
故答案为：B．
【分析】首先根据函数图象，可得出a＜0，b＞0，c＞0的正负号，故而得出①错误；根据抛物线与x轴的交点个数，可得出②正确；由，得，令，求函数值，即可判断③正确；令时，则，令时，，再把两个式子相加，即可判断④正确；综上即可得出答案。
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（2025·蓬江模拟）若分式有意义，则的取值范围为 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意得：x+4≠0，
解得：x≠-4；
故答案为：x≠-4；
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
12．（2025·蓬江模拟）因式分解： ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：．
故答案为：
【分析】先提取公因式2得2（m2-16），再把m2-16利用平方差公式进行因式分解，即可得出答案为。
13．（2025·蓬江模拟）扇形的半径为3，圆心角θ为120°，这个扇形的面积是 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：根据题意， .
故答案为： .
【分析】直接代入扇形的面积公式即可得出答案.
14．（2025·蓬江模拟）若一元二次方程有两个实数根，，则的值是 ．
【答案】8
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵有两个实数根，，
∴，，
∴
故答案为：8。
【分析】根据韦达定理，分别求出和的值；然后再根据，然后再代入数据即可求解。
15．（2025·蓬江模拟）如图，在矩形中，，对角线相交于点O，．若点P是边上一动点，求的最小值为 ．
【答案】
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质；胡不归模型
【解析】【解答】解：如图所示，在下方作，过点P作于E，
∴，
∴，
∴当三点共线，且时最小，即此时最小，
∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：．
【分析】在下方作，过点P作于E，根据含30度角的直角三角形的性质得到，故当三点共线，且时最小，即此时最小，由矩形的性质得到，，易证是等边三角形，则，，，再求出的度数，进而得到代入疏忽求出DE的值，据此即可求解。
三、解答题（一）本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（2025·蓬江模拟）解方程组：
【答案】解：
①+②，得．
∴．
把代入①，得．
∴这个方程组的解是．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
17．（2025·蓬江模拟）计算：．
【答案】解：原式
。
【知识点】负整数指数幂；二次根式的性质与化简；求特殊角的三角函数值；实数的绝对值
【解析】【分析】根据绝对值的性质，零次幂的运算法则，二次根式的运算法则和负整数指数幂的运算法则，然后再根据特殊角的三角函数值，然后对各个式子进行运算，最后再将结果进行加减即可。
18．（2025·蓬江模拟）如图，已知锐角三角形，．
（1）尺规作图：
①作的垂直平分线l；
②作的平分线，且交于点M．
（2）若l与交于点P，，求的度数．
【答案】解：（1）①如图直线l为所求作的图形；②射线为所求作图形．
（2）∵BC的垂直平分线为l，
∴PB＝PC，
∴∠PBC＝∠PCB＝32°，
∵BM平分∠ABC，
∠ABP＝∠CBP＝32°，
∵∠A＝60°，
∴．
【知识点】三角形外角的概念及性质；线段垂直平分线的性质；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）①分别以BC为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧有两个交点，过这两点作直线即为的垂直平分线l；
②以点B为圆心，以任意长为半径作弧，分别交BC，CA于两点，分别以这两点为圆心，以大于这两点之间距离的一半为半径作弧，两弧相交于∠ABC内一点，过点B和这个交点作射线，交AC于点M，即可完成作图；
（2）首先根据垂直平分线的性质，可得出PB＝PC，进而可得∠PBC＝∠PCB＝32°，再根据角平分线的定义，可得出∠ABP＝∠CBP＝32°，进而根据三角形外角的性质，可得出．
四、解答题（二）本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（2025·蓬江模拟）某校九年级计划组织学生外出开展研学活动，在选择研学活动地点时，随机抽取了部分学生进行调查，要求被调查的学生从A、B、C、D四个研学活动地点中选择自己最喜欢的一个．根据调查结果，编制了如下两幅不完整的统计图，根据图中信息，解答下列问题：
（1）此次被调查的学生共有__________人，研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为__________；
（2）若该年级共有800名学生，请估计最喜欢去C地研学的学生人数；
（3）九（1）班研学归来，班主任组织学生进行研学收获及感悟交流分享会，A小组有两名男同学和两名女同学，从A小组中随机选取2人谈收获及感悟，请用列表法或画树状图法，求恰好抽中两名同学为一男一女的概率．
【答案】（1）100；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1 男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1 男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2 女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
【分析】（1）利用“选择地点B的学生人数其其占比”求解即可；利用“选择地点A的学生占比”求解即可；
（2）利用“该校学生总数×选择地点C的学生占比”，即可求得答案；
（3）根据题意列表，结合表格即可获得答案．
（1）解：此次被调查的学生共有（人）；
研学活动地点A所在扇形的圆心角的度数为．
故答案为：100；；
（2）解：（人），
答：估计最喜欢去C地研学的学生人数大约有320人．
（3）解：列表如下：
男1 男2 女1 女2
男1
男1男2 男1女1 男1女2
男2 男2男1
男2女1 男2女2
女1 女1男1 女1男2
女1女2
女2 女2男1 女2男2 女2女1
由上表可知共有12种等可能的结果，其中刚好抽中一男一女的结果有8种，
刚好抽中两名同学为一男一女的概率为：（一男一女）．
答：刚好抽中两名同学为一男一女的概率为．
20．（2025·蓬江模拟）某商店进购一商品，第一天每件盈利（毛利润）10元，销售500件．
（1）第二、三天该商品十分畅销．销售量持续走高．在售价不变的基础上，第二、三天的销售量达到605件，求第二、三天的日平均增长率；
（2）经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每件涨价1元，日销量将减少20件．
①现要保证每天总毛利润6000元，同时又要使顾客得到实惠，则每件应张价多少元？
②现需按毛利润的交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元，则每件涨价应为多少？
【答案】（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%。
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元。
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元。
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设第二、三天的日平均增长率为x，先算出第二天的销量，然后再计算第三天的销量，即可求出x的值，最后再根据x的取值范围进行取舍即可。
（2）①设每件应张价y元，则每件盈利为元，销售数量为件，根据每件盈利（毛利润）×销售数量＝每天总毛利润，建立方程：，然后再求出y的值，最后再根据“要使顾客得到实惠”，则涨价应该取最小，即可求解。
②设每件涨价应为z元，则每天总毛利润为元，根据“现需按毛利润的10%交纳各种税费，人工费每日按销售量每件支出0.9元，水电房租费每日102元，若剩下的每天总纯利润要达到5100元”，然后再建立方程：
，求出z的值，然后再根据z的取值，即可求解。
（1）解： 设第二、三天的日平均增长率为x，根据题意，得
，
解得：，(不符合题意，舍去)，
∴，
答： 第二、三天的日平均增长率为10%．
（2）解：①设每件应张价y元，根据题意，得
，
解得：，，
∵要使顾客得到实惠，
∴，
答：每件应张价5元；
②设每件涨价应为z元，根据题意，得
，
解得：，
∴，
答：每件涨价应为8元．
21．（2025·蓬江模拟）我国明朝数学家程大位写过一本数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌写的：
平地秋千未起，踏板一尺离地．
送行二步与人齐，五尺人高曾记．
仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．
良工高士素好奇，算出索长有几？
词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推进10尺（5尺为一步），秋千的踏板就和某人一样高，这个人的身高为5尺．（假设秋千的绳索拉的很直）
（1）如图1，请你根据词意计算秋千绳索的长度；
（2）如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的位置释放，秋千摆动到另一侧与竖直方向夹角为β的地方，两次位置的高度差．根据上述条件能否求出秋千绳索的长度？如果能，请用含α、β和h的式子表示；如果不能，请说明理由．
【答案】（1）解：如图，过点作，垂足为点B，
设秋千绳索的长度为x尺，则OA=OA'=x，A'B=10，AB=5-1=4，
∴0B=OA-AB=x-4，
∴在Rt△A'OB中，OA'2=OB2+AB2，
x2=（x-4）2+102，
解得：x=14.5，
答：秋千绳索OA的长度是14.5尺.
（2）解：能.
根据题意可知：∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，
在Rt△A'PO中，cosα=，
∴OP=OA'·cosα=OA·cosα，
同理可得：OQ=OA''·cosβ=OA·cosβ，
又∵h=OQ-OP，
∴h=OA·cosβ-OA·cosα=OA·（cosβ-cosα）
∴OA=.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用；勾股定理的实际应用-旗杆高度问题
【解析】【分析】（1）根据题意作A'B⊥OA构造直角三角形，设秋千绳索的长度为x尺，然后根据勾股定理，求解即可解决问题；
（2）根据题意可知，∠A'PO=∠A''QO=90°，OA=OA'=OA''，再利用直角三角形的三角函数表示OP、OQ，再根据h=OQ-OP即可解决问题.
（1）解：如图，过点作，垂足为点B．
设秋千绳索的长度为x尺．
由题可知，，，，
∴．
在中，由勾股定理得：
∴．
解得．
答：秋千绳索的长度为尺．
（2）能．
由题可知，，．
在中，，
同理，．
∵，
∴．
∴．
五、解答题（三）本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分．
22．（2025·蓬江模拟）定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到该边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“中顶点”．如图，中，点是边上一点，连接，若，则称点是中边上的“中顶点”．
（1）如图，的顶点是网格图的格点，请仅用直尺画出边上的一个“中顶点”．
（2）中，，点是边上的“中顶点”，求线段的长．
（3）如图，是的内接三角形，点在上，连接并延长交于点．点是中边上的“中顶点”．
①求证：；
②若，的半径为，且，求的值．
【答案】（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；正切的概念；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（）如图，根据三角形相似，可取格点，连接交于，点即为所求；
（）过作于，由可得，，设，则，，可得，即得，得到，，，设，则，，由可得，进而即可求解；
（）①证明可得，再根据点是中边上的“中顶点”得，即得，得到，由垂径定理的推论即可求证；②连接，由可得，即得为的直径，设，则，，得，即得，得到，进而根据可得，最后代入代数式计算即可求解．
（1）解：取格点，连接交于，如图：
则点即为边上的一个“中顶点” ，理由如下：
由图可知，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即，
∴为边上的一个“中顶点”；
（2）解：过作于，如图：
∵，
∴，，
设，则，，
∵，
∴，
∴，
∴，，，
设，则，，
∵，
∴，
解得(负值已舍去)，
∴，
∴线段的长为；
（3）①证明：由圆周角定理得，，，
∴，
∴，
∴，
∵点是中边上的“中顶点”，
∴，
∴，
∴，
∴；
②解：连接，如图：
由①知，，
∵，
∴，
∴，
∴为的直径，
∵，设，则，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的值为．
23．（2025·蓬江模拟）如图1，抛物线交x轴于O，两点，顶点为．点C为的中点．
（1）求抛物线的表达式；
（2）过点C作，垂足为H，交抛物线于点E．求线段的长．
（3）点D为线段上一动点（O点除外），在右侧作平行四边形．
①如图2，当点F落在抛物线上时，求点F的坐标；
②如图3，连接，，求的最小值．
【答案】（1）解：设抛物线，
把代入，，解得，，
∴
（2）解：∵顶点为，点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
当时，，即．
∴
（3）解：①∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，即yF=，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，如图，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
即的最小值是
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；二次函数-特殊四边形存在性问题
【解析】【分析】（1）设抛物线的顶点式，再将代入解析式求出a，即可求得；
（2）先求出C点坐标，再求得点E的纵坐标，作差即可求得CE的长；
（3）①根据平行四边形的性质可得yF=，根据点F落在抛物线上，求得XF即可；
②过点B作BN⊥y轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，利用平行四边形的判定和性质，勾股定理，矩形判定和性质，计算解答即可．
（1）∵抛物线的顶点坐标为．
设抛物线，
把代入解析式，得，
解得，
∴．
（2）∵顶点为．点C为的中点，
∴，
∵，
∴轴，
∴E的横坐标为1，
设，
当时，，
∴．
∴．
（3）①根据题意，得，
∵四边形是平行四边形，
∴点C，点F的纵坐标相同，
设，
∵点F落在抛物线上，
∴，
解得，(舍去)；
故．
②过点B作轴于点N，作点D关于直线的对称点G，过点G作轴于点H，连接，，，
则四边形是矩形，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∴，
∵，
故当三点共线时，取得最小值，
∵，
∴的最小值，就是的最小值，且最小值就是，
延长交y轴于点M，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故的最小值是．
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