6.2026版一轮复习达标检测示范卷（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
一轮复习达标检测示范卷
满分150分,限时120分钟
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025安徽顶尖名校教育联考)已知集合M={x|<2},N={x|x2-x-2<0},则M∩N=(　　)
A.{x|-1C.{x|-12.(2025浙江温州一模)若i2 025z=1+i,则复数z在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　
C.第三象限　　D.第四象限
3.(2025山东临沂教学质量检测)已知sin(α-β)=,tan α=2tan β,则sin(α+β)=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.1
4.(2025陕西渭南一模)若函数f(x)=log0.5(ax-x2)在(-1,0)上单调递增,则实数a的取值范围是(　　)
A.(0,2]　　B.[-2,0)　　C.[2,+∞)　　D.(-∞,-2]
5.(2024广东深圳外国语学校模拟)已知a,b,c均为单位向量,且满足3a+4b+5c=0,则cos=(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
6.(2024湖南长沙雅礼中学开学考试)甲、乙、丙等5人站成一排,若甲不在两端,乙和丙之间恰有2人,则不同的排法共有(　　)
A.20种　　B.16种　　C.12种　　D.8种
7.(2024河北部分学校调研)设a=ln 2,b=1.09,c=e0.3,则下列结论正确的是　(　　)
A.a8.(2025浙江湖州、衢州、丽水等地教学质量检测)已知长方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱C1D1的中点,平面AB1E将长方体分割成两部分,则体积较小部分与体积较大部分的体积的比值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025云南昆明联考)从某小型加工厂生产的产品中抽取100件作为样本,将该样本进行某项质量指标值测量,下图是测量结果x的频率分布直方图(最后一组为闭区间,其余每组为左闭右开区间),则下列叙述正确的是(　　)
A.指标值在区间[195,205)内的产品约有33件
B.指标值的极差在(50,70]内
C.指标值的第60百分位数大于205
D.指标值的方差的估计值是150
10.(2025U18联盟校月考)设函数f(x)=x3-6x2+9x-4,则(　　)
A. f(x)的极小值点为3　　
B.当0f(x)
C.当1D. f(x)有3个零点
11.(2025辽宁名校联合体检测)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域都为R,若f(x+1)与f'(x)均为偶函数,且f(-1)+f(1)=2,则下列结论正确的是(　　)
A. f'(1)=0
B.4是f'(x)的一个周期
C. f(1 012)=0
D. f(x)的图象关于点(6,1)对称
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024山东烟台、德州诊断)若圆(x-m)2+(y-1)2=1关于直线y=x对称的圆恰好过点(0,4),则实数m的值为　　　　.
13.(2025湖南名校联考)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的左焦点为F,过F的直线l交圆x2+y2=a2于A,B两点,交C的右支于点Q,若|FA|=|AB|=|BQ|,则C的离心率为　　　　.
14.(2024湖北十一校联考)已知在数列{an}中,a1,a11∈N*,数列{an}的前n项和为Sn,为等差数列,S14=77,则S100=　　　　.
四、解答题(本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025陕西榆林一模)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是边长为2的正方形,E是PA的中点.
(1)求证:PC∥平面BDE;
(2)若直线BE与平面PCD所成角的正弦值为,求PA的长.
16.(15分)(2024吉林长春五校联考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=1,cos C+ccos A-2bcos B=0.
(1)求B;
(2)若=2,且BD=,求c.
17.(15分)(2024江西重点中学协作体一模)已知椭圆E:+=1的左、右顶点分别为A,B,点C在E上,点M(6,yM),N(6,yN)分别为直线AC,BC上的点.
(1)求yM·yN的值;
(2)设直线BM与椭圆E的另一个交点为D,求证:直线CD经过定点.
18.(17分)已知函数f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0)的导数分别为f '(x),g'(x).
(1)若存在直线l,使得直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切,求证:x1+x2<+e;
(2)若<1,求实数a的取值范围.
19.(新风向)(17分)(2025广东阶段检测)已知数列{an}一共有m2(m>2)项,a1,a2,…,am为公差不为0的等差数列,对任意的i∈{1,2,…,m},ai,ai+m,…,ai+(m-2)m,ai+(m-1)m成等差数列,且对于不同的i,其公差为同一个非零常数.
(1)若m=3,a1=1,a4=3,a9=9,求数列{an}的各项之和;
(2)证明:a1,a(m+1)+1,a2(m+1)+1,…,a(m-1)(m+1)+1成等差数列;
(3)从1,2,…,m2中任取三个数p,q,r(p.
答案全解全析
1.D　易得,N={x|-12.D　由i2 025z=1+i,得iz=1+i,所以z==1-i,其在复平面内对应的点为(1,-1),在第四象限内.
3.D　sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=①.
由tan α=2tan β,得=,
所以sin αcos β-2cos αsin β=0②.
联立①②,得sin αcos β=,cos αsin β=,
所以sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=1.
4.D　令t=-x2+ax,x∈(-1,0).
因为y=log0.5x在定义域内单调递减, f(x)=log0.5(ax-x2)在(-1,0)上单调递增,
所以,
且.
易知函数t=-x2+ax的图象开口向下,对称轴方程为x=,所以由t=-x2+ax在(-1,0)上单调递减,得≤-1,解得a≤-2.
由t=-x2+ax>0在(-1,0)上恒成立,得-1-a≥0,所以a≤-1.
综上,实数a的取值范围为(-∞,-2].
5.B　由3a+4b+5c=0,得3a+4b=-5c,
则9a2+24a·b+16b2=25c2,所以a·b=0,又c=-a-b,
所以(a-b)·c=(a-b)·=-a2+b2-a·b=,易知|a-b|===,
所以cos===.
6.B　因为甲不在两端,所以甲一定在乙和丙的中间,所以还需在除甲、乙、丙外的两人中选一人站在乙和丙的中间,有种选法,又乙、丙排列有种排法,中间两人排列有种排法,将乙和丙及中间2人看成一个元素,与剩下的一人进行排列,有种排法,所以不同的排法共有=16(种).
7.A　a=ln 2e0=1>a.
令f(x)=ex-x2-1,则f'(x)=ex-2x,
令g(x)=ex-2x,则g'(x)=ex-2,
当x∈(-∞,ln 2)时,g'(x)<0, f'(x)单调递减,当x∈(ln 2,+∞)时,g'(x)>0, f'(x)单调递增,所以f'(x)≥f'(ln 2)=2(1-ln 2)>0,所以f(x)在R上单调递增,
所以f(0.3)>f(0)=0,即e0.3>1.09,所以c>b.
综上,a8.D　如图,取DD1的中点F,连接EF,AF,易知EF∥AB1,所以平面AB1E即为平面AB1EF.
易知AF,A1D1,B1E交于同一点,所以体积较小的部分为三棱台D1EF-A1B1A.
设AB=a,AD=b,AA1=c,
则长方体的体积V=abc.
由棱台的体积公式得=(++)b=b=abc,
所以较大部分的体积V'=V-=abc.
所以体积较小部分与体积较大部分的体积的比值为=.
9.ABD　对于A,指标值在区间[195,205)内的产品约有100×10×0.033=33件,故A正确.
对于B,指标值的最大极差为235-165=70,最小极差大于225-175=50,故B正确.
对于C,前三组的频率之和为0.02+0.09+0.22=0.33<0.6,前四组的频率之和为0.02+0.09+0.22+0.33=0.66>0.6,所以指标值的第60百分位数在[195,205)内,所以指标值的第60百分位数小于205,故C错误.
=170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200,
所以方差s2=(170-200)2×0.02+(180-200)2×0.09+(190-200)2×0.22+(200-200)2×0.33+(210-200)2×0.24+(220-200)2×0.08+(230-200)2×0.02=150,故D正确.
10.AC　易得f'(x)=3x2-12x+9=3(x-1)(x-3),所以当x∈(-∞,1)时, f'(x)>0, f(x)单调递增;当x∈(1,3)时, f'(x)<0, f(x)单调递减;当x∈(3,+∞)时, f'(x)>0, f(x)单调递增,所以3是函数f(x)的极小值点,故A正确.
当0当1f(x+1)>f(3),即-4由A中分析知, f(x)的极大值点是1,极小值点是3,
又f(0)=-4<0, f(1)=0, f(3)=-4<0, f(5)=16>0,所以f(x)有2个零点,故D错误.
11.ABD　因为f'(x)为偶函数,所以f'(-x)=f'(x),所以-f(-x)=f(x)+c(关键点),又f(-1)+f(1)=2,所以c=-2,所以f(x)+f(-x)=2①.
因为f(x+1)为偶函数,
由①②得, f(2-x)+f(-x)=2,所以f(x)+f(2+x)=2,所以f(x+2)+f(4+x)=2,所以f(x)=f(x+4),所以4是f(x)的一个周
对f(-x+1)=f(x+1)求导,得-f'(1-x)=f'(x+1),令x=0,得-f'(1)=f'(1),所以f'(1)=0,故A正确.
对于f(x)+f(-x)=2,令x=0,得f(0)=1,所以f(1 012)=f(4×253)=f(0)=1,故C错误.
由上述分析知f(x)=f(2-x), f(x)+f(2+x)=2,
所以f(2-x)+f(2+x)=2,
所以一个周期,所以f(x)的图象关于点(6,1)对称,故D正确.
12.4
解析　设点(0,4)关于直线y=x的对称点为(a,b),由已知得点(a,b)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上,
由解得
因此点(4,0)在圆(x-m)2+(y-1)2=1上,
则(4-m)2+(0-1)2=1,
所以m=4.
知识总结　　　　点关于直线对称的结论
(1)点(m,n)关于直线y=x的对称点为(n,m).
(2)点(m,n)关于直线y=x+b的对称点为(n-b,m+b).
(3)点(m,n)关于直线y=-x+b的对称点为(b-n,b-m).
13.
解析　设C的半焦距为c(c>0),如图,设O为坐标原点,AB的中点为M,C的右焦点为F2,连接QF2,OM,AO.
因为|FA|=|AB|=|BQ|,所以M也是FQ的中点,又O为FF2的中点,所以OM∥QF2,|OM|=|QF2|.
设|FA|=|AB|=|BQ|=2m(m>0),
由双曲线的定义得|QF|-|QF2|=2a,
所以|QF2|=6m-2a,|OM|=3m-a,
易知OM⊥AB,所以QF2⊥FQ,
在Rt△AOM中,由|AO|2=|OM|2+|AM|2,
即a2=(3m-a)2+m2,得m=,
所以|QF|=,|QF2|=,
在Rt△QFF2中,由|QF|2+|QF2|2=|FF2|2,即+=4c2,得=.
14.-3 750
解析　∵为等差数列,
∴可设=An+B,A,B为常数,
∴Sn=An2+Bn,∴a1=S1=A+B,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=An2+Bn-A(n-1)2-B(n-1)=2An-A+B,又a1=A+B满足上式,
∴an=2An-A+B,n∈N*,则an+1-an=2A(常数),
∴
设数列{an}的公差为d,
∵S14=77,∴7(a1+a14)=77,
∴a1+a14=a1+a11+3d=a1+a11+3·=11,
化简得7a1+13a11=110,∵a1,a11∈N*,
∴1≤a11≤,且a11∈N*,
经检验可得a1=12,a11=2,
则d==-1,
∴an=13-n,∴Sn=,∴S100=-3 750.
15.解析　(1)证明:因为PA⊥平面ABCD,AB 平面ABCD,AD 平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD,
因为四边形ABCD为正方形,所以AB⊥AD,
所以以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系.(2分)
设PA=2a(a>0),
易得B(0,0,2),C(2,0,2),D(2,0,0),P(0,2a,0),E(0,a,0),
所以=(2,-2a,2),=(2,0,-2),=(-2,a,0).(4分)
设平面BDE的法向量为n=(x,y,z),
则即令y=2,得n=(a,2,a).(6分)
因为·n=2a-4a+2a=0,所以⊥n,又PC 平面BDE,所以PC∥平面BDE.(7分)
(2)由(1)得=(0,0,2),=(-2,2a,0),=(0,a,-2).设平面PCD的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即
令y1=1,得m=(a,1,0).(9分)
设直线BE与平面PCD所成的角为θ,则=,解得a=1或a=2,(11分)
所以PA的长为2或4.(13分)
16.解析　(1)∵a=1,∴cos C+ccos A-2bcos B=acos C+ccos A-2bcos B=0　(关键点),
则由正弦定理可得sin Acos C+sin Ccos A-2sin Bcos B=sin(A+C)-2sin Bcos B=0,(3分)
在△ABC中,易知A+B+C=π,
∴sin(A+C)-2sin Bcos B=sin B-2sin Bcos B=0,
∵B∈(0,π),∴sin B≠0,∴cos B=,∴B=.(6分)
(2)设CD=x,x>0,∵=2,∴AC=2x,
在△ABC中,由余弦定理的推论得cos∠ABC==,∴c2+1-4x2=c.(9分)
在△ABC中,cos∠BCA=,
在△BCD中,cos∠BCD=,(12分)
∵
∴=-,
整理得6x2-c2-3=0,
又c2+1-4x2=c,
∴c2-3c-3=0,解得c=,
∵c>0,∴c=.(15分)
17.解法一　(1)由椭圆E的方程可得A(-3,0),B(3,0).(1分)
设C(xC,yC),
由题意得kAC·kBC=kAM·kBN,所以·=·,所以yM·yN=①.(4分)
因为点C在椭圆E上,所以+=1②.(5分)
联立①②,得yM·yN=-15.(6分)
(2)证明:易得直线MA的方程为y=(x+3).(7分)
由得(45+)x2+6x+9-405=0,
所以Δ=36-4(45+)(9-405) =72 900>0,-3xC=,所以xC=,所以yC=,
所以C.(9分)
同理,得D.(10分)
当直线CD的斜率存在时,kCD==,
所以直线CD的方程为y+=.
不妨令 y=0,得=,
所以x==,此时直线CD过定点.(13分)
当直线CD的斜率不存在时,xC=xD,即=,所以=15,所以xC=xD=,此时直线CD的方程为x=,过定点.(14分)
综上,直线CD经过定点.(15分)
解法二　(1)由椭圆E的方程可得A(-3,0),B(3,0).(1分)
设C(xC,yC),由题意得A,C,M三点共线,
又=(xC+3,yC),=(9,yM),
所以yM=.
同理,得yN=,所以yM·yN=①.(4分)
因为点C在椭圆E上,所以+=1②.(5分)
联立①②,得yM·yN=-15.(6分)
(2)证明:由题意得,直线CD与x轴不平行,所以设直线CD的方程为x=my+n(n≠±3),C(x1,y1),D(x2,y2).(7分)
由得(5m2+9)y2+10mny+5n2-45=0,
所以y1+y2=-,y1·y2=,(9分)
所以kBC·kBD=·=
==.(11分)
又kBC·kBD=kBN·kBM=·==-,
所以=-,解得n=或n=3(舍去),(13分)
所以直线CD的方程为x=my+,所以直线CD经过定点.(15分)
18.解析　(1)证明:因为f(x)=eax,g(x)=ln x(a>0),
所以f '(x)=aeax,g'(x)=.
因为直线l分别与f(x),g(x)的图象在x=x1,x=x2(x1≠x2)处相切,
所以直线l的斜率k=f '(x1)=g'(x2)=,即a==,(2分)
所以=,=,
所以x1=+x2(1-ln x2),所以x1+x2-=2x2-x2ln x2.(4分)
设h(x)=2x-xln x,则h'(x)=1-ln x.
当x∈(0,e)时,h'(x)>0,h(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,h'(x)<0,h(x)单调递减,
故h(x)在x=e处取得极大值,也是最大值,
所以h(x)≤h(e)=e.(5分)
若x2=e,则x1=+x2(1-ln x2)=,
代入a=,得a=,
则x1=e=x2,这与x1≠x2矛盾,所以x2≠e.
所以x1+x2-(2)因为<1,且f(x)=eax>0,
所以f(x)>g(x),即eax>ln x.(9分)
当0所以eax>ln x恒成立.(10分)
当x>1时,由eax>ln x,得axeax>xln x=eln xln x.
设φ(x)=xex(x>0),则φ(ax)>φ(ln x).(12分)
易得φ'(x)=(x+1)ex,因为x>0,所以φ'(x)>0恒成立,故φ(x)在(0,+∞)上单调递增,
所以ax>ln x,即a>.(14分)
设m(x)=,则m'(x)=.
当x∈(0,e)时,m'(x)>0,m(x)单调递增;
当x∈(e,+∞)时,m'(x)<0,m(x)单调递减,所以m(x)≤m(e)=.(16分)
所以实数a的取值范围是.(17分)
19.解析　(1)当m=3时,数列{an}一共有9项.
由题意得a1+a7=2a4,又a1=1,a4=3,所以a7=5,(1分)
同理,由a7=5及a9=9,得a8=7.(2分)
所以数列{an}的各项如下表所示,
a1=1 a2=3 a3=5
a4=3 a5=5 a6=7
a7=5 a8=7 a9=9
(4分)
所以数列{an}的各项之和为45.(5分)
(2)证明:如表所示,要证a1,a(m+1)+1,a2(m+1)+1,…,a(m-1)(m+1)+1成等差数列,即证表中左上至右下的对角线上的数成等差数列.
a1 a2 a3 … am
am+1 am+2 am+3 … a2m
… … … … …
akm+1 akm+2 akm+3 … am(k+1)
… … … … …
am(m-1)+1 am(m-1)+2 am(m-1)+3 …
(7分)
由题意可知,该表每行均为等差数列且公差相同,设公差为d1;每列也为等差数列且公差相同,设公差为d2,
则ak(m+1)+1-a(k-1)(m+1)+1=d1+d2,
所以数列{a(k-1)(m+1)+1}(1≤k≤m,k∈Z)是以a1为首项,d1+d2为公差的等差数列.(10分)
(3)证明:不妨将数表中的每个数看作一个点,若P,Q,R三点共线,且关于中间的点中心对称,则这三个点对应的数构成等差数列.
在数表中,只需要横行投影成等差数列,且纵列投影成等差数列即可.
对横行进行分析.
①若m为偶数,则公差为d1的等差数列的个数为m-2,公差为2d1的等差数列的个数为m-4,……,公差为d1的等差数列的个数为2,
共有个等差数列,
此时p,q,r成等差数列且ap,aq,ar也成等差数列的总取法数为×2+2m·=,
所以Pm==>>.(13分)
②若m为奇数,同理,可得每横行可以产生个等差数列,此时p,q,r成等差数列且ap,aq,ar也成等差数列的总取法数为×2+2m·=,
所以Pm==>>=.
对纵列进行分析,同理,得Pm>.(16分)
综上,Pm>.(17分)