吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2024-2025学年下学期第三次综合模拟测试 九年级数学
一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（2025·宁江模拟）下列实数的绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A、，
B、，
C、
D、
∵，
∴的绝对值最大；
故答案为：A．
【分析】分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断．
2．（2025·宁江模拟）国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
3．（2025·宁江模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
4．（2025·宁江模拟）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有只羊，乙有只羊，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设甲有只羊，乙有只羊，根据“ 乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等 ”可列出关于，的二元一次方程组.
5．（2025·宁江模拟）实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴可得，，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：C．
【分析】根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
6．（2025·宁江模拟）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AB，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴为等边三角形，
点是的中点 ，
∴，
∴△BOC为直角三角形，
根据扇形的面积公式可知，
，
点是的中点，
，
Rt△BOC中，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】
作辅助线，连接，根据等边三角形的判定得到为等边三角形，根据已知条件，点是的中点 ，得到，根据等边三角形的性质，可以判断 ，根据解直角三角形求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式可以计算出阴影的面积．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
7．（2025·宁江模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二元一次方程组的解，建立满足x，y值的方程组.
8．（2025·宁江模拟）分解因式：
【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程因式分解的方法，先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解．
9．（2025·宁江模拟）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接交于点，交于点，若，则的值是 ．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴FG=，GE=
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，得，得到；根据，证明、可得、，即，，代入计算即可．
10．（2025·宁江模拟）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则
【答案】105
【知识点】圆周角定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图：
设，，
∵，∠BOC=2∠CAB，
∴，
∴，，，
∵内接于半圆O，
∴，
∴，
，
∴
①×2-②整理得x=25°代入①得y=15°
∴．
故答案为：105．
【分析】根据图形和已知条件，以及等弧和圆周角的概念，，，推断出角度之间的关系，，，建立一元二次方程组，求出∠ACB的值.
11．（2025·宁江模拟）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 ．
【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先推出，得，从而得，然后求出，解直角三角形得，，于是得，接下来设，，得，，，则，可得，最后再根据正切的定义即可求解．
三、解答题（共11小题，满分87分）
12．（2025·宁江模拟）计算：．
【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂以及绝对值，再算乘法，最后算减法和加法.
13．（2025·宁江模拟）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
（1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
【答案】（1）
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据已知条件可知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据已知条件，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．
14．（2025·宁江模拟）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；求其载重后总质量时，它的最快移动速度．
【答案】解：根据已知条件，设反比例函数的解析式为，
该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
，
当时，，
其载重后总质量时，它的最快移动速度
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，，m=90，代入反比例函数解析式，求出v.
15．（2025·宁江模拟）如图，在的网格中，均在格点上，按下列要求作图：
（1）在图1中，找出格点，连接，使得；
（2）在图2中，将三角形沿着的方向，平移的长度得到三角形，请画出三角形．
【答案】（1）解：如图1，点E为所作.
可以通过平移AC的方法来确定点E；把点C向右平移6格，再向上平移2格，此时得到的格点就是满足条件的点E；或者把点A向右平移6格，再向下平移2格，也能得到满足条件的点E；在图中可以找到两个这样的点E.
（2）解：如图2，三角形为所作．
观察BD的方向和长度，BD是向右上方倾斜的，且长度为通过网格数出的格数.把三角形ABC先向右平移2格，再向上平移2格.这样每个顶点都按照相同的方向和距离进行了平移，得到的三角形A'C'D就是平移后的图形.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)利用网格中格点的特点，通过平移的性质来确定点E的位置，同位角相等则两直线平行的原理来找格点E.
(2)依据平移的性质，即平移前后对应点连线平行且相等来确定三角形A'C'D各顶点的位置。作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）解：如图1，点E为所作；
（2）解：如图2，三角形为所作．
16．（2025·宁江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标．
【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将代入反比例函数解析式得：，
解得：；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，
∴的周长为，此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
解得：，
∴点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式求出的值 ；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，结合“将军饮马两定一动”模型可知当点三点共线时，的周长最小，然后由轴对称的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式，最后把代入解析式进行求解，即可作答．
（1）解：把代入反比例函数解析式得：，
∴，
∴，
把代入反比例函数解析式得：，
∴；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，
连接交轴于，此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，则，
∴，
∴点的坐标为．
17．（2025·宁江模拟）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
【答案】解：根据已知条件，设米，则米，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴，
整理得：，
∴（米），
∴（米），
∴展台高度约为米，斜坡加长后多占米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
根据已知条件，以及解直角三角函数，设，则，在和中根据三角函数表示出相关线段的长度，为等量关系即可求出未知数的解，可以求出AB的值.
18．（2025·宁江模拟）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表．
组别
成绩/分
人数
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______．补全条形统计图．
（2）组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______．
（3）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数．
【答案】（1）；，
补全条形统计图如下：
（2）；．
（3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是，
该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人．
估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）根据图表和扇形图可知，共抽取学生人，
组人数为人，
组人数为人，
∴，，
故答案为：；．
（2）根据已知条件可知，组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，， ，
组数据中出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是，
根据中位数的概念，样本总量50人为偶数，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数，
根据图表可知，组人，组人，组人，
第、个数据应该在C组分别是，，
中位数是，
故答案为：；．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，计算出样本总数，抽取的学生人数，在根据扇形统计图计算出、的值；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）根据扇形图和条形统计图，计算出竞赛成绩分以上（含分）为优秀成绩的占比，通过样本总数计算出优秀的人数.
（1）解：由题意得，共抽取学生人，
组人数为人，
组人数为人，
即，，
补全条形统计图如下：
故答案为：；．
（2）解：组数据中出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是，
共抽取学生人，即样本数据共个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
应取样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数，
又组人，组人，组人，
第、个数据分别是，，
中位数是，
故答案为：；．
（3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是，
该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人．
19．（2025·宁江模拟）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题：
（1）图象表示了______和______两个变量的关系；
（2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟；
（3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？
【答案】解：（1）时间，距离；
（2）1500，4；
（3）根据题意，得三次的速度如下：
①（米/分），
②（米/分），
③（米/分），
∴，
∴小潘骑车最快的速度是450米/分．
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知横轴表示时间，纵轴表示离家的距离，
∴图象表示了时间和距离两个变量的关系，
故答案为：时间，距离；
（2）根据图像可知小潘家到舅舅家路程是1500米，小潘在商店停留的时间为12-8=4（分钟），
故答案为：1500，4.
【分析】（1）观察图像的横轴和纵轴即可求解；
（2）观察图象可知经过14分钟离家的距离是1500米，再根据从8分钟到12分钟离家距离没有变化得到小潘在商店停留的时间；
（3）结合图像分别求出骑车的三段的速度，再进行比较大小即可得到答案．
20．（2025·宁江模拟）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接．
【观察猜想】
（1）如图1，当时，_____．
【类比探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度．
【答案】解：（1）45
（2）由折叠可知，，
．
四边形为正方形，
．
又，
，
．
又，
．
由折叠的性质可得，
．
点为的中点，
，
在正方形中，，
，
．
（3）段的长度为或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）在正方形中，．
∵，
由折叠性质可知，且．
∴，
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
因为，，，
∴．
∴，
故答案为：45。
（3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图：
此时，因为，所以．
已知，在中，，解得．
情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时：
此时，则．
在中，，
解得．
综上所述：段的长度为或．
【分析】（1）根据正方形性质和折叠性质，再由即可求出 ，进而得 ，再根据，即可求出的角度，易得，从而得出 。
（2）根据折叠性质得出角和边的关系，可算出，从而推出，然后再结合角的等量关系，即可得到的值，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求出的值，最后再根据直角三角形斜边中线性质，即可求出值。 ．
（3）当为等边三角形，是等腰三角形时，先得出，通过角的运算求出和，在中，根据正切函数的定义：，即可求出的长度．
当为等边三角形，是等腰三角形时，得出，通过三角函数的正切函数定义，可得，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ．
21．（2025·宁江模拟）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
（1）当为何值时，；
（2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：根据题意，得，，
∵，
，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
当时，；
（2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6，理由如下：
如图1，过点作于，作于，
∴，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
当时，的面积等于6；
（3）解：存在，使得，理由如下：
如图2，过点作于，于，交于，过点作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
是的中点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
存在，使得．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，则，，然后求出，由平行线分线段成比例定理得，从而得到关于的方程，解方程即可求解；
（2）过点作于，作于，易得，推出，根据等腰三角形”三线合一“的性质和勾股定理得到，从而得到，最后利用，得到关于的方程，解方程以及结合的取值范围即可得到答案；
（3）过点作于，于，交于，过点作于，则，由是的中点，得到，，推出，再利用勾股定理得到，然后利用面积关系，求得，再由勾股定理得到，接下来易证，从而得到，求得，，，最后推出，得，即可得到关于的方程解之即可．
（1）解：由题意得：，，
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
当时，．
（2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6，
理由如下：
过点作于，作于，如图1，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
当时，的面积等于6．
（3）解：存在，使得．
理由如下：
如图2，过点作于，于，交于，过点作于，
则
由（2）可知，，，
是的中点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
解得：；
存在，使得．
22．（2025·宁江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点、点、是该抛物线上的两个点．点的横坐标为．
（1）该抛物线的顶点坐标为______；
（2）当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，______；
（3）当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象（包括点、点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值；
（4）过点作于点，过点作于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出的值．
【答案】（1）；
（2）；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，
当最高点为，最低点是时，有，
解得：(舍去)；
当最高点为时，最低点是时，有，
解得：(舍去)或；
②当时，
当最高点为，最低点为时，有，
解得： (舍去)或；
当最高点为，最低点为时，有，此时方程无解；
综上所述，的值为或；
（4）解：由(1)可知，
∴，
于点，于点，
，
∵，
，
的周长是的周长的4倍，
∴，
∴，，
如图1，当时，有，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
∴，
解得：或（舍去），
如图2，当时，有，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
∴，
解得：（舍去）或，
综上所述，或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（1），
抛物线的顶点为，
故答案为：；
（2）令，有，
解得：或，
或，
∵，
当时，有；
当时，有；
综上所述，，
故答案为：.
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
（2）令，解方程求出点的坐标，然后利用坐标系中两点间距离公式即可求解；
（3）根据题意可分两种情况讨论：当时，若最高点为，最低点是时或最高点为时，最低点是时，分别得关于的方程，解方程即可；当时，若当最高点为，最低点为时或当最高点为，最低点为时，分别得关于的方程，解方程即可；
（4）先推出，根据相似三角形的性质得相似比为4，从而得，，然后进行分类讨论：当时或，求出的值，进而可用表达点的坐标，于是可列出关于的方程，解方程即可求解．
（1）解：，
抛物线的顶点为；
故答案为：；
（2）解：令，则
解得或，
或；
∵点P的坐标为，
当时，
当时，；
；
故答案为：；
（3）解：由(1)可知，，
抛物线的对称轴为直线；
①当时，
当最高点为Q，最低点是时，
，
(舍)；
当最高点为P时，最低点是时，
，
解得(舍)或；
②当时，
P为最高点，Q为最低点时，
，
解得 (舍)或；
Q为最高点，P为最低点时，
，方程无解；
综上，m的值为或；
（4）解：由(1)可知，，则；
于点B，于点C，
，
∵，
，
的周长是的周长的4倍，
，
即，，
如图1，当时，，，
，
，即，
，
，
点Q在抛物线上，
，
解得：或（舍去），
如图2，当时，，，
，
，即，
，
，
点Q在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
综上，或．
1 / 1吉林省松原市宁江区吉林油田第十二中学2024-2025学年下学期第三次综合模拟测试 九年级数学
一、选择题（共6小题，满分18分，每小题3分）
1．（2025·宁江模拟）下列实数的绝对值最大的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·宁江模拟）国产大模型DeepSeek已经成为全球增长最快的AI工具，其每月新增网站访问量已超过OpenAI的ChatGPT．据报道，2025年2月，DeepSeek访问量达到525000000次，将数字525000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·宁江模拟）如图所示的几何体是由个相同的小立方块搭成的，它的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·宁江模拟）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·宁江模拟）实数m对应的点在数轴上的位置如图所示，则不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025·宁江模拟）如图，扇形的圆心角为点是的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）
7．（2025·宁江模拟）若关于x，y的二元一次方程组的解为，则这个方程组可以是 ．
8．（2025·宁江模拟）分解因式：
9．（2025·宁江模拟）如图，四边形是平行四边形，点在延长线上，连接交于点，交于点，若，则的值是 ．
10．（2025·宁江模拟）如图，内接于半圆O，，连接并延长，交的延长线于点D．若，则
11．（2025·宁江模拟）如图，在中，，，是边上的一点，是延长线上的一点，为的中点，连接．若，则的值为 ．
三、解答题（共11小题，满分87分）
12．（2025·宁江模拟）计算：．
13．（2025·宁江模拟）春节档电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注，小明和小亮摸卡片游戏，将两张相同形状大小的卡片球上分别标上哪吒、敖丙，放入不透明的甲袋中；另外三张相同的卡片上分别标上太乙真人、申公豹、李靖，放入不透明的乙袋中．
（1）从甲1袋中任意摸出一张卡片，卡片人物恰好是哪吒的概率是______；
（2）先从甲袋中任意摸出一张卡片，再从乙袋中任意摸出一张卡片，求卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）
14．（2025·宁江模拟）去年“十一假期”，在山东泰山身驮重物“机器狗”在陡峭山路上“健步如飞”火遍全网，显示了信息技术与科技创新给人类生活带来的便利．其实机器狗是一种模拟真实犬只形态和部分行为的机器装置，其最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；求其载重后总质量时，它的最快移动速度．
15．（2025·宁江模拟）如图，在的网格中，均在格点上，按下列要求作图：
（1）在图1中，找出格点，连接，使得；
（2）在图2中，将三角形沿着的方向，平移的长度得到三角形，请画出三角形．
16．（2025·宁江模拟）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，．
（1）求的值和反比例函数的解析式；
（2）若点在轴上，当的周长最小时，求出点的坐标．
17．（2025·宁江模拟）人工智能越来越多地应用于现实生活，某科技馆的人形机器人正在进行货物运输测试．机器人需要将一批货物从地面运送到展示台上，为此设计了可调节斜坡装置．当斜坡与地面夹角为时．运输速度快但能耗很大，为减少能耗，将斜坡加长3米，此时斜坡与地面夹角为，机器人刚好能稳定行走，且耗能低．请你计算展示台的高度及斜坡加长后多占多长一段地面？（结果保留小数点后一位）
（参考数据：，，，）
18．（2025·宁江模拟）综合与实践：为了提高学生的防溺水意识，某校举行了“珍爱生命，远离溺水”安全知识竞赛，并对收集到的数据进行了整理、描述和分析．
【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩（满分分，所有竞赛成绩均不低于分）组成一个样本．
【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理，如下表．
组别
成绩/分
人数
【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图．
其中组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，，．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题．
（1）填空：______，______．补全条形统计图．
（2）组成绩的样本数据的众数是______，样本数据的中位数是______．
（3）若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数．
19．（2025·宁江模拟）小潘从家里出发骑车去舅舅家做客，他骑了一段时间后，想起要买个礼物送给表弟，于是又折回到刚经过的一家商店，买好礼物后继续骑车去舅舅家，如图是小潘离家的距离与随时间变化而变化的情况．观察图象并回答下列问题：
（1）图象表示了______和______两个变量的关系；
（2）小潘家到舅舅家路程是______米；小潘在商店停留了______分钟；
（3）在去舅舅家的途中，小潘骑车最快的速度是多少米／分？
20．（2025·宁江模拟）折叠问题是我们常见的数学问题，它是利用图形变化的轴对称性质解决的相关问题．数学活动课上，同学们以“正方形的折叠”为主题开展了数学活动．
在正方形中，点在射线上，将正方形纸片沿所在直线折叠，使点A落在点处，连接，直线交所在直线于点，连接．
【观察猜想】
（1）如图1，当时，_____．
【类比探究】
（2）如图2，正方形的边长为4，，连接，取的中点，连接，求的度数及线段的长度．
【拓展应用】
（3）在（2）的条件下，当被线段分成一个等边三角形和一个等腰三角形时，请直接写出线段的长度．
21．（2025·宁江模拟）如图1，在中，，，点以每秒1个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，同时，点以每秒2个单位长度的速度，从点出发沿方向向终点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒，请解答下列问题：
（1）当为何值时，；
（2）在点、的运动过程中，是否存在某一时刻，使得的面积等于6？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，是的中点，连接，与交于点，是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
22．（2025·宁江模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，直线与轴交于点、点、是该抛物线上的两个点．点的横坐标为．
（1）该抛物线的顶点坐标为______；
（2）当点在轴上，且点是该抛物线的顶点时，______；
（3）当点在直线的右侧，点到直线的距离是点的纵坐标时，若点、点之间的部分的图象（包括点、点）的最高点与最低点的纵坐标之差为3，求的值；
（4）过点作于点，过点作于点，连结、，当、、三点共线，且的周长是的周长的4倍时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】绝对值的概念与意义；求有理数的绝对值的方法
【解析】【解答】解：A、，
B、，
C、
D、
∵，
∴的绝对值最大；
故答案为：A．
【分析】分别计算出各数的绝对值，再比较绝对值的大小即可作出判断．
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B．
【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．
3．【答案】B
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：观察几何体可知，从几何体的上面看到的平面图形是由三个小正方形组成的，上面有两个横向摆放的小正方形，其中右侧小正方形的下方有一个小正方形，
俯视图的形状如下图所示，
故答案为：B．
【分析】俯视图是从几何体的上面看到的平面图形，根据几何体中小立方块的位置和个数画出俯视图即可．
4．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设甲有只羊，乙有只羊，
根据题意，得，
故答案为：A．
【分析】设甲有只羊，乙有只羊，根据“ 乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等 ”可列出关于，的二元一次方程组.
5．【答案】C
【知识点】实数在数轴上表示；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：由数轴可得，，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：．
故答案为：C．
【分析】根据数轴的性质可得，再分别求出两个不等式的解集，找出它们的公共部分即为不等式组的解集．
6．【答案】D
【知识点】等边三角形的性质；扇形面积的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：连接AB，
∵∠AOB=60°，OA=OB，
∴为等边三角形，
点是的中点 ，
∴，
∴△BOC为直角三角形，
根据扇形的面积公式可知，
，
点是的中点，
，
Rt△BOC中，
，
，
．
故答案为：D．
【分析】
作辅助线，连接，根据等边三角形的判定得到为等边三角形，根据已知条件，点是的中点 ，得到，根据等边三角形的性质，可以判断 ，根据解直角三角形求出，根据扇形面积公式、三角形面积公式可以计算出阴影的面积．
7．【答案】（答案不唯一）
【知识点】二元一次方程组的解
【解析】【解答】解：∵二元一次方程组的解为，
∴
故答案为：（答案不唯一）．
【分析】根据二元一次方程组的解，建立满足x，y值的方程组.
8．【答案】
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程因式分解的方法，先提取公因式，进而根据完全平方公式因式分解即可求解．
9．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
∵
∴，即，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴FG=，GE=
∴，，
∴．
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质可得，得，得到；根据，证明、可得、，即，，代入计算即可．
10．【答案】105
【知识点】圆周角定理；二元一次方程组的应用-几何问题
【解析】【解答】解：如图：
设，，
∵，∠BOC=2∠CAB，
∴，
∴，，，
∵内接于半圆O，
∴，
∴，
，
∴
①×2-②整理得x=25°代入①得y=15°
∴．
故答案为：105．
【分析】根据图形和已知条件，以及等弧和圆周角的概念，，，推断出角度之间的关系，，，建立一元二次方程组，求出∠ACB的值.
11．【答案】
【知识点】解直角三角形—边角关系；求正切值
【解析】【解答】解：如图，过点作于，过点作于，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴设，则，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】过点作于，过点作于，先推出，得，从而得，然后求出，解直角三角形得，，于是得，接下来设，，得，，，则，可得，最后再根据正切的定义即可求解．
12．【答案】解：原式
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂和负整数指数幂以及绝对值，再算乘法，最后算减法和加法.
13．【答案】（1）
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据已知条件可知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
【分析】（1）根据已知条件，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，利用概率公式可得答案；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及卡片人物恰好哪吒和李靖的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（1）解：由题意知，共有2种等可能的结果，其中卡片人物恰好是哪吒的结果有1种，
∴卡片人物恰好是哪吒的概率为．
故答案为：；
（2）解：列表如下：
C D E
A
B
共有6种等可能的结果，其中卡片人物恰好哪吒和李靖的结果有：，共1种，
∴卡片人物恰好哪吒和李靖的概率．
14．【答案】解：根据已知条件，设反比例函数的解析式为，
该机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度，
，
，
当时，，
其载重后总质量时，它的最快移动速度
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】根据待定系数法求出反比例函数解析式，，m=90，代入反比例函数解析式，求出v.
15．【答案】（1）解：如图1，点E为所作.
可以通过平移AC的方法来确定点E；把点C向右平移6格，再向上平移2格，此时得到的格点就是满足条件的点E；或者把点A向右平移6格，再向下平移2格，也能得到满足条件的点E；在图中可以找到两个这样的点E.
（2）解：如图2，三角形为所作．
观察BD的方向和长度，BD是向右上方倾斜的，且长度为通过网格数出的格数.把三角形ABC先向右平移2格，再向上平移2格.这样每个顶点都按照相同的方向和距离进行了平移，得到的三角形A'C'D就是平移后的图形.
【知识点】平移的性质；作图﹣平移
【解析】【分析】(1)利用网格中格点的特点，通过平移的性质来确定点E的位置，同位角相等则两直线平行的原理来找格点E.
(2)依据平移的性质，即平移前后对应点连线平行且相等来确定三角形A'C'D各顶点的位置。作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
（1）解：如图1，点E为所作；
（2）解：如图2，三角形为所作．
16．【答案】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
∴，
解得：，
∴反比例函数解析式为，
将代入反比例函数解析式得：，
解得：；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，
∴，
∴的周长为，此时的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式，得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∴当时，有，
解得：，
∴点的坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；轴对称的性质；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后把代入反比例函数解析式求出的值 ；
（2）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，结合“将军饮马两定一动”模型可知当点三点共线时，的周长最小，然后由轴对称的性质求出，利用待定系数法求出直线的解析式，最后把代入解析式进行求解，即可作答．
（1）解：把代入反比例函数解析式得：，
∴，
∴，
把代入反比例函数解析式得：，
∴；
（2）解：如图，作点关于轴的对称点，
连接交轴于，此时，的周长最小，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
∴
解得，
∴直线的解析式为，
∴当时，则，
∴，
∴点的坐标为．
17．【答案】解：根据已知条件，设米，则米，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，
，
在中，
，
∴，
整理得：，
∴（米），
∴（米），
∴展台高度约为米，斜坡加长后多占米
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
根据已知条件，以及解直角三角函数，设，则，在和中根据三角函数表示出相关线段的长度，为等量关系即可求出未知数的解，可以求出AB的值.
18．【答案】（1）；，
补全条形统计图如下：
（2）；．
（3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是，
该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人．
估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为
【知识点】中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】解：（1）根据图表和扇形图可知，共抽取学生人，
组人数为人，
组人数为人，
∴，，
故答案为：；．
（2）根据已知条件可知，组具体成绩的样本数据分别为，，，，，，，，，，， ，
组数据中出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是，
根据中位数的概念，样本总量50人为偶数，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数，
根据图表可知，组人，组人，组人，
第、个数据应该在C组分别是，，
中位数是，
故答案为：；．
【分析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，计算出样本总数，抽取的学生人数，在根据扇形统计图计算出、的值；
（2）根据众数、中位数定义求解即可；
（3）根据扇形图和条形统计图，计算出竞赛成绩分以上（含分）为优秀成绩的占比，通过样本总数计算出优秀的人数.
（1）解：由题意得，共抽取学生人，
组人数为人，
组人数为人，
即，，
补全条形统计图如下：
故答案为：；．
（2）解：组数据中出现的次数最多，
组成绩的样本数据的众数是，
共抽取学生人，即样本数据共个，取中间两个数据的平均数为这组数据的中位数，
应取样本数据从小到大排列后的第、个数据计算平均数，
又组人，组人，组人，
第、个数据分别是，，
中位数是，
故答案为：；．
（3）解：所抽取学生中成绩为优秀的概率是，
该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数为人．
19．【答案】解：（1）时间，距离；
（2）1500，4；
（3）根据题意，得三次的速度如下：
①（米/分），
②（米/分），
③（米/分），
∴，
∴小潘骑车最快的速度是450米/分．
【知识点】通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：（1）观察图象可知横轴表示时间，纵轴表示离家的距离，
∴图象表示了时间和距离两个变量的关系，
故答案为：时间，距离；
（2）根据图像可知小潘家到舅舅家路程是1500米，小潘在商店停留的时间为12-8=4（分钟），
故答案为：1500，4.
【分析】（1）观察图像的横轴和纵轴即可求解；
（2）观察图象可知经过14分钟离家的距离是1500米，再根据从8分钟到12分钟离家距离没有变化得到小潘在商店停留的时间；
（3）结合图像分别求出骑车的三段的速度，再进行比较大小即可得到答案．
20．【答案】解：（1）45
（2）由折叠可知，，
．
四边形为正方形，
．
又，
，
．
又，
．
由折叠的性质可得，
．
点为的中点，
，
在正方形中，，
，
．
（3）段的长度为或
【知识点】正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形；三角形全等的判定-SAS；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：（1）在正方形中，．
∵，
由折叠性质可知，且．
∴，
∴
∵，
∴．
∴．
∴．
∴
因为，，，
∴．
∴，
故答案为：45。
（3）情况一： 当是等边三角形，是等腰三角形时，如图：
此时，因为，所以．
已知，在中，，解得．
情况二：当是等边三角形，是等腰三角形时：
此时，则．
在中，，
解得．
综上所述：段的长度为或．
【分析】（1）根据正方形性质和折叠性质，再由即可求出 ，进而得 ，再根据，即可求出的角度，易得，从而得出 。
（2）根据折叠性质得出角和边的关系，可算出，从而推出，然后再结合角的等量关系，即可得到的值，由折叠性质知，进而得 ．再利用正方形性质求出的值，最后再根据直角三角形斜边中线性质，即可求出值。 ．
（3）当为等边三角形，是等腰三角形时，先得出，通过角的运算求出和，在中，根据正切函数的定义：，即可求出的长度．
当为等边三角形，是等腰三角形时，得出，通过三角函数的正切函数定义，可得，进而求出，最后在中根据正切函数求出的长度 ．
21．【答案】（1）解：根据题意，得，，
∵，
，，
，，
，
，
，
∴，
解得：，
当时，；
（2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6，理由如下：
如图1，过点作于，作于，
∴，
∴，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
当时，的面积等于6；
（3）解：存在，使得，理由如下：
如图2，过点作于，于，交于，过点作于，
∴，
∴，
由（2）可知，，，
是的中点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
解得：，
存在，使得．
【知识点】三角形-动点问题
【解析】【分析】（1）由题意得，，则，，然后求出，由平行线分线段成比例定理得，从而得到关于的方程，解方程即可求解；
（2）过点作于，作于，易得，推出，根据等腰三角形”三线合一“的性质和勾股定理得到，从而得到，最后利用，得到关于的方程，解方程以及结合的取值范围即可得到答案；
（3）过点作于，于，交于，过点作于，则，由是的中点，得到，，推出，再利用勾股定理得到，然后利用面积关系，求得，再由勾股定理得到，接下来易证，从而得到，求得，，，最后推出，得，即可得到关于的方程解之即可．
（1）解：由题意得：，，
，，
，，
，
，
，即，
解得：，
当时，．
（2）解：存在某一时刻，使得的面积等于6，
理由如下：
过点作于，作于，如图1，
则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
，
，
当时，的面积等于6．
（3）解：存在，使得．
理由如下：
如图2，过点作于，于，交于，过点作于，
则
由（2）可知，，，
是的中点，
，，，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
，，
，
，即，
，，
，
，，
，
，即，
解得：；
存在，使得．
22．【答案】（1）；
（2）；
（3）解：，
抛物线的对称轴为直线，
①当时，
当最高点为，最低点是时，有，
解得：(舍去)；
当最高点为时，最低点是时，有，
解得：(舍去)或；
②当时，
当最高点为，最低点为时，有，
解得： (舍去)或；
当最高点为，最低点为时，有，此时方程无解；
综上所述，的值为或；
（4）解：由(1)可知，
∴，
于点，于点，
，
∵，
，
的周长是的周长的4倍，
∴，
∴，，
如图1，当时，有，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
∴，
解得：或（舍去），
如图2，当时，有，，
，
，即，
，
，
点在抛物线上，
∴，
解得：（舍去）或，
综上所述，或．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数-线段周长问题
【解析】【解答】解：（1），
抛物线的顶点为，
故答案为：；
（2）令，有，
解得：或，
或，
∵，
当时，有；
当时，有；
综上所述，，
故答案为：.
【分析】（1）将抛物线的解析式化成顶点式即可求解；
（2）令，解方程求出点的坐标，然后利用坐标系中两点间距离公式即可求解；
（3）根据题意可分两种情况讨论：当时，若最高点为，最低点是时或最高点为时，最低点是时，分别得关于的方程，解方程即可；当时，若当最高点为，最低点为时或当最高点为，最低点为时，分别得关于的方程，解方程即可；
（4）先推出，根据相似三角形的性质得相似比为4，从而得，，然后进行分类讨论：当时或，求出的值，进而可用表达点的坐标，于是可列出关于的方程，解方程即可求解．
（1）解：，
抛物线的顶点为；
故答案为：；
（2）解：令，则
解得或，
或；
∵点P的坐标为，
当时，
当时，；
；
故答案为：；
（3）解：由(1)可知，，
抛物线的对称轴为直线；
①当时，
当最高点为Q，最低点是时，
，
(舍)；
当最高点为P时，最低点是时，
，
解得(舍)或；
②当时，
P为最高点，Q为最低点时，
，
解得 (舍)或；
Q为最高点，P为最低点时，
，方程无解；
综上，m的值为或；
（4）解：由(1)可知，，则；
于点B，于点C，
，
∵，
，
的周长是的周长的4倍，
，
即，，
如图1，当时，，，
，
，即，
，
，
点Q在抛物线上，
，
解得：或（舍去），
如图2，当时，，，
，
，即，
，
，
点Q在抛物线上，
，
解得：（舍去）或，
综上，或．
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