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浙教版（2024）八上一周一测（五）第一次阶段复习测试（1.1~2.5）
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2
2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
3．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
4．（3分）等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm
5．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝3，AC＝9，则BC的长为（ ）
A．15 B．5 C．12 D．12
7．（3分）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
8．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．三角形中至少有一个角大于60°
B．如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形
9．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）原命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题为 ，这个逆命题是 命题（填真或假）．
12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，这个三角形的周长是 ．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝ °．
14．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 ．
15．（3分）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝18°，则∠DEF＝ ．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 ．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知线段a，b和∠α，求作一个三角形，使其有一个内角等于α，且∠α的对边等于a，另一边等于b，要保留作图痕迹，写出作法．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）若∠ABC＝72°，求∠BPC的度数．
19．（8分）如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
20．（8分）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
21．（8分）已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）AF⊥DE．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCF；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
24．（12分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ °．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．中小学教育资源及组卷应用平台
浙教版（2024）八上一周一测（五）第一次阶段复习测试（1.1~2.5）
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C A B B D A D A B B
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．（3分）对于命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”能说明该命题为假命题的反例是（ ）
A．a＝0，b＝0 B．a＝1，b＝1 C．a＝﹣1，b＝1 D．a＝1，b＝2
【思路点拔】根据绝对值、实数的大小比较解答即可．
【解答】解：A、当a＝0，b＝0时，|a|＝|b|，a＝b，
不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意；
B、当a＝1，b＝1时，|a|＝|b|，a＝b，
不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意；
C、当a＝﹣1，b＝1时，|a|＝|b|，而a≠b，
能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，符合题意；
D、当a＝1，b＝2时，|a|≠|b|，a≠b，
不能说明命题“如果|a|＝|b|，那么a＝b”是假命题，不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是命题与定理，任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．
2．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，则∠B的度数为（ ）
A．40° B．50° C．60° D．80°
【思路点拔】根据等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理进行计算，即可解答．
【解答】解：∵AB＝AC，∠A＝100°，
∴∠B＝∠C40°，
故选：A．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
3．（3分）下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝3，c＝4 B．a：b：c＝2：3：4
C．∠B＝50°，∠C＝80° D．∠A：∠B：∠C＝1：1：2
【思路点拔】由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理，即可求得答案．
【解答】解：A、∵a＝3，b＝3，c＝4，
∴a＝b，
∴△ABC是等腰三角形；故选项A不符合题意；
B、∵a：b：c＝2：3：4
∴a≠b≠c，
∴△ABC不是等腰三角形，故选项B符合题意；
C、∵∠B＝50°，∠C＝80°，
∴∠A＝180°﹣∠B﹣∠C＝50°，
∴∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，故选项C不符合题意；
D、∵∠A：∠B：∠C＝1：1：2，
∵∠A＝∠B，
∴AC＝BC，
∴△ABC是等腰三角形，故选项D不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的判定，关键是根据由等腰三角形的定义与等角对等边的判定定理解答．
4．（3分）等腰三角形的周长为26cm，一边长为6cm，那么腰长为（ ）
A．6cm B．10cm C．6cm或10cm D．14cm
【思路点拔】题中给出了周长和一边长，而没有指明这边是否为腰长，则应该分两种情况进行分析求解．
【解答】解：①当6cm为腰长时，则腰长为6cm，底边＝26﹣6﹣6＝14（cm），因为14＞6+6，所以不能构成三角形；
②当6cm为底边时，则腰长＝（26﹣6）÷2＝10（cm），因为6﹣6＜10＜6+6，所以能构成三角形；
故选：B．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的综合运用，关键是利用三角形三边关系进行检验．
5．（3分）如图，已知△ABC，求作一点P，使P到∠A的两边的距离相等，且PA＝PB、下列确定P点的方法正确的是（ ）
A．P为∠A、∠B两角平分线的交点
B．P为AC、AB两边上的高的交点
C．P为AC、AB两边的垂直平分线的交点
D．P为∠A的角平分线与AB的垂直平分线的交点
【思路点拔】根据角平分线及线段垂直平分线的判定定理作答．
【解答】解：∵点P到∠A的两边的距离相等，
∴点P在∠A的角平分线上；
又∵PA＝PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上，
∴P为∠BAC的角平分线与线段AB的垂直平分线的交点．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，2∠B＝∠DAC，CE⊥AD，若AE＝DE＝3，AC＝9，则BC的长为（ ）
A．15 B．5 C．12 D．12
【思路点拔】由线段垂直平分线的性质推出CD＝AC＝9，得到∠ADC＝∠DAC，由三角形的外角性质推出∠B＝∠BAD，得到BD＝AD＝6，即可求出BC的长．
【解答】解：∵CE⊥AD，AE＝DE＝3，
∴CE垂直平分AD，
∴CD＝AC＝9，
∴∠ADC＝∠DAC，
∵2∠B＝∠DAC，
∴∠ADC＝2∠B，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠B＝∠BAD，
∴BD＝AD，
∵AD＝2AE＝6，
∴BC＝BD+CD＝6+9＝15．
故选：A．
【点评】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的外角性质，等腰三角形的性质，关键是由线段垂直平分线的性质推出CD＝AC，由三角形的外角性质得到∠B＝∠BAD．
7．（3分）如图所示，△ABC是等边三角形，且BD＝CE，∠1＝15°，则∠2的度数为（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【思路点拔】易证△ABD≌△BCE，可得∠1＝∠CBE，根据∠2＝∠1+∠ABE可以求得∠2的度数，即可解题．
【解答】解：在△ABD和△BCE中，
，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1＝∠CBE，
∵∠2＝∠1+∠ABE，
∴∠2＝∠CBE+∠ABE＝∠ABC＝60°．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的证明，全等三角形对应角相等的性质，等边三角形内角为60°的性质，本题中求证△ABD≌△BCE是解题的关键．
8．（3分）下列命题中，属于假命题的是（ ）
A．三角形中至少有一个角大于60°
B．如果三条线段长分别为4cm，6cm，9cm，那么这三条线段能组成三角形
C．三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
D．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形
【思路点拔】根据三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质即可一一判断．
【解答】解：A、错误．
B、正确．理由：4+6＞9．
C、正确．角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
D、正确．如果一个三角形是轴对称图形，那么这个三角形一定是等腰三角形．
故选：A．
【点评】本题考查命题与定理，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系、内角和定理、三角形外角的性质、等腰三角形的性质，属于中考常考题型．
9．（3分）如图，在△ABC中，已知∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F．过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E．若AB＝4，AC＝5，则△ADE的周长为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．13
【思路点拔】根据角平分线的定义得到∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，平行线的性质得到∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，等量代换得到∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，根据等腰三角形的判定定理得到BD＝FD，CE＝FE，即可得到结论．
【解答】解：∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠ABF＝∠FBC，∠ACF＝∠FCB，
∵DE∥BC，
∴∠BFD＝∠FBC，∠CFE＝∠FCB，
∴∠ABF＝∠BFD，∠ACF＝∠CFE，
∴BD＝FD，CE＝FE，
∵AB＝4，AC＝5，
∴△ADE的周长为：AD+DE+AE＝AD+OD+OE+AE＝AD+BD+CE+AE＝AB+AC＝4+5＝9．
故选：B．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．
10．（3分）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（ ）
①△ABE的面积＝△BCE的面积；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．
A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③
【思路点拔】根据等底等高的三角形的面积相等即可判断①；根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠CAD，根据三角形的外角性质即可推出②；根据三角形内角和定理求出∠FAG＝∠ACD，根据角平分线定义即可判断③；根据等腰三角形的判定判断④即可．
【解答】解：∵BE是中线，
∴AE＝CE，
∴△ABE的面积＝△BCE的面积（等底等高的三角形的面积相等），故①正确；
∵CF是角平分线，
∴∠ACF＝∠BCF，
∵AD为高，
∴∠ADC＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，
∴∠ABC＝∠CAD，
∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，
∴∠AFG＝∠AGF，故②正确；
∵AD为高，
∴∠ADB＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，
∴∠ACB＝∠BAD，
∵CF是∠ACB的平分线，
∴∠ACB＝2∠ACF，
∴∠BAD＝2∠ACF，
即∠FAG＝2∠ACF，故③正确；
根据已知条件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④错误；
故选：B．
【点评】本题考查了三角形内角和定理，三角形的外角性质，三角形的角平分线、中线、高，等腰三角形的判定等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，题目比较好，属于中考题型．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．（3分）原命题“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题为 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 ，这个逆命题是 真 命题（填真或假）．
【思路点拔】交换原命题的题设和结论后即可得到原命题的逆命题，然后判断正误即可．
【解答】解：“角平分线上的点到角两边的距离相等”的逆命题为到角的两边距离相等的点在角的平分线上，是真命题，
故答案为：到角的两边距离相等的点在角的平分线上，真．
【点评】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解有关的定义及定理，难度不大．
12．（3分）一个三角形的两边长分别为3和5，第三边长是偶数，这个三角形的周长是 12和14 ．
【思路点拔】首先设第三边长为x，根据三角形的三边关系可得5﹣3＜x＜5+3，解出x的范围，再确定x的值，最后求出周长即可．
【解答】解：设第三边长为x，由题意得：
5﹣3＜x＜5+3，
2＜x＜8，
∵第三边长是偶数，
∴x＝4，6，
∴三角形的周长是：3+5+4＝12，3+5+6＝14，
故答案为：12和14．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，将∠A折叠，使点A落在边CB上的点A′处，折痕为CD；若∠A′DC＝84°，则∠B＝ 39 °．
【思路点拔】先根据直角三角形的性质就可以求出∠B与∠A的关系，再由轴对称的性质和三角形的内角和定理可以求出结论．
【解答】解：∵△CDA′与△CDA关于CD成轴对称，
∴∠ADC＝∠A′DC＝84°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠DCA＝∠DCB＝45°，
∵∠CDA＝∠B+∠DCB，
∴∠B＝84°﹣45°＝39°
故答案为：39．
【点评】本题考查了轴对称的性质的运用，直角三角形的性质的运用，三角形的内角和定理．解答时利用三角形的内角和定理求解是关键．
14．（3分）如图，已知BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，且△ABD的周长为12，则△BCD的周长是 10 ．
【思路点拔】先根据三角形的中线、线段中点的定义可得AD＝CD，再根据三角形的周长公式即可求出结果．
【解答】解：∵BD是△ABC的中线，即点D是线段AC的中点，
∴AD＝CD．
∵AB＝5，△ABD的周长为12，
∴AB+BD+AD＝12，即5+BD+AD＝12．
解得BD+AD＝7．
∴BD+CD＝7．
则△BCD的周长是BC+BD+CD＝3+7＝10．
故答案为：10．
【点评】本题主要考查了三角形的中线、线段中点的定义等知识点，掌握线段中点的定义是解题关键．
15．（3分）如图．点B，C，D，E，F在∠A的两边上，AB＝BC＝CD＝DE＝EF，∠A＝18°，则∠DEF＝ 36° ．
【思路点拔】由AB＝BC＝CD＝DE＝EF，根据等腰三角形的性质，即可得∠ACB＝∠A，∠CDB＝∠CBD，∠CED＝∠DCE，∠EFD＝∠EDF，又由三角形外角的性质与∠A＝18°，即可求得∠DEF的度数．
【解答】解：∵AB＝BC，
∴∠ACB＝∠A＝18°，
∴∠CBD＝∠A+∠ACB＝36°，
∵BC＝CD，
∴∠CDB＝∠CBD＝36°，
∴∠DCE＝∠A+∠CDA＝18°+36°＝54°，
∵CD＝DE，
∴∠CED＝∠DCE＝54°，
∴∠EDF＝∠A+∠AED＝18°+54°＝72°，
∵DE＝EF，
∴∠EFD＝∠EDF＝72°，
∴∠DEF＝180°﹣72°﹣72°＝36°．
故答案为：36°．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质与三角形外角的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
16．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是直线BC上一动点（不与B、C重合），以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝58°，连接CE，则∠BCE的度数为 122°或58° ．
【思路点拔】当点D在射线BC上时，由等腰三角形的性质求出∠ABC＝∠ACB＝∠AED＝∠ADE＝61°，证明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性质求出∠B＝∠ACE．则可得出答案．
当点D在射线BC的反向延长线上时，同理可求出答案．
【解答】解：如图，当点D在射线BC上时，
∵∠BAC＝∠DAE＝58°，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠BAC）＝61°，
同理∠AED＝∠ADE＝61°，
∵∠BAC＝∠DAE，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC．
即∠BAD＝∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B＝∠ACE．
∴∠B+∠ACB＝∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE＝∠B+∠ACB，
∴∠BCE＝61°+61°＝122°．
当点D在射线BC的反向延长线上时，
∵∠DAE＝∠BAC，
∴∠DAB＝∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD＝∠BAC+∠ACB，∠ACE＝∠BCE+∠ACB，
∴∠BAC＝∠BCE＝58°，
故答案为122°或58°．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．
三．解答题（共8小题，满分72分）
17．（8分）如图，已知线段a，b和∠α，求作一个三角形，使其有一个内角等于α，且∠α的对边等于a，另一边等于b，要保留作图痕迹，写出作法．
【思路点拔】先作一个角等于已知角得到∠MAN＝∠α，再截取AC＝b，然后以C点为圆心，a为半径作弧交AN于B点，则△ABC为所求．
【解答】解：作法：（1）作∠MAN＝∠α，
（2）在AM截取AC＝b，
（3）以C点为圆心，a为半径作弧交AN于B点，
（4）连接BC，△ABC为所求．
【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．
18．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC，小聪同学利用直尺和圆规完成了如下操作：
①作∠BAC的平分线AM交BC于点D；②作边AB的垂直平分线EF，EF与AM相交于点P；③连接PB，PC．
请你观察图形解答下列问题：
（1）求证：PA＝PB＝PC；
（2）若∠ABC＝72°，求∠BPC的度数．
【思路点拔】（1）由作图可知，PE垂直平分线段AB，DA平分∠BAC，根据等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质解决问题即可．
（2）利用等腰三角形的性质，三角形的内角和定理解决问题即可．
【解答】（1）证明：由作图可知，PE垂直平分线段AB，DA平分∠BAC，
∵AB＝AC，
∴AD⊥BC，BD＝DC，
∴PB＝PC，
∵PA＝PB，
∴PA＝PB＝PC；
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝72°．
∴∠BAC＝180°﹣2×72°＝36°，
∵AM平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝18°，
∵PA＝PB＝PC，
∴∠ABP＝∠BAP＝∠ACP＝18°，
∴∠BPC＝∠ABP+∠BAC+∠ACP＝18°+36°+18°＝72°．
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
19．（8分）如图，已知，EC＝AC，∠BCE＝∠DCA，∠A＝∠E．
（1）求证：BC＝DC；
（2）若∠A＝25°，∠D＝15°，求∠ACB的度数．
【思路点拔】（1）根据ASA证明△BCA≌△DCE，进而利用全等三角形的性质解答即可；
（2）根据全等三角形的性质解答即可．
【解答】证明：（1）∵∠BCE＝∠DCA，
∴∠BCE+∠ACE＝∠DCA+∠ECA，
即∠BCA＝∠DCE，
在△BCA和△DCE中，
，
∴△BCA≌△DCE（ASA），
∴BC＝DC；
（2）∵△BCA≌△DCE，
∴∠B＝∠D＝15°，
∵∠A＝25°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝140°．
【点评】本题考查全等三角形的性质和判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
20．（8分）求证：等腰三角形底边中点到两腰的距离相等（要求画图，写已知、求证、然后证明）
【思路点拔】根据题意画出图形，写出已知与求证，然后证明：连接AD，由AB＝AC，D为BC中点，利用等腰三角形的“三线合一”性质得到AD为顶角的平分线，由DE与AB垂直，DF与AC垂直，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可得到DE＝DF，得证．
【解答】已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
求证：DE＝DF．
证明：连接AD，
∵AB＝AC，D是BC中点，
∴AD为∠BAC的平分线（三线合一的性质），
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF（角平分线上的点到角的两边相等）．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质的应用，关键是掌握等腰三角形的腰相等且底边上的两个角相等，及角平分线上的点到角两边的距离相等．
21．（8分）已知△ABC中，D为边BC上一点，AB＝AD＝CD．
（1）试说明∠ABC＝2∠C；
（2）过点B作AD的平行线交CA的延长线于点E，若AE＝AB，求证：AD平分∠BAC．
【思路点拔】（1）由等腰三角形的性质推出∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC，由三角形外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，即可推出∠ABC＝2∠C．
（2）由等腰三角形的性质推出∠E＝∠ABE，由平行线的性质推出∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，得到∠CAD＝∠BAD，即可证明AD平分∠BAC．
【解答】（1）解：∵AB＝AD＝CD，
∴∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC，
∵∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C，
∴∠ABC＝2∠C．
（2）证明：∵AE＝AB，
∴∠E＝∠ABE，
∵BE∥AD，
∴∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE，
∴∠CAD＝∠BAD，
∴AD平分∠BAC．
【点评】本题考查等腰三角形的性质，平行线的性质，关键是由平行线的性质推出∠ABC＝∠ADB，∠C＝∠DAC，由三角形外角的性质得到∠ADB＝∠C+∠DAC＝2∠C；由等腰三角形的性质推出∠E＝∠ABE，由平行线的性质推出∠CAD＝∠E，∠BAD＝∠ABE．
22．（10分）已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是BC上一点，EC⊥BC，EC＝BD，DF＝FE．求证：
（1）△ABD≌△ACE；
（2）AF⊥DE．
【思路点拔】（1）根据等腰三角形两底角相等求出∠B＝∠BCA＝45°，再求出∠ACE＝45°，从而得到∠B＝∠ACE，然后利用“边角边”证明即可；
（2）根据全等三角形对应边相等可得AD＝AE，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．
【解答】证明：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠BCA＝45°，
∵EC⊥BC，
∴∠ACE＝90°﹣45°＝45°，
∴∠B＝∠ACE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
（2）由（1）知，△ABD≌△ACE，
∴AD＝AE，
等腰△ADE中，∵DF＝FE，
∴AF⊥DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法以及等腰三角形的性质是解题的关键．
23．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连结AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．
（1）若DC＝2，求证：△ABD≌△DCF；
（2）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请求出∠BDA的度数；若不可以，请说明理由．
【思路点拔】（1）利用三角形外角的性质得∠EDC＝∠BAD，再利用ASA即可证明△ABD≌△DCE；
（2）分AD＝AE，DA＝DE，EA＝ED三种情形，分别利用等腰三角形的性质可得答案．
【解答】（1）证明：∵∠ADC＝∠B+∠BAD＝∠ADE+∠EDC，∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
∵CD＝2，AB＝2，
∴CD＝AB，
在△ABD和△DCE中，
，
∴△ABD≌△DCE（ASA）；
（2）解：当AD＝AE时，
∴∠ADE＝∠AED＝50°，
此时点E与C重合，点D与B重合，不符合题意，故舍去；
当DA＝DE时，
∴∠DAE＝∠DEA＝（180°﹣50°）÷2＝65°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝65°+50°＝115°；
当EA＝ED时，
∴∠EAD＝∠EDA＝50°，
∴∠BDA＝∠DAC+∠C＝50°+50°＝100°，
综上：∠BDA＝115°或100°．
【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质等知识，运用分类讨论思想是解题的关键．
24．（12分）△ABC是等边三角形，点D是AC边上动点，∠CBD＝α（0°＜α＜30°），把△ABD沿BD对折，得到△A′BD．
（1）如图1，若α＝15°，则∠CBA′＝ 30 °．
（2）如图2，点P在BD延长线上，且∠DAP＝∠DBC＝α．
①连接CP，试探究AP，BP，CP之间是否存在一定数量关系，猜想并说明理由．
②连接CA′，若A′，C，P三点共线，BP＝10，CP＝1，求CA′的长．
【思路点拔】（1）由△ABC是等边三角形知，∠ABC＝60°，由∠CBD＝α＝15°，知∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，代入α值即可；
（2）①连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，根据SAS证△BP'C≌△APC，得CP＝CP'，再证△CPP'是等边三角形，即可得出BP＝AP+CP；
②先证∠BCP+∠BCA'＝180°，即A'、C、P三点在同一直线上，得出PA'＝PC+CA'，根据SAS证△ADP≌△A'DP，得出A'P＝AP，即可求出CA'的值．
【解答】解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC＝60°，
∵∠CBD＝α，
∴∠A'BD＝∠ABD＝∠ABC﹣α，
∴∠CBA'＝∠A'BD﹣α＝∠ABC﹣2α＝60°﹣2α，
∵α＝15°，
∴∠CBA'＝60°﹣2×15°＝30°，
故答案为：30；
（2）①BP＝AP+CP，理由如下：
如图1，连接CP，在BP上取一点P'，使BP'＝AP，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，BC＝AC，
∵∠DAP＝∠DBC＝α，
∴△BP'C≌△APC（SAS），
∴CP'＝CP，∠BCP'＝∠ACP，
∴∠PCP'＝∠ACP+ACP'＝∠BCP'+∠ACP'＝∠ACB＝60°，
∵CP'＝CP，
∴△CPP'是等边三角形，
∴∠CPB＝60°，PP'＝CP，
∴BP＝BP'+PP'＝AP+CP，
即BP＝AP+CP；
②如图2，
∵点A'、C、P在同一直线上，
即PA'＝PC+CA'，
由折叠知，BA＝BA'，∠ADB＝∠A'DB，
∴180°﹣∠ADB＝180°﹣∠A'DB，
∴∠ADP＝∠A'DP，
∵DP＝DP，
∴△ADP≌△A'DP（SAS），
∴A'P＝AP，
由①知，BP＝AP+CP，
∵BP＝10，CP＝1，
∴AP＝BP﹣CP＝10﹣1，
∴A'P＝AP＝10﹣1，
∴CA'＝A'P﹣CP＝10﹣1﹣1＝8．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定和性质及等边三角形的性质是解题的关键．
