第二十二章二次函数 单元测试卷（一） （含答案） 2025—2026学年人教版九年级数学上册

第二十二章二次函数单元测试卷（一）人教版2025—2026学年九年级上册
总分：120分 时间：90分钟
姓名：________ 班级：_____________成绩：___________
一．单项选择题（每小题4分，满分40分）
题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1．已知抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线
C．顶点坐标为 D．当时，随的增大而减小
2．已知函数的图象上有三点，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
3．把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位后得到的抛物线是（ ）
A． B． C． D．
4．二次函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值是（ ）
A．或1 B．2或0 C．或0 D．1或2
5．四个二次函数的图象对应的函数关系式分别是①；②；③；④．则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
6．如图，有一抛物线拱桥，当拱顶离水面时，水面宽，当水面增加时，水面下降了（ ）
A． B． C． D．
7．如图，二次函数为常数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程为常数的两实数根是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
8．一次函数经过一、三、四象限，则抛物线图像可能是（ ）
A． B． C． D．
9．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过点，二次函数图象对称轴为直线，给出四个结论：①；②；③；④，其中正确结论是（ ）
②④ B．①③
C．②③ D．①④
10．已知二次函数（b、c为常数），当时，该函数的最大值与最小值的差是，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（每小题5分，满分20分）
11．已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如表：
x 3 4 5 6 7 8 …
y m …
则表格中m的值是 ．
12．已知点A（，）（）是二次函数（）图象上一点，当时，二次函数的最大值和最小值分别为6和，则的值为 ．
13．已知抛物线上有三点，且，则的取值范围是 ．
14．抛物线与轴交于，两点，则的长为 ．
三．解答题（共6小题，总分60分，每题须有必要的文字说明和解答过程）
15．若函数是二次函数．
(1)求的值；
(2)当时，求的值．
16．已知二次函数，为常数．
(1)若该二次函数的图像与直线有两个交点，求的取值范围；
(2)若该二次函数的图像与轴有交点，求的值；
(3)求证：该二次函数的图像不经过原点．
17．如图，抛物线与轴交于点、点，与轴交于点，点与点关于抛物线的对称轴对称，直线经过点、．
(1)直接写出点、的坐标；
(2)求该抛物线对应的函数表达式；
(3)根据图象直接写出关于的不等式的解集．
18．2024年巴黎奥运会开幕，很多商家都紧紧把握这一商机，赛场内外随处可见“中国制造”的身影，某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“弗里吉”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“弗里吉”的成本为40元，销售单价不低于成本价，且不高于成本价的倍，在销售过程中发现，毛绒玩具“弗里吉”每天的销售量（个）与销售单价（元）满足如图所示的一次函数关系．
(1)求与的函数关系式，并直接写出自变量的取值范围；
(2)每个毛绒玩具“弗里吉”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
(3)当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
19．已知二次函数．
(1)当时，
①这个二次函数的顶点坐标为 ；
②若点与分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，，求的取值范围；
(2)将这个二次函数图象向右平移个单位长度，若平移后的二次函数在的范围内有最大值为，求的值．
20．如图1（注：与图2完全相同），在平面直角坐标系中，抛物线经过三点．
(1)求抛物线的解析式和对称轴；
(2)P是抛物线对称轴上的一点，求满足的值为最小时点P坐标（请在图1中探索）；
(3)在抛物线对称轴上是否存在点M，使为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由（请在图2中探索）．
参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C C A B B B B C
二、填空题
11．【解】解：由题意可得：抛物线的对称轴为：
直线，
∴与关于对称轴对称，
∴，
故答案为：；
12．【解】解：∵把代入中，得：,
∴，
∴函数解析式为：，
∵，
∴二次函数开口向上，对称轴为轴，
∵，
∴，，
①当，即时，函数在处取得最大值，在处取得最小值，
∴，
解得：，
且，
则有，
解得：；
②当，即时，函数在处取得最大值，
∴，
解得：，这与矛盾，故不成立；
综上可得：．
故答案为： ．
13．【解】解：由题意，∵，
∴抛物线上的点离对称轴越近函数值越大．
又∵抛物线过，
∴对称轴是直线．
又∵，且抛物线过，
∴．
∴．
①当时，，
∴；
②当时，，
∴；
③当时，，
∴无解；
综上所述，或．
故答案为：或．
14．【解】解：把代入，
解得：，
∴，
∴令，解得：，，
∴，
∵，
∴的长为，
故答案为：7；
三、解答题
15．【解】（1）解：依题意有，
解得：，
∴k的值为；
（2）解：把代入函数解析式中得：，
当时，．
∴y的值为．
16．【解】（1）解：因为二次函数中，，
所以二次函数的图像开口向上，
因为二次函数的图像与直线有两个交点，
所以函数的最小值小于，
则，
即，
解得．
（2）解：因为二次函数的图像与轴有交点，
所以，
所以，
又因为，
所以，
解得．
（3）证明：当时，，
所以二次函数的图像不经过原点．
17．【解】（1）解：抛物线与轴交于点、点，
抛物线的对称轴为直线，
令，得，
．
点与点关于抛物线的对称轴对称，
．
（2）解：将，代入得，
解得：，
；
（3）解：∵，，
由图可得，关于的不等式的解集为．
18．【解】（1）解：设，
把点，分别代入解析式，得
，
解得：，
∴，
∵销售单价不低于成本价，且不高于成本价的1.8倍，
∴自变量x的取值范围是：；
（2）解：根据题意得：，
整理得：，
解得，，
∵，
∴不合题意，舍去，
答：每个吉祥物“弗里吉”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元；
（3）解：设每天获得的利润为w元，根据题意得：
∵，
∴抛物线开口向下，
∵抛物线对称轴为，销售单价不得高于72元，
∴当时，w随x的增大而增大，
∴当时，w有最大值，最大值为，
答：当毛绒玩具“弗里吉”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元．
19．【解】（1）解：①当 时，抛物线解析式为 ，
，
∴顶点坐标为：；
②∵二次函数的对称轴为直线，
∵点( 与 )分别在该抛物线对称轴两侧的图象上，
∴，，
∴，
∵，
∵，
∴，
解得：，
．
（2）解：，
∴抛物线的顶点为 ，
①若 ，将该二次函数图象向右平移 )个单位得到 ，
∴对称轴为直线，而，
∴当时，此时，
∵，
∴当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
当时，此时，
此时当时函数取得最大值，
∴，
解得：或，
∵，
∴，
②若 ，
∵对称轴为直线，而，，
∴当时，函数取得最大值，则，解得：，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
20．【解】（1）解：由题意得，设抛物线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为直线；
（2）解：∵P是抛物线对称轴上的一点，
∴，
∴，
∴当三点共线时，的值最小，
如图1，连接交抛物线的对称轴于点，
设直线的解析式为，
代入得，，
解得：，
∴直线的解析式为，
令，则，
∴点P坐标为；
（3）解：存在，
∵，
∴，
设，
则，，
①若，则，
解得：，
∴；
②若，则，
解得：，
∴或；
③若，则，
解得：，
∴或；
∴综上所述，符合条件的点M的坐标为，，，，．