第六单元 平面向量与复数（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
密 封 线 内 不 要 答 题
)
第六单元　平面向量与复数
满分99分,限时60分钟
考点1 平面向量的概念及运算　　考点2 平面向量基本定理及坐标表示　　考点3 复数
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(2025湖北黄冈调研)已知复数z=,则z的虚部为(　　)
A.i　　B.　　C.-　　D.-i
2.(2025安徽皖江名校联盟联考)已知复数z满足z(2-i)=(1+i)2,则复数z的共轭复数在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限　　B.第二象限　　C.第三象限　　D.第四象限
3.(2024福建厦门外国语学校期中)已知e1,e2是平面内两个不共线的向量,=4e1+2e2,=-e1+λe2,=e1+(1-λ)e2,且A,C,D三点共线,则λ=(　　)
A.　　B.2　　C.4　　D.
4.(2025广东部分学校联考)在△ABC中,D为BC边上靠近点C的三等分点,E为线段AD(含端点)上一动点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则(　　)
A.λ+μ=1　　B.μ=2λ　　C.μ=3λ　　D.λ-μ=-
5.(2024广东汕头期中)已知复数z-1与复数(z+1)2-8i都是纯虚数,则z=(　　)
A.1+i　　B.1+2i　　C.1±2i　　D.1-2i
6.(2024四川资阳诊断)已知向量a,b,c满足|a|=|b|=|c|=3,且a+b+c=0,则cos=(　　)
A.-　　B.-　　C.　　D.
7.(2025安徽皖江名校联盟联考)已知平面向量a,b满足a=(1,),|a-b|=4,则|b|的取值范围是(　　)
A.[2,6]　　B.[2,2]　　C.[2,6]　　D.[1,2]
8.(2024天津和平二模)平面四边形ABCD中,AB=2,AC=2,AC⊥AB,∠ADC=,则·的最小值为　(　　)
A.-　　B.-2　　C.-1　　D.-2
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2025江西抚州部分学校联考)设z1,z2为复数,且z1z2≠0,则下列结论正确的是(　　)
A.|z1z2|=|z1||z2|　　B.=+
C.若|z1|=|z2|,则=　　D.=·
10.(2025湖北重点高中智学联盟联考)已知向量a=(,m),b=(0,1),则下列说法正确的是(　　)
A.若|a|=2,则a·b=1
B.不存在实数m,使得a∥b
C.若a⊥(a-4b),则m=1或m=3
D.若向量a在向量b上的投影向量为-b,则a,b的夹角为
11.(2024上海格致中学月考)相交弦定理是指圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等.如图,已知圆O的半径为2,P是圆O内的定点,且OP=,弦AC,BD均过点P,则下列说法正确的是(　　)
A.·为定值
B.·的取值范围是[-2,0]
C.当AC⊥BD时,·为定值
D.||·||的最大值为16
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024北京昌平统测)已知正方形ABCD的边长为1,点P满足=λ(λ>0).当λ=时,·=　　　　;当λ=　　　　时,·取得最大值.
13.(2024江西南昌外国语学校月考)已知i与j为互相垂直的单位向量,a=2i+3j,b=-i+2λj,且a与b的夹角为钝角,则实数λ的取值范围是　　　　　.
14.(2025吉林东北师范大学附属中学二模)已知复数z满足|z-5|=|z-1|=|z+i|,则|z|=　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2024重庆巴蜀中学统考)如图,在△ABC中,=,=,BD与CE交于点G.
(1)用向量、表示向量;
(2)过点G作直线MN,分别交线段AB、AC于点M、N,设=m,=n,若||=6,||=4,·=15,当m+2n取得最小值时,求||.
16.(13分)(2024安徽铜陵联考)如图,在梯形ABCD中,=2,AB=BC,∠ABC=60°,BD=,E为BC的中点.
(1)求与夹角的余弦值;
(2)以B为圆心,BA为半径作圆,P是劣弧AC(包含A,C两点)上一点,求·的最小值.
答案全解全析
1.B　z====-+i,故
2.C　由z(2-i)=(1+i)2,得z(2-i)=1+2i+i2=2i,
所以z====-+i,
所以
所以在复平面内对应的点为,位于第三象限.
3.D　因为A,C,D三点共线,所以存在实数μ,使得=μ(关键点).
又=+=3e1+(λ+2)e2,=e1+(1-λ)e2,
所以3e1+(λ+2)e2=μe1+μ(1-λ)e2,即(3-μ)e1+(λ+2-μ+μλ)e2=0.
因为e1,e2不共线,所以解得
4.B　如图,
当点E与点D不重合时,=+=+=+
当点E与点D重合时,=0,此时0==k+2k,其中k∈R,k≠0,所以μ=2λ.
综上,μ=2λ.
5.D　设z=a+bi(a,b∈R),则z-1=(a-1)+bi,(z+1)2-8i=(a+1+bi)2-8i=(a+1)2-b2+[2b(a+1)-8]i.
由题意得解得所以z=1-2i.
解题技法　　　　　　复数的分类
　　复数
a+bi(a,b∈R)
6.A　因为a+b+c=0,所以a+b=-c,等式两边分别平方,得|a|2+|b|2+2a·b=|c|2,又|a|=|b|=|c|=3,所以18+2a·b=×9,所以a·b=-7,所以|a-b|====4,所以cos====-.
7.A　设b=(x,y),
则a-b=(1-x,-y).
因为|a-b|=4,所以|a-b|==4,所以.
记C(1,),O(0,0),
则|OC|=2,
所以|b|=∈[4-2,4+2],
即|b|∈[2,6].
8.D　因为AB=2,AC=2,AC⊥AB,
所以tan∠ABC==,
所以∠ABC=.
又∠ADC=,所以∠ADC+∠ABC=π,所以,如图.
所以点D的轨迹是以AC为弦,为圆周角的劣弧AC(不含A,C两点),
所以·=||·||·cos∠BAD=2||·cos∠BAD,又||·cos∠BAD表示在上的投影,所以||·cos∠BAD∈[-1,0),
所以·≥-2(当点D为劣弧AC的中点时,等号成立),所以·的最小值为-2.
9.ABD　设z1=a+bi,z2=c+di,a,b,c,d∈R.
对于A,易得z1z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,
所以|z1z2|=
=,
又|z1||z2|==,所以|z1z2|=|z1||z2|,故A正确.
对于B,易得z1+z2=(a+c)+(b+d)i,=a-bi,=c-di,
所以=(a+c)-(b+d)i,+=(a+c)-(b+d)i,所以=+,故B正确.
对于C,若z1=1+i,z2=1-i,满足|z1|=|z2|=,但=(1+i)2=2i,=(1-i)2=-2i,即≠,故C错误.
对于D,易得z1·z2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i,
所以=(ac-bd)-(ad+bc)i,又·=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i,所以=·,故D正确.
10.BCD　对于A,易得|a|===2,解得m=±1,所以a·b=±1,故A错误.
故不存在实数m,使得a∥b,故B正确.
对于C,易得a-4b=(,m-4),若a⊥(a-4b),则a·(a-4b)=3+m(m-4)=0,解得m=1或m=3,故C正确.
对于D,设a,b的夹角为θ(θ∈[0,π]),则向量a在向量b上的
又因为向量a在向量b上的投影向量为·=|a|··cos θ=·cos θ·b=2cos θ·b=-b,所以cos θ=-,所以θ=,即a,b的夹角为,故D正确.
11.ACD　过点O,P作直径EF,则·=-||||=-||||=-|-||+|=-|-|·|-(+)|=-|-||+|=-(||2-)=-2,为定值,故A正确.
取AC的中点M,连接OM,则·=(+)·(+)=+·(+)+·=-(4-)=-4,易知0≤≤=2,所以·∈[-4,0],故B错误.
若AC⊥BD,则·=·=0,所以·=(+)·(+)=·+·+·+·,由A可知·=-2,所以·=-2,同理,可得·=-2,所以·=-4,故C正确.
因为||≤4,||≤4,所以当弦AC,BD均与EF重合时,||·||有最大值,为16,故D正确.
12.;
解析　如图,以A为坐标原点建立平面直角坐标系,
则A(0,0),C(1,1),D(0,1),B(1,0),
所以=(1,1),=(1,0).
当λ=时,==,
所以P,
所以=,
所以·=1×+1×1=.
因为=λ(λ>0),
所以P(λ,0),
所以=(λ,-1),=(1-λ,1),
所以·=λ(1-λ)-1=-λ2+λ-1=-,所以当λ=时,·取得最大值.
解题技法
向量数量积的运算有两种思路:一种是基底法,另一种是坐标法.在解决平面几何中的数量积的运算时,对于等腰三角形、矩形、正方形等规则图形,一般选择坐标法,建立恰当的平面直角坐标系,用向量的坐标运算解决平面几何中的数量积问题.
13.∪
解析　不妨令i=(1,0),j=(0,1),
则a=2i+3j=2(1,0)+3(0,1)=(2,3),
b=-i+2λj=-(1,0)+2λ(0,1)=(-1,2λ).
因为a与b的夹角为钝角,
所以.
若a·b<0,则-2+6λ<0,
解得λ<.
若a与b共线,则2×2λ=-1×3,
解得λ=-.
所以实数λ的取值范围是∪.
14.3
解析　设复数z=x+yi(x,y∈R).
由|z-5|=|z-1|,得复数z在复平面内对应的点在以(5,0)和(1,0)为端点的线段的垂直平分线,即直线x=3上.
由|z-1|=|z+i|,得复数z在复平面内对应的点在以(1,0)和(0,-1)为端点的线段的垂直平分线,即直线y=-x上.
由得所以z=3-3i.经检验,满足题意,所以|z|=3.
15.解析　(1)设=λ+μ,λ,μ∈R.
因为=,=,
所以(2分)
因为E,G,C三点共线,B,G,D三点共线,
所以解得(5分)
所以=+.(6分)
(2)由题意及(1)得=·+·.
,即+=4,(9分)
则m+2n=(m+2n)=2+++2≥2,当且仅当即时取等号,(11分)
此时=-=-,则||===5.(13分)
16.解析　(1)易知∠DAB=90°.
设||=m,则||=||=2m,所以=-=4m2-m2=3m2,
所以=+=3m2+4m2=7m2=7,
所以m=1,所以||=1,||=||=2,||=.(3分)
由题图得=+=+(+)=+,又·=0,所以||===,
又=-,所以·=(-)·=-=-3=-,
所以cos<,>===-.(6分)
(2)如图,以A为坐标原点,AB,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(2,0),E.
设P(x,y),则(x-2)2+y2=4,且x∈[0,1],y∈[0,],=(-x,-y),=,
所以·=-x-y=x2+y2-x-y=4x-x-y=x-y,x∈[0,1],y∈[0,].(8分)
令x-y=t,则t∈.
则直线x-y=t与圆(x-2)2+y2=4在x∈[0,1],y∈[0,]的部分始终有公共点(突破口).(10分)
由图可知,当直线与圆相切时,t有最小值,此时=2,所以t=5-2或t=5+2(舍去).
故·的最小值为5-2.(13分)