第二单元 不等式（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

(
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
(
姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第二单元　不等式
满分99分,限时70分钟
考点1 不等式的性质及解法　　考点2 基本不等式
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025河南创新发展联盟联考)若a>|b|>0,c∈R,则下列结论一定成立的是(　　)
A.a2b>ab2　　B.>　　C.a3c-b
2.(2025江苏无锡调研)一家货物公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:每月土地占地费y1(单位:元)与仓库到车站的距离x(单位:km)成反比,每月库存货物费y2(单位:元)与x成正比;若在距离车站6 km处建仓库,则y2=4y1.要使这家公司的两项费用之和最小,则仓库与车站之间的距离为(　　)
A.2 km　　B.3 km　　C.4 km　　D.5 km
3.(2025四川成都树德中学阶段测试)已知关于x的不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解,则实数a的取值范围是(　　)
A.　　B.　　C.(-∞,0]　　D.(-∞,0)
4.(2025山西质量检测)若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则4a+b的最小值为(　　)
A.2　　B.4　　C.5　　D.4
5.设实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则下列不等式成立的是(　　)
A.cc
6.(2025湖南衡阳统考)已知a>b>0,则a++的最小值为(　　)
A.　　B.4　　C.2　　D.3
7.(2025湖北部分高中联考)已知正实数a,b满足2a+b=3ab,则下列结论中错误的是(　　)
A.ab的最大值是　　B.2a+b的最小值是
C.a+2b的最小值是3　　D.b-的最小值为2-3
8.(2025江苏百校联考)若对于任意的x>0,y>0,+≥m2-m恒成立,则实数m的最大值为　(　　)
A.　　B.-1　　
C.1　　D.3
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024福建龙岩名校期中)若不等式ax2+bx+c>0的解集为(-3,1),则下列结论正确的是(　　)
A.b<0且c>0
B.9a-3b+c<0
C.关于x的不等式ax-b<0的解集是(2,+∞)
D.关于x的不等式ax2-bx+c<0的解集是(-∞,-1)∪(3,+∞)
10.(2025江西南昌外国语学校月考)已知正数a,b,c满足若a,b,c恰好是三角形的三条边长,则a的可能取值为(　　)
A.　　B.　　C.　　D.2
11.(2025辽宁丹东段测)已知实数x,y满足x2+y2+xy=1,则(　　)
A.x+y的最小值为-　　B.xy的最大值为
C.x2+y2的最小值为　　D.x2+y2的最大值为1
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2025北京师范大学附属实验中学月考)能够说明“设a,b,c是任意实数,若a13.(2025山东部分学校质量检测)已知函数f(x)=2x2-ax+a2-4,g(x)=x2-x+a2-,a∈R,若 x1∈[0,1], x2∈[0,1],使得不等式f(x1)>g(x2)成立,则实数a的取值范围是　　　　　.
14.(2024江苏镇江统考)若关于x的不等式>0的解集中恰有3个整数,则实数a的取值集合是　　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025四川新高考联盟适应性考试)已知函数f(x)=(m+1)x2-mx+m-1(m∈R).
(1)若不等式f(x)<0的解集为 ,求实数m的取值范围;
(2)当m>-2时,解不等式f(x)≥m;
(3)若对任意的x∈[-1,1],不等式f(x)≥x2-x+1恒成立,求实数m的取值范围.
16.(13分)(2025江苏泰州靖江高级中学月考)设函数f(x)=x2-2tx+2,其中t∈R.
(1)若t=1,且对任意的x∈[0,a+2],都有f(x)≤5,求实数a的取值范围;
(2)若对任意的t∈[0,2],都有f(x)≥7,求实数x的取值范围;
(3)若对任意的x1,x2∈[0,4],都有|f(x1)-f(x2)|≤8,求实数t的取值范围.
答案全解全析
1.B　不妨设b<0,则a2bb3,故A,C错误.
对于B,若b<0,则由上述分析知>;若b>0,则-==(a-b)>0,即>,故B正确.
对于D,不妨设c=a,则a-c解题技法　　判断数(或式)大小的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证;
(2)利用特殊值法排除错误选项;
(3)作差法;
(4)构造函数,利用函数的单调性判断.
2.B　由题意设y1=,y2=k2x(k1>0,k2>0).
因为当x=6时,y2=4y1,所以6k2=,所以k1=9k2,所以两项费用(单位:元)之和为y1+y2=+k2x,因为+k2x≥6k2,当且仅当x=3时取等号,所以仓库与车站之间的距离为3 km.
3.B　因为x∈(0,2],所以由ax2-2x+3a<0可得,所以不等式ax2-2x+3a<0在(0,2]上有解等价于a<,x∈(0,2](关键点).
因为x>0,所以≤=,当且仅当x=,即x=时,等号成立,所以a<.
解题技法
以不等式为载体的恒成立与能成立(有解)问题的解决方法
(1)a>(≥)f(x)恒成立 a>(≥)f(x)max,a<(≤)f(x)恒成立 a<(≤)f(x)min;
(2)a>(≥)f(x)能成立 a>(≥)f(x)min,a<(≤)f(x)能成立 a<(≤)f(x)max.
4.B　解法一　然不可能对任意的x∈R恒成立.
当a<0时,y=(ax-1)(x-b)的图象开口向下,不满足题意,
所以a>0.
令(ax-1)(x-b)=0,得x1=,x2=b.
若不等式(ax-1)(x-b)≥0对任意的x∈R恒成立,则=b,即ab=1且a>0,b>0,
所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立,
所以4a+b的最小值为4.
解法二　若不等式(ax-1)(x-b)≥0即ax2-(ab+1)x+b≥0恒成立,
则 所以ab=1且a>0,b>0,
所以4a+b≥2=4,当且仅当4a=b且ab=1,即a=,b=2时,等号成立,所以4a+b的最小值为4.
5.B　记b+c=6-4a+3a2为①,c-b=4-4a+a2为②,
①-②得2b=2a2+2,即b=a2+1,∴b≥1.
∵b-a=a2+1-a=+>0,∴b>a.
∵c-b=4-4a+a2=(a-2)2≥0,∴c≥b,∴c≥b>a.
6.D　因为a>b>0,所以a+b>0,a-b>0,
所以2+2=2+=3,当且仅当,即a+b=2且a-b=,即a=,b=时取等号,所以a++的最小值为3.
7.A　对于A,3ab=2a+b≥2,所以3≥2,所以ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故A错误.
对于B,结合A知2a+b=3ab≥,当且仅当a=,b=时取等号,故B正确.
对于C,因为2a+b=3ab,所以+=3,
所以3(a+2b)=(a+2b)=5++≥5+2=9,当且仅当a=b=1时取等号,所以a+2b≥3,故C正确.
对于D,b-=b+-3≥2-3=2-3,当且仅当b=时取等号,故D正确.
解题技法
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”或将“积式”转化为“和式”的功能,因此在利用基本不等式解决条件最值时,关键是构造和为定值或积为定值,主要有三种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求解;②对条件变形,进行常数代换,进而利用基本不等式求解;③针对求最值的式子,通过添项、分离常数、平方等方法使之能够运用基本不等式.
8.D　由题意得m2-m≤(关键点).
解法一　设p==,q==,则p,q∈(0,1),且p=,
所以+=p+q==
=+-≥2-=,
当且仅当=,即q=时取等号,
所以m2-m≤,即m2-2m-3=(m-3)(m+1)≤0,解得-1≤m≤3,所以实数m的最大值为3.
解法二　x=,y=,
所以+=+=+-≥2-=,当且仅当p=q,即x=2y时取等号,
所以m2-m≤,即m2-2m-3=(m-3)(m+1)≤0,解得-1≤m≤3,所以实数m的最大值为3.
9.ACD　因为不等式ax2+bx+c>0的解集为(-3,1),所以a<0且-3,1为方程ax2+bx+c=0的两根,所以-3+1=-,-3×1=,所以b=2a<0,c=-3a>0,故A正确;因为-3为方程ax2+bx+c=0的根,所以9a-3b+c=0,故B错误;将b=2a代入ax-b<0中,得ax-2a<0,即a(x-2)<0,又a<0,所以x-2>0,解得x>2,故C正确;将b=2a,c=-3a代入ax2-bx+c<0中,得ax2-2ax-3a<0,即a(x2-2x-3)<0,又a<0,所以x2-2x-3>0,解得x<-1或x>3,故D正确.
10.BC　由题意得所以0不妨设c最大,则≤c<2,
所以方程x2+(a-4)x+a2=0有两个正根,且在≤x<2时有解(关键点),
所以解得-1结合选项,a的可能取值为,.
11.AC　对于A,由x2+y2+xy=1得xy=(x+y)2-1.
当xy>0时,xy≤,所以(x+y)2-1≤,即(x+y)2≤,解得-≤x+y≤,当且仅当x=y=-时左边等号成立,故x+y的最小值为-;
当xy<0时,xy<,同理,得-当x,y中有一个为0时,x+y=1或x+y=-1.
综上,x+y的最小值为-,故A正确.
对于B,由x2+y2+xy=1得x2+y2=1-xy≥2xy,解得xy≤,当且仅当x=y=或x=y=-时,等号成立,所以xy的最大值为,故B错误.
对于C,由x2+y2+xy=1得xy=1-(x2+y2),所以2xy=2-2(x2+y2),
又2xy≤x2+y2,所以2-2(x2+y2)≤x2+y2,解得x2+y2≥,当且仅当x=y=或x=y=-时,等号成立,故x2+y2的最小值为,故C正确.
对于D,当x=-1,y=1时,满足x2+y2+xy=1,但x2+y2=2,故D错误.
12.-2,-1,0(答案不唯一)
解析　当a0,则acbc,所以只要a13.(-∞,6)
解析　由题意得f(x)min>g(x)min,x∈[0,1](突破口).
易知g(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=,
所以g(x)在上单调递减,在上单调递增,
所以g(x)min=g=a2-8,
易知f(x)的图象开口向上,对称轴方程为x=.
当≤0,即a≤0时, f(x)在[0,1]上单调递增,所以f(x)min=f(0)=a2-4.
所以a2-4>a2-8,显然恒成立.
当0<<1,即0所以f(x)min=f=a2-4,
所以a2-4>a2-8,所以0当≥1,即a≥4时, f(x)在[0,1]上单调递减,所以f(x)min=f(1)=a2-a-2,所以a2-a-2>a2-8,所以4≤a<6.
综上,实数a的取值范围为(-∞,6).
解题技法
如果不等式的有关问题中涉及两个函数,两个变量,且两个变量前面带有逻辑中的“量词”,那么这样的问题均可转化为两个函数的值域或最值之间的关系问题.
已知函数y=f(x),x∈[a,b],其值域记为A,y=g(x),x∈[c,d],其值域记为B.
(1)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A B;
(2)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2)成立,则A∩B≠ ;
(3)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],总有f(x1)(4)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],使得f(x1)(5)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],使得f(x1)(6)若 x1∈[a,b], x2∈[c,d],使得f(x1)14.
解析　不等式>0等价于(ax-1)(x+2a-1)>0.
当a=0时,不等式为1-x>0,解得x<1,此时解集中有无数个整数,与题意不符.
当a<0时,令(ax-1)(x+2a-1)=0,得x1=<0,x2=1-2a>1,所以不等式的解集为(设为集合A),显然0∈A,1∈A,若不等式的解集中恰有3个整数,则另一个整数为-1或2.
若-1∈A,则解得a=-;
若2∈A,则解得a=-1.
所以a=-1或a=-.
当a>0时,y=(ax-1)(x+2a-1)的图象开口向上,所以不等式的解集中必有无数个整数,与题意不符.
综上,实数a的取值集合是.
15.解析　(1)当m=-1时,由f(x)<0,得x-2<0,解得x<2,与题意不符.(2分)
当m≠-1时,由
得解得m≥.
综上,实数m的取值范围为.(4分)
(2)f(x)≥m,即(m+1)x2-mx+m-1≥m,即[(m+1)x+1](x-1)≥0.(5分)
当m+1=0,即m=-1时,不等式的解集为{x|x≥1};
当-21,(x-1)≤0,所以不等式的解集为x1≤x≤-;
当m>-1时,-<0<1,(x-1)≥0,所以不等式的解集为xx≤-或x≥1.
综上,当m=-1时,不等式的解集为{x|x≥1};当-2-1时,不等式的解集为xx≤-或x≥1.(8分)
(3)因为对任意的x∈[-1,1],不等式(m+1)x2-mx+m-1≥x2-x+1恒成立,
所以对任意的x∈[-1,1],m(x2-x+1)≥2-x恒成立.
易知x2-x+1>0恒成立,所以m≥对任意的x∈[-1,1]恒成立(关键点),所以m≥.(10分)
设t=2-x,则1≤t≤3,x=2-t,
所以==.
因为t+≥2,当且仅当t=时取等号,
所以≤=,当且仅当x=2-时取等号,(12分)
所以实数m的取值范围是.(13分)
16.解析　(1)当t=1时, f(x)=x2-2x+2.
令f(x)≤5,即x2-2x+2≤5,解得-1≤x≤3.(2分)
由题意得[0,a+2] [-1,3],所以0(2)因为对任意的t∈[0,2],x2-2tx+2≥7恒成立,
所以对任意的t∈[0,2],-2tx+x2-5≥0恒成立,
所以解得x≤-或x≥5,
所以实数x的取值范围是(-∞,-]∪[5,+∞).(7分)
(3)由题意得,f(x)在[0,4]上的最大值与最小值的差小于或等于8(突破口).(8分)
易得函数f(x)图象的对称轴方程为x=t.
当t≤0时,函数f(x)在[0,4]上单调递增,所以f(4)-f(0)≤8,即(16-8t+2)-2≤8,解得t≥1,又t≤0,所以无解.(9分)
当0当2当t≥4时,函数f(x)在[0,4]上单调递减,所以f(0)-f(4)≤8,即2-(16-8t+2)≤8,解得t≤3,又t≥4,所以无解.(12分)
综上,实数t的取值范围是[4-2,2].(13分)