甘肃省武威市凉州区武威十七中学、十二中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（2025·凉州模拟）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·凉州模拟）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·凉州模拟）关于x的一元二次方程的两根之和是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·凉州模拟）下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·凉州模拟）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·凉州模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
8．（2025·凉州模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·凉州模拟）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ）
A． B． C． D．
10．（2025·凉州模拟）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．（2025·凉州模拟）169的平方根是 ．
12．（2025·凉州模拟）若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是 ．
13．（2025·凉州模拟）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
14．（2025·凉州模拟）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ．
15．（2025·凉州模拟）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 ．
16．（2025·凉州模拟）如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ．
17．（2025·凉州模拟）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
18．（2025·凉州模拟）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ．
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图．
（1）若与关于直线成轴对称，作出．
（2）作线段关于点对称的线段．
（3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
21．（2025·凉州模拟）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
22．（2025·凉州模拟）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
23．（2025·凉州模拟）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求及的长．
24．（2025·凉州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
25．（2025·凉州模拟）如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，求的长．
26．（2025·凉州模拟）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据）
27．（2025·凉州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1316万．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
2．【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵，∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质，可得出DE=DC=10-6=4.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
，
，
解得：。
故答案为：B。
【分析】根据平行四边形的基本性质，可得：，，根据勾股定理的逆定理：，据此可得：，然后再根据勾股定理：， 代入数据求出BC的值，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得： ， 代入数据即可求出点到的距离。
4．【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根为、，
。
故答案为：D。
【分析】根据韦达定理：，然后代入数据即可求解。
5．【答案】B
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A、，，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、，，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；
C、，，开口向下，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、，，开口向上，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据二次函数和一次函数的基本性质，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
6．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C。
【分析】根据旋转的性质可得，，，进而可得出是等边三角形，进而得到，进而即可求出的值。
7．【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵的直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：D。
【分析】连接，根据题干已知条件，可求出OP的值，然后再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值。
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
点在第四象限，，
点，在第二象限，且，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数的性质，然后再根据题干中给出的A、B、C的坐标，然后再结合反比例函数图象的特点，即可求解。
9．【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点G，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠EAH=∠HCN，∠AEH=∠CNH，
∴△AEH∽△CNH，
∴，
同理可得：△ADH∽△CGH，
∴，
∵ 点是边的中点，
∴AE=AD，
又∵，
∴，
∴==2，
∴AH=2CH，DH=2GH，AD=2CG，
∵OA=OC，
∴OA+OH=2（OC-OH），
∴OA=3OH，
∵ ，
∴OA=，AC=，
∵ ，
∴=，
∴DC=6，AD=12，
∴CG=6，
∴DG==，
∵DH=2GH，
∴DH==，
故答案为：A．
【分析】延长交于点G，根据矩形的性质，易证△AEH∽△CNH，△ADH∽△CGH，根据相似三角形对应边成比例可得=2，由，由勾股定理进而求得AC=，DC=CG=6，AD=12，DG=，即可求得DH==.
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
解得，
是直角三角形，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四条边相等、对边互相平行”可得AB=BC，BC∥AD，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠BCD=∠MBA，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠MBA=求出AH的值，用勾股定理求出BH的值，由角的构成和等腰三角形的性质可得∠BAM=∠NAD，根据等腰三角形的三线合一可得MH=NH，然后根据线段的和差BN=BH-NH可求解．
11．【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】
解：∵，
∴169的平方根是．
故答案为：．
【分析】根据平方根的定义，即可得出169的平方根 是±13.
12．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，5，3，x，-1的平均数是2，
∴，
解得，
∴这组数据为1，2，5，3，2，-1，其中，2出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2。
【分析】根据平均数的定义，求出x的值，然后再根据众数的定义，即可求解。
13．【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：。
故答案为：。
【分析】将x=-1代入一元二次方程 ，即可求出k的值。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，记和相交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：。
【分析】根据旋转的性质，可得， ，再根据 ，易证，可得，设，由勾股定理得 ， ，代入然后再根据，最后再建立方程即可求解。
15．【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
甲 乙 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，
则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 。
故答案为：。
【分析】先根据题干信息，列表得出所有等可能结果，然后再从中找出符合条件的结果，再利用概率公式进行运算即可。
16．【答案】
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图：延长、交于点，连接，设的中点为，连接．
∵正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
∵，
，
如图：作．
，
最大值为
最大面积为．
故答案为：。
【分析】延长、交于点，连接，设的中点为，连接。根据 ，易证，根据相似的性质，可得，代入数据即可求出AN的值，然后根据勾股定理，可得的值，再根据直角三角形的性质，可得的值，然后再根据三角形的三边关系可得最大值，最后根据三角形的面积公式，即可求解。
17．【答案】
【知识点】三角形的面积；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，
，
∴
∴
设OE=a，则AO=，AE=，
由，
∴
故答案为：。
【分析】观察图形，可以发现和存在公共的底边BD，所以可得出=，故而只需求出即可；过B点作BE//AD交AC于点E，即可得出，根据 ， ，AO=，设OE=a，则AO=，AE=，进而还可证明明利用可得出，可得出CE=7a，进而OC=8a，故而=.
18．【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形，
该圆锥底面半径，
该圆锥母线长为，
该圆锥底面周长为，
∴该物体侧面展开图的面积，
故答案为：。
【分析】根据主视图和左视图，即可得到该物体为圆锥体且圆锥体的高，然后再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径，最后再根据勾股定理，求出圆锥的母线长，最后由求解。
19．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：如图，线段及正方形即为所求．
【知识点】正方形的性质；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先从图中算出A、B、C的坐标，然后再根据轴对称的性质，分别确定、、的对应点、、，然后再将连接、、即可求解；
（2）根据（1）中算出的、的坐标，然后再找到、关于点对称的对应点、，然后再连接即可；
（3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点、，然后再分别连接、、、，即可作正方形。
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：如图，线段及正方形即为所求．
20．【答案】解：（1）原式；
（2）原式
；
当时，原式。
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的指数幂和立方根的运算法则，然后再对各个式子进行运算，最后再进运算即可。
（2）先对除号前面的分式根据完全平分公式进行分解，再对括号里面的分式进行通分运算，然后再将除法换算成乘法，再对分式进行约分化简，最后再将m的值代入式子中，即可求解。
21．【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为。
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，用2月份的销售量乘以（1+x），求出3月份的销售量，然后再用3月份的销售量乘以（1+x），求出4月份的销售量，然后再建立方程： ，然后再解方程，求出x的值，最后再根据x的特征，对x进行取舍即可。
22．【答案】（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴。
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，又根据，可得，再根据三角形的判定方法，即可求证。
（2）根据（1）可知，可得，，然后再根据等腰直角三角形的性质，可得，，从而可得的值，，代入数据求出BD的值，，再利用勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
23．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为。
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线定理，可得，又根据平分，可得，，易证，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，根据是的半径，即可证明。
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，进而即可求出的长；根据（1）中可知，可得，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的长，最后根据，然后代入数据即可求解。
（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
24．【答案】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：。
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式：，即可求得反比例函数的解析式，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式中，即可求出m的值，最后再把A、B的坐标代入一次函数解析式：，然后建立方程组，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与x轴的交点，令y=0，求出C的坐标，然后再根据P的坐标，求出CP的距离，然后再根据的面积等于12，然后再根据三角形的面积公式，建立方程即可求解。
（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
25．【答案】（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，
。
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据切于点，可得，又因为，所以，根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，易证，然后再根据平行线的性质，易证，最后再根据圆周角定理，即可证，据此即可证明；
（2）连接，根据为的直径，可得，再根据，在直角三角形ABC中，根据勾股定理：代入数据，即可求出BC的值，然后再根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可求得的值，根据垂径定理可知，据此即可求出DF的值。
（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．【答案】解：如图，在中，，
，
．
由题知，
在Rt中，
．
中华文字博物馆大门的高度约为20米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中根据正切函数的定义：，代入数据求出OD的值，进而得到OB的值，根据题干信息，易得，再在Rt中，根据正切函数的定义：，代入数据，即可求出的长。
27．【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
1 / 1甘肃省武威市凉州区武威十七中学、十二中学2025年中考二模数学试题
一、选择题（共30分，每小题3分）
1．（2025·凉州模拟）据统计，2024年我国新能源汽车的产量为1316万辆，比上年增长，其中1316万用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：1316万．
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
2．（2025·凉州模拟）如图，在Rt中，平分，垂足为点，则的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵，∴，
∵平分，，
∴，
∵，，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据角平分线的性质，可得出DE=DC=10-6=4.
3．（2025·凉州模拟）如图，在中，对角线交于，已知，，，那么到的距离为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理；平行四边形的性质；面积及等积变换
【解析】【解答】解：在中，，，
，，
，
，
，
，
，
设点到的距离为，
，
，
解得：。
故答案为：B。
【分析】根据平行四边形的基本性质，可得：，，根据勾股定理的逆定理：，据此可得：，然后再根据勾股定理：， 代入数据求出BC的值，设点到的距离为，根据三角形的面积公式可得： ， 代入数据即可求出点到的距离。
4．（2025·凉州模拟）关于x的一元二次方程的两根之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：设的两根为、，
。
故答案为：D。
【分析】根据韦达定理：，然后代入数据即可求解。
5．（2025·凉州模拟）下列函数中，y随x的值的增大而减小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=a（x-h）²+k的图象
【解析】【解答】解：A、，，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
B、，，y的值随x值的增大而减小，故该选项符合题意；
C、，，开口向下，当时，y的值随x值的增大而增大；当时，y的值随x值的增大而减小，故该选项不符合题意；
D、，，开口向上，当时，y的值随x值的增大而减小；当时，y的值随x值的增大而增大，故该选项不符合题意；
故答案为：B。
【分析】根据二次函数和一次函数的基本性质，然后再对各个选项进行逐一分析即可求解。
6．（2025·凉州模拟）如图，在中，．将绕点顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：由旋转的性质可得：，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：C。
【分析】根据旋转的性质可得，，，进而可得出是等边三角形，进而得到，进而即可求出的值。
7．（2025·凉州模拟）如图，的直径，是的弦，，垂足为P，且，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接，
∵的直径，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，
故答案为：D。
【分析】连接，根据题干已知条件，可求出OP的值，然后再根据垂径定理得到，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值。
8．（2025·凉州模拟）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵反比例函数中，，
∴反比例函数图象上分布在第二四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大，
点在第四象限，，
点，在第二象限，且，
∴，
∴，
故答案为：A。
【分析】根据反比例函数的性质，然后再根据题干中给出的A、B、C的坐标，然后再结合反比例函数图象的特点，即可求解。
9．（2025·凉州模拟）如图，在矩形中，对角线，交于点，，点是边的中点，点在边上，且，连结交于点，连结，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；矩形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：延长交于点G，如图所示，
∵四边形是矩形，
∴，
∴∠EAH=∠HCN，∠AEH=∠CNH，
∴△AEH∽△CNH，
∴，
同理可得：△ADH∽△CGH，
∴，
∵ 点是边的中点，
∴AE=AD，
又∵，
∴，
∴==2，
∴AH=2CH，DH=2GH，AD=2CG，
∵OA=OC，
∴OA+OH=2（OC-OH），
∴OA=3OH，
∵ ，
∴OA=，AC=，
∵ ，
∴=，
∴DC=6，AD=12，
∴CG=6，
∴DG==，
∵DH=2GH，
∴DH==，
故答案为：A．
【分析】延长交于点G，根据矩形的性质，易证△AEH∽△CNH，△ADH∽△CGH，根据相似三角形对应边成比例可得=2，由，由勾股定理进而求得AC=，DC=CG=6，AD=12，DG=，即可求得DH==.
10．（2025·凉州模拟）如图，已知菱形的边长为8，，将菱形绕点按逆时针方向旋转得到菱形，、分别交直线于、，若是的中点，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】勾股定理；菱形的性质；解直角三角形；旋转的性质
【解析】【解答】解：过点作于，
四边形是菱形，
，
，
，
，
解得，
是直角三角形，
，
，是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：C．
【分析】根据菱形的性质“菱形的四条边相等、对边互相平行”可得AB=BC，BC∥AD，由平行线的性质“两直线平行，同位角相等”可得∠BCD=∠MBA，在Rt△ABH中，根据锐角三角函数sin∠BCD=sin∠MBA=求出AH的值，用勾股定理求出BH的值，由角的构成和等腰三角形的性质可得∠BAM=∠NAD，根据等腰三角形的三线合一可得MH=NH，然后根据线段的和差BN=BH-NH可求解．
二、填空题（共24分，每小题3分）
11．（2025·凉州模拟）169的平方根是 ．
【答案】
【知识点】开平方（求平方根）
【解析】【解答】
解：∵，
∴169的平方根是．
故答案为：．
【分析】根据平方根的定义，即可得出169的平方根 是±13.
12．（2025·凉州模拟）若一组数据1，2，5，3，，的平均数是2，则众数是 ．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，5，3，x，-1的平均数是2，
∴，
解得，
∴这组数据为1，2，5，3，2，-1，其中，2出现的次数最多，
∴这组数据的众数是2，
故答案为：2。
【分析】根据平均数的定义，求出x的值，然后再根据众数的定义，即可求解。
13．（2025·凉州模拟）已知关于的一元二次方程的一个根为，则的值为 ．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根
【解析】【解答】解：将代入方程，得：，
解得：。
故答案为：。
【分析】将x=-1代入一元二次方程 ，即可求出k的值。
14．（2025·凉州模拟）如图，矩形中，，将矩形绕着点顺时针旋转得矩形，恰好落在对角线上，连接，如果与边相交，且，那么的长是 ．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：设，记和相交于点，
∵矩形，
∴，，，
∴，
由旋转的性质得，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
∴，，
由勾股定理得，，
∵，
∴，
解得，
∴．
故答案为：。
【分析】根据旋转的性质，可得， ，再根据 ，易证，可得，设，由勾股定理得 ， ，代入然后再根据，最后再建立方程即可求解。
15．（2025·凉州模拟）某博物馆开设了A，B，C三个安检通道，甲、乙两人随机选择一个通道进入博物馆，则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率为 ．
【答案】
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意列表如下：
甲 乙 A B C
A AA AB AC
B BA BB BC
C CA CB CC
总的情况有9种，其中甲、乙从不同通道进入博物馆的情况有6种，
则甲、乙从不同通道进入博物馆的概率 。
故答案为：。
【分析】先根据题干信息，列表得出所有等可能结果，然后再从中找出符合条件的结果，再利用概率公式进行运算即可。
16．（2025·凉州模拟）如图，点为正方形的边上两个动点，且，，连接，过点作，垂足为，连接，则面积的最大值为 ．
【答案】
【知识点】三角形三边关系；正方形的性质；相似三角形的判定；直角三角形斜边上的中线；四边形-动点问题
【解析】【解答】解：如图：延长、交于点，连接，设的中点为，连接．
∵正方形，
∴，
∴，
∴，即，
∴，解得：，
∵，
，
如图：作．
，
最大值为
最大面积为．
故答案为：。
【分析】延长、交于点，连接，设的中点为，连接。根据 ，易证，根据相似的性质，可得，代入数据即可求出AN的值，然后根据勾股定理，可得的值，再根据直角三角形的性质，可得的值，然后再根据三角形的三边关系可得最大值，最后根据三角形的面积公式，即可求解。
17．（2025·凉州模拟）如图，已知四边形ABCD，AC与BD相交于点O，∠ABC=∠DAC=90°，，则= ．
【答案】
【知识点】三角形的面积；正切的概念；相似三角形的性质-对应边；面积及等积变换；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】
解：过B点作BE//AD交AC于点E， BE⊥AD，
，
∴
∴
设OE=a，则AO=，AE=，
由，
∴
故答案为：。
【分析】观察图形，可以发现和存在公共的底边BD，所以可得出=，故而只需求出即可；过B点作BE//AD交AC于点E，即可得出，根据 ， ，AO=，设OE=a，则AO=，AE=，进而还可证明明利用可得出，可得出CE=7a，进而OC=8a，故而=.
18．（2025·凉州模拟）如图所示为一个物体的三视图，根据图示信息可得该物体侧面展开图的面积为 ．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；已知三视图进行几何体的相关计算
【解析】【解答】解：由图可知，该物体为圆锥，侧面展开图为扇形，
该圆锥底面半径，
该圆锥母线长为，
该圆锥底面周长为，
∴该物体侧面展开图的面积，
故答案为：。
【分析】根据主视图和左视图，即可得到该物体为圆锥体且圆锥体的高，然后再由俯视图得到圆锥体的底面圆的半径，最后再根据勾股定理，求出圆锥的母线长，最后由求解。
三、解答题（共66分）
19．（2025·凉州模拟）如图，这是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点．的三个顶点都是格点，格点在直线上，按要求完成以下作图．
（1）若与关于直线成轴对称，作出．
（2）作线段关于点对称的线段．
（3）将线段绕点顺时针旋转，得到线段，并以线段为一条对角线，作正方形．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：如图，线段及正方形即为所求．
【知识点】正方形的性质；作图﹣轴对称；中心对称及中心对称图形；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）先从图中算出A、B、C的坐标，然后再根据轴对称的性质，分别确定、、的对应点、、，然后再将连接、、即可求解；
（2）根据（1）中算出的、的坐标，然后再找到、关于点对称的对应点、，然后再连接即可；
（3）找到、绕点顺时针旋转后的对应点、，然后再分别连接、、、，即可作正方形。
（1）解：如图，即为所求．
（2）解：如图，线段即为所求．
（3）解：如图，线段及正方形即为所求．
20．（2025·凉州模拟）（1）计算：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：（1）原式；
（2）原式
；
当时，原式。
【知识点】分式的化简求值；零指数幂；负整数指数幂；化简含绝对值有理数；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）根据绝对值的性质、特殊角的三角函数值、零次幂的指数幂和立方根的运算法则，然后再对各个式子进行运算，最后再进运算即可。
（2）先对除号前面的分式根据完全平分公式进行分解，再对括号里面的分式进行通分运算，然后再将除法换算成乘法，再对分式进行约分化简，最后再将m的值代入式子中，即可求解。
21．（2025·凉州模拟）公安交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售100个，4月份销售169个，且从2月份到4月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
【答案】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）.
答：该品牌头盔销售量的月增长率为。
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题
【解析】【分析】设该品牌头盔销售量的月增长率为x，用2月份的销售量乘以（1+x），求出3月份的销售量，然后再用3月份的销售量乘以（1+x），求出4月份的销售量，然后再建立方程： ，然后再解方程，求出x的值，最后再根据x的特征，对x进行取舍即可。
22．（2025·凉州模拟）如图所示，等腰中，，，点为斜边上一点（不与重合），，连接，将线段绕点沿顺时针方向旋转至，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
【答案】（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴。
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴。
【知识点】勾股定理；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS；等腰三角形的概念
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质，可得，，又根据，可得，再根据三角形的判定方法，即可求证。
（2）根据（1）可知，可得，，然后再根据等腰直角三角形的性质，可得，，从而可得的值，，代入数据求出BD的值，，再利用勾股定理：，代入数据即可求解。
（1）证明：由旋转可得，，，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴；
（2）解：由（）知，
∴，，
∵是等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，
，
∴．
23．（2025·凉州模拟）如图，是的直径，与相切于点，点是上一点，连接并延长交的延长线于点．连接、相交于点，延长交于点．若平分，且．
（1）求证：是的切线；
（2）若，，求及的长．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线。
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为。
【知识点】勾股定理；切线的判定与性质；三角形全等的判定-ASA
【解析】【分析】（1）连接，根据切线定理，可得，又根据平分，可得，，易证，进而可得，再根据等腰三角形的性质可得，，从而可得，根据是的半径，即可证明。
（2）连接，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，进而即可求出的长；根据（1）中可知，可得，设，则，在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的值，从而可得的长，再在中，利用勾股定理：，代入数据即可求出的长，最后根据，然后代入数据即可求解。
（1）证明：如图，连接，
∵与相切于点，
∴，即，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
又∵是的半径，
∴是的切线．
（2）解：如图，连接，
设，
∵，
∴，
由（1）已证：，
∴在中，，即，
解得，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
设，则，
在中，，即，
解得，
∴，
∴在中，，
∴，
综上，的长为，的长为．
24．（2025·凉州模拟）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点、
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）直线与轴交于点，是轴上一点，若的面积等于12，求的值．
【答案】（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：。
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式：，即可求得反比例函数的解析式，再把B点坐标代入所求得的反比例函数解析式中，即可求出m的值，最后再把A、B的坐标代入一次函数解析式：，然后建立方程组，即可求出一次函数的解析式；
（2）根据一次函数与x轴的交点，令y=0，求出C的坐标，然后再根据P的坐标，求出CP的距离，然后再根据的面积等于12，然后再根据三角形的面积公式，建立方程即可求解。
（1）解：∵在反比例函数的图象上，
∴，
∴反比例函数的解析式为：，
把代入，得，
∴，
把，都代入一次函数，得 ，
解得，
∴一次函数的解析式为：；
（2）解：如图，
对于，当，解得，
∴，
∵，
∴，
∵的面积等于12，
∴，即，
解得：或；
∴或．
25．（2025·凉州模拟）如图，为的直径，过点作的切线是半圆上一点（不与点、重合），连接，过点作于点，连接并延长交于点．
（1）求证：；
（2）若的半径为，求的长．
【答案】（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，
。
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定
【解析】【分析】（1）根据切于点，可得，又因为，所以，根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行，易证，然后再根据平行线的性质，易证，最后再根据圆周角定理，即可证，据此即可证明；
（2）连接，根据为的直径，可得，再根据，在直角三角形ABC中，根据勾股定理：代入数据，即可求出BC的值，然后再根据，，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可求得的值，根据垂径定理可知，据此即可求出DF的值。
（1）证明：切于点，
，
，
，
，
，
，
；
（2）解：如下图所示，连接，
为的直径，
，，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
26．（2025·凉州模拟）中国文字博物馆是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，小明设计了如下方案：在点处放一面镜子，他站在的位置，通过镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测得自己眼睛到地面的距离，他到大门的距离，，请求出中华文字博物馆大门的高度．（结果精确到1米．参考数据）
【答案】解：如图，在中，，
，
．
由题知，
在Rt中，
．
中华文字博物馆大门的高度约为20米。
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中根据正切函数的定义：，代入数据求出OD的值，进而得到OB的值，根据题干信息，易得，再在Rt中，根据正切函数的定义：，代入数据，即可求出的长。
27．（2025·凉州模拟）【问题背景】
如图1，已知抛物线经过，，三点．
【知识技能】
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在平面直角坐标平面内，求点的坐标，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形；
【深入探究】
（3）如图2，为对称轴左侧抛物线上一动点，点，直线分别与轴、直线交于，两点，当为等腰三角形时，直接写出的长．
【答案】解：（1）设抛物线的解析式为，（，，为常数，），
∵抛物线经过，，，
∴，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）如图，有三种情况，
∵，，，以，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴，，，，，，，
∴点在点的左边距离为处，坐标为，
点在点的右边距离为处，坐标为，
点与的连线的中点是点，坐标为．
（3）分类讨论：①当，点在点的左侧时，过点作于点，
则，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
∵点，
∴，
，解得：（舍去）或，
；
当，点在点右侧时，如图，过点作轴于点，
则轴，
，，
，，
，，
，
，
设，则，，
，
，，
，解得：（舍去）或；
②如图，当时，过点作交轴于点，则，
设，则，
，
，解得：，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，解得：，
直线的关系式为，
，
，
③如图，当时，过点作交轴于点，则，
，，
，
，
，
设直线的关系式为，
则，解得：，
直线的关系式为，
设直线的关系式为，
，
，解得：，
直线的关系式为，
，
．
综上可得，的长为或或或16．
【知识点】平行四边形的性质；二次函数与一次函数的综合应用；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求出抛物线的解析式；
（2）根据平行四边形的性质“平行四边形的对边平行且相等”可得，，，，，，再利用点的位置关系与对称性分别求出三个点的坐标即可；
（3）由题意可分三种情况：①，②，③，求出的长即可．
1 / 1
