第三单元 函数(一)（含解析）-《巅峰突破》2026版高中数学高三一轮复习

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密 封 线 内 不 要 答 题
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姓名 班级 考号
密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线 密 ○ 封 ○ 装 ○ 订 ○ 线
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第三单元　函数（一）
满分99分,限时70分钟
考点1 函数的概念及其表示　　考点2 函数的基本性质
一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知函数f(x-1)=x2-2x,且f(a)=3,则实数a的值为　(　　)
A.　　B.±　　C.2　　D.±2
2.(2025湖南长沙雅礼中学月考)已知奇函数f(x)=(2x+m·2-x)cos x,则实数m=(　　)
A.-1　　B.0　　C.1　　D.
3.(2025山东济南部分学校质量检测)已知函数f(x+2)的定义域为(-3,4),则函数g(x)=的定义域为(　　)
A.(-4,3)　　B.(-2,5)　　C.　　D.
4.(2025河南新高中创新联盟TOP二十名校调研)已知函数f(x)=在R上单调递增,则实数a的取值范围为(　　)
A.(0,1]　　B.[-1,0)　　
C.(-∞,-1)∪(0,+∞)　　D.(-1,+∞)
5.(2024江西上饶广信中学月考)已知函数f(x)=|ln(-x)|,设a=f(log34),b=f(3-0.2),c=f(-31.1),则(　　)
A.a>b>c　　B.b>a>c　　C.c>a>b　　D.c>b>a
6.(2025浙江浙南名校联盟联考)已知f(x)为定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=-a,若对任意的x1,x2∈R,都有<0成立,则实数a的取值范围为(　　)
A.[1,+∞)　　B.(1,+∞)　　C.(-∞,1)　　D.(-∞,1]
7.(2025湖南湘东十校联盟联考)已知函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,g(x)为偶函数,且f(x)+g(x)=,则不等式g(x+1)+g(1)≤g(π)+g的解集为(　　)
A.[-2,0]　　B.(-∞,-2]∪[0,+∞)　　C.(-∞,0]　　D.[0,+∞)
8.(2025福建龙岩高级中学质量监测)已知函数f(x)的定义域为R,且满足f(x)+f(y)=f(x+y)-2xy+2, f(1)=2,则下列结论正确的是(　　)
A. f(4)=12　　B.方程f(x)=x有解
C. f是偶函数　　D. f是偶函数
二、多项选择题(本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.(2024浙江丽水发展共同体联考)若函数f(x)=+1,其定义域为D,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的图象关于y轴对称
B. x∈D,使得f(x)=
C. f(x)在[0,2)和(2,+∞)上单调递减
D. f(x)的值域为
10.(2024福建三明联考)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且x>0时, f(x)=x2-2x,则下列结论正确的是(　　)
A. f(x)的单调递增区间为(-∞,-1)和(1,+∞)
B. f(x)=0有3个根
C.xf(x)<0的解集为(-2,0)∪(0,2)
D.当x<0时, f(x)=-x2+2x
11.(模块融合)(2025皖豫名校联盟联考)已知函数f(x)与g(x)的导函数分别为f'(x)与g'(x),且f(x),g(x), f'(x),g'(x)的定义域均为R,g(x)-f(6-x)=3, f'(x)=g'(x-2),g(x+4)为奇函数,则(　　)
A.g(2)+g(6)=0　　B. f'(x+4)为偶函数
C. f(x)=f(x+8)　　D.g(k)=0
三、填空题(本题共3小题,每小题5分,共15分)
12.(2024湖北宜昌协作体联考)写出一个同时满足下列条件的函数f(x)=　　　　.
①f(x-1)为偶函数;②f(x)有最大值;③f(x)不是二次函数.
13.(2024河南商丘名校联考)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x)=2f(x+1),且当x∈(0,1]时, f(x)=4x(x-1).若对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≥-,则实数m的最小值是　　　　.
14.已知函数f(x)=若f(x)存在最小值,则实数a的取值范围为　　　　.
四、解答题(本题共2小题,共26分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)(2025福建厦门外国语学校检测)设函数f(x)=x2-ax+a-1(a>0).
(1)若f(x)在[0,1]上的最大值为a-1,求实数a的取值范围;
(2)当x∈[0,m]时,对任意的正实数a,不等式f(x)≤(x+1)|2a-1|恒成立,求m的最大值.
16.(13分)(2024山东枣庄第八中学诊断)已知函数y=φ(x)的图象关于点P(a,b)中心对称的充要条件是y=φ(a+x)-b是奇函数,给定函数f(x)=x-.
(1)求函数f(x)图象的对称中心;
(2)判断f(x)在区间(0,+∞)上的单调性;
(3)已知函数g(x)的图象关于点(1,1)对称,且当x∈[0,1]时,g(x)=x2-mx+m.若对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),求实数m的取值范围.
答案全解全析
1.D　解法一　令x-1=t,则x=t+1,所以f(t)=(t+1)2-2(t+1)=t2-1,所以f(a)=a2-1=3,解得a=±2.
解法二　令x2-2x=3,解得x=-1或x=3,所以x-1=-2或x-1=2,所以a=±2.
解法三　f(x-1)=x2-2x=(x-1)2-1,所以f(x)=x2-1,所以f(a)=a2-1=3,解得a=±2.
2.A　解法一　因为函数f(x)为奇函数,所以f(-x)+f(x)=0,即(2-x+m·2x)·cos(-x)+(2x+m·2-x)cos x=(m+1)·(2-x+2x)cos x=0,所以m+1=0,解得m=-1.
解法二　易知f(x)的定义域为R.因为函数f(x)为奇函数,所以满足题意.
3.D　因为函数f(x+2)的定义域为(-3,4),所以函数f(x)的定义域为(-1,6),
解得解题技法　　抽象函数定义域的求解方法
(1)已知f(x)的定义域为A,求f(φ(x))的定义域,实质是已知φ(x)的取值范围为A,求x的取值范围.
(2)已知f(φ(x))的定义域为B,求f(x)的定义域,实质是已知x的取值范围为B,求φ(x)的取值范围,此范围就是f(x)的定义域.
(3)已知f(φ(x))的定义域为C,求f(g(x))的定义域,实质是已知φ(x)中的x的取值范围为C,求出φ(x)的取值范围为D,再令g(x)的取值范围为D,求出x的取值范围,此范围就是f(g(x))的定义域.
4.B　解法一　显然a≠0.易知函数y=ax2-4ax-3=a(x-2)2-3-4a图象的对称轴方程为x=2,所以要使函数f(x)在R上单调递增,需满足解得-1≤a<0,所以实数a的取值范围是[-1,0).
解法二　当a=1时, f(x)=显然f(x)在(-∞,1)上单调递减,所以a=1不符合题意,所以排除A,C,D.
5.C　易知函数f(x)的定义域为R,且f(-x)=|ln(+x)|=ln=|-ln(-x)|=|ln(-x)|=f(x),所以f(x)为偶函数.
当x>0时, f(x)=|ln(-x)|=|ln(+x)|单调递增,又31.1>3>log34>1>3-0.2>0,∴f(-31.1)=f(31.1)>f(log34)>f(3-0.2),即c>a>b.
6.A　因为f(x)为定义在R上的奇函数,所以f(0)=0.
因为对任意的x1,x2∈R,都有<0成立,所以f(x)在R上单调递减,
所以只需-a=1-a≤0,解得a≥1.
7.A　因为函数y=f(x+1)的图象关于点(-1,0)对称,所以,即函数f(x)为奇函数.
又函数g(x)为偶函数,所以f(-x)+g(-x)=,即-f(x)+g(x)=.
由得g(x)=,所以g(1)=,g(π)+g=1,
所以g(x+1)+g(1)≤g(π)+g,即g(x+1)≤=g(1).
因为g(x)为偶函数,g(x)===1-,所以,所以|x+1|≤1 -1≤x+1≤1 -2≤x≤0,故原不等式的解集为[-2,0].
8.C　对于A,取x=y=1,得f(1)+f(1)=f(2)-2+2,又f(1)=2,所以f(2)=4.
取x=y=2,得f(2)+f(2)=f(4)-2×2×2+2,所以f(4)=14,故A错误.
对于B,取y=1,得f(x)+f(1)=f(x+1)-2x+2,又f(1)=2,所以f(x+1)-f(x)=2x,
所以f(x)-f(x-1)=2(x-1), f(x-1)-f(x-2)=2(x-2),……, f(2)-f(1)=2,
累加,得f(x)-f(1)==x2-x,
又f(1)=2,所以f(x)=x2-x+2.
令f(x)=x,得x2-x+2=x,即x2-2x+2=0,无解,故B错误.
对于C, f=-+2=x2+,为偶函数,故C正确.
对于D, f=-+2=x2-2x+,既不是奇函数也不是偶函数,故D错误.
9.AC　对于A,易得函数f(x)的定义域为{x|x≠±2},关于原点对称,又f(-x)=f(x),所以f(x)为偶函数,其图象关于y轴对称,故A正确.对于B,令+1=,得x2-4|x|+4=0,解得x=±2,与定义域矛盾,所以不存在x∈D,使得f(x)=,故B错误.对于C, f(x)=+1=+1=+1,因为当x∈[0,2)和(2,+∞)时,y=|x|单调,故C正确.对于D,由C知, f(x)=+1,因为|x|≥0且|x|≠2,所以|x|+2≥2且|x|+2≠4,所以0<≤且≠,所以1<+1≤且+1≠,所以f(x)的值域为∪,故D错误.
10.ABC　因为f(x)是定义在R上的奇函数,
所以
当x<0时,-x>0,所以f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x,故D错误.
由上述分析知, f(x)=作出函数f(x)的图象,如图所示:
由图可知,函数f(x)的单调递增区间为
令f(x)=0,得x=0或x=±2,故f(x)=0有3个根,故B正确.
由xf(x)<0得或解得-211.ACD　对于A,因为g(x+4)为奇函数,所以g(-x+4)=-g(x+4),令x=2,得g(2)+g(6)=0,故A正确.
对于B,对g(x)-f(6-x)=3两边分别求导,得g'(x)+f'(6-x)=0,又f'(x)=g'(x-2),
所以f'(x+2)=g'(x)=-f'(6-x),所以f'(x+4)=-f'(4-x),所以f'(x+4)为奇函数,故B错误.
对于C,由f'(x)=g'(x-2),得f(x)=g(x-2)+b(b为常数).
又g(-x+4)=-g(x+4),所以f(6-x)=g(4-x)+b=-g(x+4)+b,
又g(x)-f(6-x)=3,所以g(x)-f(6-x)=g(x)+g(x+4)-b=3,所以g(x)+g(x+4)=b+3,所以g(x+4)+g(x+8)=b+3,所以g(x)=g(x+8),即g(x)是周期为8的周期函数,同理, f(x)也是周期为8的周期函数,故C正确.
对于D,在g(-x+4)=-g(x+4)中,令x=0,得g(4)=-g(4),所以g(4)=0;令x=4,得g(0)=-g(8),
又g(x)是周期为8的周期函数,所以g(0)=g(8)=0.
因为g(-x+4)=-g(x+4),所以g(1)+g(7)=0,g(3)+g(5)=0,又g(2)+g(6)=0,
所以g(k)=253[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)+g(5)+g(6)+g(7)+g(8)]=253×0=0,故D正确.
12.-|x+1|(答案不唯一)
解析　因为f(x-1)为偶函数,所以f(x-1)的图象关于直线x=0对称,所以f(x)的图象关于直线x=-1对称,又f(x)有最大值,且f(x)不是二次函数,所以f(x)的解析式可以为f(x)=-|x+1|.
13.
解析　当x∈(0,1]时,x+1∈(1,2],所以f(x+1)=f(x)=2x(x-1).
令t=x+1,则t∈(1,2], f(t)=2(t-1)(t-2),即f(x)=2(x-1)(x-2),x∈(1,2].
同理,当x∈(2,3]时, f(x)=(x-2)(x-3);…….
作出函数f(x)的部分图象,如图所示,
令(m-2)(m-3)=-,解得m=或m=.由图可知,要使对任意x∈[m,+∞),都有f(x)≥-,只需m≥,故实数m的最小值为.
14.[0,1]
解析　若a=0,则f(x)=所以f(x)min=0,符合题意.
若a<0,则当x若a>0,则当xf(a)=-a2+1;
当x≥a时, f(x)min=所以-a2+1≥0或-a2+1≥(a-2)2,所以0综上,实数a的取值范围为[0,1].
15.解析　(1)易知函数f(x)图象的对称轴方程为x=.(1分)
当0<<,即0a-1,不符合题意;(3分)
当≥,即a≥1时, f(x)max=f(0)=a-1≥0=f(1),符合题意.(5分)
综上,实数a的取值范围为[1,+∞).(6分)
(2)①当2a≥1,即a≥时,
不等式f(x)≤(x+1)|2a-1|即为x2-ax+a-1≤(2a-1)x+2a-1,
整理得x2-(3a-1)x-a≤0,即(3x+1)a-x2-x≥0,
由题意知该不等式对任意的a≥恒成立,
又3x+1>0,∴只要a=时不等式成立即可,
∴x2-x-≤0,∴-≤x≤1,
又x∈[0,m],∴0②当0<2a<1,即0即(x+3)a+x2-x-2≤0,
由题意知该不等式对任意的0又x+3>0,∴只要a=时不等式成立即可,
∴x2-x-≤0,∴-≤x≤1,
又x∈[0,m],∴0综上,m的最大值为1.(13分)
16.解析　(1)设函数f(x)的图象的对称中心为(a,b),则f(a+x)+f(a-x)-2b=0(突破口),即(x+a)-+(-x+a)--2b=0,整理得(a-b)x2=(a-b)(a+1)2-6(a+1),所以解得a=b=-1.(3分)
所以函数f(x)图象的对称中心为(-1,-1).(4分)
(2)f(x)在区间(0,+∞)上单调递增.(5分)
证明如下:
任取x1,x2∈(0,+∞),且x1则f(x1)-f(x2)=x1--x2+
=(x1-x2),
因为x1,x2∈(0,+∞),且x1所以x1-x2<0,且1+>0,
所以f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)所以函数f(x)=x-在(0,+∞)上单调递增.(8分)
(3)设g(x)在[0,2]上的值域为集合A, f(x)在[1,5]上的值域为集合B.因为对任意的x1∈[0,2],总存在x2∈[1,5],使得g(x1)=f(x2),所以A B.(9分)
由(2)可知f(x)在[1,5]上单调递增,故B=[-2,4],
当≤0,即m≤0时,g(x)在[0,1]上单调递增,因为g(x)的图象关于(1,1)对称,所以g(x)在[1,2]上单调递增.
易知g(1)=1,故函数g(x)=x2-mx+m的图象恒过对称中心(1,1),
所以g(x)在[0,2]上单调递增,
又因为g(0)=m,g(2)=2-g(0)=2-m,所以A=[m,2-m],
因为A B,所以解得-2≤m≤0.
当0<<1,即0故此时A=ming(2),g,maxg(0),g,
要使A B,
只需
解得0当≥1,即m≥2时,g(x)在[0,2]上单调递减,
所以A=[2-m,m],
因为A B,所以解得2≤m≤4.(12分)
综上,实数m的取值范围为[-2,4].(13分)