甘肃省平凉市崆峒区平凉市第四中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·崆峒模拟）64的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．±4
【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】64的平方根为±8.
故答案为：B.
【分析】由平方根的意义可得64的平方根为±8.
2．（2025·崆峒模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【分析】
从物体左边观察得到的图形叫左视图．
3．（2025·崆峒模拟）已知与互为余角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：。
【分析】根据互余的性质，用90度减去另一个互余的角度，即可求解。
4．（2025·崆峒模拟）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】根据异分母分式的加减运算法则，先通分，再把分子相加减即可。
5．（2025·崆峒模拟）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）.
A．35× B．3.5× C．3.5× D．3.5×
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】350000000=3.5×108.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确把350000000改写a×10n（1≤a＜10，n为正整数）的形式即可。
6．（2025·崆峒模拟）如图，为的直径，点，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】根据为的直径，可知，和所对的弧都是，所以，==，根据直角三角形的互余性质，即可求出的度数 。
7．（2025·崆峒模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是 等边三角形，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，即，
故答案为：。
【分析】根据矩形的性质，可得，，再根据，易证是 等边三角形，所以，，最后再根据勾股定理求出的值，进而即可求出D和B的坐标，最后再根据中点坐标公式即可求解。
8．（2025·崆峒模拟）甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．1～8月间甲公司的利润一直在下跌
B．1～4月间乙公司的利润在上升
C．在8月份，两家公司获得相同的利润
D．乙公司在9月份的利润一定比甲公司多
【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、由图可知甲公司的盈利一直在下跌，说法正确，故选项不符合题意；
B、由图可知乙公司的盈利在1月份至4月份期间持续上升，说法正确，故选项不符合题意；
C、在8月份，两家公司获得相同的盈利，说法正确，故选项不符合题意；
D、因为折线统计图不能预测趋势，所以乙公司在9月份的盈利不一定比甲的多，说法错误，故选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】正确获取数据信息，分别对各个选项做出判断，即可得出答案。
9．（2025·崆峒模拟）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人人数为人，羊价钱，根据题意，可列方程组为：，即．
故答案为：B
【分析】设合伙人人数为人，羊价钱，根据羊的价格不变列出方程组．
10．（2025·崆峒模拟）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】连接交于O，根据菱形对角线的性质可得，，再由函数图象可知，当，且当点P运动到上，且时，，在 中，根据勾股定理，求出的长，最后再根据菱形的面积即可求解。
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·崆峒模拟）因式分解： .
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：5a2b-5b=5b（a2-1）=5b（a+1）（a-1）
故答案为：5b（a+1）（a-1）
【分析】本题考查了公式法以及提公因式法因式分解，先进行提公因式再进行平方差公式进行因式分解，即可作答.
12．（2025·崆峒模拟）已知一次函数 与 轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数 ，那么这个一次函数解析式是
【答案】y=-3x+9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵一次函数y=kx+b与正比例函数y=-3x平行，
∴k=-3，
∵一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为（3，0），
∴-3×3+b=0，
∴b=9，
∴一次函数的解析式为y=-3x+9.
【分析】根据两直线平行k值相等求出k=-3，再把点（3，0）的坐标代入解析式求出b=9，即可得出答案.
13．（2025·崆峒模拟）定义新运算：，若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
故答案为：．
【分析】首先根据定义新运算，得出，然后再把要求的代数式进行变形，得出原，然后整体代入求值，即可得出答案。
14．（2025·崆峒模拟）关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 .
【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△=42-4m=0，
解得m=4.
故答案为4.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出即可.
15．（2025·崆峒模拟）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ．
【答案】50
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标为，
当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，
故答案为：。
【分析】先对抛物线进行配方：，求出抛物线的顶点坐标，然后再根据抛物线的图像，可知：当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案。
16．（2025·崆峒模拟）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是 ．
【答案】cm
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过点，分别作，，和相交于点，
∵，分别与所在圆相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∴优弧 对应的圆心角度数为：，
∵该圆半径是9cm，
∴优弧 的长为：cm，
故答案为：cm．
【分析】根据题意，先找到圆心，即过点，分别作，，和相交于点，然后根据切线的性质得
，从而得，进而得优弧 对应的圆心角度数为220°，最后根据弧长公式计算即可．
三、解答题一（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·崆峒模拟）计算：
【答案】解：
=
= .
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
18．（2025·崆峒模拟）解不等式组：．
【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，得出它们的解集分别为，，再根据大小小大中间找，即可得出原不等式组的解集。
19．（2025·崆峒模拟）先化简，再求值： ，其中 .
【答案】解：原式=
=
当 时，有 =
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式的运算法则，然后合并同类项，再把 代入原式求解即可.
20．（2025·崆峒模拟）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；
②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；
③连接，则是的切线．
（1）按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹．
（2）若的半径是2，的半径是，求的长．
【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据题干中给出的作图步骤进行作图即可。
（2）连接，根据题意，可知OP是 的直径，进而可求出OP的长，根据圆周角的定理，可得，在直角三角形OPQ中，利用勾股定理，即可求出的长。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴．
21．（2025·崆峒模拟）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容．
（1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率；
（2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率．
【答案】（1）解：∵4张卡片正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化“，
∴小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为；
（2）解：将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
∴共有16种等可能的结果，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的结果有7种，
∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）利用”列表法“得出所有的等可能的结果数，从而得小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为；
（2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下：
小肃小甘 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种，
∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为．
22．（2025·崆峒模拟）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是，楼底点D与点A，B共线，且，求黄河楼的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
【答案】解：设黄河楼高为米，
在中，，
∴米，
由题意可得：米，
∴米，
∵，
∴，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴黄河楼高为95.7米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设黄河楼高为米，在中，根据正切函数的定义，可求出米，然后再根据AD=BD+AB，代入数据即可求出的值，在中，根据正切函数的定义，可得，代入数据即可求解。
四、解答题二（本大题共5小题，共50分）
23．（2025·崆峒模拟）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
【答案】（1）解：20
因为·，
所以C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为·，，
所以200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：20
因为·，
故填：20
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定义（按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
24．（2025·崆峒模拟）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴，，
解得：，，
∴，，
把坐标代入，得，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，
∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴当时，的取值范围为或；
（3）解：∵直线与轴交于点，
∴，
∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，
∴把时代入中，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将坐标代入反比例函数表达式得的值，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据函数图象确定不等式的解集，当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，结合点坐标即可得的取值范围；
（3）先求出点，然后把代入反比例函数表达式中得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入，可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
25．（2025·崆峒模拟）如图，是的直径，是上一点，是延长线上一点，连接，，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（）连接，由圆周角定理得出，易得，因为OC=OB，可得，又因为，可知，据此即可证明。
（）根据特殊三角函数值，可得，进而，从而求出，易得A点是OP的中点，然后再根据直角三角形的性质，即可求解。
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．（2025·崆峒模拟）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
【答案】证明：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，易证，得出，，根据 ，可得 ，又因为 ，易证，进而可得出，即可得解；
（2）在上截取，连接，根据正方形的性质，可得，，易证，从而得出，，根据 ，所以 ，易证，得出，即可得解；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，根据等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，易证，从而可得，，求出，易证，得出，最后再根据勾股定理即可得解。
27．（2025·崆峒模拟）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线的表达式：
（2）请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
（3）如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为。
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为。
（3）解：由题意得，．如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入抛物线，即可求出抛物线的解析式。
（2）根据题意，可设点P的坐标为（），因轴，可得点E的坐标为，点F的坐标为，然后再根据，据此即可建立方程：，求出m的值，即可求解；
（3）在上方作，使得，，连接，根据B的坐标，轴，可得，，易证，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，根据，在直角三角形MOB中，根据勾股定理，即可求解。
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：由题意得，．
如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为．
1 / 1甘肃省平凉市崆峒区平凉市第四中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（2025·崆峒模拟）64的平方根是（ ）
A．8 B．±8 C．4 D．±4
2．（2025·崆峒模拟）如图是《九章算术》中“堑堵”的立体图形，它的左视图为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·崆峒模拟）已知与互为余角，，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·崆峒模拟）计算的结果等于（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·崆峒模拟）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合粮食可养活约3亿5千万人，350000000用科学记数法表示为（ ）.
A．35× B．3.5× C．3.5× D．3.5×
6．（2025·崆峒模拟）如图，为的直径，点，在上，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·崆峒模拟）如图，在平面直角坐标系中，矩形的，两边分别与两坐标轴的正半轴重合，对角线，相交于点．若，，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·崆峒模拟）甲乙两家公司在去年1～8月份期间的盈利情况统计图如图所示，下列结论不正确的是（ ）
A．1～8月间甲公司的利润一直在下跌
B．1～4月间乙公司的利润在上升
C．在8月份，两家公司获得相同的利润
D．乙公司在9月份的利润一定比甲公司多
9．（2025·崆峒模拟）《九章算术》中记载“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出5钱，还差45钱；若每人出7钱，还差3钱，问合伙人数、羊价各是多少？若设人数为人，羊价钱，则下面所列方程组正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025·崆峒模拟）如图1，菱形中，连接，动点从顶点出发，沿匀速运动，到点后停止．设点的运动路程为，线段的长度为，则与的函数图象如图2所示，其中为曲线部分的最低点，则菱形的面积是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．（2025·崆峒模拟）因式分解： .
12．（2025·崆峒模拟）已知一次函数 与 轴的交点坐标的横坐标是3，且平行于函数 ，那么这个一次函数解析式是
13．（2025·崆峒模拟）定义新运算：，若，则的值是 ．
14．（2025·崆峒模拟）关于x的一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，则m的值为 .
15．（2025·崆峒模拟）甘肃天水不仅是古丝绸之路必经之地，也是古代兵家必争之地．如图1所示的投石机是古代战争中的攻城首选．已知投石机投出的石块的运动轨迹可近似看作抛物线，如图2，建立平面直角坐标系，石块飞行过程中的飞行高度（）和水平距离（）具有函数关系．当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是 ．
16．（2025·崆峒模拟）某款“不倒翁”（图1）的主视图是图2，，分别与所在圆相切于点，．若该圆半径是9cm，，则的长是 ．
三、解答题一（本大题共6小题，共46分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（2025·崆峒模拟）计算：
18．（2025·崆峒模拟）解不等式组：．
19．（2025·崆峒模拟）先化简，再求值： ，其中 .
20．（2025·崆峒模拟）欧几里得是古希腊著名数学家，被称为“几何之父”．他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上最成功的教科书．他在第三卷中提出这样一个命题：“由已知点作直线切于已知圆”．
如图，设点P是已知点，是已知圆，对于上述命题，我们可以进行如下尺规作图：
①连接，分别以点O，P为圆心，大于的长为半径作弧，在上方交于点M，在下方交于点N，连接，交于点A；
②以点A为圆心，长为半径作，与交于两点Q和R；
③连接，则是的切线．
（1）按照上述作图步骤，在图中补全图形，保留作图痕迹．
（2）若的半径是2，的半径是，求的长．
21．（2025·崆峒模拟）甘肃历史跨越八千余年，是中华民族和华夏文明的重要发祥地之一，也是中医药学的发祥地之一，被誉为“河岳根源、羲轩桑梓”．李老师为了让学生深入地了解甘肃文化，将正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的4张卡片背面朝上放在桌面上（这4张卡片除正面外，其他完全相同），邀请小甘上讲台随机抽取1张卡片，并向大家介绍卡片上相对应的文化内容．
（1）求小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率；
（2）若小甘先上讲台，从4张卡片中随机抽取1张（放回重新排列），小肃后上讲台，也从4张卡片中随机抽取1张，请用画树状图或列表的方法，求小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率．
22．（2025·崆峒模拟）黄河楼，位于甘肃省兰州市七里河区黄河沿岸，是兰州市的标志性历史建筑之一，弘扬黄河文化的标志性建筑．如图，某数学兴趣小组测量黄河楼的高度，从点A处测得楼顶C的仰角是，由点A向黄河楼前进71.3米到达点B处，由点B处测得楼顶C的仰角是，楼底点D与点A，B共线，且，求黄河楼的高．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，）
四、解答题二（本大题共5小题，共50分）
23．（2025·崆峒模拟）2024年5月28日，神舟十八号航天员叶光富、李聪、李广苏密切协同，完成出舱活动，活动时长达8.5小时，刷新了中国航天员单次出舱活动时间纪录，进一步激发了青少年热爱科学的热情．某校为了普及“航空航天”知识，从该校1200名学生中随机抽取了200名学生参加“航空航天”知识测试，将成绩整理绘制成如下不完整的统计图表：
成绩统计表
组别 成绩x（分） 百分比
A组
B组
C组 a
D组
E组
成绩条形统计图
根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次调查的成绩统计表中________%，并补全条形统计图；
（2）这200名学生成绩的中位数会落在________组（填A、B、C、D或E）；
（3）试估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数．
24．（2025·崆峒模拟）直线与反比例函数的图象相交于点，，与轴交于点．
（1）求直线的表达式；
（2）若，请直接写出满足条件的的取值范围；
（3）过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，求的面积．
25．（2025·崆峒模拟）如图，是的直径，是上一点，是延长线上一点，连接，，，．
（1）求证：是的切线；
（2）若，的半径为，求的长．
26．（2025·崆峒模拟）【模型建立】
（1）我们知道，正方形的四条边都相等，四个角都为直角．如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，，并延长到点G，使，连接．若，则，，之间的数量关系为________；
【模型应用】
（2）如图2，当点E在线段的延长线上，且时，试探究，，之间的数量关系，并说明理由；
【模型迁移】
（3）如图3，在中，，，点D，E在B，C上，，试探究，，之间的数量关系，并说明理由．
27．（2025·崆峒模拟）如图⑥，抛物线与x轴交于O、A两点，与直线交于O、两点，过点B作y轴的垂线，交y轴于点C，点P从点B出发，沿线段方向匀速运动，运动到点O时停止．
（1）求抛物线的表达式：
（2）请在图⑥中过点P作轴于点F，延长交于点E，当时，求点P的坐标：
（3）如图⑦，点P从点B开始运动时，点Q从点O同时出发，以与点P相同的速度沿x轴正方向匀速运动，点P停止运动时点Q也停止运动，连接，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平方根
【解析】【解答】64的平方根为±8.
故答案为：B.
【分析】由平方根的意义可得64的平方根为±8.
2．【答案】A
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：∵该几何体为放倒的三棱柱，
∴根据左视图的画法，从左往右看，看到的是一个直角在左边的直角三角形，
故选：A．
【分析】
从物体左边观察得到的图形叫左视图．
3．【答案】B
【知识点】余角
【解析】【解答】解：∵与互为余角，
∴，
∵，
∴，
故答案为：。
【分析】根据互余的性质，用90度减去另一个互余的角度，即可求解。
4．【答案】D
【知识点】分式的加减法；异分母分式的加、减法；因式分解-平方差公式；因式分解的应用-化简求值
【解析】【解答】解：
，
故答案为：D．
【分析】根据异分母分式的加减运算法则，先通分，再把分子相加减即可。
5．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】350000000=3.5×108.
故答案为：C.
【分析】根据绝对值大于10的数的科学记数法的规范写法，正确把350000000改写a×10n（1≤a＜10，n为正整数）的形式即可。
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；圆周角定理
【解析】【解答】解：∵为的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】根据为的直径，可知，和所对的弧都是，所以，==，根据直角三角形的互余性质，即可求出的度数 。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；坐标系中的中点公式
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴是 等边三角形，
∴，，
∴，
由勾股定理得：，
∴，，
∴，即，
故答案为：。
【分析】根据矩形的性质，可得，，再根据，易证是 等边三角形，所以，，最后再根据勾股定理求出的值，进而即可求出D和B的坐标，最后再根据中点坐标公式即可求解。
8．【答案】D
【知识点】折线统计图
【解析】【解答】解：A、由图可知甲公司的盈利一直在下跌，说法正确，故选项不符合题意；
B、由图可知乙公司的盈利在1月份至4月份期间持续上升，说法正确，故选项不符合题意；
C、在8月份，两家公司获得相同的盈利，说法正确，故选项不符合题意；
D、因为折线统计图不能预测趋势，所以乙公司在9月份的盈利不一定比甲的多，说法错误，故选项符合题意．
故答案为：D．
【分析】正确获取数据信息，分别对各个选项做出判断，即可得出答案。
9．【答案】B
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题
【解析】【解答】解：设合伙人人数为人，羊价钱，根据题意，可列方程组为：，即．
故答案为：B
【分析】设合伙人人数为人，羊价钱，根据羊的价格不变列出方程组．
10．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于O，
∵四边形是菱形，
∴，
由函数图象可知，，且当点P运动到上，且时，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴，
故答案为：B。
【分析】连接交于O，根据菱形对角线的性质可得，，再由函数图象可知，当，且当点P运动到上，且时，，在 中，根据勾股定理，求出的长，最后再根据菱形的面积即可求解。
11．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：5a2b-5b=5b（a2-1）=5b（a+1）（a-1）
故答案为：5b（a+1）（a-1）
【分析】本题考查了公式法以及提公因式法因式分解，先进行提公因式再进行平方差公式进行因式分解，即可作答.
12．【答案】y=-3x+9
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；两一次函数图象相交或平行问题
【解析】【解答】∵一次函数y=kx+b与正比例函数y=-3x平行，
∴k=-3，
∵一次函数y=kx+b与x轴的交点坐标为（3，0），
∴-3×3+b=0，
∴b=9，
∴一次函数的解析式为y=-3x+9.
【分析】根据两直线平行k值相等求出k=-3，再把点（3，0）的坐标代入解析式求出b=9，即可得出答案.
13．【答案】
【知识点】因式分解﹣提公因式法；分式的化简求值；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：，
，即，
，
故答案为：．
【分析】首先根据定义新运算，得出，然后再把要求的代数式进行变形，得出原，然后整体代入求值，即可得出答案。
14．【答案】4
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】根据题意得△=42-4m=0，
解得m=4.
故答案为4.
【分析】根据一元二次方程根的判别式求出即可.
15．【答案】50
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标为，
当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，
故答案为：。
【分析】先对抛物线进行配方：，求出抛物线的顶点坐标，然后再根据抛物线的图像，可知：当石块飞行高度达到最高时，飞行的水平距离是，即可得到答案。
16．【答案】cm
【知识点】切线的性质；弧长的计算
【解析】【解答】解：如图，过点，分别作，，和相交于点，
∵，分别与所在圆相切于点，，
∴，
∵，
∴，
∴优弧 对应的圆心角度数为：，
∵该圆半径是9cm，
∴优弧 的长为：cm，
故答案为：cm．
【分析】根据题意，先找到圆心，即过点，分别作，，和相交于点，然后根据切线的性质得
，从而得，进而得优弧 对应的圆心角度数为220°，最后根据弧长公式计算即可．
17．【答案】解：
=
= .
【知识点】二次根式的加减法
【解析】【分析】先利用二次根式的性质化简，再计算即可。
18．【答案】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴原不等式组的解集为．
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，得出它们的解集分别为，，再根据大小小大中间找，即可得出原不等式组的解集。
19．【答案】解：原式=
=
当 时，有 =
【知识点】利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】利用多项式乘以多项式的运算法则，然后合并同类项，再把 代入原式求解即可.
20．【答案】（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；尺规作图-垂直平分线；尺规作图-过不在同一直线上的三点作圆
【解析】【分析】（1）根据题干中给出的作图步骤进行作图即可。
（2）连接，根据题意，可知OP是 的直径，进而可求出OP的长，根据圆周角的定理，可得，在直角三角形OPQ中，利用勾股定理，即可求出的长。
（1）解：如图所示，即为所求；
（2）解；如图所示，连接，
∵为的直径，
∴，
又∵，
∴．
21．【答案】（1）解：∵4张卡片正面印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化“，
∴小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为；
（2）解：将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下：
A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
∴共有16种等可能的结果，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的结果有7种，
∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；简单事件概率的计算；概率的简单应用
【解析】【分析】（1）直接利用概率公式进行求解；
（2）利用”列表法“得出所有的等可能的结果数，从而得小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的结果数，进而利用概率公式进行求解.
（1）小甘从中随机抽取到的卡片上印有“根祖文化”的概率为；
（2）将印有“黄河文化”“边塞文化”“根祖文化”“红色文化”的卡片分别记作A，B，C，D，列表如下：
小肃小甘 A B C D
A (A，A) (A，B) (A，C) (A，D)
B (B，A) (B，B) (B，C) (B，D)
C (C，A) (C，B) (C，C) (C，D)
D (D，A) (D，B) (D，C) (D，D)
由上表可知，一共有16种等可能的情况，其中小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的情况有7种，
∴小甘、小肃两人至少有一人抽中“黄河文化”的概率为．
22．【答案】解：设黄河楼高为米，
在中，，
∴米，
由题意可得：米，
∴米，
∵，
∴，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
∴黄河楼高为95.7米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】设黄河楼高为米，在中，根据正切函数的定义，可求出米，然后再根据AD=BD+AB，代入数据即可求出的值，在中，根据正切函数的定义，可得，代入数据即可求解。
23．【答案】（1）解：20
因为·，
所以C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
（2）解：因为·，，
所以200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）解：（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
【知识点】频数与频率；条形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：20
因为·，
故填：20
【分析】（1）用1减去其余各组人数所占的百分数即可得a的值，进而可求出C组人数，补全条形统计图即可．
（2）按照中位数的定义（按顺序排列的一组数据中居于中间位置的数）解答即可．
（3）用总人数乘以D组人数所占百分比即可．
（1），
C组人数为：，
补全条形统计图如图所示：
故答案为：20
（2），
，
∴200名学生成绩的中位数会落在D组．
（3）（人）
估计该校1200名学生中成绩在90分以上（包括90分）的人数为300人．
24．【答案】（1）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴，，
解得：，，
∴，，
把坐标代入，得，
解得：，
∴一次函数表达式为；
（2）解：当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，
∵直线与反比例函数的图象相交于点，，
∴当时，的取值范围为或；
（3）解：∵直线与轴交于点，
∴，
∵过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点，
∴把时代入中，得，
∴，
∴，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积
【解析】【分析】（1）将坐标代入反比例函数表达式得的值，然后利用待定系数法进行求解即可；
（2）根据函数图象确定不等式的解集，当时，有直线的图像在反比例函数的图象的上方，结合点坐标即可得的取值范围；
（3）先求出点，然后把代入反比例函数表达式中得到点的坐标，再根据三角形的面积公式计算即可．
（1）解：分别将点、点代入中，可得：，，解得：，，
点坐标为，点坐标为，
把A点坐标，点坐标分别代入，可得，解得：
，
一次函数表达式为．
（2）解：∵直线与反比例函数的图象相交于点，
∴由图象可知，当时，或．
（3）解：把时代入中，得，
点坐标为，即，
．
25．【答案】（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴。
【知识点】三角形外角的概念及性质；含30°角的直角三角形；圆周角定理；切线的判定；解直角三角形
【解析】【分析】（）连接，由圆周角定理得出，易得，因为OC=OB，可得，又因为，可知，据此即可证明。
（）根据特殊三角函数值，可得，进而，从而求出，易得A点是OP的中点，然后再根据直角三角形的性质，即可求解。
（1）证明：连接，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
26．【答案】证明：（1）∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（2），理由如下：
如图，在上截取，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3），理由如下：
如图，将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，
∵在中，，，
∴，
由旋转的性质可得：，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴。
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据正方形的性质可得，，易证，得出，，根据 ，可得 ，又因为 ，易证，进而可得出，即可得解；
（2）在上截取，连接，根据正方形的性质，可得，，易证，从而得出，，根据 ，所以 ，易证，得出，即可得解；
（3）将绕点逆时针旋转得到，连接，此时与重合，根据等腰直角三角形的性质可得，由旋转的性质可得，，易证，从而可得，，求出，易证，得出，最后再根据勾股定理即可得解。
27．【答案】（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为。
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为。
（3）解：由题意得，．如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为。
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理；三角形全等的判定-SAS；二次函数-线段周长问题
【解析】【分析】（1）将B点坐标代入抛物线，即可求出抛物线的解析式。
（2）根据题意，可设点P的坐标为（），因轴，可得点E的坐标为，点F的坐标为，然后再根据，据此即可建立方程：，求出m的值，即可求解；
（3）在上方作，使得，，连接，根据B的坐标，轴，可得，，易证，可得．当M，Q，B三点共线时最小，则的最小值为的长，根据，在直角三角形MOB中，根据勾股定理，即可求解。
（1）解：∵抛物线过点，
∴，
∴．
∴抛物线的表达式为；
（2）解：如图，
设点P的坐标为（），
结合题意可得，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵，
∴，
解得，
∴点P的坐标为；
（3）解：由题意得，．
如图，在上方作．使得，，连接，
∵点B的坐标为，轴，
∴，，
∴，，
∵在和中，
，
∴，
∴．
∴（当M，Q，B三点共线时取等号），
∴的最小值为的长，
∵，
∴．
∴的最小值为．
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