阶段检测卷（三）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
阶 段 检 测 卷(三)
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025江苏通州高级中学、宿迁泗洪中学期中)已知复数z满足z+2=3-i,则|z|=(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.
2.(2025山东济宁教学质量检测)已知集合P={x|y=},Q={y|y=},则P∩( RQ)=(　　)
A. 　　B.[1,+∞)　　C.(-∞,0)　　D.(-∞,-1]
3.(2024江苏盐城联考)已知Sn是数列{an}的前n项和,则“{Sn}是递增数列”是“an>0”的(　　)
A.充分不必要条件　　B.必要不充分条件
C.充要条件　　D.既不充分也不必要条件
4.(2024福建莆田第十中学月考)函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象恒过定点(k,b),若m+n=b-k且m>0,n>0,则+的最小值为(　　)
A.9　　B.8　　C.　　D.
5.(2025北京第一六六中学期中)如图,已知等腰△ABC中,AB=AC=3,BC=4,点P是边BC上的动点,则·(+)的值(　　)
A.为定值10　　B.为定值6
C.不为定值,有最大值10　　D.不为定值,有最小值6
6.(2025江苏泰州泰兴多校联考)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在R上为单调函数,则f(2)的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.[1,4)　　D.[2,5)
7.(2025安徽多校联考)若锐角θ满足tan 2θ=2cos θ,数列{an}的前n项和为Sn,a1=1,nan+1=(n+1)an,则使得Sn+<成立的n的最大值为(　　)
A.2　　B.3　　C.4　　D.5
8.(2024山东名校考试联盟期中)定义在(0,+∞)上的可导函数f(x)满足f'(x)+=,且f(e)=,若a=f,b=f,c=f(ln ),则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.b>c>a　　D.c>b>a
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025河北石家庄教学质量检测)已知函数f(x)=sin(ω>0),则下列说法正确的是(　　)
A.当ω=3时, f(x)在上单调递增
B.若|f(x1)-f(x2)|=2,且|x1-x2|min=,则函数f(x)的最小正周期为π
C.将f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到g(x)的图象,若g(x)的图象关于y轴对称,则ω的最小值为3
D.若f(x)在[0,2π]上恰有4个零点,则ω的取值范围为
10.(2025山东临沂教学质量检测)已知f(x)=x3-3x+2,则(　　)
A. f(x)有三个零点
B. f(-10)+f(10)=4
C.当x∈(-2,+∞)时, f(x)≥0
D.曲线y=f(x)存在两条过点(-2,0)的切线
11.(2025江苏苏州部分学校适应性模拟)「x 表示大于或者等于x的最小整数, x」表示小于或者等于x的最大整数.设{an}是递增数列,且a1=1,+16+1-2(an+1+4an)-8anan+1=0,则下列选项正确的是(　　)
A.a2=9　　B.a2 025至多有22 022种取值可能
C.++…+<+2　　D.=3n
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025河北部分学校联考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等差数列,sin A∶sin C=3∶7,则角C=　　　　.
13.(2025重庆杨家坪中学期中)已知平面向量a=(2,1),b为单位向量,且(a+b)⊥(a-2b),则向量b在向量a上的投影向量的坐标为　　　　.
14.(2024安徽皖江名校联盟月考)已知函数f(x)=,若不等式f(aex)≤1-f(ln a-ln x)恒成立,则a的最小值为　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025山东聊城水城中学联考)已知向量a=,b=(,sin x),函数f(x)=a·b+.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)若f(x)在区间上的最大值为3,求m的最小值.
16.(15分)(2025山东德州期中)某企业计划引入新的生产线生产某设备,经市场调研发现,销售量q(x)(单位:台)与每台设备的利润x(单位:元,x>0)满足:q(x)=(a,b为常数).当每台设备的利润为36元时,销售量为360台;当每台设备的利润为100元时,销售量为200台.
(1)求函数q(x)的表达式;
(2)当x为多少时,总利润f(x)(单位:元)取得最大值 并求出该最大值.
17.(15分)(2024河北沧衡八校联盟期中)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,A=,a=,b=3c.
(1)求c的值;
(2)求sin B的值;
(3)求sin的值.
18.(17分)(2025湖南多校联考)已知函数f(x)=xex-a(x+1)2.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若a<0,且存在x1,x2(x1(3)设函数g(x)=b(ln x+x),若a=0,且f(x)与g(x)的图象有两个交点,求实数b的取值范围.
19.(17分)(2025江苏南通如皋期中)已知数列{an}的前n项和为Sn,2Sn=(n+1)an,且a1=3.
(1)求an;
(2)若从数列中删除{an}中的项,余下的数组成数列{bn}.
①求数列的前n项和Tn;
②若b1,b3n+1,成等比数列,记数列的前n项和为An,证明:An<.
答案全解全析
1.B　设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi,因为z+2=3-i,所以a+bi+2(a-bi)=3-i,即3a-bi=3-i,
由复数相等的充要条件可得即则z=1+i,所以|z|==.
2.D　由y=,可得x2-1≥0,解得x≥1或x≤-1,
所以,
因为y=≥0,
所以,
所以 RQ=(-∞,0),所以P∩( RQ)=(-∞,-1].
3.B　若{Sn}是递增数列,则Sn>Sn-1(n≥2),则,但是a1的符号不确定,故充分性不成立;若an>0,则Sn>Sn-1(n≥2),故{Sn}是递增数列,即必要性成立.
综上,“{Sn}是递增数列”是“an>0”的必要不充分条件.
4.B　易知函数y=ax-1+2(a>0且a≠1)的图象,所以m+n=3-1=2,
则+=(m+n)=5+≥5+=8,当且仅当=,即n=,m=时等号成立,所以+的最小值为8.
5.A　记BC的中点为O,连接AO,因为AB=AC=3,
所以AO⊥BC,AO==,+=2,
所以·(+)=2·=2||||cos∠PAO=2=10.
6.D　因为y=(x-1)2+4a的图象开口向上,对称轴为直线x=1,所以当x>1时, f(x)单调递增(突破口),因为f(x)在R上为单调函数,所以f(x)在R上单调递增,
当x≤1时, f(x)=1+loga|x-2|=1+loga(2-x),
所以解得≤a<1,
易得f(2)=1+4a,所以2≤1+4a<5,故f(2)的取值范围是[2,5).
7.C　易得tan 2θ===2cos θ,
因为θ∈,所以cos θ≠0,则=,
整理可得2sin2θ+sin θ-=0,
解得sin θ=或sin θ=-(舍去),
则cos 2θ=1-2sin2θ=,cos 4θ=2cos22θ-1=-,
所以nan+1=(n+1)an=(n+1)an,
则=·,
所以数列是首项为=1,公比为的等比数列,
则=,所以an=,
则Sn=++…+①,
Sn=++…++②,
①-②得Sn=++…+-=-=-,
所以Sn=-,
则Sn+=-<,整理可得3n-2<25,
则n-2≤2,解得n≤4,所以n的最大值为4.
8.C　由已知可得,x2f'(x)+2xf(x)=ln x,
令g(x)=x2f(x),则g'(x)=x2f'(x)+2xf(x)=ln x,且f(x)=,则f'(x)==,
令h(x)=xln x-2g(x),则h'(x)=1+ln x-2g'(x)=1-ln x,
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
∴h(x)≤h(e)=e-2g(e)=e-2e2f(e)=e-2e2·=0,
∴f'(x)≤0在(0,+∞)上恒成立(仅在个别点处取“=”),∴f(x)在(0,+∞)上单调递减.
=,=,ln =,
令φ(x)=,则φ'(x)=,当x∈(0,e)时,φ'(x)>0,φ(x)单调递增,∴>ln>,∴f9.ABD　对于A,当ω=3时,若x∈,则3x+∈,
所以由正弦函数的单调性可知f(x)在上单调递增,故A正确;
对于B,设f(x)的最小正周期为T,若|f(x1)-f(x2)|=2,且|x1-x2|min=,则=,所以T=π,故B正确;
对于C,易得g(x)=sin(ω>0),若g(x)的图象关于y轴对称,则+=+kπ,k∈Z,得ω=4+12k,k∈Z,又ω>0,所以当且仅当k=0时,ω取得最小值,为4,故C错误;
对于D,由ω>0,x∈[0,2π]得ωx+∈,若f(x)=sin(ω>0)在[0,2π]上恰有4个零点,
则当且仅当解得≤ω<,
即ω的取值范围为,故D正确.
10.BCD　因为f(x)=x3-3x+2,
所以f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),
令f'(x)>0,得x<-1或x>1,令f'(x)<0,得-1所以f(x)在(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减,
当x→-∞时, f(x)→-∞, f(-1)=-1+3+2=4, f(1)=1-3+2=0,当x→+∞时, f(x)→+∞,画出f(x)的图象,如图.
对于A,由图可知, f(x)只有2个零点,故A错误;
对于B, f(10)+f(-10)=103-3×10+2+(-10)3-3×(-10)+2=4,故B正确;
对于C, f(-2)=(-2)3-3×(-2)+2=0,则由f(x)的图象可知当x∈(-2,+∞)时, f(x)≥0,故C正确;
对于D,由C知点(-2,0)在曲线y=f(x)上,若点(-2,0)是切点,则由导数的几何意义知,切线斜率为f'(-2)=3×(-2)2-3=9,此时切线方程为y=9(x+2),即9x-y+18=0,
若点(-2,0)不是切点,设切点为(x0,-3x0+2)(x0≠-2),则3-3=,即+3-4=0,
整理得(x0-1)(+x0+1)+3(x0-1)(x0+1)=0,即(x0-1)(x0+2)2=0,所以x0=1或x0=-2(舍去),所以切点为(1,0),切线方程为y=0,故曲线y=f(x)存在两条过点(-2,0)的切线,故D正确.
11.AC　由已知得(an+1-4an)2-2(an+1+4an)+1=0,
所以(an+1+4an)2-2(an+1+4an)+1=(an+1+4an-1)2=16an+1an,
因为{an}是递增数列,且a1=1,
所以an+1+4an-1=4,即=1,
所以+1=2(+1)或-1=2(-1)(不合题意,舍去),又+1=2,所以{+1}是首项为2,公比为2的等比数列,即+1=2n,所以an=.
对于A,a2==9,故A正确;
对于B,a2 025=,故B错误;
对于C,++…+=++…+=++…+≤+++…+==(+2),当且仅当n=1时取“=”,
当n→+∞时,(2+)→2+,所以++…+<2+,故C正确;
对于D,设bn===2-,
易知y=2-在(0,+∞)上单调递增,
又b1=1,b2=>1,当n→+∞时,bn→2,
所以==1,
当n=1时,=「1 =1,当n≥2时,=2,
所以=n+1+2(n-1)=3n-1,故D错误.
12.
解析　由题意可得2b=a+c,由正弦定理得sin A∶sin C=a∶c=3∶7,所以可设a=3k,c=7k(k>0),则2b=10k,所以b=5k,
由余弦定理的推论可得cos C===-,又C∈(0,π),所以C=.
13.
解析　因为a=(2,1),所以|a|==,
因为b为单位向量,所以|b|=1,
因为(a+b)⊥(a-2b),所以(a+b)·(a-2b)=a2-a·b-2b2=5-a·b-2=0,所以a·b=3,
所以b在a上的投影向量为·=a=.
14.
解析　因为函数y=2x+1在R上单调递增,所以函数f(x)=在R上单调递减,且f(x)+f(-x)=+=1,所以f(aex)≤1-f(ln a-ln x)=f(ln x-ln a)=f,x>0,a>0,
由函数f(x)的单调性可得aex≥ln,a>0,x>0,
所以xex≥ln=ln,
构造函数g(x)=xex(x>0),则g'(x)=ex+xex=(x+1)ex,
当x>0时,g'(x)>0,g(x)在区间(0,+∞)上单调递增,
所以x≥ln=ln x-ln a,所以ln a≥ln x-x恒成立,
构造函数h(x)=ln x-x(x>0),则h'(x)=-1=.
当00,h(x)在区间(0,1)上单调递增;
当x>1时,h'(x)<0,h(x)在区间(1,+∞)上单调递减,
所以当x=1时,h(x)取得极大值,也是最大值,为h(1)=ln 1-1=-1,
因此ln a≥-1,所以a≥,所以a的最小值为.
解题技法　　　恒(能)成立问题的解法
(1)若f(x)在区间D上有最值,则
①恒成立: x∈D, f(x)>0 f(x)min>0;
x∈D, f(x)<0 f(x)max<0.
②能成立: x∈D, f(x)>0 f(x)max>0;
x∈D, f(x)<0 f(x)min<0.
(2)若能分离常数,即将问题转化为a>f(x)(或a①恒成立:a>f(x) a>f(x)max;a②能成立:a>f(x) a>f(x)min;a15.解析　(1)f(x)=a·b+=sin2x+sin xcos x+
=sin 2x-cos 2x+2=sin+2,(3分)
令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
所以f(x)的单调递减区间为,k∈Z.(6分)
(2)由(1)知f(x)=sin+2,
因为x∈,所以2x-∈,(8分)
因为f(x)在区间上的最大值为3,
所以y=sin在区间上的最大值为1,(10分)
所以2m-≥,即m≥,
所以m的最小值为.(13分)
16.解析　(1)由题意得解得(4分)
故q(x)=(7分)
(2)由(1)得f(x)=(9分)
当0易知f(x)在(0,25]上单调递增,
所以当x=25时, f(x)有最大值,为10 000.(12分)
当25令f'(x)=0,得x=100,当250, f(x)单调递增,当100所以当x=100时, f(x)有最大值,为20 000.
当x>225时, f(x)=0.
综上,当x为100元时,总利润取得最大值,为20 000元.(15分)
17.解析　(1)在△ABC中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A,即13=b2+c2+bc.
因为b=3c,所以13=(3c)2+c2+3c2,所以c=1.(5分)
(2)由(1)可得b=3c=3.
在△ABC中,由正弦定理得=,即=,解得sin B=.(9分)
(3)由已知得B∈,由(2)得cos B==,所以cos 2B=2cos2B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B=.(12分)
所以sin=sin 2Bcos+cos 2Bsin=×-×=.(15分)
解题技法
利用正弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两角和一角的对边,求其他边或角;二是已知两边和一边的对角,求其他边或角.
利用余弦定理可解决两类三角形问题:一是已知两边和它们的夹角,求其他边或角;二是已知三边求角.由于这两种情形下的三角形是唯一确定的,所以其解也是唯一的.
18.解析　(1)由题意得f'(x)=(x+1)ex-2a(x+1)=(x+1)·(ex-2a),
若a≤0,则ex-2a>0,令f'(x)<0,得x<-1,令f'(x)>0,得x>-1,故f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增.(2分)
若a>0,令f'(x)=0,得x=-1或x=ln(2a),
当00,得x-1,令f'(x)<0,得ln(2a)当a=时, f'(x)≥0恒成立,且仅在x=-1处取“=”,故f(x)在R上单调递增;
当a>时,令f'(x)>0,得x<-1或x>ln(2a),令f'(x)<0,得-1(2)证明:由(1)可知,当a<0时, f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,+∞)上单调递增,因为f(x1)=f(x2),且x1令F(x)=f(x)-f(-2-x)(关键点),
则F'(x)=f'(x)+f'(-2-x)=(x+1)(ex-2a)-(x+1)(e-2-x-2a)=,
当x<-1时,x+1<0,e2x-e-2<0,则F'(x)>0,当x≥-1时,x+1≥0,e2x-e-2≥0,则F'(x)≥0,且仅在x=-1处取“=”,所以F'(x)≥0恒成立,F(x)在R上单调递增.(9分)
因为x1<-1,所以F(x1)又f(x)在(-1,+∞)上单调递增,且x2>-1,-2-x1>-1,
所以x2<-2-x1,即x1+x2<-2.(11分)
(3)由题意可得方程xex=b(ln x+x)=bln(xex)有两个不相等的实根.
令t=xex,则t'=(x+1)ex,当x>0时,t'>0,则t=xex在(0,+∞)上单调递增,所以t>0,所以关于t的方程t=bln t,即=有两个不相等的实根,(13分)
令λ(t)=,则λ'(t)=,
当t∈(0,e)时,λ'(t)>0,λ(t)单调递增,
当t∈(e,+∞)时,λ'(t)<0,λ(t)单调递减,(15分)
所以λ(t)max==,当t→+∞时,λ(t)→0,当t→0+时,λ(t)→-∞,
所以∈,
所以b∈(e,+∞),
故b的取值范围是(e,+∞).(17分)
19.解析　(1)∵2Sn=(n+1)an,
∴当n≥2时,2Sn-1=nan-1,
两式相减得,2an=(n+1)an-nan-1,
整理得(n-1)an=nan-1,即=,(3分)
∴当n≥2时,an=a1···…·=3×××…×=3n,又a1=3满足此式,∴an=3n.(5分)
(2)①由(1)得,2Sn=3n(n+1),
∴Sn=,=,易得-=-=,当n=1时,=3,
∴数列是首项为3,公差为的等差数列.(7分)
当n为奇数时,n+1为偶数,为3的整数倍,是数列{an}中的项;
当n为偶数时,n+1为奇数,不是数列{an}中的项,
∴数列{bn}中的项为数列中的偶数项,(9分)
易知数列{bn}是首项为=,公差为2×=3的等差数列,∴bn=+3(n-1)=,
∴bnbn+1=·=,
∴==,(11分)
∴Tn=
=-=.(13分)
②证明:由①得,bn=,b1=,
∴b3n+1=(6n+3),=,
∵b1,b3n+1,成等比数列,
∴=b1·,
即=×,
∴cn=6n2+6n+1,
∴=<==,(15分)
∴An=++…+<
=<.(17分)