阶段检测卷（二）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
阶 段 检 测 卷(二)
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025江西抚州部分学校联考)已知全集U=R,集合A={x|y2=x},B={x|x3≤27},则A∩( UB)=(　　)
A.(0,3)　　B.(3,+∞)　　C.[3,+∞)　　D.[0,3]
2.(2025山西三晋名校联考)若函数f(x)=ln(e2x+1)-ax是偶函数,则曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为(　　)
A.-　　B.0　　C.　　D.
3.(2025江西赣州二十四校联考)“-A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
4.(2024四川泸州诊断)“碳中和”是指企业、团体或个人通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量,实现二氧化碳“零排放”.某地区二氧化碳的排放量S(亿吨)与时间t(年)满足函数关系式S=abt,已知经过4年该地区二氧化碳的排放量为亿吨,若该地区通过植树造林、节能减排等形式抵消自身产生的二氧化碳排放量为亿吨,则该地区要实现“碳中和”至少需要经过的年数为(参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48)(　　)
A.13　　B.14　　C.15　　D.16
5.(2025湖北武汉武钢三中等重点学校联考)已知函数f(x)=x2+6ln x+ax-1在区间(1,2)上有极值,则实数a的取值范围是(　　)
A.[-8,-4]　　B.(-8,-4)　　C.[-7,-4)　　D.(-8,-7)
6.已知定义在R上的函数f(x)存在导数,对任意的实数x,都有f(x)-f(-x)=2x,且当x∈(0,+∞)时, f'(x)>1恒成立,若不等式f(a)-f(1-a)≥2a-1恒成立,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
7.(2025安徽六安第二中学月考) x∈(0,+∞),不等式ex-ln(mx)+(1-m)x≥0恒成立,则实数m的取值范围为(　　)
A.(0,1)　　B.(0,1]　　C.(0,e]　　D.(0,e)
8.(2024湖北黄冈调研)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x+1),且f(2+x)-f(2-x)=4x,g(3+x)为偶函数,则g'(7)+g(17)=(　　)
A.0　　B.1　　C.2　　D.3
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025福建莆田锦江中学期中)已知函数f(x)=2x3-3x2,则(　　)
A.x=0是f(x)的极大值点　　
B. f(x)的图象关于点对称
C.g(x)=f(x)+1有2个零点　　
D.当0f(x-1)
10.(2025安徽皖南八校联考)已知实数a>0,b>0,且a+b=1,则下列说法正确的是(　　)
A.log3+log3b的最小值为1
B.32a+9b+1的最小值为18
C.+的最大值是
D.+的最大值是+1
11.(2025湖北部分学校联考)已知a=,b=ln,c=,则(　　)
A.c>a　　B.a>b　　C.c>b　　D.b>a
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024陕西宝鸡联考)已知曲线f(x)=x+ex在(0, f(0))处的切线与曲线y=ln(x-1)+a相切,则实数a=　　　　.
13.已知函数f(x)=的值域为R,则实数a的取值范围为　　　　.
14.(新风向)(2025海南期中)记函数f(x)在区间[a,b]上的最大值为{f(x)},最小值为{f(x)},则=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2024陕西榆林联考)已知命题p:函数f(x)=在区间(1,+∞)上单调递增;命题q:函数g(x)=x3++(10-4a)x+a2在区间(-1,5)上存在极值点.
(1)若命题p为真命题,求实数a的取值范围;
(2)若命题p和q均为真命题,求实数a的取值范围.
16.(15分)(2025江西九校联考)已知函数f(x)=1-ax2,g(x)=1-ln x.
(1)求函数y=g(x)图象上的点到直线x+y=0的最短距离;
(2)若函数f(x)与g(x)的图象存在公切线,求正实数a的最小值;
(3)若f(x)-g(x)≤-x恒成立,求实数a的取值范围.
17.(15分)(2024福建厦门统考)已知函数f(x)=3x++ln x.
(1)若函数f(x)在区间(m,3m-1)上单调递减,求实数m的取值范围;
(2)若不等式f(x)+k+ln k-3x≥0恒成立,求实数k的取值范围.
18.(17分)(2025江苏扬州月考)已知函数f(x)=ex[x2-(a+2)x+a+3].
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)在(0,3)上有两个极值点x1,x2.
(i)求实数a的取值范围;
(ii)求证:f(x1)f(x2)<4e2.
19.(17分)(2024湖北七市州调研)微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用开创了数学领域向近代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段.对于函数f(x)=(x>0),f(x)在区间[a,b]上的图象连续不断,从几何上看,定积分dx便是由直线x=a,x=b,y=0和曲线y=f(x)=所围成的区域(称为曲边梯形ABQP)的面积,如图,根据微积分基本定理可得dx=ln b-ln a,因为曲边梯形ABQP的面积小于梯形ABQP的面积,即S曲边梯形ABQP.
(1)请仿照这种根据面积关系证明不等式的方法,证明:<;
(2)已知函数f(x)=ax2+bx+xln x,其中a,b∈R.
(i)证明:对任意两个不相等的正数x1,x2,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))和(x2,f(x2))处的切线均不重合;
(ii)当b=-1时,若不等式f(x)≥2sin(x-1)恒成立,求实数a的取值范围.
答案全解全析
1.B　易得A={x|x≥0},B={x|x≤3},所以 UB={x|x>3},所以A∩( UB)=(3,+∞).
2.B　易知函数f(x)的定义域为R.
解法一　因为函数f(x)是偶函数,所以f(-x)=f(x),即ln(e-2x+1)+ax=ln(e2x+1)-ax,所以2ax=ln(e2x+1)-ln(e-2x+1)=ln =ln e2x=2x,
所以2(a-1)x=0,又x∈R,所以a=1.
所以f(x)=ln(e2x+1)-x,所以f'(x)=·2e2x-1,
所以f'(0)=·2e2×0-1=0,
所以曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率为0.
解法二　因为函数f(x)是偶函数,所以f(1)=f(-1),即ln(e2+1)-a=ln(e-2+1)+a,解得a=1.经检验,符合题意.下同解法一.
3.A　若函数f(x)在定义域R上单调递增,则f'(x)=3x2+2ax+2≥0恒成立,所以4a2-4×3×2≤0,解得-≤a≤.
因为(-,) [-,],所以“-4.D　由题意得ab4=,即b4=,所以b=.
令abt=,则bt=,所以=,即tlg=lg ,即t(lg 3-2lg 2)=-lg 3,所以t=≈16.
5.B　易得f'(x)=2x++a.
因为函数f(x)在区间(1,2)上有极值,所以f'(x)在区间(1,2)上有变号零点(关键点),即-a=2x+在区间(1,2)上有变号根.
令g(x)=2x+,1令g'(x)=0,得x=或x=-(舍去),
所以当10,g(x)单调递增,所以当x=时,g(x)取得极小值,也是最小值,为4,又g(1)=8,g(2)=7,所以g(x)∈[4,8),
当a=-4时, f'(x)=2x+-4=≥0, f(x)单调递增,无极值,
所以实数a的取值范围是(-8,-4).
6.B　由f(x)-f(-x)=2x,得f(x)-x=f(-x)-(-x).
记g(x)=f(x)-x,易知g(x)的定义域为R,关于原点对称,且g(x)=g(-x),所以g(x)为偶函数.
当x∈(0,+∞)时,g'(x)=f'(x)-1>0,所以g(x)在(0,+∞)上单调递增.
由f(a)-f(1-a)≥2a-1,得f(a)-a≥f(1-a)-(1-a),所以g(a)≥g(1-a),
所以g(|a|)≥g(|1-a|),所以|a|≥|1-a|,即a2≥1+a2-2a,解得a≥,所以实数a的取值范围是.
7.C　由ex-ln(mx)+(1-m)x≥0,
得.
构造函数f(x)=ex+x,则f(x)≥f(ln(mx)).
易知f(x)在R上单调递增,所以x≥ln(mx),
因为x∈(0,+∞),所以m≤.
令g(x)=,x∈(0,+∞),
则g'(x)=,
所以当x∈(0,1)时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x∈(1,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增,
所以g(x)min=g(1)=e,所以m≤e,又m>0,所以08.C　因为g(3+x)为偶函数,g(x)=f'(x+1),
所以f'(x+4)=f'(-x+4).
对f(2+x)-f(2-x)=4x的两边同时求导,得f'(2+x)+f'(2-x)=4,所以f'(4+x)+f'(-x)=4 f'(4-x)+f'(-x)=4 ,所以函数f'(x)的周期为8.
在f'(2+x)+f'(2-x)=4中,令x=0,得f'(2)=2,所以g(17)=f'(18)=f'(2)=2.
因为g(3+x)为偶函数,所以g(3+x)=g(3-x),所以g'(3+x)=-g'(3-x),所以g'(7)=-g'(-1)①.
因为f'(8+x)=f'(x),所以g(7+x)=g(x-1),所以g'(7+x)=g'(x-1),所以g'(7)=g'(-1)②.
由①②得,g'(7)=0.
所以g'(7)+g(17)=2.
解题技法　　导函数与原函数性质之间的关系
(1)奇函数的导函数为偶函数,偶函数的导函数为奇函数;
(2)若函数f(x)是可导函数,且其图象关于点(m,n)对称,则其导函数f'(x)的图象关于直线x=m对称;
(3)若函数f(x)是可导函数,且其图象关于直线x=m对称,则其导函数f'(x)的图象关于点(m,0)对称;
(4)若定义在R上的函数f(x)是可导函数,且周期为T,则其导函数f'(x)也是周期函数,且周期为T.
9.AC　易得f'(x)=6x2-6x=6x(x-1).令f'(x)=0,得x=0或x=1,所以当x∈(-∞,0)时, f'(x)>0;当x∈(0,1)时, f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时, f'(x)>0,所以f(x)在(-∞,0)上单调递增,在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,所以0是f(x)的极大值点,故A正确.
因为f(x)+f(1-x)=2x3-3x2+2(1-x)3-3(1-x)2=2x3-3x2+2-6x+6x2-2x3-3+6x-3x2=-1,所以f(x)的图象关于点对称,故B错误.
易得g(x)=f(x)+1=2x3-3x2+1,g(x)与f(x)的单调性一致,又g(1)=0,所以g(x)=f(x)+1有2个零点,故C正确.
当010.ACD　log3+log3b=log3=log31++≥1,当且仅当a=b=时,等号成立,故A正确;
32a+9b+1≥2=18,当且仅当32a=9b+1,即a=1,b=0时,等号成立,与b>0矛盾,故B错误;
=a+b+2≤2(a+b)=2,当且仅当a=b=时,等号成立,所以+≤,故C正确;
+=+=
==≤+1,当且仅当a=2-,b=-1时,等号成立,故D正确.
11.ACD　a===,b=ln =-ln=-ln,则a-b=+ln.构造函数f(x)=x+ln(1-x),x∈(0,1),则f'(x)=1-=<0,所以f(x)在(0,1)上单调递减,所以fc==-,所以b-c=ln-+.
构造函数h(x)=ln x-+,x∈(1,+∞),
则h'(x)=--==<0,所以h(x)在(1,+∞)上单调递减,所以h由上述分析知a12.4+ln 2
解析　易得f(0)=1, f'(x)=1+ex,所以f'(0)=2,所以曲线f(x)=x+ex在(0, f(0))处的切线方程为y-1=2x,即y=2x+1.
设直线y=2x+1与曲线y=ln(x-1)+a的切点坐标为(m,n).
对y=ln(x-1)+a求导得y'=,所以y'|x=m==2,解得m=,所以n=2m+1=4,所以4=ln+a,解得a=4+ln 2.
13.
解析　当x≥1时, f(x)=-1,易知函数t=x2+2x-2在[1,+∞)上单调递增,又y=2t在定义域内单调递增,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=1,即函数f(x)在[1,+∞)上的值域为[1,+∞).
当x<1时,设f(x)的值域为A,则(-∞,1) A,解得-≤a<2,所以实数a的取值范围是.
14.
解析　设f(y)=,y∈[-1,0],则f'(y)=.
当x∈[1,3],y∈[-1,0]时, f'(y)≤0(不恒为零),所以f(y)单调递减,所以{f(y)}=f(-1)=.
设g(x)=,则g'(x)=,所以当x∈[1,3]时,g'(x)>0,g(x)单调递增,所以{g(x)}=g(1)=.
所以=.
15.解析　(1)因为f(x)=在区间(1,+∞)上单调递增,所以.(2分)
所以-≤1,解得a≤4.(5分)
所以当命题p为真命题时,实数a的取值范围是(-∞,4].(6分)
(2)易得g'(x)=x2+(7-2a)x+10-4a=(x+2)(x+5-2a),(7分)
令g'(x)=0,得x=2a-5或x=-2,所以g(x)在(-1,5)上的极值点只能为2a-5,(9分)
所以-1<2a-5<5,解得2当命题p和q均为真命题时,满足解得216.解析　(1)易得g'(x)=-.(1分)
设与直线x+y=0平行且与曲线g(x)相切的直线与曲线g(x)切于点M(x0,1-ln x0),
则g'(x0)=-=-1,解得x0=1,所以M(1,1),
所以函数y=g(x)图象上的点到直线x+y=0的最短距离d==.(4分)
(2)易得f'(x)=-2ax.(5分)
设点A(x1,1-a)是公切线在曲线f(x)上的切点,
则f'(x1)=-2ax1,
所以切线方程为y-(1-a)=-2ax1(x-x1),即y=-2ax1x+a+1.(6分)
设点B(x2,1-ln x2)是公切线在曲线g(x)上的切点,则g'(x2)=-,
所以切线方程为y-(1-ln x2)=-(x-x2),即y=-x+2-ln x2.(7分)
由题意得消去x1,得=(1-ln x2).(8分)
设h(x)=x2(1-ln x),则h'(x)=x(1-2ln x)(x>0),
所以当x∈(0,)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;当x∈(,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)max=h()=,即=,所以amin=.(10分)
(3)易得f(x)-g(x)=ln x-ax2≤-x,即a≥+.(11分)
设t(x)=+(x>0),则t'(x)=-=.
设φ(x)=1-2ln x-x,则φ'(x)=--1<0,所以φ(x)在(0,+∞)上单调递减.(13分)
又φ(1)=0,所以当x∈(0,1)时,φ(x)>0,即t'(x)>0,t(x)单调递增;当x∈(1,+∞)时,φ(x)<0,即t'(x)<0,t(x)单调递减,所以t(x)max=t(1)=1,所以实数a的取值范围是[1,+∞).(15分)
17.解析　(1)易得函数f(x)的定义域为(0,+∞), f'(x)=3-+=.(1分)
令f'(x)<0,得-1因为f(x)在区间(m,3m-1)上单调递减,所以(m,3m-1) (关键点),所以0≤m<3m-1≤,(5分)
解得(2)不等式f(x)+k+ln k-3x≥0,即3x++ln x+k+ln k-3x≥0,
整理,得+ln x+k+ln k≥0,所以+ln k+k≥-ln x,即+ln k+k≥+ln,
所以.(8分)
令g(t)=t+et,则g≥g.
易得g'(t)=1+et>0,所以g(t)在R上单调递增,所以+ln k≥ln,即ln k≥ln-.(10分)
令h(x)=ln-,x>0,则h'(x)=-+=,(11分)
令h'(x)=0,得x=3,所以当00,h(x)单调递增;当x>3时,h'(x)<0,h(x)单调递减,所以h(x)在x=3处取得极大值,也是最大值,为h(3)=ln-1=ln.(13分)
所以ln k≥ln,解得k≥,故实数k的取值范围为.(15分)
18.解析　(1)易得f'(x)=ex(x2-ax+1),x∈R.(1分)
对于方程x2-ax+1=0,当Δ=a2-4≤0,即-2≤a≤2时, f'(x)≥0恒成立,所以f(x)在R上单调递增.(2分)
当Δ=a2-4>0,即a<-2或a>2时,
令f'(x)>0,得x<或x>,
令f'(x)<0,得所以f(x)在和上单调递增,在上单调递减.
综上,当-2≤a≤2时, f(x)在R上单调递增;当a<-2或a>2时, f(x)在和上单调递增,在上单调递减.(5分)
(2)(i)设g(x)=x2-ax+1.
因为f(x)在(0,3)上有两个极值点,所以g(x)在(0,3)上有两个零点,(6分)
所以解得2(ii)证明:由(i)知x1+x2=a,x1x2=1.因为x1为f(x)的极值点,所以f'(x1)=0,所以-ax1+1=0.
易得f(x1)=[-(a+2)x1+a+3]=[ax1-1-(a+2)x1+a+3]=(-2x1+a+2),
同理, f(x2)=(-2x2+a+2),(11分)
所以f(x1)f(x2)=(-2x1+a+2)(-2x2+a+2)
=[4x1x2-2(a+2)(x1+x2)+(a+2)2]
.(13分)
设h(x)=ex(8-x2),x∈,则h'(x)=-ex(x+4)(x-2)<0,所以函数h(x)在上单调递减,(15分)
所以h(x)19.解析　(1)证明:在曲线y=f(x)=上取一点M.(1分)
过点M作曲线y=f(x)=的切线,分别交直线AP,BQ于点M1,M2.
因为S曲边梯形ABQP>,
所以ln b-ln a>·(|AM1|+|BM2|)·|AB|=×2××(b-a),即<.(4分)
(2)(i)证明:易得f'(x)=2ax+b+ln x+1,则曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))处的切线方程为y-f(x1)=f'(x1)(x-x1),即y=f'(x1)x+f(x1)-x1f'(x1)(记该切线为l1),同理,曲线y=f(x)在点(x2,f(x2))处的切线方程为y=f'(x2)x+f(x2)-x2f'(x2)(记该切线为l2).(6分)
假设l1与l2重合,
则
又f'(x1)=2ax1+b+ln x1+1, f'(x2)=2ax2+b+ln x2+1,
f(x1)=a+bx1+x1ln x1, f(x2)=a+bx2+x2ln x2,故代入并整理,得消去a,得ln x2-ln x1-2×=0,(8分)
证法一　所以=.由(1)中的结论知<,与上式矛盾,所以对任意两个不相等的正数x1,x2,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))处的切线均不重合.(10分)
证法二　所以ln-2×=0.
不妨设0则t>1,ln t-2×=0,
令g(t)=ln t-2×,t>1,
则g'(t)=-=>0,
故g(t)在(1,+∞)上单调递增,所以g(t)>g(1)=0,与g(t)=ln t-2×=0矛盾,所以对任意两个不相等的正数x1,x2,曲线y=f(x)在点(x1,f(x1))和点(x2,f(x2))处的切线均不重合.(10分)
(ii)由题意得,ax2-x+xln x≥2sin(x-1)在(0,+∞)上恒成立,即ax2-x+xln x-2sin(x-1)≥0在(0,+∞)上恒成立.
设h(x)=ax2-x+xln x-2sin(x-1),则h(1)≥0,所以a≥1.(12分)
下面证明当a≥1时,h(x)≥0恒成立.
因为a≥1,所以h(x)≥x2-x+xln x-2sin(x-1).
设H(x)=x2-x+xln x-2sin(x-1),
则H'(x)=2x+ln x-2cos(x-1).
当x∈[1,+∞)时,2x≥2,ln x≥0,-2cos(x-1)≥-2,所以H'(x)≥0,且不恒等于0,所以H(x)在[1,+∞)上单调递增,所以H(x)≥H(1)=0.(14分)
当x∈(0,1)时,设G(x)=2x+ln x-2cos(x-1),则G'(x)=2++2sin(x-1),
因为2sin(x-1)≥-2,>0,所以G'(x)>0恒成立,所以G(x)=H'(x)在(0,1)上单调递增,所以H'(x)H(1)=0.(16分)
综上,实数a的取值范围是[1,+∞).(17分)