数学中考总复习 第 1 轮
第 24 节 圆的有关性质
考点一 垂径定理及其推论
1．如图，AB 是⊙O 中的一条弦，半径 OD⊥AB 于点 C，交⊙O 于点 D，点 E 是弧 AEB 上一点．若
∠OAB＝46°，则∠E＝( )
A．46° B．44° C．23° D．22°
答案：D
2．(2025·合肥一模)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 OC，若⊙O 的半径
为 4，∠ABD＝30°，则 CD＝( )
A． 3 ＋4 B．2 3 ＋2 C．4 2 D．4 3
答案：D
3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分，如果 C 是弦 AB 的中
点，CD 经过圆心 O 交⊙O 于点 D，并且 AB＝4 cm，CD＝6 cm，则圆 O 的半径长为________cm.
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10
答案：
3
4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描
绘了筒车的工作原理，如图 1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，如图 2，已知圆
心 O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，⊙O 半径长为 4 米．若点 C 为运行轨
道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是( )
图 1 图 2
A．1 米 B．(4－ 7 )米 C．2 米 D．(4＋ 7 )米
答案：B
5．(2025·安徽模拟)如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，
若∠BCD＝35°，则∠ABD 等于( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
答案：C
6．(2025·合肥二模)如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB 于点 D，若 AB＝8，CD＝6，
则⊙O 的半径为________．
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答案：2 5
7．(2025·合肥二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，BO 的延长线交
CD 于点 E.
(1)求证：∠DBE＝∠DCB；
(2)若 BC＝4 2 ，BE＝4，求 OE 的长．
解：(1)如图，延长 BE 交⊙O 于点 F，连接 AF.
⌒ ⌒
因为 AB＝AC，所以AB=AC，所以∠ABC＝∠AFB.
因为 BF 是⊙O 的直径，所以∠BAF＝90°，所以∠DBE＋∠AFB＝90°＝∠ABC＋∠DCB.
又因为∠ABC＝∠AFB，所以∠DBE＝∠DCB.
(2)如图，连接 CF. 因为∠BDC＝90°，所以∠DBE＋∠DEB＝90°.
因为 BF 是⊙O 的直径，所以∠FCB＝90°，所以∠FCE＋∠DCB＝90°.
又因为∠DBE＝∠DCB，所以∠DEB＝∠FCE.
因为∠DEB＝∠FEC，所以∠FEC＝∠FCE，所以 FE＝FC.
设 FE＝FC＝x，在 Rt△CBF 中，BC＝4 2 ，BF＝BE＋EF＝4＋x，BC2＋CF2＝BF2，
所以 32＋x2＝(4＋x)2，解得 x＝2，所以 BF＝4＋x＝4＋2＝6，
1
所以 OB＝ BF＝3，所以 OE＝BE－OB＝4－3＝1，所以 OE 的长为 1.
2
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考点四 圆内接四边形
⌒ ⌒ ⌒
8．(2025·合肥模拟)如图，四边形 ABCD 内接于圆，∠ABC＝110°，BADl＝5π，BCDl＝7π，则ADC
的长度为( )
11 22
A． π B． π C．7π D．8π
3 3
答案：B
9．(2025·合肥一模)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 和 BD 是⊙O 的弦，延长 AC，BD 交于点 P，
连接 AD，CD.
(1)若点 C 为 AP 的中点，且 PC＝PD，求∠B 的度数；
(2)若点 C 为弧 AD 的中点，PD＝4，PC＝2 3 ，求⊙O 的半径．
解：(1)如图，连接 BC.
因为 AB 为⊙O 的直径，所以∠ACB＝∠ADB＝90°.
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又因为 C 为 AP 的中点，所以 BC 垂直平分 AP，所以 AB＝PB.
因为 PC＝PD，所以∠PCD＝∠PDC.
因为四边形 ABDC 内接于⊙O，所以∠PCD＝∠ABD，∠PDC＝∠CAB，
所以∠ABD＝∠CAB，所以 PA＝PB，所以 AB＝PB＝PA，
即△PAB 是等边三角形，所以∠ABP＝60°.
(2)如图，连接 OC.
⌒ ⌒
因为点 C 为弧 AD 的中点，即AC＝CD，所以 OC⊥AD.
又因为∠ADB＝90°，所以 OC∥BP，所以△ACO∽△APB，
AC CO AO 1 1
所以 ＝ ＝ ＝ ，所以 AC＝PC＝2 3 ，AP＝4 3 ，CO＝ PB.
AP PB AB 2 2
PD PC
因为∠PDC＝∠PAB，∠P＝∠P，所以△PDC∽△PAB，所以 ＝ ，
PA PB
4 2 3 1
即 ＝ ，所以 PB＝6，所以 CO＝ PB＝3，即⊙O 的半径是 3.
4 3 PB 2
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第 24 节 圆的有关性质
考点一 垂径定理及其推论
1．如图，AB 是⊙O 中的一条弦，半径 OD⊥AB 于点 C，交⊙O 于点 D，点 E 是弧 AEB 上一点．若
∠OAB＝46°，则∠E＝( )
A．46° B．44° C．23° D．22°
2．(2025·合肥一模)如图，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为 E，连接 OC，若⊙O 的半径
为 4，∠ABD＝30°，则 CD＝( )
A． 3 ＋4 B．2 3 ＋2 C．4 2 D．4 3
3．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点 O 为圆心的圆的一部分，如果 C 是弦 AB 的中
点，CD 经过圆心 O 交⊙O 于点 D，并且 AB＝4 cm，CD＝6 cm，则圆 O 的半径长为________cm.
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4．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描
绘了筒车的工作原理，如图 1.筒车盛水桶的运行轨道是以轴心 O 为圆心的圆，如图 2，已知圆
心 O 在水面上方，且⊙O 被水面截得的弦 AB 长为 6 米，⊙O 半径长为 4 米．若点 C 为运行轨
道的最低点，则点 C 到弦 AB 所在直线的距离是( )
图 1 图 2
A．1 米 B．(4－ 7 )米 C．2 米 D．(4＋ 7 )米
5．(2025·安徽模拟)如图，已知⊙O 是△ABD 的外接圆，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，
若∠BCD＝35°，则∠ABD 等于( )
A．35° B．45° C．55° D．65°
6．(2025·合肥二模)如图，△ABC 内接于⊙O，∠A＝45°，CD⊥AB 于点 D，若 AB＝8，CD＝6，
则⊙O 的半径为________．
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7．(2025·合肥二模)如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AB＝AC，CD⊥AB 于点 D，BO 的延长线交
CD 于点 E.
(1)求证：∠DBE＝∠DCB；
(2)若 BC＝4 2 ，BE＝4，求 OE 的长．
考点四 圆内接四边形
⌒ l ⌒ l ⌒8．(2025·合肥模拟)如图，四边形 ABCD 内接于圆，∠ABC＝110°，BAD ＝5π，BCD ＝7π，则ADC
的长度为( )
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A． π B． π C．7π D．8π
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9．(2025·合肥一模)如图，AB 为⊙O 的直径，AC 和 BD 是⊙O 的弦，延长 AC，BD 交于点 P，
连接 AD，CD.
(1)若点 C 为 AP 的中点，且 PC＝PD，求∠B 的度数；
(2)若点 C 为弧 AD 的中点，PD＝4，PC＝2 3 ，求⊙O 的半径．
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