第九单元 直线与圆的方程（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
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第九单元　直线与圆的方程
满分86分,限时60分钟
考点1 直线与圆的方程　　考点2 直线与圆、圆与圆的位置关系
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025山东潍坊部分学校月考)已知直线l1:ax+y-2=0,l2:2x+(a+1)y+2=0,若l1∥l2,则实数a=(　　)
A.-1或2　　B.1　　C.1或-2　　D.-2
2.(2025重庆八中期中)已知圆C经过点(1,3)和点(4,0),且圆心C在直线x-2y=0上,则圆C的半径为(　　)
A.2　　B.　　
C.4　　D.5
3.(2024广东广州第三中学等校联考)已知直线l过点P(1,2),且点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,则直线l的方程为(　　)
A.4x-y-2=0　　B.4x-y+2=0
C.4x-y-2=0或x=1　　D.4x-y+2=0或x=1
4.(2024黑龙江龙东五地联考)已知直线l:x+ky-3k-1=0,若无论k取何值,直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点,则r的取值范围是(　　)
A.[5,+∞)　　B.(3,+∞)　　
C.[4,6)　　D.[3,5]
5.(模块融合)(2025江西宜春中学月考)已知集合A={(x,y)|x+ay+2a=0},B={(x,y)|ax+ay-1=0},则下列结论正确的是(　　)
A.存在a∈R,使得A=
B.当a=-1时,A∩B=
C.当A∩B= 时,a=1
D.对任意的a∈R,都有A≠B
6.(2025云南师范大学附属中学期中)已知直线l1:x-my+1=0与l2:mx+y-m+2=0交于点P,点A(,0),则|PA|的最大值为(　　)
A.2　　B.2+　　C.3　　D.4
7.(2024河北石家庄二中月考)已知圆C1:(x-1)2+(y-1)2=1,圆C2:(x-4)2+(y-5)2=9,点M,N分别是圆C1,C2上的动点,点P为直线y=-x上的动点,则|PM|+|PN|的最小值为(　　)
A.4　　B.-4　　
C.+4　　D.+8
8.(2024浙江金华曙光学校期中)在正三角形ABC中,M为BC的中点,P为三角形ABC内一动点,且满足|PA|=2|PM|,则的最小值为(　　)
A.1　　B.　　C.　　D.
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025湖南名校联考联合体联考)已知直线l:kx-y+(1-k)=0,圆C:(x+1)2+(y-2)2=1,则下列正确的是(　　)
A.l与圆C不一定存在公共点
B.圆心C到l的最大距离为
C.当l与圆C相交时,-D.当k=-1时,圆C上有三个点到l的距离为
10.(2024江苏南通调研)已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),则下列说法正确的是(　　)
A.若圆O与圆C无公共点,则0B.当r=1时,两圆公共弦所在直线的方程为6x-8y-25=0
C.当r=2时,若P,Q分别是圆O与圆C上的点,则|PQ|的取值范围为[2,8]
D.当011.(2025湖北十堰六校教学合作体月考)已知动点P在直线l:x+y-6=0上,动点Q在圆C:(x-1)2+(y-1)2=4上,过点P作圆C的两条切线,切点分别为A,B,则下列正确的有(　　)
A.直线l与圆C相交　　
B.|PQ|的最小值为2-2
C.四边形PACB面积的最小值为4　　
D.存在P点,使得∠APB=120°
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.已知圆O:x2+y2=1,圆C:(x-1)2+(y-2)2=r2(r>0),当圆O与圆C有且仅有两条公切线时,r的取值范围为　　　　.
13.(2025湖南岳阳期中)设点A(-2,3),B(0,a),若直线AB关于直线y=a对称的直线与圆C:(x+3)2+(y+2)2=1有公共点,则a的取值范围是　　　　.
14.(新风向)(2025广东广州华南师范大学附属中学检测)数学能为自然界的和谐、生命现象的和谐等找到最佳论证.在大自然中一些植物的叶子的形状有着明确的数学方程式,如图①,蔓叶中从一点出发散开的叶脉图形可近似为曲线y2(a-2x)=2x3,该曲线即为蔓叶线,如图②所示,若圆x2-4x+3+y2=0与该蔓叶线恰有两个交点,则实数a=　　　　.
　
四、解答题(本题共1小题,共13分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025山东青岛部分学校教学质量联合测评)已知圆O:x2+y2=4内有一点P0(-1,0),倾斜角为α的直线l过点P0且与圆O交于A,B两点.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)是否存在弦AB被点P0三等分 若存在,求出直线l的斜率;若不存在,请说明理由;
(3)记圆O与x轴正半轴的交点为M,直线MA的斜率为k1,直线MB的斜率为k2,求证:k1k2为定值.
答案全解全析
1.B　因为l1∥l2,
所以a(a+1)=1×2,
解得.
当a=-2时,l1:2x-y+2=0,l2:2x-y+2=0,l1与l2重合,不满足题意;
当a=1时,l1:x+y-2=0,l2:x+y+1=0,l1∥l2,满足题意.
综上,实数a的值为1.
2.B　解法一　设圆心C(2a,a).
因为圆C经过点(1,3)和点(4,0),
所以=,
解得a=1,所以圆心C(2,1),
所以圆的半径r==.
解法二　设圆C的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),则 所以
解法三　设圆C的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则 解得
所以半径r==.
解法四　易得圆心C在点(1,3)和点(4,0)所连线段的垂直平分线上,此垂直平分线的方程为y=x-1.
又圆心C在直线x-2y=0上,所以由得故圆心C的坐标为(2,1),
所以圆C的半径r==.
3.C　解法一　,直线l的方程为x=1,此时点A(2,3)与点B(0,-5)到直线x=1的距离均为1,符合题意.
当直线l的斜率存在时,设其方程为y-2=k(x-1),即kx-y-k+2=0.
因为点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,
所以=,解得k=4,
所以直线l的方程为y-2=4(x-1),即4x-y-2=0.
综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
解法二　当直线l∥直线AB时,点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,又kAB=4,直线l过点P(1,2),所以直线l的方程为4x-y-2=0.
当直线l过线段AB的中点(1,-1)时,点A(2,3)与点B(0,-5)到直线l的距离相等,又直线l过点P(1,2),所以直线l的方程为x=1.
综上,直线l的方程为4x-y-2=0或x=1.
4.A　对x+ky-3k-1=0变形,得(x-1)+k(y-3)=0.
令得所以直线l恒过点(1,3),记为A.
因为直线l与圆(x+2)2+(y+1)2=r2(r>0)恒有公共点,所以点A(1,3)在圆上或圆内(关键点),即(1+2)2+(3+1)2≤r2,又r>0,所以r≥5,故r的取值范围为[5,+∞).
5.D　对于A,方程x+ay+2a=0表示恒过定点(0,-2),且斜率不为0的直线,所以集合A表示直线x+ay+2a=0上所有的点,∴A≠ ,故A错误.
对于B,当a=-1时,A={(x,y)|x-y-2=0},B={(x,y)|-x-y-1=0},
由得∴A∩B=,故B错误.
对于C,当B= 时,a=0,满足A∩B= ;
当B≠ ,即a≠0时,直线x+ay+2a=0与ax+ay-1=0平行,∴解得a=0(舍去)或a=1.
综上,a=1或a=0,故C错误.
对于D,若A=B,则a≠0且直线x+ay+2a=0与ax+ay-1=0重合,∴无解,∴A≠B,故D正确.
6.B　易知直线l1恒过点(-1,0)(记为M),直线l2恒过点(1,-2)(记为N).
当m=0时,直线l1:x=-1,直线l2:y=-2,此时l1⊥l2.
当m≠0时,直线l1的斜率为,直线l2的斜率为-m,因为·(-m)=-1,所以l1⊥l2.
综上,l1⊥l2,所以点P在以MN为直径的圆上,其圆心为(0,-1)(记为B),半径r==.
因为|AB|==2,
7.B　易知圆C1的圆心为C1(1,1),半径为1,圆C2的圆心为C2(4,5),半径为3,如图.
圆C3是圆C1关于直线y=-x的对称圆,易得圆C3的
设点M关于直线y=-x的对称点为M',则|PM|=|PM'|,所以|PM|+|PN|=|PM'|+|PN|≥|C2C3|-1-3=-4,当且仅当M',N分别为线段C2C3与圆C3、圆C2的交点,且P为线段C2C3与直线y=-x的交点时,等号成立,所以|PM|+|PN|的最小值为-4.
8.D　如图,以点M为坐标原点,BC所在直线为x轴,AM所在直线为y轴建立平面直角坐标系.
设正三角形ABC的边长为2,则A(0,),B(-1,0),M(0,0).
设P(x,y),则|PA|2=x2+(y-)2,|PM|2=x2+y2.
因为|PA|=2|PM|,所以|PA|2=4|PM|2,即x2+(y-)2=4x2+4y2,整理,得x2+y2+y-1=0,所以点P的轨迹方程为x2+=(y>0).
所以======.
所以当x=-时,=4,∴=2.
当x≠-时,令t=,则t表示点P(x,y)与点所连直线的斜率,
设直线y-=k,若该直线与圆x2+=相切,则圆心到直线的距离d==,解得k=-或k=,所以t∈∪[,+∞),
所以当t=-时,取得最小值,为,
所以=.
综上,的最小值为.
9.ABD　对于A,易得圆C的圆心为C(-1,2),半径为1,且圆心C到直线l的距离d==.
若l与圆C不存在公共点,则直线l与圆C相离,
所以>1,解得k>0或k<-,故A正确.
对于B,对kx-y+(1-k)=0变形,得k(x-1)=y-1,所以直线l恒过点(1,1)(记为点P),易知当CP⊥l时,圆心C到直线l的距离最大,最大值为|CP|==,故B正确.
对于C,由A知圆心到直线l的距离为,所以当直线l与圆C相交时,<1,解得-对于D,由A知圆心到直线l的距离为,所以当k=-1时,圆心C(-1,2)到直线l的距离为=,
所以圆上有三个点到直线l的距离为1-=,故D正确.
10.CD　圆O:x2+y2=1,其圆心为O(0,0),半径为1;圆C:(x-3)2+(y+4)2=r2(r>0),其圆心为C(3,-4),半径为r.
对于A,两圆的圆心距|OC|==5,若圆O与圆C无公共点,,必有r+1<5或|r-1|>5,又r>0,所以06,故A错误.
对于B,当r=1时,两圆的圆心距|OC|=5>1+1=2,
对于C,当r=2时,圆C:(x-3)2+(y+4)2=4,两圆的圆心距|OC|=5>1+2=3,所以两圆外离,因为P,Q分别是圆O与圆C上的点,所以|PQ|的最小值为|OC|-2-1=2,最大值为|OC|+2+1=8,即|PQ|的取值范围为[2,8],故C正确.
对于D,当011.BC　易得圆C的圆心为C(1,1),半径r=2.
对于A,点C(1,1)到直线l的距离d==2>2=r,所以直线l与圆C相离,故A错误.
对于B,由A知,点C(1,1)到直线l的距离d=2,则|PQ|min=d-r=2-2,故B正确.
对于C,连接PC,则四边形PACB的面积S=2S△PAC=2×|PA|·|AC|=2|PA|=2≥2=4,
当且仅当PC⊥l时取等号,所以四边形PACB面积的最小值为4,故C正确.
=2∠APC,易得sin∠APC==≤=,又∠APC是锐角,所以∠APC的最大值为,所以∠APB的最大值为,故D错误.
12.(-1,+1)
解析　因为圆O与圆C有且仅有两条公切线,所以圆O与圆C相交(关键点).
易得圆O的圆心为O(0,0),半径r1=1;圆C的圆心为C(1,2),半径r2=r,所以|OC|=.要使圆O与圆C相交,需满足|r1-r2|<|OC|解题技法　　两圆公切线条数与两圆的位置关系
位置 关系 两圆外离 两圆外切 两圆相交 两圆内切 两圆内含
图示
公切 线 条数 4 3 2 1 0
13.
解析　易知点A(-2,3)关于直线y=a对称的点的坐标为(-2,2a-3)(记为A'),
点B(0,a)在直线y=a上,
所以直线AB关于直线y=a对称的直线的方程为y=x+a,即(a-3)x+2y-2a=0.
易得圆C的圆心为C(-3,-2),半径为1.
由题意得圆心C到直线(a-3)x+2y-2a=0的距离d=≤1,即(5-5a)2≤(a-3)2+22,解得≤a≤.
解题技法　点关于点(直线)的对称点的求法
(1)点P(x0,y0)关于点A(a,b)的对称点为P'(2a-x0,2b-y0).
(2)设点P(x0,y0)关于直线y=kx+b的对称点为P'(x',y'),则有可求出x',y'.
14.6+3
解析　方程x2-4x+3+y2=0化为标准形式为(x-2)2+y2=1,则此圆的圆心为(2,0).
解法一　因为圆x2-4x+3+y2=0与蔓叶线恰有两个交点,
所以根据蔓叶线和圆的对称性知,当y>0时,圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点(突破口).
联立得(4x-x2-3)=x3(1即方程=(1令f(x)=(1令f'(x)=0,得x=或x=(舍去),
所以f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增,
所以f(x)min=f=.
又x→1+, f(x)→+∞,x→3-, f(x)→+∞,
所以当=,
即a=6+3时,方程=(1所以当a=6+3时,圆x2-4x+3+y2=0与蔓叶线恰有两个交点.
解法二　因为圆x2-4x+3+y2=0与蔓叶线恰有两个交点,
所以根据蔓叶线和圆的对称性知,当y>0时,圆和蔓叶线的上半部分只有一个交点,此时两曲线相切(突破口),由解法一知方程=(1当a=6-3时,x<1,不符合题意;当a=6+3时,x=,符合题意.
15.解析　(1)因为α=135°,所以kl=-1,所以直线l的方程为x+y+1=0.易知圆O的圆心为O(0,0),半径r=2,(1分)
设圆心到直线l的距离为d,则d==,(2分)
所以|AB|=2=2=.(3分)
(2)假设存在弦AB被点P0三等分,且P0是靠近B的三等分点.如图,取AB的中点Q,连接OQ,OA,OB.
设|OQ|=d1,|P0Q|=x,则|AQ|=3x,
所以所以d1=.(5分)
当直线l的斜率不存在时,d1=1≠,与题意不符.(6分)
当直线l的斜率存在时,设l:kx-y+k=0,则d1==,解得k=±.
综上,存在弦AB被点P0三等分,此时直线l的斜率为±.(7分)
(3)证明:易得M(2,0).(8分)
当直线l的斜率不存在时,xA=xB=-1,==3,不妨取yA=,yB=-,
则k1==-,k2==,所以k1k2=-×=-.(10分)
当直线l的斜率存在时,设其方程为y=k'(x+1),与x2+y2=4联立,得(1+k'2)x2+2k'2x+k'2-4=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,x1x2=.
易知k1==,k2==,
所以k1k2=·===-.(12分)
综上,k1k2为定值-.(13分)