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第二十三章 旋转 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．自然科学推动人类进步，而数学是打开它们的钥匙．以下有关图形中，不是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
2．下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，将 绕着点C按顺时针方向旋转 ，B点落在 位置，A点落在 位置，若 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
4．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
5．如图，四边形中，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点的坐标为（ ）
A．(3，) B．(3，) C．(，) D．（，）
8．若点P(2 m，5)关于原点对称的点是P'(3，2n+1)，则m-n的值为（ ）
A． B． C． D．
9．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（ ）
A．可以由绕点逆时针旋转得到
B．点与的距离为5
C．
D．
10．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C′，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为 ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A'恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
14．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为 ．
15．如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为
16．如图，矩形中，，，点是线段上一个动点，连结，将绕点顺时针旋转，得到，连结，.
（1）当时，求 ；
（2）当 时，能使与面积相等.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1） 与关于点O成中心对称，画出对应的；
（2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
（3）若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为 ，旋转中心坐标为 ．
18．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，3），B（-1，0），C（3，-1）（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1
（2）直接写出在旋转过程中，点C经过的格点坐标（C，C1除外，格点指小正方形的顶点）.
19．含有 的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
（1）【操作一】三角板保持不动，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
①当时， ▲ 度.
②求t为何值时，.
（2）【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒.
①求t为何值时，与重合.
②试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍 若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
20．解不等式及求值：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点.
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于直线l轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3以A、A3、B、B3为顶点的四边形的面积为 .
22．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）.
（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A′的坐标 ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A″的坐标 ；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 .
23．在△ABC中，将边AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接DE.
（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC的面积为5，则△ADE的面积为 ；
（2）如图②，CF、EG分别是△ABC和△ADE的高，若△ABC为任意三角形，△ABC与△ADE的面积是否相等，请说明理由；
（3）如图④，连接BD、CE.若AB=4，AC=2 ，四边形CED的面积为13 ，则△ABC的面积为 .
24．如图，在 中， ， ，将 绕点O沿逆时针方向旋转90°得到 .
（1）线段 的长是 ， 的度数是 ；
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形.
25．如图
（1）（K图模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC中， ， ，直线ED经过点C，过A作 于点D，过B作 于点E．
求证： ；
（2）（模型应用）
①已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线 绕着点A逆时针旋转 至直线 ，如图2，求直线 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点 ，作 轴于点A，作 轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．
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第二十三章 旋转 单元同步检测卷
（时间：120分钟 满分：120分）
一、单选题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．自然科学推动人类进步，而数学是打开它们的钥匙．以下有关图形中，不是中心对称图形的为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
2．下列图形都是由两个全等的直角三角形组成的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：A、不是中心对称图形，是轴对称图形，故A不符合题意；
B、不是中心对称图形，是轴对称图形，故B不符合题意；
C、不是中心对称图形，是轴对称图形，故C不符合题意；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，故D符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形以及轴对称图形定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此逐项进行判断即可.
3．如图，将 绕着点C按顺时针方向旋转 ，B点落在 位置，A点落在 位置，若 ，则 的度数是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，由AC⊥A’B’可得∠BAC=∠A’=90°-20°=70°，
故答案为：C.
【分析】由旋转可知∠BAC=∠A’，∠A’CA=20°，据此可进行解答.
4．如图，点E在正方形ABCD的边CD上，将△ADE绕点A顺时针旋转90°到△ABF的位置，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为点H，与BC交于点G．若BG＝3，CG＝2，则CE的长为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：如图所示，连接EG，
由旋转可得，△ADE≌△ABF，
∴AE＝AF，DE＝BF，
又∵AG⊥EF，
∴H为EF的中点，
∴AG垂直平分EF，
∴EG＝FG，
设CE＝x，则DE＝5 x＝BF，FG＝8 x，
∴EG＝8 x，
∵∠C＝90°，
∴Rt△CEG中，CE2＋CG2＝EG2，即x2＋22＝（8 x）2，
解得x＝，
∴CE的长为，
故答案为：B．
【分析】连接EG，设CE＝x，则DE＝5 x＝BF，FG＝8 x，EG＝8 x，利用勾股定理可得CE2＋CG2＝EG2，即x2＋22＝（8 x）2，最后求出x的值，即可得到CE的长。
5．如图，四边形中，，，，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
6．如图，在中，，，．点在上，且．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，．则的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∵将线段绕点顺时针旋转得到线段，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴的面积等于；
故答案为：B
【分析】根据等腰三角形的性质结合旋转的性质得到，，等量代换得到，根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而结合三角形的面积即可求解、
7．如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至的位置，若OB＝，∠C＝120°，则点的坐标为（ ）
A．(3，) B．(3，) C．(，) D．（，）
【答案】D
8．若点P(2 m，5)关于原点对称的点是P'(3，2n+1)，则m-n的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点P(2 m，5)关于原点对称的点是P'(3，2n+1)，
∴2-m+3=0，5+2n+1=0，
解得m=5，n=-3，
所以m-n=5-（-3）=5+3=8．
故答案为：C．
【分析】利用关于原点对称的点坐标的特征（横坐标变为相反数，纵坐标变为相反数）可得2-m+3=0，5+2n+1=0，再求解即可.
9．如图，是等边内一点，，，，将线段以点为旋转中心逆时针旋转得到线段，下列结论错误的是（ ）
A．可以由绕点逆时针旋转得到
B．点与的距离为5
C．
D．
【答案】B
10．如图，点A的坐标为，点B是x轴正半轴上的一点，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转60°得到线段AC．若点C的坐标为，则m的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．在平面直角坐标系中，将点绕点O逆时针旋转，得到点，则点的坐标为 ．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，过作轴于，
∵，
∴，
∵，
∴，
由旋转的性质可知，，，
∴，
∴点的坐标为，
故答案为：．
【分析】过作轴于，先利用解直角三角形的方法求出，可得，再利用旋转的性质求出，，最后求出点的坐标为即可.
12．如图，将△ABC绕点C（0，﹣1）旋转180°得到△A′B′C′，设点A′的坐标为（a，b），则点A的坐标为 ．
【答案】（﹣a，﹣b﹣2）
【解析】【解答】设A的坐标为（m，n），
∵A和A′关于点C（0，﹣1）对称，∴ ， ，
解得m＝﹣a，n＝﹣b﹣2∴点A的坐标（﹣a，﹣b﹣2）．
【分析】设A的坐标为（m，n），由于A、B关于C点对称，则 ， ．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC=3，BC＝4，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转得到△A′B′C′，此时点A'恰好在AB边上，则点B′与点B之间的距离为 ．
【答案】
【解析】【解答】△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB= = 5
∵由旋转性质可知，∠ACA'=∠BCB'，AC=A'C=3， BC=B'C=4， AB=A'B=5，
∴∠CAA'=∠CA'A=1 ，
∴∠CBB'=∠CB 'B= ，
∴∠CAA'=∠CBB'，
∵∠CAA'+∠ABC=90°
∴∠CBB'+∠ABC=90°
∴BB’⊥AB
过C作CH⊥AB于H，
∵AC=A'C，
∴AH= A'H = AA'
∵S△ABC= AB·CH= BC·AC
∴CH=
∴AH=
∴AA'=2AH=
∴A'B=AB-AA'=5- =
∴BB'=
【分析】先求出BB’⊥AB，过C作CH⊥AB于H，根据等腰三角形的性质得出AH= A'H = AA'，由S△ABC= AB·CH= BC·AC，求出CH，利用勾股定理求出AH，即得AA'，利用A'B=AB-AA'求出A'B，再次利用勾股定理求出BB'即可.
14．在平面直角坐标系中，若点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，则代数式x2﹣y2的值为 ．
【答案】5
【解析】【解答】解：∵点A（x+1，2y+1）与点A'（y﹣2，x）关于原点O对称，
∴ ，
解得： ，
故x2﹣y2＝9﹣4＝5．
故答案为5．
【分析】直接利用关于原点对称点的性质得出关于x，y的方程组进而得出x，y的值，即可得出答案．
15．如图，OA⊥OB，等腰直角△CDE的腰CD在OB上，∠ECD＝45°，将△CDE绕点C逆时针旋转75°，点E的对应点N恰好落在OA上，则 的值为
【答案】
【解析】【解答】解：由题意得∠DCM=75°，∠NCM=∠ECD=45°
∴∠NCO=180°-75°-45°=60°
∴∠ONC=90°-60°=30°
设CD=a，CN=CE= a
∴OC= CN=
∴
故答案为 ．
【分析】由旋转角的定义可得∠DCM=75°，进一步可得∠NCO=60°，△NOC是30°直角三角形，设DE=a，将OC，CD用a表示，最后代入即可解答．
16．如图，矩形中，，，点是线段上一个动点，连结，将绕点顺时针旋转，得到，连结，.
（1）当时，求 ；
（2）当 时，能使与面积相等.
【答案】（1）45
（2）或
【解析】【解答】解：（1）如图1，作于点，
四边形是矩形，
，，，
由旋转得，，
，
在和中，
，
≌，
，，
，
，，
，
，
故答案为：.
（2）如图2，点在矩形的内部，作于点，
，
，
设，则，
由（1）得≌，
，，
，
，，且，
，
解得，不符合题意，舍去，
；
如图3，点在矩形的外部，作交的延长线于点，
，
，
，
，
在和中，
，
≌，
设，则，
，，
，
，，且，
，
解得，不符合题意，舍去，
，
综上所述，当或时，能使与面积相等，
故答案为：或.
【分析】（1）作FG⊥BC于点G，根据矩形的性质可得∠EGF=∠B=∠BCD=90°，CD=AB=3，BC=AD=5，根据旋转的性质可得EF=AE，∠AEF=90°，由同角的余角相等可得∠GEF=∠BAE，利用AAS证明△EGF≌△ABE，得到EG=AB=3，GF=BE=1，然后求出GC，根据等腰直角三角形的性质可得∠GCF=∠GFC=45°，然后根据∠FCD=∠BCD-∠GCF进行计算；
（2）点F在矩形ABCD的内部，作FG⊥BC于点G，设BE=m，则CE=5-m，由全等三角形的性质可得EG=AB=3，FG=BE=m，则CG=2-m，根据三角形的面积公式结合题意可得m的值；点F在矩形ABCD的外部，作FG⊥BC交BC的延长线于点G，同理求解即可.
三、综合题(本大题有9个小题，每小题8分，共72分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是．
（1） 与关于点O成中心对称，画出对应的；
（2）将以点为旋转中心顺时针旋转，画出旋转后对应的；
（3）若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为 ，旋转中心坐标为 ．
【答案】（1）解：如图， 即为所求作．
（2） 即为所求作；
（3）90°；（1，0）
【解析】【解答】解：（3） 若将看作由旋转得到的，那么旋转角的度数为90°，旋转中心坐标为（1，0），
故答案为：90°；（1，0）.
【分析】（1）根据题意作三角形即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可；
（3）结合图形，根据旋转的性质求解即可。
18．如图所示，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（0，3），B（-1，0），C（3，-1）（每个方格的边长均为1个单位长度）.
（1）将△ABC绕点A逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△AB1C1
（2）直接写出在旋转过程中，点C经过的格点坐标（C，C1除外，格点指小正方形的顶点）.
【答案】（1）解：如图，△即为所求；
（2）解：如下图得到点的轨迹，点C经过的格点如下图所示：
点经过的格点坐标为：，.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质和网格图的特征可画出图形；
（2）根据（1）的图形可求解.
19．含有 的直角三角板和含有的直角三角板按如图1放置，和重合.
（1）【操作一】三角板保持不动，将三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转.当它完成旋转一周时停止，设旋转的时间为t秒.
①当时， ▲ 度.
②求t为何值时，.
（2）【操作二】如图2，在三角板绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转的同时，三角板也绕着点B以每秒的速度按逆时针方向旋转，设旋转时间为t秒.
①求t为何值时，与重合.
②试探索：在两个三角板旋转的过程中，是否存在某个时刻，使得与中其中一个角是另一个角的两倍 若存在，请求出所有满足题意的t的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：①105；
②解：∵，
∴.
当在的上方时，如图，
∴，
∴，
∴（秒），
∴时，；
当在的下方时，如图，
，
解得.
综上可知，当秒或秒时，；
（2）解：①由旋转可知，的旋转角度为，旋转角度为，
当与重合时，比多旋转，
∴，
∴（），
∴当时，与重合；
②当与重合之前时，
∵（），
，
当时，，
∴（s），
当时，，
∴（），
当超过之后时，（），
，
当时，，（s），
当时，，（舍），
综上所述，t的值为2或4或12秒.
【解析】【解答】解：（1）①由题意知，，
，
∴当时，；
【分析】（1）①由题意可得∠ABC=∠CAB=45°，∠ABD=60°-∠DEB=30°，当t=0时，根据∠CBD=∠ABC+∠ABD就可求出∠CBD的度数；
②当BD在BC的上方时，∠ABD=∠CBD-∠ABC=45°，∠ABE=15°，据此不难求出t的值；当BD在BC的下方时，有15t=60+45+90，求解可得t的值；
（2）①由旋转可知：BD的旋转角度为15t，AB旋转角度为5t，当BD与AB重合时，BD比AB多旋转60°，据此可得t的值；
②当BD与AB重合之前时，∠ABD=60-10t，∠ABE=10t，然后分∠ABD=2∠ABE、∠ABE=2∠ABD进行计算可得t的值；当BD超过AB之后时，∠ABD=15t-5t-60，∠ABE=10t，同理可得t的值.
20．解不等式及求值：
（1）解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来；
（2）在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值．
【答案】（1）解：去分母，得：，
移项，得：，
合并，得：，
系数化为1，得：，
将不等式的解集表示在数轴上如下：
（2）解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，
．
【解析】【分析】（1）利用去分母、去括号、移项合并、系数化为1求出解集，再将解集在数轴上表示出来即可
（2） 根据关于原点对称点坐标的特征先求出a、b值，再代入计算即可.
21．如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的10×10网格中，已知△ABC的顶点均为网格线的交点.
（1）将△ABC向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度，画出平移后的△A1B1C1；
（2）画出△A1B1C1关于直线l轴对称的△A2B2C2；
（3）将△ABC绕点C逆时针旋转90°，画出旋转后的△A3B3C3以A、A3、B、B3为顶点的四边形的面积为 .
【答案】（1）解：△A1B1C1；如图所示.
（2）解：△A2B2C2如图所示.
（3）
【解析】【解答】解：（3）△A3B3C3如图所示，.
故答案为：.
【分析】（1）分别将点A、B、C向下平移5个单位长度，再向左平移1个单位长度得到点A1、B1、C1，然后顺次连接即可；
（2）分别找出点A1、C1关于直线l的对称点A2、C2，然后顺次连接即可；
（3）根据旋转的性质将点A、B绕点C逆时针旋转90°得到点A3、B3，顺次连接可得△A3B3C3，然后根据矩形、三角形的面积公式以及面积间的和差关系进行计算.
22．如图，已知△ABC的三个顶点坐标为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）.
（1）将△ABC绕坐标原点O旋转180°，画出图形，并写出点A的对应点A′的坐标 ；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，直接写出点A的对应点A″的坐标 ；
（3）请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标 .
【答案】（1）(2，-3)
（2）(-3，-2)
（3）（﹣7，3）或（﹣5，﹣3）或（3，3）.
【解析】【解答】(1)图形如图：点A的对应点A′的坐标为：(2， 3)；
( 点A的对应点A″的坐标( 3， 2)；(3)以A. B.C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标为：( 7，3)或( 5， 3)或(3，3)，
故答案为：(1)(2， 3)；(2)( 3， 2)；(3)( 7，3)或( 5， 3)或(3，3).
【分析】（1）根据关于原点对称点坐标特征：横、纵坐标分别互为相反数，分别求出点A、B、C关于原点对称点A'、B'、C'的坐标，然后顺次连接即可.
（2）将点A绕着点O逆时针旋转90°可得点A''，然后根据位置写出A''的坐标即可.
（3）分两种情况讨论：①以AC为边，②以AC为对角线，分别求出D坐标即可.
23．在△ABC中，将边AB绕点A顺时针旋转60°得到线段AD，将边AC绕点A逆时针旋转120°得到线段AE，连接DE.
（1）、如图①，当∠BAC=90°时，若△ABC的面积为5，则△ADE的面积为 ；
（2）如图②，CF、EG分别是△ABC和△ADE的高，若△ABC为任意三角形，△ABC与△ADE的面积是否相等，请说明理由；
（3）如图④，连接BD、CE.若AB=4，AC=2 ，四边形CED的面积为13 ，则△ABC的面积为 .
【答案】（1）5
（2）解：相等，理由如下：由旋转，得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，∴∠BAD+∠CAE=180°，∴∠DAE+∠CAB=180°，∵∠DAE +∠GAE=180°，∴∠FAC=∠GAE.∵CF、BG分别是△ABC和△ADE的高，∴∠AFC=∠AGE =90°，∴△ACF≌△AEG，∴CF=BG，∴△ABC与△ADE的面积相等。
（3）
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=AE，AB=AD，∠BAD=60°，∠CAE=120°，继而得∠DAE=∠BAC=90°，可证得△ABC≌△ADE，则两三角形面积相等；
（2）由∠BAD=60°，∠CAE=120°得∠DAE+∠CAB=180°，根据平角定义可得∠DAE +∠GAE=180°，可得∠FAC=∠GAE，然后证得 △ACF≌△AEG，继而得CF=BG，根据等底等高的两个三角形面积相等可求出结论；
（3）如图，分别作出△ABD和△AEC的高AH，AF。延长线段BA到G。使AG=AB，连接CG.
求得等边三角形△ABD的面积为4
和△AECDE的面积3
，则△ADE和△ABC的面积之和为6
，再证得
△ABC≌△AGE，从而证得△ADE和△ABC的面积都是3
。
24．如图，在 中， ， ，将 绕点O沿逆时针方向旋转90°得到 .
（1）线段 的长是 ， 的度数是 ；
（2）连接 ，求证：四边形 是平行四边形.
【答案】（1）6；90°
（2）证明： 将 绕点O沿逆时针方向旋转 得到 ， ， ，
， ，
∴ ， ，
四边形 是平行四边形.
【解析】【解答】解：（1）∵将 绕点O沿逆时针方向旋转 得到 ， ， ，
， ，
故答案为：6，90°；
【分析】（1）由旋转的性质可得OA1=OA=6，∠OA1B1=∠OAB=90°；
（2）由旋转的性质可得A1B1=AB=6，∠AOA1=90°=∠OA1B1，则OA∥A1B1，OA=A1B1=6，然后利用平行四边形的判定定理进行证明.
25．如图
（1）（K图模型建立）
如图1，等腰直角三角形ABC中， ， ，直线ED经过点C，过A作 于点D，过B作 于点E．
求证： ；
（2）（模型应用）
①已知直线 与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线 绕着点A逆时针旋转 至直线 ，如图2，求直线 的函数表达式；
②如图3，在平面直角坐标系中，点 ，作 轴于点A，作 轴于点C，P是线段BC上的一个动点，点Q是直线 上的动点且在第一象限内．问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵ 为等腰直角三角形，
∴ ， ．
又∵ ， ，
∴ ，
又∵ ，
∴ ．
在 和 中，
， ， ，
∴ ；
∴ ，
∴
（2）解：①：过点B作 交 于C，过C作 轴于D，
∵ ，
∴ 为等腰 ，
由第一题可知： ，
∴ ， ，
∵ ，
令 ，则 ，
∴ ，
令 ，则 ，
∴ ，
∴ ， ，
∴ ．
∴ ，
设直线的解析式为 ，
将点 ， 代入 中，
得
解得， ， ，
则 的解析式： ；
②：如下图，设点 ，
当 时，
由第一题知， ，
∴ ，即 ，
解得： 或 ，
故： 或
【解析】【分析】（1）【K图模型建立】：利用角的数量关系可求得 ， ，因此可证出 ，再通过全等三角形对应边相等转化即可；（2）【模型应用】①：过点B作 交 于C，过C作 轴于D，由第一题同理可得 ，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求 的解析式即可；②：设点 ，由第一题同理可得： ，利用全等三角形的性质建立关系式求解即可．
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