数学中考总复习 第 1 轮
第 20 节 图形的相似
考点一 比例性质
a 4 a－b
1．(2025·阜阳一模)已知 ＝ ，则 ＝________．
b 3 b
1
答案：
3
2．(2025·亳州模拟)如图，点 P 把线段 AB 分成两部分，且 BP 为 AP 与 AB 的比例中项．如果
AB＝2，那么 AP＝________．
答案：3－ 5
考点二 相似三角形的性质与判定
3．(2025·安徽冲刺卷)如图，已知在矩形 ABCD 中，M 是 AD 边的中点，BM 与 AC 垂直，交直
线 AC 于点 N，连接 DN，则下列四个结论：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan ∠CAD＝ 2 ；
④△AMN∽△CAB.其中正确的有( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
答案：C
4．(2025·合肥二模)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，△EBC 的边 EB，EC 分别与 AD 边相交
于点 F，G，若△EBG 的面积为 6，则 FG 与 BC 的长度比为( )
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A．3∶4 B．3∶5 C．3∶7 D．3∶8
答案：C
5．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC 平分∠BAD，连接 BD 交 AC
于点 E.
图 1 图 2
BE AB
(1)如图 1，求证： ＝ .
DE AD
(2)如图 2，AC2＝AB·AD，且 BF⊥AD，BF 与 AC 交于点 G，连接 DG，CF.
①若 F 是 AD 的中点，求证：△BCF∽△GCD；
AB 5
②若 ＝ ，求 sin ∠GDC 的值．
AD 6
解：(1)证明：如图，过点 E 作 EM⊥AB 于点 M，EN⊥AD 于点 N，过点 A 作 AH⊥BD 于点 H.
因为 AC 平分∠BAD，EM⊥AB，EN⊥AD，所以 EM＝EN.
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1 1
AB·EM BE·AH
S△ABE 2 AB S△ABE 2 BE BE AB
因为 ＝ ＝ ，又 ＝ ＝ ，所以 ＝ .
S△ADE 1 AD S△ADE 1 DE DE AD
AD·EN DE·AH
2 2
AC AD
(2)①证明：因为 AC2＝AB·AD，所以 ＝ .
AB AC
因为 AC 平分∠BAD，所以∠CAD＝∠BAC，所以△DAC∽△CAB，所以∠ACD＝∠ABC＝90°.
因为 BF⊥AD，所以∠GFD＝90°，所以 G，F，D，C 四点共圆，所以∠GFC＝∠GDC.
因为 F 是 AD 的中点，∠ACD＝90°，所以 FA＝FC，所以∠FAC＝∠FCA＝∠BAC.
因为∠BAC＋∠BCA＝90°，所以∠FCA＋∠BCA＝90°，即∠BCF＝90°，所以∠BCF＝∠GCD.
又因为∠BFC＝∠GDC，所以△BCF∽△GCD.
AB 5
②因为 ＝ ，所以设 AB＝5x，AD＝6x，则 AC2＝AB·AD＝30x2，所以 AC＝ 30 x.
AD 6
在 Rt△ABC 中，BC＝ AC2－AB2 ＝ 5 x.
如图，作 BH⊥AC 于点 H，
AB·BC 5x· 5x 5 6
则 BH＝ ＝ ＝ x.
AC 30x 6
30
在 Rt△BHC 中，HC＝ BC2－BH2 ＝ x.
6
因为∠BGC＝∠AGF＝90°－∠CAD，∠ACB＝90°－∠BAC，∠BAC＝∠CAD，
30 2 30
所以∠BGC＝∠ACB，所以 BG＝BC＝ 5 x，GC＝2HC＝ x，所以 AG＝AC－GC＝ x.
3 3
因为∠GAF＝∠DAC，∠AFG＝∠ACD＝90°，
2 30
x· 30x
AG AF AG·AC 3 10
所以△AGF∽△ADC，所以 ＝ ，所以 AF＝ ＝ ＝ x，
AD AC AD 6x 3
8
所以 DF＝AD－AF＝ x.
3
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2 5
在 Rt△AGF 中，GF＝ AG2－AF2 ＝ x.
3
2 21
在 Rt△GFD 中，DG＝ GF2＋DF2 ＝ x，
3
30
x
GC 3 70
所以 sin ∠GDC＝ ＝ ＝ .
DG 2 21 14
x
3
6．(2025·安徽)在 Rt△ABC 中，M 是斜边 AB 的中点，将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 位置，点
D 在直线 AB 外，连接 AD，BD.
图 1 图 2 图 3
(1)如图 1，求∠ADB 的大小．
(2)已知点 D 和边 AC 上的点 E 满足 ME⊥AD，DE∥AB.
①如图 2，连接 CD，求证：BD＝CD；
②如图 3，连接 BE，若 AC＝8，BC＝6，求 tan ∠ABE 的值．
解：(1)由题意知 MA＝MD＝MB，所以∠MAD＝∠MDA，∠MBD＝∠MDB.
180°
在△ABD 中，∠MAD＋∠MDA＋∠MBD＋∠MDB＝180°，所以∠ADB＝∠ADM＋∠BDM＝ ＝
2
90°.
(2)①证明：如图，延长 BD，AC，交于点 F， 则∠BCF＝90°.
因为 ME⊥AD，∠ADB＝90°，所以 EM∥BD.
又因为 DE∥AB，所以四边形 BDEM 是平行四边形，所以 DE＝BM.
因为 M 是 AB 的中点，所以 AM＝BM，所以 DE＝AM，所以四边形 AMDE 是平行四边形．
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因为 ME⊥AD，所以四边形 AMDE 是菱形，所以 AE＝AM.
AE AM
因为 EM∥BD，所以 ＝ ，所以 AB＝AF.
AF AB
因为∠ADB＝90°，即 AD⊥BF，所以 BD＝DF，
即点 D 是 Rt△BCF 斜边的中点，所以 BD＝CD.
②如图，过点 E 作 EH⊥AB 于点 H.
1
因为 AC＝8，BC＝6，所以 AB＝ AC2＋BC2 ＝10，则 AE＝AM＝ AB＝5.
2
EH AH AE 5
因为∠EAH＝∠BAC，∠AHE＝∠ACB＝90°，所以△AHE∽△ACB，所以 ＝ ＝ ＝ ，
BC AC AB 10
EH 3 1
所以 EH＝3，AH＝4，所以 BH＝AB－AH＝10－4＝6，所以 tan ∠ABE＝ ＝ ＝ .
BH 6 2
考点四 位似
7．(2025·合肥一模)△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点 O 为位
1
似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到△A′B′O，则点 A′的坐标是( )
2
A．(1，2) B．(1，2)或(－1，－2)
C．(2，1)或(－2，－1) D．(－2，－1)
答案：B
8．(2025·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，2)，B(5，1)，
C(4，3).
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(1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)在给定的网格中以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请画出
△A2B2C2，并写出点 B2的坐标．
解：(1)如图，△A1B1C1即为所求作．
(2)如图，△A2B2C2 即为所求作．点 B2 的坐标为(－10，－2).
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第 20 节 图形的相似
考点一 比例性质
a 4 a－b
1．(2025·阜阳一模)已知 ＝ ，则 ＝________．
b 3 b
2．(2025·亳州模拟)如图，点 P 把线段 AB 分成两部分，且 BP 为 AP 与 AB 的比例中项．如果
AB＝2，那么 AP＝________．
考点二 相似三角形的性质与判定
3．(2025·安徽冲刺卷)如图，已知在矩形 ABCD 中，M 是 AD 边的中点，BM 与 AC 垂直，交直
线 AC 于点 N，连接 DN，则下列四个结论：①CN＝2AN；②DN＝DC；③tan ∠CAD＝ 2 ；
④△AMN∽△CAB.其中正确的有( )
A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④
4．(2025·合肥二模)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，△EBC 的边 EB，EC 分别与 AD 边相交
于点 F，G，若△EBG 的面积为 6，则 FG 与 BC 的长度比为( )
A．3∶4 B．3∶5 C．3∶7 D．3∶8
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5．(2025·合肥一模)如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC 平分∠BAD，连接 BD 交 AC
于点 E.
BE AB
(1)如图 1，求证： ＝ .
DE AD
(2)如图 2，AC2＝AB·AD，且 BF⊥AD，BF 与 AC 交于点 G，连接 DG，CF.
①若 F 是 AD 的中点，求证：△BCF∽△GCD；
AB 5
②若 ＝ ，求 sin ∠GDC 的值．
AD 6
图 1 图 2
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6．(2025·安徽)在 Rt△ABC 中，M 是斜边 AB 的中点，将线段 MA 绕点 M 旋转至 MD 位置，点
D 在直线 AB 外，连接 AD，BD.
(1)如图 1，求∠ADB 的大小．
(2)已知点 D 和边 AC 上的点 E 满足 ME⊥AD，DE∥AB.
①如图 2，连接 CD，求证：BD＝CD；
②如图 3，连接 BE，若 AC＝8，BC＝6，求 tan ∠ABE 的值．
图 1
图 2
图 3
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考点四 位似
7．(2025·合肥一模)△ABO 三个顶点的坐标分别为 A(2，4)，B(6，0)，O(0，0)，以原点 O 为位
1
似中心，把这个三角形缩小为原来的 ，可以得到△A′B′O，则点 A′的坐标是( )
2
A．(1，2) B．(1，2)或(－1，－2)
C．(2，1)或(－2，－1) D．(－2，－1)
8．(2025·安徽一模)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的顶点坐标分别为 A(1，2)，B(5，1)，
C(4，3).
(1)将△ABC向左平移5个单位长度，再向上平移 2个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)在给定的网格中以点 O 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍，得到△A2B2C2，请画出
△A2B2C2，并写出点 B2的坐标．
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