阶段检测卷（五）（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
阶 段 检 测 卷(五)
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025江苏宿迁期中)设z1=1+2i,z2=i,则在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限
2.(2025天津红桥期中)若双曲线-=1(a>0,b>0)的实轴长为2,焦距为2,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A.y=±x　　B.y=±2x　　C.y=±x　　D.y=±x
3.(2024吉林长春一模)已知sin(α+β)=,sin(α-β)=,则的值为(　　)
A.-2　　B.2　　C.-3　　D.3
4.(2025北京丰台期中)某餐饮品牌的门店里,当客人点完餐之后,服务人员会给客人一个30分钟计时沙漏,保证在30分钟之内上完餐.沙漏是古代的一种计时仪器,根据沙子从一个容器漏到另一容器的时间来计时.如图,沙漏可视为由上、下两个相同的圆锥构成的组合体,下方的容器中装有沙子,沙子堆积成一个圆台,若该沙漏的高为8,沙子的体积占该沙漏容积的,则沙子堆积成的圆台的高为(　　)
A.1　　B.　　C.2　　D.
5.(2024重庆外国语学校测试)教室通风的目的是通过空气的流动,排出室内的污浊空气和致病微生物,降低室内二氧化碳和致病微生物的浓度,送进室外的新鲜空气.按照国家标准,教室内空气中二氧化碳日平均最高容许浓度小于或等于0.1%.经测定,刚下课时,空气中含有0.2%的二氧化碳,若开窗通风后教室内二氧化碳的浓度为y%,且y随时间t(单位:分钟)的变化规律可以用函数y=0.05+λ(λ∈R)描述,则该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为(参考数据:ln 3≈1.1)(　　)
A.10分钟　　B.14分钟　　C.15分钟　　D.20分钟
6.(2025湖北鄂州段考)在△ABC中,AB=4,E是BC边的中点,线段AE的长为,∠BAC=120°,D是BC边上一点,AD恰好平分∠BAC,则AD的长为(　　)
A.　　B.　　C.2　　D.
7.(2025河北石家庄期中)设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,直线l过点F1.若点F2关于l的对称点P恰好在椭圆C上,且·=-b2,则C的离心率为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
8.(2024广东广州测试)记a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是(　　)
A.a>b>c　　B.a>c>b　　C.b>c>a　　D.b>a>c
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025湖南师大附中月考)对于函数f(x)=sin x+cos x和g(x)=sin-cos,下列说法中正确的有(　　)
A. f(x)与g(x)有相同的零点
B. f(x)与g(x)有相同的最大值点
C. f(x)与g(x)有相同的最小正周期
D. f(x)与g(x)的图象有相同的对称轴
10.(2025福建百校联考段考)已知数列{an}的前n项和为Sn,(3n+2)Sn+1+(3n-1)Sn-1=(6n+1)Sn(n∈N*,且n≥2),若a1=,a2=,则下列说法正确的是(　　)
A.a5=
B.数列为等差数列
C.的最小值为12
D.数列的前2n项和T2n=18n2+12n
11.(2025北京顺义月考)设计一条美丽的丝带,其造型也可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O,且C上的点满足:横坐标大于-3,到点F(3,0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为9,则下列说法正确的是(　　)
A.a=-3
B.若点(x0,y0)在C上,则x0≤3
C.C在第一象限内的点的纵坐标的最大值一定大于
D.当点(x0,y0)在C上时,满足y0<
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024浙江宁波一模)抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,且|PF|=3,O为坐标原点,则S△OPF=　　　　.
13.(2024浙江嘉兴模拟)已知直线y=2x-m与圆C:(x-m)2+y2=4交于A,B两点,写出满足“|AB|=2”的实数m的一个值:　　　　.
14.(2025江西多校联考期中)已知定义域为R的函数f(x)的导函数为f'(x),若函数f(2x+1)和f'(x+2)均为偶函数,且f'(2)=2,则f'(i)=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025陕西渭南期中)已知动点P与平面上两定点A(-,0),B(,0)连线的斜率的积为定值-.
(1)求动点P的轨迹C的方程;
(2)是否存在过点(0,1)且与(1)中曲线C相交所得弦长为的直线l 若存在,求出直线l的方程;若不存在,试说明理由.
16.(15分)(2024湖南衡阳一模)如图所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BCC1B1⊥底面ABC,E,F分别为BC和A1C1的中点.
(1)求证:EF∥平面ABB1A1;
(2)若AA1=BC=AB=AC,且平面ABC⊥平面AEF,求二面角B-AC-C1的余弦值大小.
17.(15分)(2025河北邯郸月考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A(-2,0),B(2,0),离心率为.过点(4,0)的直线l与C的右支交于M、N两点,设直线AM,BM,BN的斜率分别为k1,k2,k3.
(1)若k1=,求k3;
(2)证明:k2(k1+k3)为定值.
18.(17分)(2025辽宁期中联考)定义在区间D上的函数f(x)满足:若对任意x1,x2∈D,且x1>x2,都有>,则称f(x)是D上的“Good函数”.
(1)若f(x)=ax2是[1,+∞)上的“Good函数”,求a的取值范围;
(2)(i)证明:g(x)=ln x是(0,+∞)上的“Good函数”;
(ii)设n∈N*,证明:ln(2n+1)>1++++…+.
19.(17分)(2025陕西教育联盟第一次模拟)随着大数据时代来临,数据传输的安全问题引起了人们的高度关注,国际上常用的数据加密算法通常有AES、DES、RSA等,不同算法的密钥长度也不同,其中RSA的密钥长度较长,用于传输敏感数据.在密码学领域,欧拉函数是非常重要的,其中最著名的应用就是在RSA加密算法中的应用.设p,q是两个正整数,若p,q的最大公约数是1,则称p,q互素.对于任意正整数n,欧拉函数是指不超过n且与n互素的正整数的个数,记为φ(n).
(1)试求φ(1)+φ(9),φ(7)+φ(21)的值;
(2)设p,q是两个不同的素数,试用p,k表示φ(pk)(k∈N*),并探究φ(pq)与φ(p)和φ(q)的关系;
(3)设数列{an}的通项公式为an=φ(3n)(n∈N*),求该数列的前n项和Tn.
答案全解全析
1.D　由z1=1+2i,z2=i,得==2-i,所以在复平面内对应的点为(2,-1),位于第四象限.
2.A　依题意得2a=2,2c=2,所以a=1,c=,b==,
所以双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.
3.A　由sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,
可得sin αcos β=,cos αsin β=-,
所以==-2.
4.A　设圆锥的体积为V,沙子的体积为V1,由题意得= =,故=,
设沙子堆积成的圆台的高为h,易知圆锥的高为4,
所以=,
所以= h=1.
5.B　由题意得,当t=0时,y=0.2,即0.05+λe0=0.2,解得λ=0.15,所以y=0.05+0.15.
令0.05+0.15≤0.1,得≤,两边同时取自然对数,得-≤-ln 3,所以t≥12ln 3≈12×1.1=13.2,所以该教室内的二氧化碳浓度达到国家标准至少需要的时间为14分钟.
6.B　由E是BC边的中点,
得=(+),
所以==(+2·+),
即3=(16+2×4·||cos 120°+),所以||=2.
解法一　在△ABC中,由余弦定理得BC==2.
因为AD恰好平分∠BAC,所以,则BD=,CD=,
所以cos C===,
在△CAD中,由余弦定理得AD===.
解法二　因为AD恰好平分∠BAC,
所以∠BAD=∠CAD=60°.
因为S△ABC=S△ABD+S△ACD,所以AB·ACsin∠BAC=AB·ADsin∠BAD+AD·ACsin∠DAC,
故AD==.
知识总结
在△ABC中,D为BC边上一点(爪子模型),有如下结论:
①cos∠ABD=cos∠ABC,cos∠ACD=cos∠ACB,cos∠ADB+cos∠ADC=0,sin∠ADB=sin∠ADC;
　　②若=λ,则=λ+(1-λ),特别地,若D为中点,则=(+)(常用于平方求夹角或||);
③若D为中点,则AD2=AB2+AC2-BC2,若AD平分∠BAC,则=.
7.C　设直线PF2与l交于点H,如图,由已知可得|PF1|=|F1F2|=2c,F1H⊥PF2,
由椭圆定义,得|PF2|=2a-|PF1|=2a-2c,
在△PF1F2中,由余弦定理的推论得cos∠PF1F2===,
所以·=2c·2c·cos(π-∠PF1F2)=-4c2·=-b2,
又a2=b2+c2,所以2c2+3ac-2a2=0,
又椭圆的离心率e=,所以2e2+3e-2=0,
解得e=或e=-2(舍去),所以C的离心率e=.
8.D　解法一　设f(x)=,易知f(x)在R上单调递增,故f(2 022)易得ln a=,ln c=,
设g(x)=,x>e2,
则g'(x)==<,
当x>e2时,g'(x)<0,
所以g(x)在(e2,+∞)上单调递减,
所以g(2 023)即ln c综上,b>a>c.
解法二　同解法一得a因为a=,c=,
所以==×<×××…×××=×=,
因为>1.1,所以×2 022>2 023,
所以<1,即<1,所以<1,又a,c>0,所以ca>c.
9.ACD　f(x)=sin,g(x)=sin=sin.
令f(x)=0,得x=-+kπ,k∈Z;
令g(x)=0,得x=+kπ=-+(k+1)π,k∈Z,
可知两个函数的零点是相同的,故选项A正确.
令x+=+2kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z,故f(x)的最大值点是+2kπ,k∈Z;令x-=+2kπ,k∈Z,得x=+2kπ,k∈Z,故g(x)的最大值点是+2kπ,k∈Z,
可知最大值点是不同的,故选项B不正确.
易知f(x)与g(x)的最小正周期均为2π,故选项C正确.
令x+=+kπ,k∈Z,得x=+kπ,k∈Z,故曲线y=f(x)的对称轴方程为x=+kπ,k∈Z;令x-=+kπ,k∈Z,得x=+kπ=+(k+1)π,k∈Z,故曲线y=g(x)的对称轴方程为x=+(k+1)π,k∈Z,
可知两个函数的图象有相同的对称轴,故选项D正确.
10.ABD　依题意得(3n+2)(Sn+an+1)+(3n-1)(Sn-an)=(6n+1)Sn(n≥2),
∴(3n+2)an+1=(3n-1)an(n≥2),即[3(n+1)-1]an+1=(3n-1)an(n≥2),故数列{(3n-1)an}为从第二项起的常数列,
∴(3n-1)an=(3×2-1)a2=1,
∴an=(n≥2),
又当n=1时,a1=满足上式,
∴an=,∴a5=,∴A正确;
由A得=3n-1,∵当n≥2时,-=(3n-1)-3(n-1)+1=3,∴是以=2为首项,3为公差的等差数列,∴B正确;
易得===(3n-1)++6,
当3n-1>3,即n>时,随n的增大而增大,当0<3n-1<3,即当n=1时,=,
当n=2时,=,∴的最小值为,∴C错误;
易得=(-1)n(3n-1)(3n+2)=(-1)n9n2+(-1)n(3n-2),
∴T2n=9[-12+22-32+42-…-(2n-1)2+(2n)2]+[-1+4-7+10-…-(6n-5)+(6n-2)]=9[1+2+3+4+…+(2n-1)+2n]+3n=+3n=18n2+12n,∴D正确.
11.ABC　对于A,设曲线C上任一点P(x,y),由题意知|x-a|=9,
因为曲线C过原点且a<0,所以-3a=9 a=-3,故A正确;
对于B,若点(x0,y0)在C上,
则|x0+3|=9≥|x0+3|=|-9|≥-9 -3对于C,在|x+3|=9中,令x=,可得y=>,故C正确;
对于D,点在C上,但不满足y0<,故D错误.
12.
解析　由已知得F(1,0),C的准线方程为x=-1.如图:
设点P(x,y),过点P作PH垂直于抛物线的准线,垂足为H,
则|PH|=|PF|=3,又|PH|=x+1,所以x=2,所以|y|==2.
所以S△OPF=·|OF|·|y|=×1×2=.
13.-或(写出其中一个即可)
解析　由已知得圆C的圆心为C(m,0),半径r=2,圆心C到直线y=2x-m的距离d==,
又|AB|=2,所以+()2=4,解得m=±.
14.2
解析　因为f(2x+1)为偶函数,所以f(2x+1)=f(-2x+1),即f(x+1)=f(-x+1),
又因为f'(x+2)为偶函数,所以f'(x+2)=f'(-x+2).
由f(x+1)=f(-x+1),得f'(x+1)=-f'(-x+1),
即f'(x)=-f'(-x+2),
所以f'(x)=-f'(x+2),
即f'(x+2)=-f'(x+4),
则f'(x)=f'(x+4),
所以f'(x)是以4为周期的周期函数.
由f'(x)=-f'(-x+2),
可得f'(1)=-f'(1),即f'(1)=0,
由f'(x)=-f'(x+2)得f'(1)=-f'(3)=0,
f'(2)=-f'(4),
所以f'(1)+f'(2)+f'(3)+f'(4)=0,
所以f'(i)=506f'(i)+f'(1)+f'(2)=2.
知识总结
(1)若f(x+a)=f(x-a),则函数f(x)的周期为2a;
(2)若f(x+a)=-f(x),则函数f(x)的周期为2a;
(3)若f(x+a)=-,则函数f(x)的周期为2a;
(4)若f(x+a)=,则函数f(x)的周期为2a;
(5)若f(x+a)=f(x+b),则函数f(x)的周期为|a-b|.
15.解析　(1)设动点P(x,y),x≠±,
由题意得kPA·kPB=·=-,(2分)
化简整理得+y2=1,故动点P的轨迹C的方程是+y2=1(x≠±).(5分)
(2)存在满足条件的直线l.易知当直线l的斜率不存在时,弦长为2,不合题意.(6分)
当直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+1,与曲线C的两个交点分别为M(x1,y1),N(x2,y2),
由得(1+2k2)x2+4kx=0,(7分)
则Δ=16k2>0,x1+x2=-,x1x2=0,　(9分)
整理得k4+k2-2=0,(11分)
解得k2=1或k2=-2(舍去),经检验,k=±1符合题意,此时直线l的方程为y=±x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0.(13分)
16.解析　(1)证法一　如图,取A1B1的中点G,连接BG,FG,
在△A1B1C1中,因为F,G分别是A1C1,A1B1的中点,所以FG∥B1C1,且FG=B1C1.(2分)
在三棱柱ABC-A1B1C1中,
易知BC∥B1C1且BC=B1C1,
又E为BC的中点,
所以FG∥BE,且FG=BE,
故四边形BEFG为平行四边形,
则有EF∥BG,(5分)
又因为BG 平面ABB1A1,EF 平面ABB1A1,所以EF∥平面ABB1A1.(6分)
证法二　取AC的中点D,连接ED,FD,
因为E,D分别是CB,CA的中点,所以DE∥BA,又DE 平面ABB1A1,BA 平面ABB1A1,所以DE∥平面ABB1A1,(2分)
又F为C1A1的中点,所以DF∥AA1,又DF 平面ABB1A1,AA1 平面ABB1A1,所以DF∥平面ABB1A1,(4分)
因为DE∩DF=D,DE,DF 平面DEF,所以平面DEF∥平面ABB1A1,(5分)
又EF 平面DEF,所以EF∥平面ABB1A1.(6分)
(2)解法一　由题意得三棱柱中所有棱长都相等,则△ABC与△A1B1C1都是等边三角形,
取B1C1的四等分点H,满足B1H=3C1H,连接HF,HE.
取B1C1的中点M,连接A1M,EM,
则HF∥MA1,易知EM∥BB1∥AA1,且EM=BB1=AA1,故可得四边形EMA1A为平行四边形,
则有MA1∥EA,故有HF∥EA,则A,E,H,F四点共面.(8分)
因为平面BCC1B1⊥平面ABC,平面ABC⊥平面AEF,
且平面BCC1B1∩平面AEF=HE,
所以HE⊥平面ABC,又△ABC是等边三角形,E为BC的中点,所以AE⊥BC.
故可建立以E为原点,EC,EA,EH所在直线分别为x,y,z轴的空间直角坐标系.(9分)
不妨取CE=2,则CC1=BC=4,由HE2+=C可得HE=,
则有C1(1,0,),C(2,0,0),A(0,2,0),(10分)
则=(-1,0,),=(-2,2,0),
设平面AA1C1C的法向量为n=(x,y,z),
则
取z=1,可得x=,y=,故n=(,,1),(12分)
易得平面ABC的一个法向量为(0,0,1),记m=(0,0,1),(13分)
则|cos|===,
由图知二面角B-AC-C1为锐二面角,
故二面角B-AC-C1的余弦值为.(15分)
解法二　如图,取B1C1的四等分点H,满足B1H=3C1H,过点C1作C1N⊥CB,垂足为N,
由(2)中解法一知HE⊥平面ABC.(8分)
因为C1N⊥CB,且侧面BCC1B1⊥底面ABC,侧面BCC1B1∩底面ABC=BC,
所以C1N⊥平面ABC,故HE∥C1N,
又HC1∥EN,所以四边形C1HEN是平行四边形,
所以NE=C1H=BC,故N是CE的中点.(10分)
过点N作NI⊥CA,垂足为I,连接C1I,
因为C1N⊥平面ABC,AC 平面ABC,
所以C1N⊥AC,又C1N∩NI=N,C1N,NI 平面C1NI,
所以AC⊥平面C1NI,又C1I 平面C1NI,
所以AC⊥C1I,所以∠C1IN是二面角B-AC-C1的平面角,(11分)
设CE=2,所以C1N==,NI=CNsin 60°=,所以C1I==,(13分)
故cos∠C1IN==,
故二面角B-AC-C1的余弦值为.(15分)
17.解析　(1)设双曲线的焦距为2c,由题意得,a=2,=,所以c=.(1分)
因为c2=a2+b2,所以b=,所以C的标准方程为-=1.(2分)
易得直线AM:y=(x+2),由消去y,化简并整理得x2-2x-8=0,
解得x=4或x=-2(舍去),
将x=4代入y=(x+2),得y=3,所以M(4,3).(5分)
又直线MN过点(4,0),
所以直线MN的方程为x=4,
所以N(4,-3),k3==-.(6分)
(2)证明:设M(x1,y1),
则k1=,k2=.
因为-=1,
所以=(-4),
所以k1·k2=·===.(8分)
设直线MN:x=my+4,由消去x,化简并整理得(3m2-4)y2+24my+36=0,易知3m2-4≠0,Δ=144(m2+4)>0,
设N(x2,y2),则(10分)
故k2·k3=·=
=(12分)
==-.(14分)
所以k2(k1+k3)=k1k2+k2k3=+=-,为定值.(15分)
18.解析　(1)由题可知对任意x1,x2∈[1,+∞),
且x1>x2,有>,
即a>.(2分)
因为x1+x2∈(2,+∞),
所以(x1+x2)2>4,
所以a≥,即a的取值范围为.(4分)
(2)证明:(i)任取x1,x2∈(0,+∞),且x1>x2,
则-=-=-.(6分)
令,x>1,
则-=,x>1,
令h(x)=ln x-,x∈(1,+∞),则原问题转化为证明h(x)>0.(9分)
易得h'(x)=-=>0在(1,+∞)上恒成立,则h(x)在(1,+∞)上单调递增,
所以h(x)>h(1)=0,(10分)
即>,所以g(x)=ln x是(0,+∞)上的“Good函数”.(11分)
(ii)由(i)可知,当x1,x2∈(1,+∞)且x1>x2时,>,
令x1=2n+1,x2=2n-1,n∈N*,则>,即ln(2n+1)-ln(2n-1)>.(14分)
故ln 3-ln 1+ln 5-ln 3+…+ln(2n+1)-ln(2n-1)>+++…+,
化简可得ln(2n+1)>1++++…+.(17分)
19.解析　(1)易得φ(1)=1,(1分)
不超过9且与9互素的正整数有1,2,4,5,7,8,则φ(9)=6,(2分)
不超过7且与7互素的正整数有1,2,3,4,5,6,则φ(7)=6,(3分)
不超过21且与21互素的正整数有1,2,4,5,8,10,11,13,16,17,19,20,
则φ(21)=12,
所以φ(1)+φ(9)=7,φ(7)+φ(21)=18.(4分)
(2)在不大于pk的正整数中,只有p的倍数不与pk互素,而p的倍数有pk-1个,(6分)
因此φ(pk)=pk-pk-1=(p-1)pk-1.(7分)
由p,q是两个不同的素数,得φ(p)=p-1,φ(q)=q-1,(9分)
在不超过pq-1的正整数中,p的倍数有(q-1)个,q的倍数有(p-1)个,
于是φ(pq)=pq-1-(p-1)-(q-1)=pq-p-q+1=(p-1)(q-1),(11分)
所以φ(pq)=φ(p)·φ(q).(12分)
(3)根据(2)得an=(5n-3)×3n-1,(14分)
所以Tn=2×30+7×31+12×32+…+(5n-3)·3n-1,
3Tn=2×31+7×32+12×33+…+(5n-8)·3n-1+(5n-3)·3n,
两式相减,得-2Tn=2+5×31+5×32+…+5·3n-1-(5n-3)·3n=-(5n-3)·3n+2,
故Tn=+·3n.(17分)