高频微专题16（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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高频微专题16　概率统计与其他知识的综合
满分58分,限时60分钟
解答题(本题共4小题,共58分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
1.(教材溯源)(12分)(2023新课标Ⅰ,21)甲、乙两人投篮,每次由其中一人投篮,规则如下:若命中则此人继续投篮,若未命中则换为对方投篮.无论之前投篮情况如何,甲每次投篮的命中率均为0.6,乙每次投篮的命中率均为0.8.由抽签确定第1次投篮的人选,第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5.
(1)求第2次投篮的人是乙的概率;
(2)求第i次投篮的人是甲的概率;
(3)已知:若随机变量Xi服从两点分布,且P(Xi=1)=1-P(Xi=0)=qi,i=1,2,…,n,则E()=qi.记前n次(即从第1次到第n次投篮)中甲投篮的次数为Y,求E(Y).
2.(模块融合)(17分)(2025四川自贡诊断)某学校为丰富学生的活动,积极开展乒乓球选修课,甲、乙两同学进行乒乓球训练,已知甲第一局赢的概率为,上一局赢且下一局继续赢的概率为,上一局输且下一局赢的概率为,如此重复进行.
(1)求乙同学第2局赢的概率;
(2)记甲同学第i局赢的概率为Pi.
(i)求Pi;
(ii)若 i∈N*,-ln(Pi+1)+k≥0恒成立,求整数k的最小值.
3.(17分)(2025福建福州部分学校教学联盟联考)如今我们的互联网生活日益丰富,除了可以很方便地网购,网络外卖也开始成为不少人日常生活中重要的一部分,其中大学生更是频频使用网络外卖服务.A市教育主管部门为掌握网络外卖在该市各大学的发展情况,在某月从该市大学生中随机调查了100人,并将这100人在本月的网络外卖的消费金额制成如下频数分布表(已知每人每月网络外卖消费金额不超过3 000元):
消费金额/ 百元 [0,5] (5, 10] (10, 15] (15, 20] (20, 25] (25, 30]
频数 20 35 25 10 5 5
(1)由频数分布表可以认为,该市大学生网络外卖消费金额Z(单位:元)近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数x(每组数据取该组区间的中点值,σ=660),现从该市任取20名大学生,记其中网络外卖消费金额(单位:元)恰在(390,2 370]内的人数为X,求X的数学期望;
(2)A市某大学后勤部为鼓励大学生在食堂消费,特地给参与本次问卷调查的大学生每人发放价值100元的饭卡,并推出一档“勇闯关,送大奖”的活动.规则如下:在某张方格图上标有第0格、第1格、第2格、…、第60格共61个方格.棋子开始在第0格,然后掷一枚均匀的硬币已知硬币出现正、反面的概率都是,若掷出正面,则将棋子向前移动一格(从第k格到第(k+1)格),若掷出反面,则将棋子向前移动两格(从第k格到第(k+2)格),重复多次,若这枚棋子最终停在第59格,则认为“闯关成功”,并赠送500元充值饭卡;若这枚棋子最终停在第60格,则认为“闯关失败”,不再获得其他奖励,活动结束.
①设棋子移到第n格的概率为Pn(P0=1),求P2的值,并证明:当1≤n≤59时,{Pn-Pn-1}是等比数列;
②若某大学生参与这档“闯关游戏”,试比较该大学生闯关成功与闯关失败的概率大小,并说明理由.
参考数据:若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<ξ≤μ+σ)=0.682 7,P(μ-2σ<ξ≤μ+2σ)=0.954 5,P(μ-3σ<ξ≤μ+3σ)=0.997 3.
4.(12分)(2021新高考Ⅱ,21)一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来,设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,再经过一次繁殖后为第2代……该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列,设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=pi(i=0,1,2,3).
(1)已知p0=0.4,p1=0.3,p2=0.2,p3=0.1,求E(X);
(2)设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,求证:当E(X)≤1时,p=1,当E(X)>1时,p<1;
(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.
答案全解全析
高频微专题16　概率统计与其他知识的综合
1.解析　设“第i次投篮的人是甲”为事件Ai,事件B=“甲在某次投篮时命中”,事件C=“乙在某次投篮时命中”.
由题意知P(A1)=0.5,P(B)=0.6,P(C)=0.8.(1分)
(1)设“第2次投篮的人是乙”为事件M,则P(M)=P(A1+C)=P(A1)[1-P(B)]+[1-P(A1)]P(C)=0.5×(1-0.6)+(1-0.5)×0.8=0.6.(4分)
(2)P(Ai+1)=P(AiB+)=P(Ai)P(B)+[1-P(Ai)][1-P(C)]=P(Ai)+,所以P(Ai+1)-=.(6分)
所以是以P(A1)-=为首项,为公比的等比数列,所以P(Ai)=×+.(8分)
(3)E(Y)=P(Ai)==×+=-·.(12分)
试题亮点
该题来源于人教A版选择性必修第三册第91页拓广探索中的第10题的传球问题,是马尔可夫链的典型模型.
2.解析　(1)易得甲同学第2局赢的概率为×+×=,(2分)
所以乙同学第2局赢的概率为1-=.(4分)
(2)(i)当i≥2时,Pi=Pi-1+(1-Pi-1)=-Pi-1+,
所以Pi-=-,(6分)
又P1-=,
所以数列是首项为,公比为-的等比数列,(7分)
所以Pi-=×,所以Pi=×+.(9分)
(ii)由-ln(Pi+1)+k≥0恒成立,得k≥ln(Pi+1)-恒成立,所以k≥[ln(Pi+1)-]max.
令f(x)=ln(x+1)-ex,x>0,
则f'(x)=-ex.
易知, f'(0)=0,
所以当x>0时, f'(x)<0, f(x)单调递减,
所以要求ln(Pi+1)-的最大值,即求Pi的最小值(关键点).(11分)
由(i)知Pi=×+,
当i为奇数时,Pi>;
当i为偶数时,Pi<,且Pi=-×+随i的增大而增大,
所以P2是Pi的最小值.
易得P2=×+=,
所以k≥ln-.(13分)
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以f易得f(0)=ln(1+0)-e0=-1,所以ln-<-1,(16分)
所以整数k的最小值为-1.(17分)
3.解析　(1)由题表得x=250×0.2+750×0.35+1 250×0.25+1 750×0.1+2 250×0.05+2 750×0.05=1 050(元),
所以Z~N(1 050,6602),(2分)
所以P(390所以X~B(20,0.818 6),所以E(X)=20×0.818 6=16.372.(6分)
(2)①若第一次掷硬币出现正面,则棋子移到第1格,其概率为,即P1=,
所以(8分)
棋子移到第n(2≤n≤59)格有下列两种情况:
a.棋子先移到第(n-2)格,然后掷出反面,此时概率为Pn-2;
b.棋子先移到第(n-1)格,然后掷出正面,此时概率为Pn-1.
所以Pn=Pn-2+Pn-1,即Pn-Pn-1=-(Pn-1-Pn-2),(10分)
又P1-P0=-,所以当1≤n≤59时,数列{Pn-Pn-1}是首项为-,公比为-的等比数列.(12分)
②由①知P1-P0=-,P2-P1=,P3-P2=,……,Pn-Pn-1=,
累加,得Pn-1=++…+,
所以Pn=1+++…+=×,n=0,1,2,…,59.(14分)
所以闯关成功的概率为P59==,
闯关失败的概率为P60=P58=×=.
因为P59-P60=-=×>0,
所以该大学生闯关成功的概率大于闯关失败的概率.(17分)
4.解析　(1)E(X)=0×0.4+1×0.3+2×0.2+3×0.1=1.(2分)
(2)证明:设f(x)=p3x3+p2x2+(p1-1)x+p0,
由题易知p3+p2+p1+p0=1,
故f(x)=p3x3+p2x2-(p2+p0+p3)x+p0,
则f'(x)=3p3x2+2p2x-(p2+p0+p3).(3分)
若E(X)≤1,则p1+2p2+3p3≤1,
故p2+2p3≤p0,
因为f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0≤0,
所以f'(x)有两个不同零点x1,x2,
且x1<0<1≤x2,
当x∈(-∞,x1)∪(x2,+∞)时, f'(x)>0,当x∈(x1,x2)时, f'(x)<0,故f(x)在(-∞,x1),(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,(4分)
若x2=1,因为f(x)在(x2,+∞)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,且f(1)=0,所以f(x)>f(x2)=f(1)=0,
故1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根,即p=1,故当E(x)≤1时,p=1.(5分)
若x2>1,因为f(1)=0且f(x)在(0,x2)上单调递减,
所以1为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正实根.(6分)
综上,若E(X)≤1,则p=1.(7分)
若E(X)>1,则p1+2p2+3p3>1,则p2+2p3>p0,
此时f'(0)=-(p2+p0+p3)<0, f'(1)=p2+2p3-p0>0,
故f'(x)有两个不同零点x3,x4且x3<0故f(x)在(-∞,x3),(x4,+∞)上单调递增,在(x3,x4)上单调递减,(8分)
而f(1)=0,故f(x4)<0,
又f(0)=p0>0,所以f(x)在(0,x4)上存在一个零点x0,且x0<1,所以x0为关于x的方程:p0+p1x+p2x2+p3x3=x的一个最小正根,即p<1,故当E(X)>1时,p<1.(10分)
(3)意义:若一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1,则若干代后会临近灭绝,若繁殖后代的平均数超过1,则若干代后还有继续繁殖的可能.(12分)
专题通法
　　概率与统计问题多以社会时事为背景,以数据分析、统计决策为载体,考查概率运算、分布列、期望、方差、独立性检验等综合问题,还常与数列、导数等综合考查.解题时要能够正确理解统计图表,准确把握题中所涉及的事件,明确其所属的事件类型.