广东省茂名市第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·茂名月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题可得，
又，所以=，
故答案为：C.
【分析】先根据函数、方程、不等式间的关系求出集合M，再由交集的定义即可得出答案.
2．（2024高三上·茂名月考）下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：A：导函数先正后负，原函数先增后减，导函数等于0时，原函数有极大值，符合题意；
B：导函数先正后负再正，原函数先增后减再增，导函数等于0时，原函数有极值，符合题意；
C：时，导函数为负，原函数先减后增，不符合题意；
D：导函数先负后正，原函数先减后增，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据函数单调性与导数的正负关系，导数为正，则原函数单调递增，导数为负，则原函数单调递减，故在同一个区间内，导函数与增函数的函数值不可能同为负，导函数与减函数与的函数值不可能同为正.再逐一判断各选项函数图象情况，即可得答案.
3．（2024高三上·茂名月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，得，
则，
，
.
故答案为：D.
【分析】三角函数化简求值问题，先往已知条件方向化简，再求值，尽量避免函数值开根号.
根据诱导公式和二倍角的正切公式得到，
由，得到，带入求值即可.
4．（2024高三上·茂名月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：设，则不等式化为，解得或舍去，则，解得，
所以“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】判断充分必要条件，即判断条件与结论对应集合的关系.对于结论，设，解得，即，与条件对应的集合相等，因此条件能推断出结论，结论能推断出条件，所以条件是结论的充要条件.充分与否，看条件是否能推断出结论，即条件所对应的集合是否包含于结论所对应的集合；必要与否，看结论能否推断出条件，即结论对应的集合是否包含于条件所对应的集合.
5．（2024高三上·茂名月考）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( ).
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时函数单调递增，所以
当时，为单调递增函数，所以，
又因为，，使得，
即在的最大值不小于在上的最大值，
即，解得，即.
故答案为：A.
【分析】若，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可；若，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可.
6．（2024高三上·茂名月考）已知数列的前项和为，，，，（），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【答案】A
【解答】解：由得，化简得，设，则，因为，，，所以，
所以为偶数时，，即，所以，
所以为奇数时，，即，所以，
所以，，，，，
故答案为：A.
【分析】法一：根据条件，利用递推关系，直接求出，即可求解.
法二：利用对条件进行变形，得到关于的表达式，凑成等差或等比数列，进而求解.
7．（2024高三上·茂名月考）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由是偶函数知，的图象关于直线对称，①，
又的图象关于中心对称，所以②，而的图象关于直线对称，所以③，由的图象关于中心对称得，④，
由①②③④可得，，故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故答案为：C.
【分析】根据偶函数可判断函数的对称轴，利用对称轴与对称中心的性质，分别写出关于函数的表达式①②，再对对称中心（或对称轴）的表达式②经过对称中心和对称轴的转化得到表达式③④，再联合①进而求出函数周期，也可根据对称轴与对称中心横坐标间隔1/4个周期，可判断函数周期为4，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
8．（2024高三上·茂名月考）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解： 任意抛掷一次这个正八面体 ，样本空间为，
因为，，所以，，
若事件满足，，则，，且，
由，可得事件；又因为，所以1或2，
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①、若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②、若，，同理有个满足条件的事件；
③、若，，此时或
或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，
即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个.
故答案为：C.
【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可.
二、多选题：本题共3小题，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高三上·茂名月考）下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．方程的复数根为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、，虚部是3，故A错误；
B、方程x2-4x+5=0，，故B正确；
C、，则，对应的点为(0，-2)，在y轴的负半轴，故C错误；
D、复平面内，实轴上的点对应的复数的虚部都为0，所以都是实数，故D正确；
故选：BD.
【分析】化简复数z，求虚部判断A选项，利用求根公式求出方程的根判断B选项，化简复数z，求及其在复平面内对应的点坐标判断C选项，实轴上的点对应的复数的虚部都为0即可判断D选项.
10．（2024高三上·茂名月考）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是9
【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A：因为B、P、D三点共线，所以，即，化简得，所以，所以，故A正确；
B：由，则，则，当且仅当时取等号，故B错误；
C：由，当时有最小值，故C正确；
D：因为，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】(1)由平面向量的基本定理及共线的推论得.
（2）应用基本不等式求最值.若，则，当且仅当时取“=”（和为定值积有最小值），同理积为定值和有最小值.
（3）统一变量，利用二次函数性质判断最值.
（4）充分利用“1”，将不等式转化为基本不等式.
11．（2024高三上·茂名月考）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义、不等式恒成立问题求解方法、零点存在性定理、求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而找出说法正确的选项。
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·茂名月考）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 .
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：根据分段函数单调性可知，单调递减，所以，
单调递减，所以，并且在分界点处，满足，得，这三个条件需同时满足，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分段函数的函数的单调性，（1）先保证每段函数满足题意即单调递减，求出参数a的范围，取交集；（2）再考虑分界点处的函数值的大小关系，列式求参数的取值范围，最后结果取交集.
13．（2024高三上·茂名月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．
【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【答案】
【解答】解：因为，所以．
又因为是奇函数，是偶函数，所以，，
由-解得．
故答案为：.
【分析】利用函数的奇偶性，可得，，从而再构建关于的方程，联立方程组即可求解.
14．（2024高三上·茂名月考）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
【答案】
【知识点】平面向量减法运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，可设：，
则，
若，即，则，
可知点C在以为直径的圆上，
即圆心为，半径，
则在方向上的投影数量的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，再根据数量积的几何意义结合圆的性质，从而得出的最大值.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·茂名月考）体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示.
（1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；
（2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率.
【答案】（1）解：由题意可知：每组频率依次为，
则，解得；
可得，
所以估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分.
（2）解：由题意可知：在内抽取人，记为；
在内抽取人，记为；
从这6人中任选2人，则样本空间为：
，则，
记“所选2人不在同一组”为事件A，
则，可知，
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率和为1，组距为10，因此纵坐标之和*10=1，求得，结合加权平均数公式（为组数，为各组频率，为各组均值），即可求平均数；
（2）先根据频率计算各组所占人数比例，再根据分层抽样人数求各层人数，最后根据古典概型利用列举法求概率，.
（1）由题意可知：每组频率依次为，
则，解得；
可得，
估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分.
（2）由题意可知：在内抽取人，记为；
在内抽取人，记为；
从这6人中任选2人，则样本空间为：
，则，
记“所选2人不在同一组”为事件A，
则，可知，
所以.
16．（2024高三上·茂名月考）如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求A；
（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）解：，结合正弦定理，，化简得.
由余弦定理得，，
故；
（2）解：设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而，，，
延长CD，作，垂足为E，连接
二面角为直二面角，，
平面平面，平面，
平面，又平面，，又，，
平面，又平面，平面平面，
又平面平面 过A作，则即为所求，
又，，，
又，，
故所成角的正弦值为：.
【知识点】直线与平面所成的角；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）正弦定理可以用来边化角或角化边，从而统一变量.根据已知条件利用正弦定理角化边，统一变量，根据余弦定理计算即可；
（2）设未知数x，表示边长，根据条件和正弦定理求出相关角的正弦值，再利用角之间的关系求出未知数x.正弦定理解，求出；在直角中求出，再利用，求出相关角及边长.求线面角，先线面垂直-面面垂直-二面角，再解三角形；或者是建立空间直角坐标系.
（1），结合正弦定理，，化简得.
由余弦定理得，，故；
（2）设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而.
二面角为直二面角，，
平面平面，平面，
平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
，，.
设平面的法向量，则有，即
令，解得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．（2024高三上·茂名月考）已知函数的一个极值点为．
（1）求的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．
【答案】（1）解：，由于是极值点，故，故，
当时，，
当或时，，当时，，
故是的一个极值点，
故.
（2）解：设切点为，则切点处的切线方程为，
将代入可得，故，
要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点，
记，，则，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
且，因此.
故m的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）如果一个函数在某点取得极值，那么这个点处的导数必定为零；导数的零点可能是原函数的极值点，而不一定是极值点.根据可得，再验证，即可求解.
（2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，利用导数判断函数单调性，画出大致函数图象，即可求解.
（1），由于是极值点，故，故，
当时，，
当或时，，当时，，
故是的一个极值点，故
（2）设切点为，则切点处的切线方程为，
将代入可得，
故，
要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点，
记，则，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
且，
因此.
18．（2024高三上·茂名月考）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
（1）求，，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解： 由数列中，，都有，，成等差数列，且公差为，
可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4，
则，，，；
（2）解：由题意，，
当，时，
，
且满足上式，当为奇数时，，
当时，，
故；
（3）解：存在时，使得，，，成等比数列；
证明如下：由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，故当时，，，，成等比数列.
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；
（2）由题意可得，再分与两种情况求解即可；
（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.
（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19．（2024高三上·茂名月考）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
（1）若，请直接给出和；
（2）若均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求证：．
【答案】（1）解：，
（2）解：一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得，
故的最小值为24.
（3）解：考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，
于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，，
满足，
故.
【知识点】集合中元素的个数问题；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）紧扣题目所给的定义，根据已知条件定义即可求解；
（2）根据已知条件，要使最小，则，即中所有元素互素，进而转化为关于的二次函数即可求得最大值；
（3）要证明，即证明集合中至少有17个不相等的元素，即判断与的大小.若则与的大小与、、的正负有关.因此分两种情况讨论，当中元素均为非负数和当中元素至少有一个为负数，结合所给定义证明.
（1），；
（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得：，
故的最小值为24；
（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，
即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，
于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，，
满足，
故．
1 / 1广东省茂名市第一中学2024-2025学年高三上学期12月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2024高三上·茂名月考）设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·茂名月考）下列坐标系中是一个函数与其导函数的图象，其中一定错误的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024高三上·茂名月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2024高三上·茂名月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2024高三上·茂名月考）已知函数，，若，，使得，则实数的取值范围是( ).
A． B． C． D．
6．（2024高三上·茂名月考）已知数列的前项和为，，，，（），则（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·茂名月考）若函数的定义域为，其图象关于点成中心对称，且是偶函数，则（ ）
A．2023 B． C．4048 D．
8．（2024高三上·茂名月考）一个正八面体的八个面分别标有数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字.事件，事件，若事件满足，，则满足条件的事件的个数为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．24
二、多选题：本题共3小题，共18分.每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
9．（2024高三上·茂名月考）下列说法正确的是（ ）
A．复数的虚部为
B．方程的复数根为
C．若，则复平面内对应的点位于第二象限
D．复平面内，实轴上的点对应的复数是实数
10．（2024高三上·茂名月考）已知点P是的中线BD上一点（不包含端点），且，则下列说法正确的是（ ）
A． B．的最大值为
C．的最小值为 D．的最小值是9
11．（2024高三上·茂名月考）已知函数，，则下列说法正确的是（ ）
A．在上是增函数
B．，不等式恒成立，则正实数的最小值为
C．若有两个零点，则
D．若，且，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．（2024高三上·茂名月考）已知函数是R上的减函数，则a的取值范围为 .
13．（2024高三上·茂名月考）设是上的奇函数，是上的偶函数，并且，则的解析式是 ．
14．（2024高三上·茂名月考）已知平面向量，，满足，，且，则的最大值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15．（2024高三上·茂名月考）体育锻炼不仅能促进身体健康，提高心理素质，还能增强学习能力，对中学生的全面发展有着重要的积极作用.某市为了了解中学生体育锻炼时间情况，从该市随机抽取了若干学生调查了他们每天体育锻炼时间（单位：分钟），整理得到频率分布直方图，如下图所示.
（1）求a的值，并估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数；
（2）从所抽查的每天体育锻炼时间在内的学生中，采用样本量按比例分配的分层抽样选取6人，再从这6人中任选2人，求所选2人不在同一组的概率.
16．（2024高三上·茂名月考）如图，在中，角A，，所对的边分别为，，，已知.
（1）求A；
（2）若，，将沿折成直二面角，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2024高三上·茂名月考）已知函数的一个极值点为．
（1）求的值；
（2）若过点可作曲线的三条不同的切线，求实数的取值范围．
18．（2024高三上·茂名月考）在数列中，，都有，，成等差数列，且公差为.
（1）求，，，；
（2）求数列的通项公式；
（3）是否存在，使得，，，成等比数列.若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
19．（2024高三上·茂名月考）已知实数集，定义：（与可以相同）．记为集合中的元素个数．
（1）若，请直接给出和；
（2）若均为正数，且，求的最小值；
（3）若，求证：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题可得，
又，所以=，
故答案为：C.
【分析】先根据函数、方程、不等式间的关系求出集合M，再由交集的定义即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】函数的单调性与导数正负的关系
【解析】【解答】解：A：导函数先正后负，原函数先增后减，导函数等于0时，原函数有极大值，符合题意；
B：导函数先正后负再正，原函数先增后减再增，导函数等于0时，原函数有极值，符合题意；
C：时，导函数为负，原函数先减后增，不符合题意；
D：导函数先负后正，原函数先减后增，符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据函数单调性与导数的正负关系，导数为正，则原函数单调递增，导数为负，则原函数单调递减，故在同一个区间内，导函数与增函数的函数值不可能同为负，导函数与减函数与的函数值不可能同为正.再逐一判断各选项函数图象情况，即可得答案.
3．【答案】D
【知识点】二倍角的正切公式；同角三角函数基本关系的运用；三角函数诱导公式二~六
【解析】【解答】解：由，得，
则，
，
.
故答案为：D.
【分析】三角函数化简求值问题，先往已知条件方向化简，再求值，尽量避免函数值开根号.
根据诱导公式和二倍角的正切公式得到，
由，得到，带入求值即可.
4．【答案】C
【知识点】充要条件
【解析】【解答】解：设，则不等式化为，解得或舍去，则，解得，
所以“”是“”的充要条件．
故答案为：C.
【分析】判断充分必要条件，即判断条件与结论对应集合的关系.对于结论，设，解得，即，与条件对应的集合相等，因此条件能推断出结论，结论能推断出条件，所以条件是结论的充要条件.充分与否，看条件是否能推断出结论，即条件所对应的集合是否包含于结论所对应的集合；必要与否，看结论能否推断出条件，即结论对应的集合是否包含于条件所对应的集合.
5．【答案】A
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】解：由题意知，当时函数单调递增，所以
当时，为单调递增函数，所以，
又因为，，使得，
即在的最大值不小于在上的最大值，
即，解得，即.
故答案为：A.
【分析】若，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可；若，，使得，只需，分别研究两个函数的单调性，求两个函数的最大值，然后解不等式即可.
6．【答案】A
【知识点】数列的递推公式
【解析】【答案】A
【解答】解：由得，化简得，设，则，因为，，，所以，
所以为偶数时，，即，所以，
所以为奇数时，，即，所以，
所以，，，，，
故答案为：A.
【分析】法一：根据条件，利用递推关系，直接求出，即可求解.
法二：利用对条件进行变形，得到关于的表达式，凑成等差或等比数列，进而求解.
7．【答案】C
【知识点】奇偶函数图象的对称性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由是偶函数知，的图象关于直线对称，①，
又的图象关于中心对称，所以②，而的图象关于直线对称，所以③，由的图象关于中心对称得，④，
由①②③④可得，，故函数的周期为4，
则，，，则，
则．
故答案为：C.
【分析】根据偶函数可判断函数的对称轴，利用对称轴与对称中心的性质，分别写出关于函数的表达式①②，再对对称中心（或对称轴）的表达式②经过对称中心和对称轴的转化得到表达式③④，再联合①进而求出函数周期，也可根据对称轴与对称中心横坐标间隔1/4个周期，可判断函数周期为4，再根据函数的周期性和对称性求函数值，即可求和.
8．【答案】C
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解： 任意抛掷一次这个正八面体 ，样本空间为，
因为，，所以，，
若事件满足，，则，，且，
由，可得事件；又因为，所以1或2，
(1)若，则，即，，
此时不满足；
(2)若，则，且，又因为，
所以或，即或3；
①、若，，此时或或或
，也就是从事件中的四个样本点中选3个，再加入6这一个样本
点，即有个满足条件的事件；
②、若，，同理有个满足条件的事件；
③、若，，此时或
或或，
即从事件的四个样本点中选1个，再加入5，6，7这三个样本点，
即有个满足条件的事件；
④若，，同理有个满足条件的事件；
综上所述，满足条件的事件共计个.
故答案为：C.
【分析】根据事件的运算法则得到各个事件的概率，根据题意得出1或2，分别讨论这两种情况即可.
9．【答案】B,D
【知识点】复数在复平面中的表示；方程的解与虚数根
【解析】【解答】解：A、，虚部是3，故A错误；
B、方程x2-4x+5=0，，故B正确；
C、，则，对应的点为(0，-2)，在y轴的负半轴，故C错误；
D、复平面内，实轴上的点对应的复数的虚部都为0，所以都是实数，故D正确；
故选：BD.
【分析】化简复数z，求虚部判断A选项，利用求根公式求出方程的根判断B选项，化简复数z，求及其在复平面内对应的点坐标判断C选项，实轴上的点对应的复数的虚部都为0即可判断D选项.
10．【答案】A,C,D
【知识点】平面向量的共线定理；平面向量的基本定理
【解析】【解答】解：A：因为B、P、D三点共线，所以，即，化简得，所以，所以，故A正确；
B：由，则，则，当且仅当时取等号，故B错误；
C：由，当时有最小值，故C正确；
D：因为，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】(1)由平面向量的基本定理及共线的推论得.
（2）应用基本不等式求最值.若，则，当且仅当时取“=”（和为定值积有最小值），同理积为定值和有最小值.
（3）统一变量，利用二次函数性质判断最值.
（4）充分利用“1”，将不等式转化为基本不等式.
11．【答案】A,B,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点
【解析】【解答】对于A，当时，，令，则，，
，当时，恒成立，在上单调递增；
在上单调递增，
根据复合函数单调性可知：在上为增函数，A正确；
对于B，当时，，又为正实数，，
，当时，恒成立，在上单调递增，
则由得：，即，
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
，则正实数的最小值为，B正确；
对于C，，当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增；，则；
不妨设，则必有，
若，则，等价于，
又，则等价于；
令，则，
，，，，即，
在上单调递增，，即，
，可知不成立，C错误；
对于D，由，得：，即，
由C知：在上单调递减，在上单调递增；
，，则，，
，即，；
令，则，
当时，；当时，；
在上单调递增，在上单调递减，，
即的最大值为，D正确.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合增函数的定义、不等式恒成立问题求解方法、零点存在性定理、求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的最值，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解：根据分段函数单调性可知，单调递减，所以，
单调递减，所以，并且在分界点处，满足，得，这三个条件需同时满足，所以的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分段函数的函数的单调性，（1）先保证每段函数满足题意即单调递减，求出参数a的范围，取交集；（2）再考虑分界点处的函数值的大小关系，列式求参数的取值范围，最后结果取交集.
13．【答案】
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；函数的奇偶性
【解析】【答案】
【解答】解：因为，所以．
又因为是奇函数，是偶函数，所以，，
由-解得．
故答案为：.
【分析】利用函数的奇偶性，可得，，从而再构建关于的方程，联立方程组即可求解.
14．【答案】
【知识点】平面向量减法运算；利用数量积判断平面向量的垂直关系；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：由题意，可设：，
则，
若，即，则，
可知点C在以为直径的圆上，
即圆心为，半径，
则在方向上的投影数量的最大值为，
所以的最大值为.
故答案为：.
【分析】设，分析可知点C在以为直径的圆上，再根据数量积的几何意义结合圆的性质，从而得出的最大值.
15．【答案】（1）解：由题意可知：每组频率依次为，
则，解得；
可得，
所以估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分.
（2）解：由题意可知：在内抽取人，记为；
在内抽取人，记为；
从这6人中任选2人，则样本空间为：
，则，
记“所选2人不在同一组”为事件A，
则，可知，
所以.
【知识点】分层抽样方法；频率分布直方图；古典概型及其概率计算公式
【解析】【分析】（1）根据频率和为1，组距为10，因此纵坐标之和*10=1，求得，结合加权平均数公式（为组数，为各组频率，为各组均值），即可求平均数；
（2）先根据频率计算各组所占人数比例，再根据分层抽样人数求各层人数，最后根据古典概型利用列举法求概率，.
（1）由题意可知：每组频率依次为，
则，解得；
可得，
估计所抽查的学生每天体育锻炼时间的平均数为分.
（2）由题意可知：在内抽取人，记为；
在内抽取人，记为；
从这6人中任选2人，则样本空间为：
，则，
记“所选2人不在同一组”为事件A，
则，可知，
所以.
16．【答案】（1）解：，结合正弦定理，，化简得.
由余弦定理得，，
故；
（2）解：设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而，，，
延长CD，作，垂足为E，连接
二面角为直二面角，，
平面平面，平面，
平面，又平面，，又，，
平面，又平面，平面平面，
又平面平面 过A作，则即为所求，
又，，，
又，，
故所成角的正弦值为：.
【知识点】直线与平面所成的角；解三角形；正弦定理的应用
【解析】【分析】（1）正弦定理可以用来边化角或角化边，从而统一变量.根据已知条件利用正弦定理角化边，统一变量，根据余弦定理计算即可；
（2）设未知数x，表示边长，根据条件和正弦定理求出相关角的正弦值，再利用角之间的关系求出未知数x.正弦定理解，求出；在直角中求出，再利用，求出相关角及边长.求线面角，先线面垂直-面面垂直-二面角，再解三角形；或者是建立空间直角坐标系.
（1），结合正弦定理，，化简得.
由余弦定理得，，故；
（2）设，，
在中，由得，
解得.①
在中，.②
由①、②得.
，，从而.
二面角为直二面角，，
平面平面，平面，
平面
建立如图所示的空间直角坐标系，
易知，，，，
，，.
设平面的法向量，则有，即
令，解得.
，
故直线与平面所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：，由于是极值点，故，故，
当时，，
当或时，，当时，，
故是的一个极值点，
故.
（2）解：设切点为，则切点处的切线方程为，
将代入可得，故，
要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点，
记，，则，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
且，因此.
故m的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程；直线的点斜式方程
【解析】【分析】（1）如果一个函数在某点取得极值，那么这个点处的导数必定为零；导数的零点可能是原函数的极值点，而不一定是极值点.根据可得，再验证，即可求解.
（2）设出切点，根据点斜式直线方程，可将问题转化为有三个不同的根，构造函数，，将方程根的问题转化为函数图象交点问题，利用导数判断函数单调性，画出大致函数图象，即可求解.
（1），由于是极值点，故，故，
当时，，
当或时，，当时，，
故是的一个极值点，故
（2）设切点为，则切点处的切线方程为，
将代入可得，
故，
要使过点可作曲线的三条不同的切线，则有三个不同的交点，
记，则，
当或时，，当时，，
故在，上单调递减，在上单调递增，
且，
因此.
18．【答案】（1）解： 由数列中，，都有，，成等差数列，且公差为，
可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4，
则，，，；
（2）解：由题意，，
当，时，
，
且满足上式，当为奇数时，，
当时，，
故；
（3）解：存在时，使得，，，成等比数列；
证明如下：由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，故当时，，，，成等比数列.
【知识点】等差数列的性质；等比数列的性质；数列的通项公式
【解析】【分析】（1）由题意可得，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4求解即可；
（2）由题意可得，再分与两种情况求解即可；
（3）根据等比中项的性质，结合通项公式求解即可.
（1）由题意，，，成等差数列，公差为2；，，成等差数列，公差为4.
则，，，.
（2）由题意，.
当，时，
，
且满足上式，所以当为奇数时，.
当时，.
所以
（3）存在时，使得，，，成等比数列
证明如下：
由（2）可得，，，
假设，，成等比数列，
则，
化简得，所以，即，
此时，所以当时，，，，成等比数列.
19．【答案】（1）解：，
（2）解：一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得，
故的最小值为24.
（3）解：考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，
于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，，
满足，
故.
【知识点】集合中元素的个数问题；分析法和综合法
【解析】【分析】（1）紧扣题目所给的定义，根据已知条件定义即可求解；
（2）根据已知条件，要使最小，则，即中所有元素互素，进而转化为关于的二次函数即可求得最大值；
（3）要证明，即证明集合中至少有17个不相等的元素，即判断与的大小.若则与的大小与、、的正负有关.因此分两种情况讨论，当中元素均为非负数和当中元素至少有一个为负数，结合所给定义证明.
（1），；
（2）一方面，积有个，另一方面，积有个，
故，当中所有元素互素时，等号成立．
要使得时，最小，可令中所有元素互素，此时，，
解得：，
故的最小值为24；
（3）考虑集合中所有元素变为原来的相反数时，集合不改变，
不妨设中正数个数不少于负数个数．
①当中元素均为非负数时，设，
于是，，
此时，集合中至少有，，，…，，，，…，这18个元素，
即；
②当中元素至少有一个为负数时，
设是中全体元素，且，
于是，．
由是中的个元素，且非正数；
又是中的7个元素，且为正数，
故中元素不少于17个，
即；
另外，当时，，
满足，
故．
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