数学中考总复习 第 1 轮
第 23 节 特殊的平行四边形
考点一 矩形的性质与判定
1．(2025·合肥一模)小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形 ABCD 为一个正在倒
水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为 37°时，∠CED
的大小为( )
A．27° B．37°
C．53° D．63°
2．如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，分别交 CD，AC 于点 E，F，交 AD 的延长线于点
G，点 M 为 EG 的中点，连接 AM，DM，CM.
(1)求证：△ADM≌△CEM.
(2)若 BC＝ 2 DM，AD＝2，
①求 MF 的长；
②tan ∠AMF 的值为________．
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3．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 在 AC 的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AC＝4，CE＝5，则 CD
的长为( )
A．5 B．6 C．5 2 D．6 2
3
4．(2025·合肥一模)如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AE⊥BC 于点 E，若 cos ∠ABC＝ ，
5
AB＝10，则 AC 的长为( )
A．12 B．10 C．4 5 D．2 5
5．(2025·安徽)已知四边形 ABCD 中，BC＝CD.连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线交 AB 于点 E，
连接 DE.
(1)如图 1，若 DE∥BC，求证：四边形 BCDE 是菱形．
图 1
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(2)如图 2，连接 AC，设 BD，AC 相交于点 F，DE 垂直平分线段 AC.
①求∠CED 的大小；
②若 AF＝AE，求证：BE＝CF.
图 2
6．(2025·合肥模拟)如图，在正方形 ABCD 中，已知边长 AB＝5，点 E 是 BC 边上一动点(点 E
不与 B，C 重合)，连接 AE，作点 B 关于直线 AE 的对称点 F，则线段 CF 的最小值为( )
5 2 5
A．5 B．5 2 －5 C． D．
2 2
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7．(2025·合肥一模)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，点 P
在对角线 AC 上，EF∥AC，PE＋PF＝m，则下列结论错误的是( )
A．若 BE＝2，则 m 的最小值为 4
B．若 m 的最小值为 4，则 BE＝2
C．若 BE＝0.5，则 m 的最小值为 5
D．若 m 的最小值为 5，则 BE＝0.5
8．(2025·安徽模拟)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，CD 上的点，将△ABE，
△ADF 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好落在 EF 上的点 G 处，再将△CEF 沿 EF 折叠，点
C 落在 AF 上的点 H 处，连接 AG 与 EH 交于点 M.
(1)sin ∠DAF＝________；
(2)若 DF＝ 3 ，则 AM 的长为________．
9．如图，正方形 ABCD 内有一等边三角形 BCE，直线 DE 交 AB 于点 H，过点 E 作直线 GF⊥DH，
分别交 BC，AD 于点 G，F.以下结论：①∠CEG＝15°；②AF＝DF；③BH＝3AH；④ 2 BH
＝HE＋GE.其中正确的有________．(填序号)
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第 23 节 特殊的平行四边形
考点一 矩形的性质与判定
1．(2025·合肥一模)小米同学在喝水时想到了这样一个问题：如图，矩形 ABCD 为一个正在倒
水的水杯的截面图，杯中水面与AD的交点为E，当水杯底面AB与水平面的夹角为 37°时，∠CED
的大小为( )
A．27° B．37° C．53° D．63°
答案：C
2．如图，在矩形 ABCD 中，BE 平分∠ABC，分别交 CD，AC 于点 E，F，交 AD 的延长线于点
G，点 M 为 EG 的中点，连接 AM，DM，CM.
(1)求证：△ADM≌△CEM.
(2)若 BC＝ 2 DM，AD＝2，
①求 MF 的长；
②tan ∠AMF 的值为________．
解：(1)证明：因为四边形 ABCD 为矩形，
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所以∠ADC＝∠ABC＝∠BCE＝∠GDC＝90°，AD∥BC，AD＝BC.
1
因为 BE 平分∠ABC，所以∠EBC＝∠ABG＝ ∠ABC＝45°，
2
所以∠BEC＝∠EBC＝45°，所以 BC＝EC，∠DEG＝∠BEC＝45°，
所以 AD＝BC＝EC，∠MEC＝135°.
因为∠GDE＝90°，∠GED＝45°，所以∠G＝45°，所以△GDE 为等腰直角三角形．
因为点 M 为 EG 的中点，
1 1
所以∠MDE＝ ∠GDE＝45°，DM＝EM＝GM＝ GE，
2 2
所以∠MDA＝∠MDE＋∠CDA＝135°，
所以∠MDA＝∠MEC＝135°.
AD＝CE，
在△ADM 和△CEM 中， ∠ADM＝∠CEM， 所 以△ADM≌△CEM(SAS).
DM＝EM，
(2)①因为 AD＝2，所以 AD＝BC＝EC＝2，所以 BE＝ BC2＋EC2 ＝2 2 .
BC
因为 BC＝ 2 DM，所以 DM＝ ＝ 2 ，所以 DM＝EM＝GM＝ 2 ，
2
所以 GE＝2DM＝2 2 ，GD＝ GM2＋DM2 ＝2，
所以 GE＝BE＝2 2 ，AG＝AD＋GD＝4，所以 BG＝BE＋GE＝4 2 .
BF BC 2 1 1 4 2
因为 AD∥BC，所以 ＝ ＝ ＝ ，所以 BF＝ BG＝ ，
GF GA 4 2 3 3
4 2 5 2
所以 MF＝BG－GM－BF＝4 2 － 2 － ＝ .
3 3
②如图，连接 AE.
因为∠ABG＝∠G＝45°，所以 AG＝AB＝4，
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1
又因为 GE＝BE＝2 2 ，∠GAB＝90°，所以 AE⊥BG，AE＝ BG＝2 2 .
2
AE 2 2
在 Rt△AEM 中，tan ∠AME＝ ＝ ＝2. 故答案为：2
ME 2
3．如图，在菱形 ABCD 中，点 E 在 AC 的延长线上，∠ACD＝∠ABE，AC＝4，CE＝5，则 CD
的长为( )
A．5 B．6 C．5 2 D．6 2
答案：B
3
4．(2025·合肥一模)如图，菱形 ABCD 的对角线交于点 O，AE⊥BC 于点 E，若 cos ∠ABC＝ ，
5
AB＝10，则 AC 的长为( )
A．12 B．10 C．4 5 D．2 5
答案：C
5．(2025·安徽)已知四边形 ABCD 中，BC＝CD.连接 BD，过点 C 作 BD 的垂线交 AB 于点 E，
连接 DE.
(1)如图 1，若 DE∥BC，求证：四边形 BCDE 是菱形．
(2)如图 2，连接 AC，设 BD，AC 相交于点 F，DE 垂直平分线段 AC.
①求∠CED 的大小；
②若 AF＝AE，求证：BE＝CF.
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图 1
图 2
解：(1)证明：记 BD 与 CE 交于点 O.
因为 DC＝BC，CE⊥BD，所以 DO＝BO.
因为 DE∥BC，所以∠ODE＝∠OBC，∠OED＝∠OCB，所以△ODE≌△OBC(AAS)，
所以 DE＝BC，所以四边形 BCDE 为平行四边形．
又因为 CE⊥BD，所以四边形 BCDE 为菱形．
(2)①记 BD 与 CE 交于点 O，由(1)可知，BO＝DO，
所以 CE 垂直平分线段 BD，所以 BE＝DE.
又因为 EO＝EO，所以△BEO≌△DEO(SSS)，所以∠BEO＝∠DEO. 记 DE 与 AC 交于点 G.
因为 DE 垂直平分线段 AC，所以 AE＝CE，EG⊥AC.
又因为 EG＝EG，所以 Rt△AEG≌Rt△CEG(HL)，所以∠AEG＝∠DEO，
所以∠AEG＝∠DEO＝∠BEO.
180°
因为∠AEG＋∠DEO＋∠BEO＝180°，所以∠CED＝ ＝60°.
3
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②证明：连接 EF，因为 EG⊥AC，所以∠EGF＝90°，所以∠AFE＝90°－∠GEF.
因为∠AEF＝∠AEG＋∠GEF＝60°＋∠GEF，
又因为 AE＝AF，所以∠AEF＝∠AFE，所以 60°＋∠GEF＝90°－∠GEF，
所以∠GEF＝15°，所以∠OEF＝∠CEG－∠GEF＝60°－15°＝45°.
因为 CE⊥BD，所以∠EOF＝∠EOB＝90°，所以∠OFE＝90°－∠OEF＝45°，
所以∠OEF＝∠OFE，所以 OE＝OF.
因为 AE＝CE，所以∠EAC＝∠ECA.
因为∠EAC＋∠ECA＝∠CEB＝60°，所以∠ECA＝30°.
因为∠EBO＝90°－∠OEB＝30°，所以∠OCF＝∠OBE＝30°.
又因为∠BOE＝∠COF＝90°，所以△BOE≌△COF(AAS)，所以 BE＝CF.
6．(2025·合肥模拟)如图，在正方形 ABCD 中，已知边长 AB＝5，点 E 是 BC 边上一动点(点 E
不与 B，C 重合)，连接 AE，作点 B 关于直线 AE 的对称点 F，则线段 CF 的最小值为( )
5 2 5
A．5 B．5 2 －5 C． D．
2 2
答案：B
7．(2025·合肥一模)如图，在正方形 ABCD 中，AB＝4，点 E，F 分别在边 AB，BC 上，点 P
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在对角线 AC 上，EF∥AC，PE＋PF＝m，则下列结论错误的是( )
A．若 BE＝2，则 m 的最小值为 4
B．若 m 的最小值为 4，则 BE＝2
C．若 BE＝0.5，则 m 的最小值为 5
D．若 m 的最小值为 5，则 BE＝0.5
答案：D
8．(2025·安徽模拟)如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为边 BC，CD 上的点，将△ABE，
△ADF 分别沿 AE，AF 折叠，点 B，D 恰好落在 EF 上的点 G 处，再将△CEF 沿 EF 折叠，点
C 落在 AF 上的点 H 处，连接 AG 与 EH 交于点 M.
(1)sin ∠DAF＝________；
(2)若 DF＝ 3 ，则 AM 的长为________．
1
答案：(1) (2)6－2 3
2
9．如图，正方形 ABCD 内有一等边三角形 BCE，直线 DE 交 AB 于点 H，过点 E 作直线 GF⊥DH，
分别交 BC，AD 于点 G，F.以下结论：①∠CEG＝15°；②AF＝DF；③BH＝3AH；④ 2 BH
＝HE＋GE.其中正确的有________．(填序号)
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答案：①
解析：因为四边形 ABCD 是正方形，
所以 AB＝BC＝CD＝AD，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°.
因为△BCE 是等边三角形，所以 BE＝CE＝BC，∠BCE＝∠EBC＝60°，
所以 CD＝CE，∠ECD＝∠BCD－∠BCE＝30°，所以∠CED＝75°.
又因为 GF⊥DH，所以∠CEG＝15°，故①正确；
如图，连接 AE，过点 E 作直线 MN⊥AD 于点 N，交 BC 于点 M，连接 FH.
因为∠ABE＝∠ABC－∠EBC＝30°，所以∠ABE＝∠DCE，
又因为 AB＝CD，BE＝CE，所以△ABE≌△DCE(SAS)，所以 AE＝DE，
所以∠EAD＝∠EDA，所以∠EAH＝∠EHA，所以 AE＝EH，所以 EH＝ED.
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又因为 FG⊥DH，所以 FH＝FD.
因为 FH>AF，所以 FD>AF，故②错误；
设 AB＝BC＝BE＝2a，
因为 MN⊥AD，∠DAB＝∠ADC＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
所以四边形 ABMN 是矩形，所以 AN＝BM，MN＝AB＝2a，MN⊥BC.
因为△EBC 是等边三角形，MN⊥BC，所以 BM＝MC＝a，EM＝ 3 a.
所以 EN＝2a－ 3 a，AN＝DN＝a.
又因为 EH＝ED，所以 AH＝2EN＝4a－2 3 a，所以 BH＝AB－AH＝2 3 a－2a，
所以 BH≠3AH，故③错误；
连接 HG.
因为∠CEG＝15°，∠BEC＝60°，所以∠BEG＝45°.
因为∠ABC＋∠GEH＝180°，所以 B，G，E，H 四点共圆，
所以∠BHG＝∠BEG＝45°，所以∠BGH＝∠BHG＝45°，所以 BH＝BG，所以 HG＝ 2 BH.
因为 EH＋EG>HG，所以 EH＋EG> 2 BH，故④错误．
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