广东省广州市番禺区2025年中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·番禺模拟）下面各数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
故最小的数为，
故答案为：A
【分析】根据两个负实数大小比较，绝对值大的反而小，据此即可得解。
2．（2025·番禺模拟）下列AI软件的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故答案为：A。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称指是存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是指存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。然后再对各个选项进行逐一分析，即可判断。
3．（2025·番禺模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
4．（2025·番禺模拟）若，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C． D．
【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可．
5．（2025·番禺模拟）某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每组包含最大值，不包含最小值）．估计该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（ ）
A．20人 B．396人 C．800人 D．1080人
【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：每周度数时间为6到8小时的人数有：人，
人，
∴该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有800人，
故答案为：C
【分析】用阅读多于6小时的学生人数除以参加调查的学生总数，然后再乘以该校的学生总数，即可求解。
6．（2025·番禺模拟）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设该队胜了x场，则该队负了场，胜场得分：分，负场得分：分．
因为共得15分，
所以方程应为：．
故选：C．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设该队胜了x场，得到该队负了场，结合胜场得分分，负场得分分．列出方程，即可求解.
7．（2025·番禺模拟）双曲线与直线交于A、B两点，要使反比例函数的值小于一次函数的值，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣2或0＜x＜3
【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：反比例函数的图象位于一次函数图象的下部的部分，
对应的自变量的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案为：C。
【分析】根据题干要求“反比例函数的值小于一次函数的值”，则只需要找反比例函数的图形位于一次函数图象的下面，通过观察图像信息即可求解。
8．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直线与圆的位置关系；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴则圆与直线的关系是相离．
故答案为：B
【分析】过点D作于点H，根据直角三角形的基本性质，可得以及勾股定理：，代入数据求出AC的值，然后再根据等面积方法： ，可得 ， 进而可求出，最后再根据圆和直线相交的特点，即可求解。
9．（2025·番禺模拟）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
等腰直角三角形中，为边上中点，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积，
∵的长为8，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据直角三角形的特点和证明等腰三角形三线合一的特点，易证，从而可得四边形的面积，最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接
10．（2025·番禺模拟）如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
，
，则．
阴影部分面积
．
故答案为：A。
【分析】根据正切函数的定义：，代入数据求出的值，然后再根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据矩形的性质求出的度数，最后再根据阴影部分面积，利用三角形面积公式、扇形面积公式，求解即可。
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025·番禺模拟）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度．
【答案】104
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠3＋∠2＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝76°，
∴∠3＝76°，
∴∠2＝180°-76°=104°，
故答案为：104．
【分析】
根据对顶角的性质可得∠3=∠1=76°，由于，根据平行线的性质可得∠3+∠2 = 180°，等量代换，将∠3 = 76° 代入上述等式，即可求解。
12．（2025·番禺模拟） ．
【答案】4049
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4049。
【分析】根据平方差公式，对式子进行分解即可求解。
13．（2025·番禺模拟）如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据角平分线的定义，可得，然后再根据平行四边形的性质，可知，，然后再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可知，进而即可求解。
14．（2025·番禺模拟）若的值为5，则的值为
【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：。
【分析】先对式子 进行变形：，然后再将代入上述式子中，即可求解。
15．（2025·番禺模拟）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ．
【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，．
故答案为：，
【分析】根据新定义的运算规则，对方程左右两边的式子根据新定义进行运算，然后再建立方程，即可求解。
16．（2025·番禺模拟）如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是 ．
【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故①正确
∴，
∴，即，故②正确；
如图所示，过点A作，
当时，则，
∴，故③错误；
如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点O作交延长线于T，连接，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据 ，易证是等腰直角三角形，得到，则，由正方形的性质得到，则可证明，得到，进而得到；过点A作，当时，则，根据三角形正弦函数的定义，可得；作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，可证明，过点O作交延长线于T，连接，根据，可得当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断。
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
17．（2025·番禺模拟）求满足不等式组的所有整数解的和．
【答案】解：解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，，，3，
∴不等式组的所有整数解的和为。
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别对不等式组的两个不等式进行求解，然后再求出不等式组的解集，然后再根据题意列出符合条件的整数，然后再将这些整数相加即可求解。
18．（2025·番禺模拟）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：．
【答案】证明，，
，
又∵为公共角，
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先根据同角的补角相等，可得出，再加上∠A为公共角，根据AA可判定．
19．（2025·番禺模拟）先化简，再求值：其中．
【答案】解：原式
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行化简约分，最后再将 代入上述化简后的式子，即可求解。
20．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图点即为所求；
（2）解：如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴。
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题干给出的条件，易知点在线段的中垂线上，然后再根据垂直平分线的画图方法，画出AB的中垂线即可。
（2）设，根据（1）中的信息，可知，在中，最后再利用勾股定理求解即可。
（1）解：如图点即为所求；
（2）如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
21．（2025·番禺模拟）广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调查，要求他们从粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术中选择“最感兴趣的一项”．调查结果部分数据如下：
项目 频数 频率
粤剧 30
醒獅 45
广绣
广彩 15
（1）由上表可得，___________，___________，总调查人数为___________人．
（2）该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两个，请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率．
【答案】（1），，
（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：，
根据题意画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，
（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）。
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】（1）解：本次调查的总人数为（人），
∴，．
故答案为：，，。
【分析】（1）用广彩的频数除以其对应的频率，即可求出本次调查的总人数，然后再用本次调查的总人数乘以广绣对应的频率，即可求出a的值；用粤剧的频数除以本次调查的总人数，即可求出粤剧的频率，即b的值；
（2）根据题干信息，分别记粤剧、醒狮、广绣和广彩为，然后再按照题干要求列出所有可能得结果，再挑选出符合条件的结果数，最后再利用概率的公式，即可求解。
（1）解：本次调查的总人数为（人），
∴，．
（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：，
根据题意画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，
（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）．
22．（2025·番禺模拟）在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求的长；
（2）求“天命人”从山脚点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）
【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米，
即的长为米。
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据，然后再根据直角三角形的性质：，代入数据即可求解。
（2）根据， ，易证四边形为矩形，进而得出的值，然后再根据，代入数据求出CE的值， 在中 ，根据正弦函数的定义：代入数据，即可求出BC的值，进而可求出AB+BC的值。
（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米，
即的长为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米．
23．（2025·番禺模拟）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
（1）小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．．
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
（2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
（3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
【答案】（1）解：①1；
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）增大
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【知识点】反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1。
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大。
【分析】（1）①根据表格中的信息，将R的值代入中，然后再解方程，求出I的值，即可求出P的值；
②根据表格中的数据，然后将各个坐标在坐标轴上描出来，最后再进行连线即可；
（2）根据图象信息可知，R随着m的增大而减小，再结合（1）中画出的图像信息，可知，I随R的增大而减小，据此即可判断；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，求出k，b的值，进而得到R与m的关系式，最后再结合（1）中求出的解析式，将R的关系式代入，即可判断。
（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
24．（2025·番禺模拟）已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；
（3）点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标．
【答案】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为。
（2）解：由轴对称的性质可得，
∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设直线交于J，
由轴对称的性质可得轴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在优弧上取一点K，连接，
∴，
∴，
∴，
∴的距离为定值。
（3）解；如图所示，取点，连接，在中，
当时，解得或，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当点Q在点B右侧时，
∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
如图所示，取，连接，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；轴对称的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将A点和B点坐标分别代入 ，再根据对称轴公式：，然后建立方程组：， 最后再解方程组，求出a、b和c的值，进而即可求出抛物线的解析式。
（2）根据轴对称的性质可得，则都在以A为圆心，半径为3的圆上；再根据A和B的坐标，易得OA=OB，又根据 ，易得 ，进而可知，进而可证明然后再根据勾股定理：，代入数据即可求出 D的距离。
（3）取点，连接，根据（1）中求出的抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，确定C点坐标，进而求出OC=OM的值，根据 ，易证，得到，则可证明；当点Q在点B右侧时，易证； 设直线解析式为 ，将B点和M点坐标代入，求出直线解析式，根据 ， 设直线解析式为 ，将A点坐标代入，即可求出解析式，然后联立这两条方程，求出x和y的解，进而确定的坐标；取，连接，则，根据两点间的距离公式，分别求出的值 ， 易证，得到，同理，求出AL的解析式，进而即可求出的坐标。
（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由轴对称的性质可得，
∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设直线交于J，
由轴对称的性质可得轴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在优弧上取一点K，连接，
∴，
∴，
∴，
∴的距离为定值；
（3）解；如图所示，取点，连接，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当点Q在点B右侧时，
∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
如图所示，取，连接，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
25．（2025·番禺模拟）如图1，已知四边形中，
（1）点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）；
（2）当时，
①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度；
②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值．
【答案】（1）解：在和中，
，
，
，
，
。
（2）解：①在四边形中，，
四边形是正方形，
，，
设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，，
是等腰三角形，
，
；
②，，
，
，
，
∴，
，
连接，是中点，
∴，
∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
设的中点为O，连接，如图，
则，，
在上取点Q，使，连接，则，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，则，
∴当三点共线时最小，即最小，
作，垂足分别为H、K，
则四边形是矩形， ，
∴，
在直角三角形中，，
，
∴，，
则在直角三角形中，，
即的最小值为4。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而推出，据此即可求解；
（2）①根据题干信息，易证四边形是正方形，进而可得，根据勾股定理，求出BD的值，然后再再结合折叠的性质，得到是等腰三角形，即可求解；
②根据，，易得 ，进而可得，得到，进而得到点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，设的中点为O，连接，在上取点Q，使，连接，根据， ，易证，得到，则，可得当三点共线时最小，即最小， 作，垂足分别为H、K ，根据矩形的性质，可得，在直角三角形 中，根据正弦函数和余弦函数的定义：，，代入数据，求出HO和HQ的值，进而得到QK、CK的值， 在直角三角形中 ，根据勾股定理，即可求出CQ的值。
（1）解：在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：①在四边形中，，
四边形是正方形，
，，
设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，，
是等腰三角形，
，
；
②，，
，
，
，
∴，
，
连接，是中点，
∴，
∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
设的中点为O，连接，如图，
则，，
在上取点Q，使，连接，则，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，则，
∴当三点共线时最小，即最小，
作，垂足分别为H、K，
则四边形是矩形， ，
∴，
在直角三角形中，，
，
∴，，
则在直角三角形中，，
即的最小值为4．
1 / 1广东省广州市番禺区2025年中考数学二模试卷
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·番禺模拟）下面各数中最小的是（ ）
A． B．0 C． D．
2．（2025·番禺模拟）下列AI软件的图标中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·番禺模拟）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·番禺模拟）若，且，则的值可能是（ ）
A．0 B．1 C． D．
5．（2025·番禺模拟）某校随机抽取50名学生进行每周课外阅读时间的问卷调查，将调查结果制成频数直方图如图所示（每组包含最大值，不包含最小值）．估计该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有（ ）
A．20人 B．396人 C．800人 D．1080人
6．（2025·番禺模拟）某中学七年一班足球队参加比赛，胜一场得2分，负一场得1分，该队共赛了9场，共得15分，该队胜了多少场？设该足球队胜了x场，根据题意所列方程正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025·番禺模拟）双曲线与直线交于A、B两点，要使反比例函数的值小于一次函数的值，则x的取值范围是（ ）
A．x＞3 B．x＜﹣2
C．﹣2＜x＜0或x＞3 D．x＜﹣2或0＜x＜3
8．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，是边上的高，，若圆是以点为圆心，为半径的圆，那么圆与直线的关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．不能确定
9．（2025·番禺模拟）如图，在等腰三角形中，，为边上中点，过点作交于，交于，若的长为8，则四边形的面积为（ ）
A．14 B．16 C．18 D．20
10．（2025·番禺模拟）如图，在矩形中，，，连接，以点C为圆心，为半径作弧交于点E，连接．则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．（2025·番禺模拟）用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则 度．
12．（2025·番禺模拟） ．
13．（2025·番禺模拟）如图，在平行四边形中，的角平分线交边于点，，则的度数是 ．
14．（2025·番禺模拟）若的值为5，则的值为
15．（2025·番禺模拟）在实数范围内定义运算“☆”和“★”，其规则为：，，则方程的解为 ．
16．（2025·番禺模拟）如图，在正方形中，是平面内一点，，连接．过点作的垂线交直线于点．下列结论：①；②；③当时，；④的最小值为．其中正确的结论是 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或盐酸步骤．）
17．（2025·番禺模拟）求满足不等式组的所有整数解的和．
18．（2025·番禺模拟）如图，在中，点分别是边上的点，．求证：．
19．（2025·番禺模拟）先化简，再求值：其中．
20．（2025·番禺模拟）如图，在中，，，为上一点，且到，两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规作出点的位置；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连结，若，，求的长．
21．（2025·番禺模拟）广府文化传承小组为了解中学生对传统艺术的了解情况，随机抽取某校一批学生进行调查，要求他们从粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术中选择“最感兴趣的一项”．调查结果部分数据如下：
项目 频数 频率
粤剧 30
醒獅 45
广绣
广彩 15
（1）由上表可得，___________，___________，总调查人数为___________人．
（2）该校有两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，课程内容从以上四种广府文化项目中任选两个，请求出两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的概率．
22．（2025·番禺模拟）在《黑神话·悟空》中，“天命人”需要跨越一座被妖雾笼罩的山峰，由于雾气被施法，无法飞行，只能缓缓爬山，路线示意图如图②，“天命人”从山脚出发，沿走400米到点，再沿到山顶点，已知山高为384米，，，交的延长线于点，，．（图中所有点均在同一平面内）
（1）求的长；
（2）求“天命人”从山脚点到达山顶点共走了多少米？（结果精确到0.1米）．（参考数据：，，）
23．（2025·番禺模拟）数学兴趣小组了解到一款如图1所示的电子托盘秤，它是通过所称重物调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．已知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图2所示，电流（单位：）与可变电阻之间关系为．
（1）小组先探究函数的图象与性质，并根据与之间关系得到如下表格：
0 1 2 3 4 5 6 7 ．．．
2 1.5 1.2 0.75 0.6 ．．．
①表格中的___________；
②请在图3中画出对应的函数图象；
（2）该小组综合图2和图3发现，随着的增大而___________；（填“增大”或“减小”）
（3）若将该款电子秤中的电路电流范围设定为（单位：），判断该电子托盘秤能否称出质量为的物体的质量？请说明理由．
24．（2025·番禺模拟）已知二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点为内部一个动点，且，点关于直线的对称点为，点关于轴的对称点为，问的距离是定值吗？若为定值，请求出距离：若不是定值，请说明理由；
（3）点为二次函数与轴的另一个交点，点为二次函数上一点，若，求点的坐标．
25．（2025·番禺模拟）如图1，已知四边形中，
（1）点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）；
（2）当时，
①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度；
②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】实数的大小比较
【解析】【解答】解：∵，，且，
∴，
故最小的数为，
故答案为：A
【分析】根据两个负实数大小比较，绝对值大的反而小，据此即可得解。
2．【答案】A
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、既是轴对称图形又是中心对称图形，故A选项不符合题意；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项合题意；
C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故C选项不合题意；
D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意．
故答案为：A。
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义：轴对称指是存在一条直线（对称轴），将图形沿此线对折，两部分完全重合。中心对称是指存在一个中心点，图形绕此点旋转180度后与原图形重合。然后再对各个选项进行逐一分析，即可判断。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A运算错误，不符合题意；
B、，故B运算错误，不符合题意；
C、，故C运算错误，不符合题意；
D、，运算正确，符合题意；
故选：D．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】不等式的性质
【解析】【解答】解：∵，且，
∴，
∴四个选项中，只有B选项符合题意，
故答案为：B．
【分析】根据不等式的两边同时除以一个负数，不等号的方向改变解题即可．
5．【答案】C
【知识点】频数（率）分布直方图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：每周度数时间为6到8小时的人数有：人，
人，
∴该校2000名学生中每周阅读时间多于6小时的学生共有800人，
故答案为：C
【分析】用阅读多于6小时的学生人数除以参加调查的学生总数，然后再乘以该校的学生总数，即可求解。
6．【答案】C
【知识点】一元一次方程的实际应用-积分问题
【解析】【解答】解：设该队胜了x场，则该队负了场，胜场得分：分，负场得分：分．
因为共得15分，
所以方程应为：．
故选：C．
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，设该队胜了x场，得到该队负了场，结合胜场得分分，负场得分分．列出方程，即可求解.
7．【答案】C
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：由题意得：反比例函数的图象位于一次函数图象的下部的部分，
对应的自变量的取值范围是：﹣2＜x＜0或x＞3．
故答案为：C。
【分析】根据题干要求“反比例函数的值小于一次函数的值”，则只需要找反比例函数的图形位于一次函数图象的下面，通过观察图像信息即可求解。
8．【答案】B
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；直线与圆的位置关系；面积及等积变换
【解析】【解答】解：过点D作于点H，
∵在中，，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
∴
∵，
∴则圆与直线的关系是相离．
故答案为：B
【分析】过点D作于点H，根据直角三角形的基本性质，可得以及勾股定理：，代入数据求出AC的值，然后再根据等面积方法： ，可得 ， 进而可求出，最后再根据圆和直线相交的特点，即可求解。
9．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定-ASA；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
等腰直角三角形中，为边上中点，
∴，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴四边形的面积，
∵的长为8，
∴，
∴四边形的面积，
故答案为：B。
【分析】根据直角三角形的特点和证明等腰三角形三线合一的特点，易证，从而可得四边形的面积，最后再根据三角形的面积公式，代入数据即可去接
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；扇形面积的计算；求特殊角的三角函数值；几何图形的面积计算-割补法；直角三角形的两锐角互余
【解析】【解答】解：在矩形中，，，，
，
，则．
阴影部分面积
．
故答案为：A。
【分析】根据正切函数的定义：，代入数据求出的值，然后再根据特殊角的三角函数值，求出的度数，再根据矩形的性质求出的度数，最后再根据阴影部分面积，利用三角形面积公式、扇形面积公式，求解即可。
11．【答案】104
【知识点】平行线的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：∵，
∴∠3＋∠2＝180°，
∵∠1＝∠3，∠1＝76°，
∴∠3＝76°，
∴∠2＝180°-76°=104°，
故答案为：104．
【分析】
根据对顶角的性质可得∠3=∠1=76°，由于，根据平行线的性质可得∠3+∠2 = 180°，等量代换，将∠3 = 76° 代入上述等式，即可求解。
12．【答案】4049
【知识点】因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解：
．
故答案为：4049。
【分析】根据平方差公式，对式子进行分解即可求解。
13．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：∵平分，
∴，
∵四边形为平行四边形，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】根据角平分线的定义，可得，然后再根据平行四边形的性质，可知，，然后再根据平行线的性质：两直线平行，内错角相等，可知，进而即可求解。
14．【答案】5
【知识点】求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
故答案为：。
【分析】先对式子 进行变形：，然后再将代入上述式子中，即可求解。
15．【答案】，
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵，
∴，
解得：，，
∴方程的解为，．
故答案为：，
【分析】根据新定义的运算规则，对方程左右两边的式子根据新定义进行运算，然后再建立方程，即可求解。
16．【答案】①②④
【知识点】勾股定理；正方形的性质；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS；已知正弦值求边长
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴；
∵四边形是正方形，
∴，
∴，
∴，故①正确
∴，
∴，即，故②正确；
如图所示，过点A作，
当时，则，
∴，故③错误；
如图所示，作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
如图所示，过点O作交延长线于T，连接，
∴，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，即最小值为，故④正确；
故答案为：①②④．
【分析】根据 ，易证是等腰直角三角形，得到，则，由正方形的性质得到，则可证明，得到，进而得到；过点A作，当时，则，根据三角形正弦函数的定义，可得；作的外接圆，设该外接圆圆心为O，在优弧上取一点G，连接，可证明，过点O作交延长线于T，连接，根据，可得当点P在直线上时，有最小值，最小值为的值，据此可判断。
17．【答案】解：解不等式①可得：，
解不等式②可得：，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，，，3，
∴不等式组的所有整数解的和为。
【知识点】一元一次不等式组的特殊解
【解析】【分析】分别对不等式组的两个不等式进行求解，然后再求出不等式组的解集，然后再根据题意列出符合条件的整数，然后再将这些整数相加即可求解。
18．【答案】证明，，
，
又∵为公共角，
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【分析】首先根据同角的补角相等，可得出，再加上∠A为公共角，根据AA可判定．
19．【答案】解：原式
；
∵，
∴原式
【知识点】分式的乘除法；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先对分式中的各个分式利用完全平方公式和平方差公式进行分解，然后再将除法换算成乘法，再进行化简约分，最后再将 代入上述化简后的式子，即可求解。
20．【答案】（1）解：如图点即为所求；
（2）解：如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴。
【知识点】勾股定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据题干给出的条件，易知点在线段的中垂线上，然后再根据垂直平分线的画图方法，画出AB的中垂线即可。
（2）设，根据（1）中的信息，可知，在中，最后再利用勾股定理求解即可。
（1）解：如图点即为所求；
（2）如图，
∵点在线段的中垂线上，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理，得：，
解得：，
∴．
21．【答案】（1），，
（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：，
根据题意画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，
（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）。
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表；用列表法或树状图法求概率
【解析】（1）解：本次调查的总人数为（人），
∴，．
故答案为：，，。
【分析】（1）用广彩的频数除以其对应的频率，即可求出本次调查的总人数，然后再用本次调查的总人数乘以广绣对应的频率，即可求出a的值；用粤剧的频数除以本次调查的总人数，即可求出粤剧的频率，即b的值；
（2）根据题干信息，分别记粤剧、醒狮、广绣和广彩为，然后再按照题干要求列出所有可能得结果，再挑选出符合条件的结果数，最后再利用概率的公式，即可求解。
（1）解：本次调查的总人数为（人），
∴，．
（2）解：记粤剧、醒狮、广绣和广彩四种艺术分别为：，
根据题意画树状图如图所示：
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中两名艺术老师打算开设两个不同的特色课程，且两个老师开设的特色课程中有粤剧课程的结果有6种，
（两个老师开设的特色课程中有粤剧课程）．
22．【答案】（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米，
即的长为米。
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米．
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）根据，然后再根据直角三角形的性质：，代入数据即可求解。
（2）根据， ，易证四边形为矩形，进而得出的值，然后再根据，代入数据求出CE的值， 在中 ，根据正弦函数的定义：代入数据，即可求出BC的值，进而可求出AB+BC的值。
（1）解：∵，
∴，
∵，米，
∴米，
即的长为米；
（2）解：∵，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形为矩形，
∴米，
∵米，
∴米，
在中，，
∴米，
∴米，
∴“天命人”从山脚点到达山顶点共走了米．
23．【答案】（1）解：①1；
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）增大
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
【知识点】反比例函数的实际应用；描点法画函数图象；通过函数图象获取信息；一次函数的其他应用
【解析】【解答】（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1。
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大。
【分析】（1）①根据表格中的信息，将R的值代入中，然后再解方程，求出I的值，即可求出P的值；
②根据表格中的数据，然后将各个坐标在坐标轴上描出来，最后再进行连线即可；
（2）根据图象信息可知，R随着m的增大而减小，再结合（1）中画出的图像信息，可知，I随R的增大而减小，据此即可判断；
（3）依据题意，设（，b为常数） 将，代入，求出k，b的值，进而得到R与m的关系式，最后再结合（1）中求出的解析式，将R的关系式代入，即可判断。
（1）解：①由题意，将代入中，
∴，
．
故答案为：1．
②图象如下图所示，即为所求．
；
（2）解：由题意，根据图象，可得R随着m的增大而减小，
又∵I随R的增大而减小，
∴I随着m的增大而增大．
故答案为：增大．
（3）解：不能，理由如下：
由题意，设（，b为常数） 将，代入，得，
∴
∴．
又∵，
∴．
∵由（2）知I随着m的增大而增大，
∴当时，．
∴该电子托盘秤不能称出质量为的物体的质量．
24．【答案】（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为。
（2）解：由轴对称的性质可得，
∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设直线交于J，
由轴对称的性质可得轴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在优弧上取一点K，连接，
∴，
∴，
∴，
∴的距离为定值。
（3）解；如图所示，取点，连接，在中，
当时，解得或，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当点Q在点B右侧时，
∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
如图所示，取，连接，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或。
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；圆周角定理；轴对称的性质；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】（1）将A点和B点坐标分别代入 ，再根据对称轴公式：，然后建立方程组：， 最后再解方程组，求出a、b和c的值，进而即可求出抛物线的解析式。
（2）根据轴对称的性质可得，则都在以A为圆心，半径为3的圆上；再根据A和B的坐标，易得OA=OB，又根据 ，易得 ，进而可知，进而可证明然后再根据勾股定理：，代入数据即可求出 D的距离。
（3）取点，连接，根据（1）中求出的抛物线的解析式，令y=0，求出x的值，确定C点坐标，进而求出OC=OM的值，根据 ，易证，得到，则可证明；当点Q在点B右侧时，易证； 设直线解析式为 ，将B点和M点坐标代入，求出直线解析式，根据 ， 设直线解析式为 ，将A点坐标代入，即可求出解析式，然后联立这两条方程，求出x和y的解，进而确定的坐标；取，连接，则，根据两点间的距离公式，分别求出的值 ， 易证，得到，同理，求出AL的解析式，进而即可求出的坐标。
（1）解：∵二次函数图象的对称轴为直线，且与轴的一个交点为，与轴交点为，
∴，
∴，
∴二次函数解析式为；
（2）解：由轴对称的性质可得，
∴都在以A为圆心，半径为3的圆上；
∵，
∴，
又∵，
∴，
设直线交于J，
由轴对称的性质可得轴，
∴，
∴，
∴，
如图所示，在优弧上取一点K，连接，
∴，
∴，
∴，
∴的距离为定值；
（3）解；如图所示，取点，连接，
在中，当时，解得或，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图所示，当点Q在点B右侧时，
∵，
∴；
设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
∴可设直线解析式为，
∴，
∴，
∴直线解析式为，
联立，解得或，
∴点的坐标为；
如图所示，取，连接，则，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
同理可得直线解析式为，
联立，解得或，
∴的坐标为；
综上所述，点Q的坐标为或．
25．【答案】（1）解：在和中，
，
，
，
，
。
（2）解：①在四边形中，，
四边形是正方形，
，，
设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，，
是等腰三角形，
，
；
②，，
，
，
，
∴，
，
连接，是中点，
∴，
∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
设的中点为O，连接，如图，
则，，
在上取点Q，使，连接，则，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，则，
∴当三点共线时最小，即最小，
作，垂足分别为H、K，
则四边形是矩形， ，
∴，
在直角三角形中，，
，
∴，，
则在直角三角形中，，
即的最小值为4。
【知识点】勾股定理；圆周角定理；相似三角形的判定；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据题意，易证，然后再根据全等三角形的性质，可得，进而推出，据此即可求解；
（2）①根据题干信息，易证四边形是正方形，进而可得，根据勾股定理，求出BD的值，然后再再结合折叠的性质，得到是等腰三角形，即可求解；
②根据，，易得 ，进而可得，得到，进而得到点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，设的中点为O，连接，在上取点Q，使，连接，根据， ，易证，得到，则，可得当三点共线时最小，即最小， 作，垂足分别为H、K ，根据矩形的性质，可得，在直角三角形 中，根据正弦函数和余弦函数的定义：，，代入数据，求出HO和HQ的值，进而得到QK、CK的值， 在直角三角形中 ，根据勾股定理，即可求出CQ的值。
（1）解：在和中，
，
，
，
，
；
（2）解：①在四边形中，，
四边形是正方形，
，，
设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，，
是等腰三角形，
，
；
②，，
，
，
，
∴，
，
连接，是中点，
∴，
∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，
设的中点为O，连接，如图，
则，，
在上取点Q，使，连接，则，
∴，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
连接，如图，则，
∴当三点共线时最小，即最小，
作，垂足分别为H、K，
则四边形是矩形， ，
∴，
在直角三角形中，，
，
∴，，
则在直角三角形中，，
即的最小值为4．
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