2024-2025人教版（2019）高中数学必修二 第六章 平面向量及其应用题型归纳（含答案）

第六章 平面向量及其应用题型归纳
【题型1 平面向量的概念】
【例1】以下说法中，正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．零向量的长度为0，没有方向
C．单位向量都是共线向量
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
【变式1.1】给出下列命题，正确的是（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则它们的起点和终点均相同
C．若存在实数，使得，则
D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形
【变式1.2】下列说法中，正确的序号是 ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
【变式1.3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.
(1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米）
(2)求向量的模.
【题型2 平面向量的线性运算】
【例2】已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【变式2.1】已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【变式2.2】已知，为两个不共线的向量，，，则
（用，表示）
【变式2.3】设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
【题型3 平面向量的数量积】
【例3】已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．6 C． D．3
【变式3.1】如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【变式3.2】已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示).
【变式3.3】如图，在边长为2的菱形中.
(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
【题型4 向量共线的判断与求参】
【例4】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【变式4-2】在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
【变式4-3】设是平面内的一组基底，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【题型5 平面向量基本定理及其应用】
【例5】如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】如图，在矩形中，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【变式5-3】在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个是假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】
【例6】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-1】已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式6-3】已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【题型7 平面向量数量积的坐标表示】
【例7】设，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【变式7-1】如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【变式7-2】已知向量，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【变式7-3】是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【题型8 向量的夹角、模长问题】
【例8】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【变式8.1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【变式8.2】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 .
【变式8.3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【题型9 向量的平行、垂直问题】
【例9】已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【变式9-1】已知向量，则（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
【变式9-2】已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【变式9-3】已知向量．
(1)当且时，求；
(2)当，求向量与的夹角．
【题型10 向量线性运算的几何应用】
【例10】如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
【变式10-1】如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：
甲：；乙：；
丙：；丁：；
若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【变式10-2】如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
【变式10-3】如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：．
【题型11 向量与几何最值（范围）问题】
【例11】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【变式11-1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ）
A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为16
【变式11-2】已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）.
(1)求的最小值；
(2)设线段与的交点为，求的最小值.
【变式11-3】在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.
【题型12 向量在物理中的应用】
【例12】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）
（重力加速度取）
A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N
【变式12.1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟
【变式12.2】一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 .
【变式12.3】一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动.
(1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；
(2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间.
第六章 平面向量及其应用题型归纳答案
【题型1 平面向量的概念】
【例1】以下说法中，正确的是（ ）
A．两个具有公共终点的向量一定是共线向量
B．零向量的长度为0，没有方向
C．单位向量都是共线向量
D．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
【解】对于A，如果两个向量的起点，终点不在同一直线上，它们不是共线向量，故A错；
对于B，零向量的长度（大小）为0，方向是任意的，B错，
对于C，单位向量可以垂直，它们不一定是共线向量，C错；
对于D，向量既有大小又有方向，因此两个向量不能比较大小，
而它们的模是表示它们的有向线段的长度，是非负实数，可以比较大小，D正确；
故选：D．
【变式1.1】给出下列命题，正确的是（ ）
A．的充要条件是且
B．若，则它们的起点和终点均相同
C．若存在实数，使得，则
D．若是平面内的四点，且，则四点一定能构成平行四边形
【解】对于A中，由，可得且向量与同向，
所以的必要不充分条件是且，所以A错误；
对于B中，若，则它们的起点和终点不一定均相同，所以B错误；
对于C中，若存在实数，使得，根据向量的共线定理，可得，所以C正确；
对于D中，若是平面内的四点，且，则可能在同一条直线上，不一定构成平行四边形，所以D错误.
故选：C.
【变式1.2】下列说法中，正确的序号是 ①③ ．
①零向量都相等；
②任一向量与它的平行向量不相等；
③若四边形是平行四边形，则；
④共线的向量，若始点不同，则终点一定不同．
【解】对于①：因为零向量的长度都为0，且其方向任意，所以零向量都相等，故①正确；
对于②：平行向量的方向可以相同，且大小也可以相等，
所以任一向量与它的平行向量可能相等，故②错误；
对于③：根据向量的定义知与的方向相同，且长度相等，
所以，故③正确；
对于④：根据共线向量的定义可知：共线的向量，始点不同，终点可能相同，
所以④错误.
故答案为：①③.
【变式1.3】某人从点A出发向东走了5米到达点B，然后改变方向按东北方向走了米到达点.
(1)在图中作出向量；（正方形小方格的边长是1米）
(2)求向量的模.
【解】（1）作出向量，如图：
（2）依题意，，向量相当于从点A出发向东走15米，再向正北走10米，
所以（米）.
【题型2 平面向量的线性运算】
【例2】已知与是两个不共线的向量，，若三点共线，则实数的值为（ ）
A． B． C．4 D．5
【解】因为，
所以，
因为三点共线，必存在一个实数，使得，
所以，而不共线，
所以，解得：.
故选：B.
【变式2.1】已知三点共线，不共线且在线段上（不含端点），若，则的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【解】依题意，，则，又，
于是，，则，
因此，
当且仅当，即时取等号，
所以时，取得最小值.
故选：C.
【变式2.2】已知，为两个不共线的向量，，，则
（用，表示）
【解】由题意，，，
所以.
故答案为：.
【变式2.3】设，是两个不共线的向量，已知，，.
(1)求证：A，B，D三点共线；
(2)若，且，求实数的值.
【解】（1）由，，，
所以，
所以，
所以、共线，且有公共点B，
所以A，B，D三点共线.
（2）由，且，
所以，
即，
所以，所以，
所以实数的值为9.
【题型3 平面向量的数量积】
【例3】已知向量，满足，，且向量在向量上的投影向量为，则（ ）
A． B．6 C． D．3
【解】根据公式可知向量在向量上的投影向量为
所以，得.
故选：A.
【变式3.1】如图，在等腰梯形中，，，分别为，的中点，与交于点，则（ ）
A． B．2 C． D．1
【解】因为，分别为，的中点，所以，，
有，所以，
分别过作，则，
所以，在直角三角形中，易得，
设，
因为D，O，F三点共线，所以，即，
故，
，
故选：D.
【变式3.2】已知向量 在向量 方向上的投影向量为 ，且 ，则 (结果用数值表示).
【解题思路】根据投影向量的概念结合已知条件，求解即可得出答案.
【解答过程】由已知可得，向量 在向量 方向上的投影向量为，
所以有.
故答案为：.
【变式3.3】如图，在边长为2的菱形中.
(1)求；
(2)若E为对角线上一动点.连结并延长，交于点F，连结，设.当λ为何值时，可使最小，并求出的最小值.
【解答过程】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，则，即，
所以
，
故，所以当时，取得最小值为.
【题型4 向量共线的判断与求参】
【例4】设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（ ）
A． B． C． D．
【解题思路】根据向量平行得到方程，求出答案.
【解答过程】向量与向量共线，
设，故，解得.
故选：B.
【变式4-1】已知是两个不共线的向量，若与是共线向量，则实数的值为（ ）
A． B．6 C． D．
【解】∵与是共线向量，
∴存在实数，使得，即，
已知是两个不共线的向量，
则有，解得.
故选：A.
【变式4-2】在中，为上一点，且，则实数值为（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】
，
因此，
因为三点共线，所以，，
故选：B.
【变式4-3】设是平面内的一组基底，，则（ ）
A．三点共线 B．三点共线
C．三点共线 D．三点共线
【解】A选项，设，则，无解，故三点不共线，A错误；
B选项，设，则，无解，故三点不共线，B错误；
C选项，，
，
故，故三点共线，C正确；
D选项，，
设，则，无解，故三点不共线，D错误.
故选：C.
【题型5 平面向量基本定理及其应用】
【例5】如图，在△ABC中，点D，D，E分别为BC和BA的三等分点，点D靠近点B，AD交CE于点P，设，，则＝（ ）
A． B． C． D．
【解】设，，
所以，
又，所以，
因为，
所以，
所以，解得，
所以，
故选：B.
【变式5-1】在中，点是线段上一点，点是线段上一点，且，，则（ ）
A． B． C． D．
【解】因为，所以，即，
又，所以，
因为点是线段上一点，即、、三点共线，
所以，解得.
故选：B.
【变式5-2】如图，在矩形中，若，则等于（ ）
A． B．
C． D．
【解】在矩形中，，
则.
故选：A.
【变式5-3】在中，点是上一点，点满足，与的交点为．有下列四个命题：
甲： 乙：
丙： 丁：
如果只有一个是假命题，则该命题为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解】若甲为真命题，，则点为的中点，
由可得，，
因为三点共线，故可得，
即，
由三点共线，可得，
所以，得，即，
所以，故乙为真命题；故，可知命题丙为真命题；
由共线，故可设，
即,
因为三点共线，故可设，
所以，得，
即，故命题丁为假命题.
综上，甲乙丙为真命题，丁为假命题.
故选：D.
【题型6 平面向量线性运算的坐标表示】
【例6】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【解】因，则.
故选：A.
【变式6-1】已知向量，点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【解】设点，由向量的坐标表示可知，，
所以，解得，即点的坐标为.
故选：A.
【变式6-2】已知向量，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解】向量，
若，则,
所以，
可得,即得.
故选：B.
【变式6-3】已知点，向量，，点是线段靠近的三等分点，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．或
【解答过程】由已知，，
则，
点是线段靠近的三等分点，
则，
且，
则，
即，
故选：B.
【题型7 平面向量数量积的坐标表示】
【例7】设，则等于（ ）
A． B． C． D．1
【解答过程】因为，
所以，
所以.
故选：B.
【变式7-1】如图，在平面四边形中，，建立如图所示的平面直角坐标系，且，，，则（ ）
A．3 B．1 C．2 D．4
【解】在平面四边形中，，可以建立如图平面直角坐标系，
，，设，
因为，所以，解得，所以，
又，所以，所以，，
所以．
故选：C．
【变式7-2】已知向量，则（ ）
A． B． C．2 D．4
【解答过程】因为，
所以，
故．
故选：B.
【变式7-3】是边长为2的正方形边界或内部一点，且，则的最大值是（ ）
A．2 B．4 C．5 D．6
【解】以B为坐标原点，以BC方向为轴正方向，以BA方向为轴正方向建立坐标系，
则，设，，，
则，
因为，则，
则，
故当，时取得最大值为5．
故选：C.
【题型8 向量的夹角、模长问题】
【例8】在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
【解】解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
【变式8.1】中，，∠A的平分线AD交边BC于D，已知，且，则AD的长为（ ）
A． B．3 C． D．
【解】如图，过作交于，作交于，
则，又，
所以，，
所以，即，
又是的平分线，所以，而，所以，
，
，
所以，
故选：C．
【变式8.2】正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点，则的余弦值为 .
【解】以所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图，
因为正方形的边长为，是的中点，是边上靠近点的三等分点，
设，则，，，，
则，
而等于与所成的角．
所以．
故答案为：.
【变式8.3】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．
(1)求的余弦值．
(2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由．
【解】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系．
则．由于就是的夹角．
的余弦值为．
（2）设
．
．
由题得．
①当点在上时，设，
；
②当点在上时，设，
，舍去．
综上，存在．
【题型9 向量的平行、垂直问题】
【例9】已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【解答过程】向量，，由，得，
所以.
故选：D.
【变式9-1】已知向量，则（ ）
A．“”是“”的充分条件
B．“”是“”的充分条件
C．“”是“”的必要条件
D．“”是“”的必要条件
【解答过程】因为，
若，则，解得，
故“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故A错误；
所以“”是“ ”的既不充分也不必要条件，故D错误；
若，则，解得或，
所以“”是“”的充分条件，故B正确；
“”是“”的充分不必要条件，故C错误；
故选：B.
【变式9-2】已知向量，，．
(1)若，求实数的值；
(2)若，求实数的值．
【解】（1）因为，．所以，
因为，且，
所以，得．
（2）因为，，，
所以，且．
所以，得．
【变式9-3】已知向量．
(1)当且时，求；
(2)当，求向量与的夹角．
【解】（1）因为向量
则，，
又因为，则，
可得，解得或，
且，则，则，，
所以.
（2）由，则，
由，可得，解得，即，
可得，，，
则，
且，所以向量与的夹角.
【题型10 向量线性运算的几何应用】
【例10】如图，在正方形中，,和相交于点G，且F为上一点（不包括端点），若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．15
【解】由题可设，
则由题意得，
因为、、三点共线，故，
所以，
所以，
又、、三点共线，所以，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
故的最小值为.
故选：B.
【变式10-1】如图，在中，点是边上一点，点是边的中点，与交于点，有下列四个说法：
甲：；乙：；
丙：；丁：；
若其中有且仅有一个说法是错误的，则该错误的说法为（ ）
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【解】若，则点是的重心，则有，
所以甲乙中必有一个是错误的，所以丙丁正确，
由丁：知，点不是边的中点，所以甲说法错误.
故选：A.
【变式10-2】如图，点D是中BC边的中点，，.
(1)试用，表示；
(2)若点G是的重心，能否用，表示？
(3)若点G是的重心，求.
【解】（1）因为点D是中BC边的中点，且，，
所以；
（2）因为点G是的重心，
所以
.
（3）因为点G是的重心且D是BC边的中点，所以，
又，所以，所以.
【变式10-3】如图，在四边形中，为对角线与中点连线的中点，为平面上任意给定的一点．求证：．
【解】证明：因为分别为的中点，
所以，
所以，
所以．
【题型11 向量与几何最值（范围）问题】
【例11】窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图1是一个正八边形窗花隔断，图2是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图．如图2，若正八边形的边长为2，P是正八边形八条边上的动点，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解】由投影向量的定义可知，当在上时，取得最大值，
延长交的延长线于点，
的最大值为，
其中正八边形的外角为，故，
故，，
故，
所以最大值为.
故选：B.
【变式11-1】“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆的半径2，点是圆内的定点，且，弦均过点，则下列说法错误的是（ ）
A．为定值 B．的取值范围是
C．当时，为定值 D．的最大值为16
【解】如图，过作直径，
由题意，
所以
为定值，A对；
若为中点，连接，则
，
由题意，则，B错；
若，故，
则，
又，则，同理可得，故，C对；
因为，则当弦均与重合时，此时有最大值，为16，故D正确.
故选：B.
【变式11-2】已知矩形中，为中点，为边上的动点（不包括端点）.
(1)求的最小值；
(2)设线段与的交点为，求的最小值.
【解】（1）设，如图建立直角坐标系：
，
当时，有最小值，最小值为0；
（2）由图可得：
则
，
当且仅当即时取等号，
的最小值为.
【变式11-3】在锐角中，，点为的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（i）求证：；
（ii）求的取值范围.
【解】（1）因为，所以，
因为点为的外心，所以，即，，
因为，所以，
所以，
设三角形的外接圆的半径为，则，
由得，
所以，所以，
因为，当且仅当时，等号成立，
所以，即，
得，得或.
因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内，
由可知，
再由可知，
所以应舍去，所以，
所以的最大值为.
（2）（i）延长交圆于，则，过 作，垂足为，过作，垂足为，如图：
因为，所以，
因为，且，所以，
所以，，
所以，
所以，
所以.
（ii）延长至，使得，则，以为邻边作矩形，
则，且，
延长至，使得，则，如图：
所以，
所以当三点共线时， 取最小值，最小值为，
因为三角形为锐角三角形，且，所以，可得，
所以，
当时，
，
当时，
，
所以，即的取值范围是.
【题型12 向量在物理中的应用】
【例12】如图为某种礼物降落伞的示意图，其中有8根绳子和伞面连接，每根绳子与铅垂线的夹角均为．已知礼物的质量为1kg，每根绳子的拉力大小相同，则降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小最接近（ ）
（重力加速度取）
A．1.8N B．1.6N C．1.5N D．1.4N
【解】设每根绳子上的拉力大小为，
则根据平衡条件可得，,
解得．
所以降落伞在匀速下落的过程中每根绳子拉力的大小约为1.41N．
故选：D.
【变式12.1】如图所示，一条河两岸平行，河的宽度为400米，一艘船从河岸的地出发，向河对岸航行．已知船在静水中的航行速度的大小为，水流速度的大小为，船的速度与水流速度的合速度为，那么当航程最短时，下列说法正确的是（ ）
A．船头方向与水流方向垂直 B．
C． D．该船到达对岸所需时间为3分钟
【解】当航程最短时，船的实际航线应垂直河岸，此时船在静水中的速度应斜向上游，船头方向与水流方向不垂直，所以A选项错误.
设船在静水中的速度与水流速度的夹角为，因为船的实际航线垂直河岸，所以、与合速度构成直角三角形，根据三角函数关系可得.
已知，，则，即，根据诱导公式，可得，所以，即，B选项错误.
由、与合速度构成直角三角形，根据勾股定理可得.
将，代入，可得，C选项正确.
河宽米千米，合速度，可得.
将换算为分钟，所以分钟分钟，D选项错误.
故选：C.
【变式12.2】一质点在力，的共同作用下，由点移动到，则，的合力对该质点所做的功为 16 .
【解答过程】由题意得：，
，
则合力对该质点所做的功为.
故答案为：16.
【变式12.3】一艘船从码头A出发，计划向正北方向直线航行到对岸的B点，AB距离为100公里.船在静水中的航速为50公里/小时，但河流以25公里/小时的速度持续向东流动.
(1)若船头始终指向正北方向，求船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离；
(2)若船需要准确到达正北方向的B点，求船头应调整的方向（即船头方向与正北方向的夹角），以及到达B点所需时间.
【解】（1）设船在静水中的速度为，水流速度为，船实际航行速度为，则，
由船头始终指向正北方向，得，而，向量的夹角为，
于是，
所以船到达对岸时实际停靠点与B点的偏离距离为（公里）.
（2）由（1）知，，，，
由船需要准确到达正北方向的B点，得，
则，解得，
而，于是，，
，，
所以船头应调整的方向，到达B点所需时间为小时.