湖北省武汉市江汉区2025-2026学年高三7月新起点摸底考数学考试题（含答案）

江汉区2026届高三7月新起点摸底考数学
一、单选题：本题共８小题, 每小题５分, 共40分. 在每小题给出的选项中, 只有一项是符合题目要求的.
1. 若复数满足，则的虚部是（ ）
A. B. C. 1 D. 3
2. 设集合，则的真子集的个数是（ ）
A. 8 B. 7 C. 4 D. 3
3. 已知双曲线，则的右焦点到其渐近线的距离为（ ）
A. 2 B. 6 C. D.
4. 记为等差数列的前项和，若，，则（ ）
A. -4 B. -16 C. -32 D. -64
5. 高三（1）班班主任从4名男同学和2名女同学中随机选出3人去参加志愿服务活动，则选出的3人中至少有2名男生的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知样本数据15，28，30，32，37，39，41，43，则这组样本数据的上四分位数是（ ）
A. 42 B. 40 C. 31 D. 29
7. 已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是
A. B. C. D.
8. 已知的内角，，满足，其面积，则的外接圆半径为（ ）
A. 2 B. C. 4 D.
二、多选题：本题共３小题, 共18分. 在每小题给出的选项中, 有多项符合题目要求.
9. 设，，下列不等式恒成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 如图甲，边长为2的正方形中，，分别是，的中点，将，，分别沿，，折起，使，，三点重合于点（如图乙），则下列结论正确的是（ ）
A. B. 平面平面
C. 平面与平面夹角的余弦值为 D. 三棱锥的外接球半径是
11. 数学中有很多形状优美、寓意美好的曲线，曲线就是其中之一，给出下列四个结论，其中正确的选项是（ ）
A. 曲线关于轴对称
B. 曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点）
C. 曲线所围成的区域的面积小于3
D. 曲线上任意一点到原点的距离最小值为
三、填空题: 本题共３小题, 每小题５分, 共15分.
12. 若圆台的上下底面半径分别为1，2，母线长为，则该圆台的体积为_________．
13. 将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若在区间上的最大值为1，则_____.
14. 已知正方体的棱长为1，正方形内部有一片区域，是的中点，是的中点，若对于区域内的任意一点，总存在线段上一点，使得平面，则区域的面积最大值是_____.
四、解答题: 本题共５小题, 共77分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. (本小题13分) 在中，角，，的对边分别是，，，且.
（1）求角的大小； （2）若，且，求的面积.
16.(本小题15分) 甲、乙两选手进行的每一场体育竞技比赛，都采用局胜制的比赛规则，即先赢下局比赛者最终获胜.已知每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，比赛结束时，甲最终获胜的概率为.
（1）若，，设比赛结束时比赛的局数为，求的分布列与数学期望；
（2）若采用5局3胜制比采用3局2胜制对甲更有利，即，求的取值范围.
17.(本小题15分) 如图1，在中，，、两点分别在、上，使.现将沿折起得到四棱锥，在图2中.
（1）求证：平面；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
18.(本小题17分) 已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点.（1）求动点的轨迹的方程；（2）分别过，作平行直线，，若直线与交于，两点，直线与交于，两点，其中点，在轴上方.
（ⅰ）若，求的值； （ⅱ）求四边形的面积的取值范围.
19.(本小题17分) 已知函数.
（1）当时，求函数在的最小值；
（2）当时，求函数在的最大值；
（3）求证：对，都有.
江汉区2026届高三7月新起点摸底考数学 答案
1. D 【解】因为，代入原式得：，
所以复数标准形式中，虚部为3.
2. D 【解】，因为集合中有个元素，所以真子集个数为.
3. B 【解】因为，所以，
可得右焦点坐标为，其中一条渐近线方程为，
右焦点到其渐近线的距离为.
4. D 【解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以，
5. C 【解】从6名学生中任选3人，有种方法，其中最多有1名男生的情况有种，所以所求概率为.
6. B 【解】，所以这组数据的上四分位数是.
7. C 【解】设，的定义域为关于原点对称，，所以是奇函数，
，所以在上单调递减，
由得，
即，，
因为在上单调递减，所以，解得，选：C.
8. A 【解】
即
即
又，故，
所以所以
，因为
，，
所以，所以，解得.
二、多选题：
9. ABC 【解】对于A，因为，所以，故A正确；
对于B，，，所以，
当且仅当即时等号成立，故B正确；
对于C，，，所以，
当且仅当即时等号成立，故C正确；
对于D，，，，
所以，故D错误.选：ABC.
10. ABD 【解】折叠前：，，；
折叠后：，，三点重合于点，故，，，
又，分别是，的中点，边长为2，故，.
选项A：因为，，平面，
所以平面，又因为平面，所以，故A对
选项B：因为，，平面，
所以平面；又平面，故平面平面，故B对.
选项C：以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则
，，.，，设平面的法向量为，则，令，得.
平面是平面，其法向量为.
所以二面角的余弦值：，故C错.
选项D：因为，，，所以三棱锥的外接球等价于以为棱的长方体的外接球.长方体的对角线长，
故外接球半径，故D对.选：ABD.
11. ABD 【解】对于A,用代替，可得曲线不变，则曲线关于轴对称，故A正确；对于B，当时，方程变形为，则，因为为整数，所以只能为0，，只能为0，1，当时，解得，当时，解得，当时，解得：或，当时，解得或所以当，对应的点为，，，因为曲线关于轴对称，所以当时，对应的点有，，
所以曲线恰好经过6个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故B正确，
对于C，由B选项可得曲线恰好经过6个整点，分别为，，，，，
结合图形可知这6个点围成的面积，因为曲线围成的图形在这6个点围成图形的外围，所以曲线所围成的区域的面积大于3，故C不正确；
对于D，当时，方程变形为，即，
令，，即，
设曲线上任意一点为，则到原点的距离，（其中），
所以当时，，因为曲线关于轴对称，则当时，也成立，故D正确；选：ABD
三、填空题
12. 【解】圆台的高为，体积为．
13. . 【解】将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则，当时，，
由于在区间上的最大值为1，
则在区间上单调递增，即，所以，
解得：.
14. . 【解】以D为顶点，DA、DC、分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，如图，,线段EF满足，设，，，设平面的法向量为，，，，令得，则，因为平面，所以，，
因为点Q在线段EF上，所以，，所表示的范围为多边形，其中，面积为1—2×（××）=，
所以区域的面积最大值是.
四、解答题：本题共５小题, 共77分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
15. 【解】（1）由，，
即，即，，
所以，又，则.
【2】由，可得，，
因为，所以①，
因为，所以②，
联立①②可得，解得.
故的面积为.
16. 【解】（1）若，，则比赛为3局2胜制，每局比赛甲获胜的概率为，
X的可能取值为2,3，，，
的分布列如下：
X 2 3
P
.
【2】，
，
因，所以，
即，解得，所以.
17. 【解】（1）证明：在图1的中，，所以，，且，，因为，所以，，则，，
在中，，，，则，
在图2的中，，，，满足，所以，
因为，，，、平面，
所以平面.
【2】因为平面，，以点为原点，、、的方向分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、，，，
设平面一个的法向量，则，
取，可得，
设平面的一个法向量为，，，
则，取，则，
设平面与平面所成角为，则，
因此，平面与平面所成角的余弦值为.
18. 【解】（1）圆，则圆心，，因为线段的垂直平分线交于点，
所以，由于，所以，又，
根据椭圆的定义可知，动点的轨迹是以，为焦点的椭圆，其中，，所以，
则动点轨迹的方程为：.
【2】直线，的斜率不为0，设直线的方程为：，直线的方程为：，，
（ⅰ）因为，所以，联立，可得：，解得：或，因为点在轴上方.，所以，即，所以联立，可得：，解得：或，因为点，在轴上方.，所以，即，
所以，所以.
（ⅱ）联立，可得：，
所以， ，则，
联立，可得：，所以， ，
则
所以，且，则四边形为平行四边形，为对角线的交点，
根据对称性可知，四边形面积四边形的面积的一半，
四边形的高，
所以，
，因为，所以，当且仅当时取等号，所以，所以四边形的面积的取值范围为：.
19.【解】（1），因为，所以，
当时，，所以函数在上单调递增，，
当时，令，即，
因为在上单调递减，所以存在唯一的，使得，
当时，，所以在上单调递增，
当时，，所以在上单调递减，由于，，当，即时，，
当，即时，，
综上，当时，，当时，，
当时，
【2】，因为时，，当，，等号仅在某些特殊值时取得，所以在上单调递减，所以
【3】当，时，，即，
令，则
，
令，①
，②
①②可得：，化简得：，
所以，当或2时，，
则成立
当时，，
则成立；
当时，，
所以，
综上：对，都有，得证.