数学中考总复习 第 1 轮
第 21 节 解直角三角形
考点一 求三角函数值
PC
1．(2025·马鞍山二模)如图，点 P 在等腰 Rt△ABC 内，∠ACB＝90°，∠APB＝135°，则 的最
PA
小值为( )
2
A． 2 B．
2
2－1 1
C． D．
2 2
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A，B，
O 在网格线的交点上，则 sin ∠ACB 的值是________．
3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点 P 为 AC 边上一动点，
PE⊥AB 于点 E，PF⊥BC 于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值为( )
3 3 3
A．3 6 B． 5 C． 6 D．
2 2 2
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4．(2025·安徽模拟)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC＝5，AD＝AE＝6，且∠BAC＝∠DAE，
sin ∠BAD＝0.8.
(1)如图 1，当∠BAC＝60°时，连接 DC，并延长 DC 交 AE 于点 F，则 DF＝________；
(2)如图 2，当∠BAC＝90°时，求出 CD 的长．
图 1 图 2
考点三 解直角三角形在实际问题中的应用
5．如图，山顶上有一个信号塔 AC，已知信号塔高 AC＝15 米，在山脚下 B 处测得塔底 C 的仰
角∠CBD＝36.9°，塔顶 A 的仰角∠ABD＝42.0°，求山高 CD(点 A，C，D 在同一条竖直线上).(参
考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)
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6．(2025·安徽冲刺卷)如图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备厢，
在打开后备厢的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当后备厢从关闭到完全打开
时，箱盖 ADE 落在 AD′E′的位置(如图 2).此时，∠D′AD＝70°，已知 AD＝100 cm，点 D 到地面
距离为 110 cm，DE 长为 40 cm，求此时点 E′离地面的高度．(精确到 1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，
cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)
图 1 图 2
7．(2025·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出，
经水面点 E 折射到池底点 A 处．已知 BE 与水平线的夹角 α＝36.9°，点 B 到水面的距离 BC＝
1.20 m，点 A 处水深为 1.20 m，到池壁的水平距离 AD＝2.50 m，点 B，C，D 在同一条竖直线
sin β
上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为 β，折射角为 γ，求 的值(精确到 0.1，参考
sin γ
数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.)
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8．(2025·合肥二模)如图，无人机在点 A 处测得大楼顶端 D 的俯角为 24°，垂直上升 8 米到达
点 B 处，测得大楼底端 C 的俯角为 64°，已知 BC＝50 m，求大楼 CD 的高度．
参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
9．(2025·广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在
某地安装了一批风力发电机，如图 1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进
行了测量，图 2 为测量示意图(点 A，B，C，D 均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡 CD 长为
20 m，斜坡 CD 的坡角为 60°，在斜坡顶部 D 处测得风力发电机塔杆顶端 A 点的仰角为 20°，
坡底与塔杆底的距离 BC＝30 m，求该风力发电机塔杆 AB 的高度．(结果精确到个位；参考数
据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， 3 ≈1.73)
图 1 图 2
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第 21 节 解直角三角形
考点一 求三角函数值
PC
1．(2025·马鞍山二模)如图，点 P 在等腰 Rt△ABC 内，∠ACB＝90°，∠APB＝135°，则 的最
PA
小值为( )
2 2－1 1
A． 2 B． C． D．
2 2 2
答案：D
2．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是 1，⊙O 是△ABC 的外接圆，点 A，B，
O 在网格线的交点上，则 sin ∠ACB 的值是________．
解析：如图，连接 AO 并延长交⊙O 于点 D.
由圆周角定理，得∠ACB＝∠ADB，由勾股定理，得 AD＝ 42＋22 ＝2 5 ，
AB 4 2 5
所以 sin ∠ACB＝sin ∠ADB＝ ＝ ＝ .
AD 2 5 5
2 5
答案：
5
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3．(2025·合肥一模)如图，在△ABC 中，∠B＝45°，∠C＝60°，BC＝6，点 P 为 AC 边上一动点，
PE⊥AB 于点 E，PF⊥BC 于点 F，连接 EF，则 EF 的最小值为( )
3 3 3
A．3 6 B． 5 C． 6 D．
2 2 2
答案：C
4．(2025·安徽模拟)如图，在△ABC 和△ADE 中，AB＝AC＝5，AD＝AE＝6，且∠BAC＝∠DAE，
sin ∠BAD＝0.8.
图 1 图 2
(1)如图 1，当∠BAC＝60°时，连接 DC，并延长 DC 交 AE 于点 F，则 DF＝________；
(2)如图 2，当∠BAC＝90°时，求出 CD 的长．
解：(1)如图，过点 B 作 BH⊥AD 于点 H.
BH
因为 sin ∠BAD＝0.8，所以 ＝0.8.
AB
因为 AB＝5，所以 BH＝0.8×5＝4，所以 AH＝ AB2－BH2 ＝ 52－42 ＝3，
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因为 AD＝6，所以 DH＝AD－AH＝6－3＝3，所以 BD＝ BH2＋DH2 ＝ 42＋32 ＝5，
所以 BD＝AB＝AC.
因为∠BAC＝∠DAE，所以∠BAD＝∠CAE.
AB＝AC，
在△BAD 和△CAE 中， ∠BAD＝∠CAE， 所 以△BAD≌△CAE(SAS)，
AD＝AE，
所以 CE＝BD＝5，所以 CE＝AC＝5.
因为∠DAE＝∠BAC＝60°，AD＝AE，所以△ADE 为等边三角形，所以 DA＝DE.
1
因为 CE＝AC，DA＝DE，所以 DF 为 AE 的垂直平分线，所以 AF＝ AE＝3，∠AFD＝90°，
2
所以 DF＝ AD2－AF2 ＝ 62－32 ＝3 3 .故答案为：3 3
(2)如图，过点 D 作 DM⊥AC 于点 M，过点 B 作 BH⊥AD 于点 H，则∠AHB＝∠DMA＝90°.
AH 3 BH 4
由(1)得 BH＝4，AH＝3，所以 sin ∠ABH＝ ＝ ，sin ∠BAH＝ ＝ .
AB 5 AB 5
因为∠BAC＝90°，所以∠BAD＋∠DAM＝90°.
因为∠DMA＝90°，所以∠ADM＋∠DAM＝90°，所以∠ADM＝∠BAD，所以∠DAM＝∠ABH.
DM 3 3 3 18
因为 sin ∠DAM＝sin ∠ABH＝ ＝ ，所以 DM＝ AD＝ ×6＝ .
AD 5 5 5 5
AM 4 4 4 24
因为 sin ∠ADM＝sin ∠BAH＝ ＝ ，所以 AM＝ AD＝ ×6＝ ，
AD 5 5 5 5
24 1 18 2 1 2
所以 CM＝AC－AM＝5－ ＝ ，所以 CD＝ DM2＋CM2 ＝ ＋ ＝ 13 .
5 5 5 5
考点三 解直角三角形在实际问题中的应用
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5．如图，山顶上有一个信号塔 AC，已知信号塔高 AC＝15 米，在山脚下 B 处测得塔底 C 的仰
角∠CBD＝36.9°，塔顶 A 的仰角∠ABD＝42.0°，求山高 CD(点 A，C，D 在同一条竖直线上).(参
考数据：tan 36.9°≈0.75，sin 36.9°≈0.60，tan 42.0°≈0.90)
AD AD
解：在 Rt△ABD 中，tan ∠ABD＝ ，所以 tan 42.0°＝ ≈0.90，所以 AD≈0.90BD.
BD BD
CD CD
在 Rt△BCD 中，tan ∠CBD＝ ，所以 tan 36.9°＝ ≈0.75，所以 CD≈0.75BD.
BD BD
因为 AC＝AD－CD，所以 15≈0.15BD，所以 BD≈100 米，所以 CD≈0.75BD＝75(米).
答：山高 CD 约为 75 米．
6．(2025·安徽冲刺卷)如图 1 是某小型汽车的侧面示意图，其中矩形 ABCD 表示该车的后备厢，
在打开后备厢的过程中，箱盖 ADE 可以绕点 A 逆时针方向旋转，当后备厢从关闭到完全打开
时，箱盖 ADE 落在 AD′E′的位置(如图 2).此时，∠D′AD＝70°，已知 AD＝100 cm，点 D 到地面
距离为 110 cm，DE 长为 40 cm，求此时点 E′离地面的高度．(精确到 1 cm，参考数据：sin 70°≈0.94，
cos 70°≈0.34，tan 70°≈2.75)
图 1 图 2
解：如图，过点 D′作 D′M⊥AD，垂足为 M，过点 E′作 E′P⊥D′M，垂足为 P，过点 E′作 E′N⊥AD，
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垂足为 N， 所以∠AMD′＝90°.
由题意得 AD＝AD′＝100 cm，DE＝D′E′＝40 cm，PM＝E′N，∠ADE＝∠AD′E′＝90°，∠DAD′＝
70°，
所以∠AD′M＝90°－∠DAD′＝20°，
所以∠E′D′P＝∠AD′E′－∠AD′M＝90°－20°＝70°.
在 Rt△AD′M 中，D′M＝AD′·sin 70°≈100×0.94＝94(cm)，
在 Rt△E′PD′中，D′P＝D′E′·cos 70°≈40×0.34＝13.6(cm)，
所以 PM＝D′M－D′P＝94－13.6＝80.4(cm)，
所以 E′N＝PM＝80.4 cm.
因为点 D 到地面的距离是 110 cm，
所以点 E′到地面的距离＝110＋80.4＝190.4(cm)≈190(cm).
答：此时点 E′离地面的高度约为 190 cm.
7．(2025·安徽)科技社团选择学校游泳池进行一次光的折射实验，如图，光线自点 B 处发出，
经水面点 E 折射到池底点 A 处．已知 BE 与水平线的夹角 α＝36.9°，点 B 到水面的距离 BC＝
1.20 m，点 A 处水深为 1.20 m，到池壁的水平距离 AD＝2.50 m，点 B，C，D 在同一条竖直线
sin β
上，所有点都在同一竖直平面内．记入射角为 β，折射角为 γ，求 的值(精确到 0.1，参考
sin γ
数据：sin 36.9°≈0.60，cos 36.9°≈0.80，tan 36.9°≈0.75.)
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解：如图，过点 E 作 EF⊥AD 于点 F，则∠AFE＝90°，DF＝CE.
由题意可得，∠BEC＝∠α＝36.9°，∠CBE＝∠β，BC＝EF＝1.20 m.
BC 1.20 BC 1.20
在 Rt△BCE 中，CE＝ ≈ ＝1.60(m)，BE＝ ≈ ＝2.00(m)，
tan α 0.75 sin α 0.60
CE 1.60
所以 sin β＝ ＝ ＝0.80，DF＝1.60 m，
BE 2.00
所以 AF＝AD－DF＝2.50－1.60＝0.90(m).
在 Rt△AFE 中，AE＝ EF2＋AF2 ＝ 1.202＋0.902 ＝1.50(m)，
AF 0.90 sin β 0.80
所以 sin γ＝ ＝ ＝0.60，所以 ＝ ≈1.3.
AE 1.50 sin γ 0.60
8．(2025·合肥二模)如图，无人机在点 A 处测得大楼顶端 D 的俯角为 24°，垂直上升 8 米到达
点 B 处，测得大楼底端 C 的俯角为 64°，已知 BC＝50 m，求大楼 CD 的高度．
参考数据：sin 24°≈0.41，cos 24°≈0.91，tan 24°≈0.45，sin 64°≈0.90，cos 64°≈0.44，tan 64°≈2.05.
解：如图，过点 A，B 作 CD 的垂线，分别与 CD 的延长线交于点 E，F，则四边形 ABFE 是矩
形．
CF
在 Rt△BCF 中，∠CBF＝64°，BC＝50 m，sin ∠CBF＝ ，
BC
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所以 CF＝BC·sin ∠CBF≈50×0.90＝45(m).
BF
又因为 cos ∠CBF＝ ，所以 BF＝BC·cos ∠CBF≈50×0.44＝22(m).
BC
DE
在 Rt△ADE 中，AE＝BF＝22 m，∠DAE＝24°，tan ∠DAE＝ ，
AE
所以 DE＝AE·tan ∠DAE≈22×0.45＝9.9(m).
又因为 EF＝AB＝8 m，所以 CD＝CF－DE－EF＝27.1(m)，
即大楼 CD 的高度约为 27.1 m.
9．(2025·广安)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在
某地安装了一批风力发电机，如图 1，某校实践活动小组对其中一架风力发电机的塔杆高度进
行了测量，图 2 为测量示意图(点 A，B，C，D 均在同一平面内，AB⊥BC).已知斜坡 CD 长为
20 m，斜坡 CD 的坡角为 60°，在斜坡顶部 D 处测得风力发电机塔杆顶端 A 点的仰角为 20°，
坡底与塔杆底的距离 BC＝30 m，求该风力发电机塔杆 AB 的高度．(结果精确到个位；参考数
据：sin 20°≈0.34，cos 20°≈0.94，tan 20°≈0.36， 3 ≈1.73)
图 1 图 2
解：如图，过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，作 DH⊥BE 于点 H.
由题意得 CD＝20 m，∠DCH＝60°.
CH DH
在 Rt△DCH 中，cos 60°＝ ，sin 60°＝ ，
CD CD
所以 CH＝CD·cos 60°＝10(m)，DH＝CD·sin 60°＝10 3 ≈17.3(m).
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因为∠DFB＝∠B＝∠DHB＝90°，所以四边形 DFBH 为矩形，所以 BH＝FD，BF＝DH.
AF
因为 BH＝BC＋CH＝30＋10＝40(m)，所以 FD＝40 m.在 Rt△AFD 中，tan 20°＝ ，
FD
所以 AF＝FD·tan 20°≈40×0.36＝14.4(m)，所以 AB＝AF＋BF≈14.4＋17.3≈32(m).
答：该风力发电机塔杆 AB 的高度约为 32 m．
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