数学中考总复习 第 1 轮
第 13 节 二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的图象与性质
1．(2025·安徽)下列函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1 C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
答案：D
k
2．(2025·合肥一模)已知反比例函数 y＝ (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数 y＝mx＋n(m≠0)
x
的图象如图所示，则函数 y＝mx2＋nx－k＋1 的图象可能为( )
A． B．
C． D．
答案：A
3．将抛物线 C1：y＝(x－3)2＋2 向左平移 3 个单位长度，得到抛物线 C2，抛物线 C2 与抛物线
C3 关于 x 轴对称，则抛物线 C3 的解析式为( )
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
答案：D
4．(2025·合肥一模)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 y＝a(x－h)2＋k(a
＜0)上任意两点．
(1)若对于 x1＝1，x2＝5，有 y1＝y2，则 h＝________；
(2)若对于 0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有 y1＞y2，则 h 的取值范围是________．
答案：(1)3 (2)h≤2
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5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc>0；②a＋c－4ac<0；④2c<3b；⑤M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x12，则 y1>y2.其
中正确的结论有________．(填序号)
答案：②④⑤
b
解析：①由图象可知 a<0，c>0，对称轴为直线 x＝－ ＝1，所以 b＝－2a 且 b>0，所以 abc<0，
2a
故①不正确；
②由图象可知当 x＝－1 时，y<0，所以 a－b＋c<0，所以 a＋c③由图象可知抛物线与 x 轴有两个交点，所以 b2－4ac>0，故③不正确；
1
④因为 b＝－2a，a＋c－ b＋c，所以 2c<3b，故④正确；
2
x1＋x2
⑤因为 M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x12，则 >1. 2
因为函数图象的对称轴是直线 x＝1，
所以 M(x1，y1)到对称轴的距离小于 N(x2，y2)到对称轴的距离，所以 y1>y2，故⑤正确．
考点二 确定二次函数的解析式
6．已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点位于直线 y＝2x 上，当该抛物线的顶点是原点时，则该
抛物线经过点(－2，2).
(1)当 h＝－2 时，求二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的解析式；
(2)当二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点时，求 h 的取值范围；
(3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与直线 x＝4 交于点 P，求点 P 到 x 轴距离的最小值．
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解：因为抛物线的解析式为 y＝a(x－h)2＋k，
所以抛物线的对称轴为直线 x＝h，顶点为(h，k).
当该抛物线的顶点是原点时，则 h＝0，k＝0，
1
则抛物线的解析式为 y＝ax2. 把点(－2，2)代入 y＝ax2，得 a＝ .
2
因为顶点位于直线 y＝2x 上，将(h，k)代入，得 k＝2h.
1
(1)当 h＝－2 时，k＝－4，所以抛物线的解析式为 y＝ (x＋2)2－4.
2
1
(2)因为二次函数 y＝ (x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点，所以最小值 y>0.
2
1
因为 y＝ (x－h)2＋k 的最小值为 2h，所以 2h>0. 即 h 的取值范围是 h>0.
2
1 1 1 1
(3)把 x＝4 代入 y＝ (x－h)2＋k 中，得 y＝ (4－h)2＋2h＝ h2－2h＋8＝ (h－2)2＋6.
2 2 2 2
当 h＝2 时，y 最小＝6，所以点 P 到 x 轴距离的最小值为 6.
7．(2025·安徽押题卷)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，经
过点 D(－2，－3)，与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点 M 是 x 轴上位于点 A 与点 B 之间的一个动点(含点 A 与点 B)，过点 M 作 x 轴的垂线分
别交抛物线和直线 BC 于点 E、点 F，求线段 EF 的最大值．
解：(1)因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，
所以可设抛物线的函数解析式为 y＝a(x－4)(x＋1).
1
因为抛物线 y＝ax2＋bx＋c 经过点 D(－2，－3)，则 6a＝－3，解得 a＝－ .
2
1 1 3
所以抛物线的函数解析式为 y＝－ (x－4)(x＋1)＝－ x2＋ x＋2.
2 2 2
(2)当 x＝0 时，y＝2，所以 C(0，2).
1
设直线 BC 的解析式为 y＝kx＋2，把 B(4，0)代入，得 4k＋2＝0，解得 k＝－ ，
2
1
所以直线 BC 的解析式为 y＝－ x＋2.
2
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1 3，－ 2＋ ＋
1
设 M(m，0)，－1≤m≤4，则 E m m m 2 ，F m，－ m＋2 ，
2 2 2
1 3
2 1 1 1所以 EF＝|－ m ＋ m＋2－ － m＋2 |＝ － m2＋2m ＝ － （m－2）2＋
2 .
2 2 2 2 2
1
当 0≤m≤4 时，EF＝－ (m－2)2＋2，所以当 m＝2 时，EF 有最大值 2；
2
1
当－1≤m＜0 时，EF＝ (m－2)2－2，
2
5
当 m＝－1 时，EF 有最大值 .
2
5
综上所述，EF 的最大值为 .
2
考点三 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
8．(2025·安徽)已知抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横
坐标大 1.
(1)求 b 的值．
(2)点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y1＋h)在抛物线 y＝－x2＋bx 上．
①若 h＝3t，且 x1≥0，t＞0，求 h 的值；
②若 x1＝t－1，求 h 的最大值．
解：(1)y＝－x2＋2x＝－(x2－2x＋1)＋1＝－(x－1)2＋1，
所以抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点坐标为(1，1).
因为抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横坐标大 1，
b
所以抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标为 2，所以－ ＝2，所以 b＝4.
2×（－1）
(2)由(1)，得 y＝－x2＋bx＝－x2＋4x.
因为点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y1＋h)在抛物线 y＝－x2＋4x 上，
所以 y1＝－x21 ＋2x1，y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)，
整理，得 h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t.
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①因为 h＝3t，所以 3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t，整理，得 t(t＋2x1)＝t＋2x1.
因为 x1≥0，t＞0，所以 t＝1，所以 h＝3.
②将 x ＝t－1 代入 h＝－t21 －2x1t＋2x1＋4t，
4 2 10
整理，得 h＝－3t2＋8t－2＝－3· t－ ＋ .
3 3
4 1 10
因为－3＜0，所以当 t＝ ，即 x1＝ 时，h 取得最大值为 . 3 3 3
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第 13 节 二次函数的图象与性质
考点一 二次函数的图象与性质
1．(2025·安徽)下列函数中，y 的值随 x 值的增大而减小的是( )
A．y＝x2＋1 B．y＝－x2＋1
C．y＝2x＋1 D．y＝－2x＋1
k
2．(2025·合肥一模)已知反比例函数 y＝ (k≠0)在第二象限内的图象与一次函数 y＝mx＋n(m≠0)
x
的图象如图所示，则函数 y＝mx2＋nx－k＋1 的图象可能为( )
A． B．
C． D．
3．将抛物线 C1：y＝(x－3)2＋2 向左平移 3 个单位长度，得到抛物线 C2，抛物线 C2 与抛物线
C3 关于 x 轴对称，则抛物线 C3 的解析式为( )
A．y＝x2－2 B．y＝－x2＋2
C．y＝x2＋2 D．y＝－x2－2
4．(2025·合肥一模)在平面直角坐标系 xOy 中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线 y＝a(x－h)2＋k(a
＜0)上任意两点．
(1)若对于 x1＝1，x2＝5，有 y1＝y2，则 h＝________；
(2)若对于 0＜x1＜1，4＜x2＜5，都有 y1＞y2，则 h 的取值范围是________．
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5．二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象如图所示，有下列 5 个结论：①abc>0；②a＋c－4ac<0；④2c<3b；⑤M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线上两点(x12，则 y1>y2.其
中正确的结论有________．(填序号)
考点二 确定二次函数的解析式
6．已知抛物线 y＝a(x－h)2＋k 的顶点位于直线 y＝2x 上，当该抛物线的顶点是原点时，则该
抛物线经过点(－2，2).
(1)当 h＝－2 时，求二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的解析式；
(2)当二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与 x 轴无交点时，求 h 的取值范围；
(3)二次函数 y＝a(x－h)2＋k 的图象与直线 x＝4 交于点 P，求点 P 到 x 轴距离的最小值．
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7．(2025·安徽押题卷)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴交于 A(－1，0)，B(4，0)两点，经
过点 D(－2，－3)，与 y 轴交于点 C.
(1)求抛物线的函数解析式；
(2)若点 M 是 x 轴上位于点 A 与点 B 之间的一个动点(含点 A 与点 B)，过点 M 作 x 轴的垂线分
别交抛物线和直线 BC 于点 E、点 F，求线段 EF 的最大值．
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考点三 二次函数与一元二次方程、一元二次不等式的关系
8．(2025·安徽)已知抛物线 y＝－x2＋bx(b 为常数)的顶点横坐标比抛物线 y＝－x2＋2x 的顶点横
坐标大 1.
(1)求 b 的值．
(2)点 A(x1，y1)在抛物线 y＝－x2＋2x 上，点 B(x1＋t，y 21＋h)在抛物线 y＝－x ＋bx 上．
①若 h＝3t，且 x1≥0，t＞0，求 h 的值；
②若 x1＝t－1，求 h 的最大值．
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