广东省广州市铁一中学2024-2025学年下学期中考二模数学试题
一、单选题（本大题包括10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·广州模拟）如果米表示向东走80米，那么米表示（ ）
A．向东走80米 B．向西走80米 C．向南走80米 D．向北走80米
【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵米表示向东走80米，
∴根据正负数的意义可得：米表示向西走80米。
故答案为：B．
【分析】
根据负数表示相反的意义可直接得出答案。
2．（2025·广州模拟）点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为.
故答案为：C。
【分析】关于原点对称的点的坐标：横坐标和纵坐标互为相反数，据此即可求解。
3．（2025·广州模拟）2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止4月22号全球累计票房已超过157亿元，位列全球影视票房第6名．其中157亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：157亿；
故答案为：D。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．（2025·广州模拟）一次数学测试后，随机抽取6名学生的成绩如下：91，85，98，85，91，78．关于这组数据的错误说法是（ ）
A．极差是20 B．平均数是88 C．中位数是88 D．众数是88
【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：从小到大排列：78， 85，85， 91，91，98，
A．极差是，正确，不符合题意；
B．平均数是，正确，不符合题意；
C．中位数是，正确，不符合题意；
D．众数是85和91，不正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】先对6名学生的成绩从小到大进行排列，然后根据极差、平均数、中位数和众数的定义，对各个选择逐一进行求解，即可判断。
5．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C。
【分析】根据合并同类数、同底数幂的乘除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则，然后再对各个选项逐一进行解答即可判断。
6．（2025·广州模拟） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】 设清酒x斗，由题意可得 ，
故答案为：A.
【分析】设清酒x斗，根据等量关系即可列出关于x的一元一次方程，进而求解.
7．（2025·广州模拟）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：过点作于，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点作于，首先根据对称新可求得AD=3，然后根据真切的定义，可得出，进而可得出答案为
.
8．（2025·广州模拟）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是内接四边形，是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据是的直径，可知 ，然后再根据圆内接四边形的性质：对角互补，得到，最后再结合，即可求出的度数，进而即可求出的度数。
9．（2025·广州模拟）若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，
∵m+1＜0，m﹣1＜0，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．
10．（2025·广州模拟）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图，
所以所求的最短路径的长度为．
故答案为：D
【分析】根据题中所给的三视图，确定点M和点N在圆柱上所处的位置，然后再将圆柱的侧面展开图平铺，求出点M、N在矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，最后再根据勾股定理，即可求解。
二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·广州模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】先根据分式在实数内有意义的条件：分母不能为0；再根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，综合以上两个条件，可知，该分式要在实数内有意义，只需要被开方数2x+5大于0，据此即可求解。
12．（2025·广州模拟）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
【答案】3
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；图形的平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由平移性质知：点B平移后的点的纵坐标为3，
∴令时，可得：，
点的坐标为，
沿轴向右平移个单位得到，
点与其对应点间的距离为，
即点移动的距离是3．
故答案为：．
【分析】由平移性质知：点B平移后的点的纵坐标为3，可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．
13．（2025·广州模拟）若 ， ，则 ．
【答案】63
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：63.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得 ，根据幂的乘方可得 ，然后代入计算即可.
14．（2025·广州模拟）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：连接，如下图：
由题意知：，，，
∴，
设为量角器所在半圆的半径为r，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，，
∴
故答案为：．
【分析】首先根据图意可得出CD且量角器所在的圆于点C，∠COD=60°，CD=3，阴影部分的面积为直角三角形COD的面积减去扇形AOC的面积。故而可首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，求得OC和OA，即可根据求得答案。
15．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
16．（2025·广州模拟）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是 ．
【答案】；
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）作于，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
，
，即，
，
当时，；
（2），
故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，
点D是边上一动点（不与B、C重合），
．
故答案为：，．
【分析】（1）作于，根据边之间的关系可得，再根据余弦定义可得BG=8，则，设，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，当时，，即可求出答案；
（2）由（1）可得，结合二次函数性质可得故当时，最大，最大值为6.4，当时，，即可求出答案.
三、解答题（本大题包括9个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·广州模拟）解方程组：．
【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为。
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先对方程组的各个方程进行标注，然后再用，求出x的值，再将x的值代入式中，求出y的值，据此即可求出方程组的解。
18．（2025·广州模拟）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴。
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据菱形的性质：邻边相等，对角相等，可知，，，易证，最后再根据全等三角形的性质，即可证明。
19．（2025·广州模拟）已知：．
（1）化简P；
（2）若m，n是方程的两个不相等的实数根，求P的值．
【答案】（1）解：
。
（2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴．
将其代入（1）得：。
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）先对除号前的分式根据平方差公式和提取公因数法进行化简，然后再对除法后括号内的分式进行通分，合并同类项，然后再根据完全平方公式进行化简，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简即可。
（2）根据“m，n是方程 的两个不相等的实数根”，根据韦达定理，求出的值，然后再将m+n的值代入（1）中化简后的式子中，即可求解。
（1）解：
；
（2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴．
将其代入（1）得：．
20．（2025·广州模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
21．（2025·广州模拟）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数；
（3）在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率．
【答案】（1）解：
补全的条形统计图如图所示：
（2）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人。
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．
画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）。
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
故答案为：。
【分析】（1）用B基地的人数除以其对应的占比，求出本次调查的学生总人数，然后再用调查学生总人数减去A、B、C、E的人数，即可求出D的人数，然后再在条状统计图中补充完整即可；
（2）用C基地的学生人数除以本次调查的学生人数，求出C基地的占比，然后再乘以该校9年级的学生总人数，即可求解。
（3）根据题干信息，可知，广州以外的基地有A，D，E三个基地，根据题干要求，列出所有可能发生的结果，然后再找出满足题干要求的结果，最后再根据概率公式，代入数据即可求解。
（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人；
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）．
22．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
【答案】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为。
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．由题意知：
，
解得：，
总费用，
即，
∵，
∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，
∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设滑动变阻器最大电阻为，根据“若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了0.1A”，由此可建立方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原式中进行验证即可。
（2）设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍”，建立不等式：，求出m的解集，然后再根据，最后再对该式子进行整理，然后再根据一次函数的性质，即可求出y的最小值。
（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知：，解得：，
总费用，即，
∵，∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
23．（2025·广州模拟）如图，点是外一点，是的切线，切点为，连接．
（1）尺规作图：在上方作（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，
①求直线与公共点的个数；
②连接并延长，交直线于点，若，，求的长．
【答案】（1）解：如图，为所作．
（2）解：①如图，连接OB，过点O作于点A．
∵PB是的切线，切点为B，
∴．
∵，
∴．
∴PQ是的切线，切点为A，
∴PQ与的公共点个数为1．
②在中，．
∴，．
∵PA，PB都是的切线，
∴．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，用圆规截取等长线段，构造全等三角形，然后再根据等边对等角，即可画图．
（2）①连接OB，过点O作于点A，根据切点的性质，可得，然后再根据（1），可知OP是的角平分线，然后再根据角平分线的性质，可得OA=OB，进而可得，进而可知PQ是的切线，据此即可求出公共点数。
②在直角三角形 中，根据正弦函数的定义： 。代入数据求出 的长，再利用勾股定理：，代入数据求出 的长。根据切线长定理，易得 ，进而求出 的长．易证 与 相似，根据相似三角形的性质：，代入数据求出 的长，再用勾股定理：．代入数据即可求出 的长。
（1）解：如图，为所作．
（2）解：①如图，连接OB，过点O作于点A．
∵PB是的切线，切点为B，
∴．
∵，
∴．
∴PQ是的切线，切点为A，
∴PQ与的公共点个数为1．
②在中，．
∴，．
∵PA，PB都是的切线，
∴．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
24．（2025·广州模拟）已知抛物线：经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）该抛物线恒过坐标系中的一个定点，与轴交于点．求的面积；
（3）将抛物线的顶点的运动路径记为，点为上的一点．过点的直线与只有个公共点，与交于点，（点不重合）．若存在直线，使得点为线段的中点，求的最大值．
【答案】（1）解：将代入抛物线解析式得，
，
。
（2）解：由（）得，抛物线的解析式为，令，则，
解得，，
∴，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，
令，得，
，
∴，
∴。
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴的顶点的坐标为，
∴的函数解析式为
∵直线与有两个不同的交点，
∴直线与轴不垂直，
设直线的解析式为，
联立函数解析式得，
消去得，，
∵直线与只有一个公共点，
∴，，
∴，
联立函数解析式得，
消去得，
∵点，是直线与的交点，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
解得
将代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值。
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）将P点坐标代入 ，然后建立方程，即可求解。
（）根据（1）中求出抛物线的解析式，然后令y=0，求出x的值，进而求出A点坐标，令x=0，求出y的值，进而求出B点坐标，设直线的解析式为，将A点和P点的坐标代入，再求出直线的解析式，令x=0，求出y的值，进而即可求出点坐标，然后再根据两点间的坐标公式，即可求出的长，最后根据，代入数据即可求解。
（）根据（1）中求出的抛物线的解析式，然后再对函数进行配方，求出的顶点坐标D，即得的函数解析式，设直线的解析式为，根据抛物线和一次函数有两个不同的交点，因此可联立一次函数与解析式可得，然后再根据中点坐标公式，可得，最后再根据韦达定理，可得，，进而由中点坐标公式得，解出k的值，然后再将k的值代入，即可求出，即得到，最后根据二次函数的性质即可求解。
（1）解：将代入抛物线解析式得，，
；
（2）解：由（）得，抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，
令，得，
，
∴，
∴；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴的顶点的坐标为，
∴的函数解析式为
∵直线与有两个不同的交点，
∴直线与轴不垂直，
设直线的解析式为，
联立函数解析式得，
消去得，，
∵直线与只有一个公共点，
∴，，
∴，
联立函数解析式得，
消去得，
∵点，是直线与的交点，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
解得
将代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值．
25．（2025·广州模拟）如图，在四边形中，．对角线和相交于点E．
（1）求；
（2）若，且点C在线段的垂直平分线上．
①求的最小值；
②若，当最小时，求四边形的面积．
【答案】（1）解：∵
∴在中，。
（2）解：①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．
∵平分，且，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
∴．
过点E作的垂线，垂足为F．
在中，．
由垂线段最短可得．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴的最小值为．
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q．
由①得：．
∴，，．
在线段上截取
同理可得．
∴，．
∴
．
．
∴．
∴当最小时，最小．
∵，
∴．
作的外接圆，圆心为I．则．
过点I作于点G．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
当G，I，E三点共线时，等号成立．
∴．
此时点P与点G重合．
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴垂直平分．
∴
。
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；垂径定理；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）在中，，代入数据即可求解。
（2）①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，根据角平分线和垂直的性质，可得，，代入数据，求出的度数，进而得到，然后再根据角平分线的性质，可得，易证，得到，求出，过点E作的垂线，垂足为F，在中，根据正弦函数的定义：，代入数据，求出的值，然后由，求解即可；
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q，根据①，可得，然后再根据余弦函数的定义：，代入数据，求出AP的值，在线段上截取，同理可得，得到，，可得，代入数据，求出AF+AD的值，当最小时，最小，作的外接圆，圆心为I，过点I作于点G，即可得到，，当G，I，E三点共线时，等号成立，然后求出，最后再根据，代入数据即可求解。
（1）解：∵
∴在中，；
（2）解：①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．
∵平分，且，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
∴．
过点E作的垂线，垂足为F．
在中，．
由垂线段最短可得．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴的最小值为．
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q．
由①得：．
∴，，．
在线段上截取
同理可得．
∴，．
∴
．
．
∴．
∴当最小时，最小．
∵，
∴．
作的外接圆，圆心为I．则．
过点I作于点G．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
当G，I，E三点共线时，等号成立．
∴．
此时点P与点G重合．
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴垂直平分．
∴
．
1 / 1广东省广州市铁一中学2024-2025学年下学期中考二模数学试题
一、单选题（本大题包括10个小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（2025·广州模拟）如果米表示向东走80米，那么米表示（ ）
A．向东走80米 B．向西走80米 C．向南走80米 D．向北走80米
2．（2025·广州模拟）点关于原点对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·广州模拟）2025年1月29号《哪吒之魔童闹海》在我国首映，截止4月22号全球累计票房已超过157亿元，位列全球影视票房第6名．其中157亿用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·广州模拟）一次数学测试后，随机抽取6名学生的成绩如下：91，85，98，85，91，78．关于这组数据的错误说法是（ ）
A．极差是20 B．平均数是88 C．中位数是88 D．众数是88
5．（2025·广州模拟）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·广州模拟） 我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清、醑酒各几斗？如果设清酒x斗，那么可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
7．（2025·广州模拟）一配电房示意图如图所示，它是一个轴对称图形．已知，点B到的距离为，，则房顶A离地面的高度为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·广州模拟）如图，四边形是内接四边形，是的直径，连接，若，则（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·广州模拟）若二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，则一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
10．（2025·广州模拟）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示，圆柱表面上的点M在正视图（主视图）上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（ ）
A． B．2 C． D．
二、填空题（本大题包括6个小题，每小题3分，共18分）
11．（2025·广州模拟）若在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
12．（2025·广州模拟）如图，点的坐标是（0，3），将沿轴向右平移至，点的对应点E恰好落在直线上，则点移动的距离是 ．
13．（2025·广州模拟）若 ， ，则 ．
14．（2025·广州模拟）将直尺和量角器按如图方式摆放，其中为量角器所在半圆的直径，直尺的边缘与量角器所在半圆相切于点C，并与的延长线交于点D．已知点C，D在直尺上对应的刻度分别为0和3，点C在量角器上对应的外圈刻度为，则图中阴影部分的面积为 ．
15．（2025·广州模拟）如图，在平面直角坐标系中，函数与反比例函数交于、两点，点在轴上，且，若，则 ．
16．（2025·广州模拟）如图，在中，，点D是边上一动点（不与B、C重合），，交线段于点E，且．
（1）若，则的长度是 ；（2）线段的取值范围是 ．
三、解答题（本大题包括9个小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（2025·广州模拟）解方程组：．
18．（2025·广州模拟）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，，连接．求证：．
19．（2025·广州模拟）已知：．
（1）化简P；
（2）若m，n是方程的两个不相等的实数根，求P的值．
20．（2025·广州模拟）如图，在中，交的延长线于点E，．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）F为的中点，连接，．已知，，求的长．
21．（2025·广州模拟）某学校九年级拟开展一次研学活动，经过前期考察，初步拟定以下五个活动基地：A．虎门鸦片战争博物馆（东莞市）；B．广州起义烈士陵园（广州市）；C．黄埔军校旧址纪念馆（广州市）；D．孙中山故里旅游区（中山市）；E．叶剑英纪念园（梅州市）．为了解学生对这五个基地的选择情况，从该年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如图1、图2所示．
根据以上信息，解决下列问题：
（1）本次共调查了______名学生，并补全条形统计图；
（2）根据抽样调查结果，估计该校九年级名学生中选择基地C的人数；
（3）在学生自主选择基地的过程中，小明和小红都确定选择位于广州市外的基地，请用列表法或树状图求他们两人选择同一基地研学的概率．
22．（2025·广州模拟）某校九年级物理探究小组在物理实验室发现了一块不知规格的滑动变阻器，为了以后方便使用，组长决定带领小组成员测量它的最大电阻．他们将两节的干电池（总电压为3V），一个开关，一个电流表以及滑动变阻器串联成如下电路（电池和电流表的内阻忽略不计）．若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了．
知识小链接：①导体两端的电压U（），导体的电阻，通过导体的电流I（A），满足关系式；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
（1）求滑动变阻器的最大电阻；
（2）由于实验室器材匮乏，学校拟购买电流表和滑动变阻器共50个，已知电流表每个10元，滑动变阻器每个15元，若滑动变阻器的数量不少于电流表数量的2倍，则学校买这批仪器至少要花多少钱？
23．（2025·广州模拟）如图，点是外一点，是的切线，切点为，连接．
（1）尺规作图：在上方作（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）所作的图中，
①求直线与公共点的个数；
②连接并延长，交直线于点，若，，求的长．
24．（2025·广州模拟）已知抛物线：经过点．
（1）用含的式子表示；
（2）该抛物线恒过坐标系中的一个定点，与轴交于点．求的面积；
（3）将抛物线的顶点的运动路径记为，点为上的一点．过点的直线与只有个公共点，与交于点，（点不重合）．若存在直线，使得点为线段的中点，求的最大值．
25．（2025·广州模拟）如图，在四边形中，．对角线和相交于点E．
（1）求；
（2）若，且点C在线段的垂直平分线上．
①求的最小值；
②若，当最小时，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】具有相反意义的量
【解析】【解答】解：∵米表示向东走80米，
∴根据正负数的意义可得：米表示向西走80米。
故答案为：B．
【分析】
根据负数表示相反的意义可直接得出答案。
2．【答案】C
【知识点】关于原点对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点关于原点对称的点的坐标为.
故答案为：C。
【分析】关于原点对称的点的坐标：横坐标和纵坐标互为相反数，据此即可求解。
3．【答案】D
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：157亿；
故答案为：D。
【分析】根据科学记数法的表示形式：将一个数表示为基数a与10的幂次相乘的形式，即a×10n。其中，a的绝对值在1到10之间，n为整数。据此即可求解。
4．【答案】D
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数；极差
【解析】【解答】解：从小到大排列：78， 85，85， 91，91，98，
A．极差是，正确，不符合题意；
B．平均数是，正确，不符合题意；
C．中位数是，正确，不符合题意；
D．众数是85和91，不正确，符合题意；
故答案为：D。
【分析】先对6名学生的成绩从小到大进行排列，然后根据极差、平均数、中位数和众数的定义，对各个选择逐一进行求解，即可判断。
5．【答案】C
【知识点】同底数幂的除法；单项式乘单项式；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故此选项错误；
B、，故此选项错误；
C、，故此选项正确；
D、，故此选项错误．
故答案为：C。
【分析】根据合并同类数、同底数幂的乘除法、积的乘方及单项式乘单项式运算法则，然后再对各个选项逐一进行解答即可判断。
6．【答案】A
【知识点】一元一次方程的实际应用-古代数学问题；列一元一次方程
【解析】【解答】 设清酒x斗，由题意可得 ，
故答案为：A.
【分析】设清酒x斗，根据等量关系即可列出关于x的一元一次方程，进而求解.
7．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】
解：过点作于，如图所示：
∵它是一个轴对称图形，
∴，
，即，
房顶A离地面的高度为，
故答案为：B．
【分析】过点作于，首先根据对称新可求得AD=3，然后根据真切的定义，可得出，进而可得出答案为
.
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是内接四边形，是的直径，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：C。
【分析】根据是的直径，可知 ，然后再根据圆内接四边形的性质：对角互补，得到，最后再结合，即可求出的度数，进而即可求出的度数。
9．【答案】A
【知识点】一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣2x﹣m与x轴无交点，
∴△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，
∵m+1＜0，m﹣1＜0，
∴一次函数y＝（m+1）x+m﹣1的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限．
故答案为：A．
【分析】先根据判别式的意义得到△＝（﹣2）2﹣4（﹣m）＜0，解得m＜﹣1，然后根据一次函数的性质进行判断．
10．【答案】D
【知识点】勾股定理的实际应用-最短路径问题；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：根据圆柱的三视图以及其本身的特征，可以确定点M和点N分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的处，即处，如图，
所以所求的最短路径的长度为．
故答案为：D
【分析】根据题中所给的三视图，确定点M和点N在圆柱上所处的位置，然后再将圆柱的侧面展开图平铺，求出点M、N在矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，最后再根据勾股定理，即可求解。
11．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；解一元一次不等式
【解析】【解答】解：∵在实数范围内有意义，
∴，
∴，
故答案为：。
【分析】先根据分式在实数内有意义的条件：分母不能为0；再根据二次根式有意义的条件：被开方数大于等于0，综合以上两个条件，可知，该分式要在实数内有意义，只需要被开方数2x+5大于0，据此即可求解。
12．【答案】3
【知识点】平移的性质；坐标与图形变化﹣平移；图形的平移；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：由平移性质知：点B平移后的点的纵坐标为3，
∴令时，可得：，
点的坐标为，
沿轴向右平移个单位得到，
点与其对应点间的距离为，
即点移动的距离是3．
故答案为：．
【分析】由平移性质知：点B平移后的点的纵坐标为3，可得出点E的坐标为（3，3），进而可得出△OAB沿x轴向右平移3个单位得到△CDE，根据平移的性质即可得出点A与其对应点间的距离．
13．【答案】63
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： .
故答案为：63.
【分析】根据同底数幂的乘法法则可得 ，根据幂的乘方可得 ，然后代入计算即可.
14．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】
解：连接，如下图：
由题意知：，，，
∴，
设为量角器所在半圆的半径为r，则，
∴，
在中，
，
即，
解得：，，
∴
故答案为：．
【分析】首先根据图意可得出CD且量角器所在的圆于点C，∠COD=60°，CD=3，阴影部分的面积为直角三角形COD的面积减去扇形AOC的面积。故而可首先根据含30°锐角的直角三角形的性质，求得OC和OA，即可根据求得答案。
15．【答案】
【知识点】反比例函数的性质；反比例函数系数k的几何意义；反比例函数与一次函数的交点问题；等腰三角形的性质-三线合一；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】
解：
根据正比例函数和反比例函数交于、两点，
两点的坐标关于原点对称，
∴AO=BO，
，
，
是等腰三角形，
过点作于点，根据等腰三角形的三线合一可得
∴
∵反比例函数的图形位于二、四象限
故答案为：．
【分析】首先根据反比例函数的对称性，得出OA=OB，进而得出，过点作于点，根基等腰三角形的性质，可得出。进而根据k的几何意义，以及双曲线所在的象限，即可得出k的值。
16．【答案】；
【知识点】二次函数的最值；相似三角形的判定；解直角三角形；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）作于，如图，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，即，
，
而，
，
，即，
，
当时，；
（2），
故当时，最大，最大值为6.4，
当时，，
点D是边上一动点（不与B、C重合），
．
故答案为：，．
【分析】（1）作于，根据边之间的关系可得，再根据余弦定义可得BG=8，则，设，则，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，当时，，即可求出答案；
（2）由（1）可得，结合二次函数性质可得故当时，最大，最大值为6.4，当时，，即可求出答案.
17．【答案】解：，
得：，
解得：，
把代入得：，
解得：，
原方程组的解为。
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】先对方程组的各个方程进行标注，然后再用，求出x的值，再将x的值代入式中，求出y的值，据此即可求出方程组的解。
18．【答案】证明：∵四边形是菱形，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
∴。
【知识点】菱形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】根据菱形的性质：邻边相等，对角相等，可知，，，易证，最后再根据全等三角形的性质，即可证明。
19．【答案】（1）解：
。
（2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴．
将其代入（1）得：。
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】（1）先对除号前的分式根据平方差公式和提取公因数法进行化简，然后再对除法后括号内的分式进行通分，合并同类项，然后再根据完全平方公式进行化简，再将除法换算成乘法，最后再进行约分化简即可。
（2）根据“m，n是方程 的两个不相等的实数根”，根据韦达定理，求出的值，然后再将m+n的值代入（1）中化简后的式子中，即可求解。
（1）解：
；
（2）解：∵m，n是方程的两个不相等的实数根，
∴．
将其代入（1）得：．
20．【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合∠AEB=90°，证出四边形是矩形；
（2）先求出，再利用勾股定理求出BF的长即可.
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，，
∴四边形是平行四边形，
又，
，
∴四边形是矩形．
（2）解：由（1）得四边形是矩形，，
，
为的中点，
，
∵
，
由勾股定理得．
21．【答案】（1）解：
补全的条形统计图如图所示：
（2）解：根据题意，可得
（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人。
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．
画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）。
【知识点】条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
故答案为：。
【分析】（1）用B基地的人数除以其对应的占比，求出本次调查的学生总人数，然后再用调查学生总人数减去A、B、C、E的人数，即可求出D的人数，然后再在条状统计图中补充完整即可；
（2）用C基地的学生人数除以本次调查的学生人数，求出C基地的占比，然后再乘以该校9年级的学生总人数，即可求解。
（3）根据题干信息，可知，广州以外的基地有A，D，E三个基地，根据题干要求，列出所有可能发生的结果，然后再找出满足题干要求的结果，最后再根据概率公式，代入数据即可求解。
（1）解：本次共调查了（人），
D基地的人数为：（人），
补全的条形统计图如图所示：
故答案为：；
（2）解：（人），
答：估计该校九年级名学生中选择基地C的人数为人；
（3）解：位于广州市外的基地有A，D，E．画树状图如图所示：
共有种等可能结果，其中两人选中同一基地研学的有种情况，
∴（两人选中同一基地研学的概率）．
22．【答案】（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为。
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．由题意知：
，
解得：，
总费用，
即，
∵，
∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，
∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元。
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式的应用；一次函数的性质；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）设滑动变阻器最大电阻为，根据“若滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值比滑动变阻器滑动到距离B端处时的电流表的数值减小了0.1A”，由此可建立方程：，然后解方程，求出x的值，最后再将x的值代入原式中进行验证即可。
（2）设购买电流表个，总花费为元，则购买滑动变阻器个．根据“滑动变阻器数量不少于电流表数量的倍”，建立不等式：，求出m的解集，然后再根据，最后再对该式子进行整理，然后再根据一次函数的性质，即可求出y的最小值。
（1）解：设滑动变阻器的最大电阻是．
由题意可列方程：，
解得：，
经检验，是原方程的根．
答：滑动变阻器的最大电阻为．
（2）解：设购买电流表m个，总花费为y元，则购买滑动变阻器个．
由题意知：，解得：，
总费用，即，
∵，∴y随m的增大而减小．
∵m是整数，∴当时，y最小，此时，（元），
答：学校买这批仪器至少要花费670元．
23．【答案】（1）解：如图，为所作．
（2）解：①如图，连接OB，过点O作于点A．
∵PB是的切线，切点为B，
∴．
∵，
∴．
∴PQ是的切线，切点为A，
∴PQ与的公共点个数为1．
②在中，．
∴，．
∵PA，PB都是的切线，
∴．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
【知识点】切线的性质；相似三角形的判定；解直角三角形；切线长定理；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【分析】（1）根据全等三角形的判定定理，用圆规截取等长线段，构造全等三角形，然后再根据等边对等角，即可画图．
（2）①连接OB，过点O作于点A，根据切点的性质，可得，然后再根据（1），可知OP是的角平分线，然后再根据角平分线的性质，可得OA=OB，进而可得，进而可知PQ是的切线，据此即可求出公共点数。
②在直角三角形 中，根据正弦函数的定义： 。代入数据求出 的长，再利用勾股定理：，代入数据求出 的长。根据切线长定理，易得 ，进而求出 的长．易证 与 相似，根据相似三角形的性质：，代入数据求出 的长，再用勾股定理：．代入数据即可求出 的长。
（1）解：如图，为所作．
（2）解：①如图，连接OB，过点O作于点A．
∵PB是的切线，切点为B，
∴．
∵，
∴．
∴PQ是的切线，切点为A，
∴PQ与的公共点个数为1．
②在中，．
∴，．
∵PA，PB都是的切线，
∴．
∴．
在和中，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∴．
24．【答案】（1）解：将代入抛物线解析式得，
，
。
（2）解：由（）得，抛物线的解析式为，令，则，
解得，，
∴，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，
令，得，
，
∴，
∴。
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴的顶点的坐标为，
∴的函数解析式为
∵直线与有两个不同的交点，
∴直线与轴不垂直，
设直线的解析式为，
联立函数解析式得，
消去得，，
∵直线与只有一个公共点，
∴，，
∴，
联立函数解析式得，
消去得，
∵点，是直线与的交点，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
解得
将代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值。
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；二次函数的最值；二次函数图象与坐标轴的交点问题；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（）将P点坐标代入 ，然后建立方程，即可求解。
（）根据（1）中求出抛物线的解析式，然后令y=0，求出x的值，进而求出A点坐标，令x=0，求出y的值，进而求出B点坐标，设直线的解析式为，将A点和P点的坐标代入，再求出直线的解析式，令x=0，求出y的值，进而即可求出点坐标，然后再根据两点间的坐标公式，即可求出的长，最后根据，代入数据即可求解。
（）根据（1）中求出的抛物线的解析式，然后再对函数进行配方，求出的顶点坐标D，即得的函数解析式，设直线的解析式为，根据抛物线和一次函数有两个不同的交点，因此可联立一次函数与解析式可得，然后再根据中点坐标公式，可得，最后再根据韦达定理，可得，，进而由中点坐标公式得，解出k的值，然后再将k的值代入，即可求出，即得到，最后根据二次函数的性质即可求解。
（1）解：将代入抛物线解析式得，，
；
（2）解：由（）得，抛物线的解析式为，
令，则，
解得，，
∴，
令，得，
∴，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得，
，
解得，
∴直线的解析式为，
设直线与轴交于点，
令，得，
，
∴，
∴；
（3）解：∵抛物线的解析式为，
∴的顶点的坐标为，
∴的函数解析式为
∵直线与有两个不同的交点，
∴直线与轴不垂直，
设直线的解析式为，
联立函数解析式得，
消去得，，
∵直线与只有一个公共点，
∴，，
∴，
联立函数解析式得，
消去得，
∵点，是直线与的交点，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∴，
解得
将代入得，
，
解得，
∴，
∵，
∴当时，有最大值．
25．【答案】（1）解：∵
∴在中，。
（2）解：①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．
∵平分，且，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
∴．
过点E作的垂线，垂足为F．
在中，．
由垂线段最短可得．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴的最小值为．
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q．
由①得：．
∴，，．
在线段上截取
同理可得．
∴，．
∴
．
．
∴．
∴当最小时，最小．
∵，
∴．
作的外接圆，圆心为I．则．
过点I作于点G．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
当G，I，E三点共线时，等号成立．
∴．
此时点P与点G重合．
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴垂直平分．
∴
。
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；垂径定理；解直角三角形；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）在中，，代入数据即可求解。
（2）①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N，根据角平分线和垂直的性质，可得，，代入数据，求出的度数，进而得到，然后再根据角平分线的性质，可得，易证，得到，求出，过点E作的垂线，垂足为F，在中，根据正弦函数的定义：，代入数据，求出的值，然后由，求解即可；
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q，根据①，可得，然后再根据余弦函数的定义：，代入数据，求出AP的值，在线段上截取，同理可得，得到，，可得，代入数据，求出AF+AD的值，当最小时，最小，作的外接圆，圆心为I，过点I作于点G，即可得到，，当G，I，E三点共线时，等号成立，然后求出，最后再根据，代入数据即可求解。
（1）解：∵
∴在中，；
（2）解：①过点C分别作，的垂线，垂足分别为M，N．
∵平分，且，，
∴．
∴．
∵，
∴．
∴．
∵点C在线段的垂直平分线上，
∴．
∴．
∴．
∴平分．
∴．
过点E作的垂线，垂足为F．
在中，．
由垂线段最短可得．
∴，
当且仅当时等号成立．
∴的最小值为．
②过点E分别作，的垂线，垂足分别为P，Q．
由①得：．
∴，，．
在线段上截取
同理可得．
∴，．
∴
．
．
∴．
∴当最小时，最小．
∵，
∴．
作的外接圆，圆心为I．则．
过点I作于点G．
∵，
∴．
在中，．
∴．
∴．
∴．
当G，I，E三点共线时，等号成立．
∴．
此时点P与点G重合．
∴垂直平分．
∴．
∴．
∵，
∴为等边三角形．
∴．
∵，
∴垂直平分．
∴
．
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