人教2024版七年级数学上册全册教学设计
文档属性
| 名称 | 人教2024版七年级数学上册全册教学设计 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 2.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-08-13 05:15:51 | ||
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文档简介
目录21世纪教育网(www.21cnjy.com)
第一章 有理数
1.1 正数和负数1
1.2 有理数及其大小比较3
1.2.1 有理数的概念3
1.2.2 数 轴5
1.2.3 相反数7
1.2.4 绝对值9
1.2.5 有理数的大小比较11
第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法13
2.1.1 有理数的加法13
第1课时 有理数的加法法则13
第2课时 有理数加法的运算律15
2.1.2 有理数的减法17
第1课时 有理数的减法法则17
第2课时 有理数加减混合运算19
2.2 有理数的乘法与除法21
2.2.1有理数的乘法21
第1课时 有理数的乘法法则21
第2课时 乘法的运算律23
2.2.2 有理数的除法25
第1课时 有理数的除法25
第2课时 加减乘除混合运算27
2.3有理数的乘方29
2.3.1 乘 方29
第1课时 有理数的乘方29
第2课时 有理数的混合运算31
2.3.2 科学记数法33
2.3.3 近似数35
第三章 代数式
3.1列代数式表示数量关系37
第1课时 代数式37
第2课时 列代数式 39
第3课时 反比例关系41
3.2 代数式的值43
第四章 整式的加减
4.1 整 式45
第1课时 单项式45
第2课时 多项式47
4.2 整式的加法与减法49
第1课时 合并同类项49
第2课时 去括号52
第3课时 整式的加减54
第五章 一元一次方程
5.1 方程56
5.1.1 从算式到方程56
第1课时 方 程56
第2课时 一元一次方程58
5.1.2 等式的性质60
5.2 解一元一次方程 62
第1课时 合并同类项解一元一次方程
62
第2课时 移项解一元一次方程64
第3课时 去括号解一元一次方程66
第4课时 去分母解一元一次方程68
5.3 实际问题与一元一次方程70
第1课时 配套、工程问题70
第2课时 销售、球赛积分问题72
第3课时 方案比较、分段计费问题74
第六章 几何图形初步
6.1 几何图形76
6.1.1 立体图形与平面图形76
第1课时 认识立体图形与平面图形76
第2课时 从不同的方向看立体图形和立体
图形的展开图78
6.1.2 点、线、面、体80
6.2 直线、射线、线段82
6.2.1 直线、射线、线段82
6.2.2 线段的比较与运算84
6.3 角87
6.3.1 角87
6.3.2 角的比较与运算89
第1课时 角的比较与运算89
第2课时 角平分线91
6.3.3 余角和补角93
第一章 有理数
1.1 正数和负数
理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量.
1.通过实际生活情境,抽象出负数的概念,并学会用符号表示正数和负数.
2.会用正数和负数表示具有相反意义的量,认识“0”的意义.
3.使学生经历对正负数的学习,体会数学与生活的紧密联系,培养学生分析和解决实际问题的能力.
重点:会判断正数、负数,运用正负数表示具有相反意义的量,理解“0”表示的意义.
难点:对负数的理解以及相反意义的量的理解.
1.通过身边熟悉的事物,让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要,数学与我们的生活密不可分.
2.让学生充分思考,交流探究,进一步体会“负”与“正”是相对的,是表示相反意义的量.经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣;提升学生的能力,促进学生的发展.
(一)情境导入
数学与数是分不开的,它是一门研究数的学问.现在我们一起来回忆一下,小学里已经学过哪些类型的数
学生回答后,教师指出:小学里学过的数可以分为三类:自然数、分数和小数,它们都是由于实际需要而产生的.
观察下列图片,体会数的产生和发展过程.
根据实际生活的需要,人们引进了另一种数,你知道是什么数吗 结合你在实际生活中接触到的数,试举例.
(二)新知初探
探究一 正数和负数的概念
在生活、生产和科研中,经常遇到数的表示和运算等问题.
例如:北京冬季里某一天的气温为-3 ℃~3 ℃.“3 ℃”的含义是什么 “-3 ℃”的含义是什么
追问1 零上温度与零下温度是具有相反意义的量,零上4摄氏度怎样表示 零下5摄氏度怎样表示
追问2 珠穆朗玛峰高于海平面8 848.86 m可以记作+8 848.86 m,吐鲁番盆地的艾丁湖低于海平面154.31 m,应该怎样表示 这里具有相反意义的量是什么
追问3 某仓库昨天运进货物8吨可以记作 8吨,今天运出货物4吨,应该怎样表示 这里具有相反意义的量是什么 你还能举出其他类似的例子吗
追问4 怎样区别具有相反意义的量才好呢
待学生思考后,请学生回答、评议、补充.
小结:为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量,如零上温度、前进、收入、上升、高出等规定为正的,而把与它们相反的量,如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的,正的量用算术里学过的数表示,也可以加上符号“+”(读作正),负的量用学过的数前面加上“-”(读作负)号来表示(零除外).
任务一 意图说明
通过学生身边的实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础.采取比较轻松的方式,尽量避免使概念复杂化,让学生觉得数学并不难学,增强学生的自信心.
探究二 “零”的认识
我们在小学时知道:0表示没有,0不能作除数,0乘任何数都等于0.
1.你知道温度计中的“0”刻度表示什么意思吗
答:温度计中的0不是表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度,是零上温度与零下温度的分界点.
2.在表示某地的高度时,用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔,那么海拔为0 m表示什么意思
追问 在日常生活中,你还能举出类似的例子吗
小结:零既不是正数,也不是负数.在实际意义中,0往往表示基准,比如海平面、警戒水位等,有着丰富的内涵.
任务二 意图说明
通过对实际生活中具体问题的分析,能够帮助学生加深对“0”的内涵的理解,0不仅表示没有,更是正数和负数的分界.
探究三 例题讲解
1.(1)在知识竞赛中,如果用+10分表示加10分,那么扣20分应该怎样表示
(2)某人转动转盘,如果用+5圈表示按逆时针方向转了5圈,那么按顺时针方向转了12圈应该怎样表示
(3)在某次乒乓球质量检测中,如果一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么-0.03 g表示什么
解:(1)-20分.
(2)-12圈.
(3)低于标准质量0.03 g.
2.下列各数中,哪些是正数 哪些是负数
-2,7,-,+0.201 4,-1.732,0,.
解:正数有7,+0.201 4,.
负数有-2,-,-1.732.
3.(1)一个月内,小明体重增加1.2 kg,张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;
(2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下:
A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减秒3%.
写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.
解:(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg.
(2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%.
任务三 意图说明
1.通过对实例的分析,让学生知道如何用正负数表示具有相反意义的量.
2.先让学生自己独立完成,教师巡视、点拨,然后分组交流,学生间互相纠错,教师及时给予评价、点评,加深学生对正负数的理解.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.大于0的数叫作正数,正数前面加上“-”的数叫作负数.
2.0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界.
3.具有相反意义的量应满足的条件:
①必须是同类量,而且是成对出现的;
②只要求意义相反,不要求数量一定相等.
1.2 有理数及其大小比较
1.2.1 有理数的概念
理解有理数的意义.
1.理解有理数的概念.
2.掌握有理数的分类标准,能够把给出的有理数进行分类.
3.通过对有理数分类的探索,让学生了解分类的思想方法的作用,树立分类讨论的观点和能够正确地进行分类的能力.
重点:会把所给的有理数进行正确的分类.
难点:掌握有理数的分类方法.
1.通过回忆小学对数的分类,引导学生对前面学过的数进行思考,促进学生积极主动地参加学习活动,亲自体验知识的形成过程.避免教师直接分类带来学习的枯燥性.
2.要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透,明确分类标准不同,分类的结果也不相同,且分类结果应是无遗漏、无重复的.
(一)情境导入
下面是某旅行社对冬季某天天气的预报,方便大家出行:
某地的最高气温为6 ℃,最低气温达到-10 ℃,平均气温是0 ℃,而同一天北京的气温为-3 ℃~7 ℃.
问题1 上面的这段文字中出现了什么数
问题2 像,,,0.2,3.25…又是什么数
(二)新知初探
探究一 有理数的概念
1.想一想,我们已经学过的数有哪些 请你说出两个你认为不同的数.
2.请观察下列一组数.
1,3,5.7,6,-7,-9,-10,0,,,-3,-7.4,-15.2.
问题 以上各数,哪些是小学学过的数 它们可以分为哪几类 哪些是我们刚学过的数 说出它们的名称.
追问1 整数可以写成分数的形式吗 请尝试把以上问题中的整数写成分数的形式.
追问2 想一想小数与分数有什么关系
小结:可以写成分数形式的数称为有理数,其中,可以写成正分数形式的数为正有理数,可以写成负分数形式的数为负有理数.
任务一 意图说明
通过简单问题引入,既能促使学生回忆所学知识,又能诱发学生学习的兴趣,同时在解答问题的过程中让学生体会、感悟有理数的概念.
探究二 有理数的分类
思考并回答下列问题:
(1)0是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(2)-2是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(3)自然数就是整数吗 是正数吗 是有理数吗
追问1 “正数”与“整数”有什么不同 与它们相对的是什么数
追问2 有理数除正数外还有什么数,你能根据符号(正,负)对有理数进行分类吗
追问3 你能先将有理数按“正”和“负”的属性分,再按每类数的“整”“分”进行分类吗
小结:有理数的分类结果:
有理数
任务二 意图说明
学生通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.从不同的角度对问题进行研究,有利于促进学生思维方式向多样化发展.让学生经历知识的探究过程,学会分类的思想方法,感受分类的方法和原则——统一标准、不重不漏,同时培养学生自主学习的习惯.
探究三 例题讲解
1.下列各数中,哪些是正整数 哪些是负分数 哪些是有理数
+7,-3.141 5,π,0,,-3,10,-0.,-3.
解:正整数有+7,10.
负分数有-3.141 5,-3,-0..
有理数有+7,-3.141 5,0,,-3,10,-0.,-3.
2.将下列各数填入相应的集合里:-9,+,0,-2,2 000,+61,,-10.8.
正有理数集合{…};
负有理数集合{…};
正整数集合{…};
负整数集合{…}.
解:正有理数集合.
负有理数集合.
正整数集合{2 000,+61,…}.
负整数集合{-9,…}.
任务三 意图说明
1.帮助学生巩固有理数的分类方法,体验分类的方法和原则.
2.让学生理解分类的标准不同,结果也不相同.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的概念.
2.有理数的分类:
(1)按符号(正,负)进行分类;
(2)按“整”和“分”进行分类.
3.注意0的特殊性,分类时不要遗漏.
1.2.2 数 轴
能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的思想方法.
1.通过与温度计的类比认识数轴,能正确地画出数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数.
3.通过数轴概念的学习,初步体会数形结合的思想方法.
重点:正确理解数轴的概念,掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数.
难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系(数形结合).
1.通过创设问题情境,激发学生的学习热情,发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程,加深对数轴概念的理解,同时培养学生的抽象和概括能力.
2.教师要给学生思维活动提供具体、直观、感性的支持,借助直观演示、动手操作、启发诱导,让学生由感性认识逐步上升到理性认识,再到抽象概括的认识规律.
(一)情境导入
回忆正负数的意义并回答以下问题:
在一条东西方向的马路上,有一个学校,学校东 50 m 和西150 m处分别有一个书店和一个超市,学校西100 m和东200 m处分别有一个邮局和医院,以学校为“基准”,向东记作“+”,向西记作“-”,用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置.
(二)新知初探
探究一 数轴的概念
1.问题:在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
画一条直线表示马路,从左到右表示从西到东的方向,在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1 m长,用点B和点D分别表示柳树和交通标志杆的位置,用点D和点E分别表示槐树和电线杆的位置,请根据要求画出图形.
追问1 说出点B,点C,点D,点E分别相对于点O的位置.
答:点B在点O右边,距离点O 3个单位长度,点C在点O右边,距离点O 7.5个单位长度,点D在点O左边,距离点O 3个单位长度,点E在点O左边,距离点O 4.8个单位长度.
追问2 在上面的问题中,“东”与“西”,“左”与“右”都具有相反意义,在一条直线上取一个点O为基准点,用0表示它,点O右边的点用正数表示,那么点O左边的点可以用什么数表示 点B,C,D,E所表示的点分别用哪些有理数表示
答:负数 +3,+7.5,-3,-4.8
追问3 用上述方法,我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对关系表示出来了,你能说出3和-4.8分别表示什么位置吗
答:3表示位于汽车站牌东侧3 m处的柳树的位置,-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆的位置.
2.温度计可以看作是表示正数、0和负数的直线.它和上面的问题中所画的图形有什么共同点,有什么不同点
小结:在数学上,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件:
(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点;
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…
像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
任务一 意图说明
从生活中的实例出发引出如何用数轴表示点,贴近生活、直观具体,易于使学生接受.在教师的层层设问中,让学生感受到可以用直线上的点来表示位置,且在表示位置时,必须设置基准点和单位长度.
探究二 用数轴表示有理数
观察画好的数轴,思考以下问题:
(1)原点表示什么数
答:原点表示0.
(2)原点右边的点表示什么数 原点左边的点表示什么数
答:原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数.
(3)+3,-,-1.5,0分别在数轴的什么位置
答:+3在数轴的正半轴上,距离原点3个单位长度,-在数轴的负半轴上,距离原点个单位长度,-1.5在数轴的负半轴上,距离原点1.5个单位长度,0在原点上.
小结:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点.
任务二 意图说明
探究二中的(1)(2)让学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,然后举手回答.(3)可以让学生在黑板上画图指出.教师也可以给出其他的数让学生说出其对应的点在数轴上的位置.通过以上问题可以加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
探究三 例题讲解
1.下列所画数轴对不对 如果不对,指出错在哪里.
① ②
③ ④
⑤ ⑥ ⑦
解:①错,没有原点;②错,没有正方向;③正确;④错,没有单位长度;⑤错,单位长度不统一;⑥正确;⑦错,正方向标错.
2.在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1,-5,-2.5,4,0
解:
3.在下面数轴上,A,B,C,D各点分别表示的是什么数
解:(1)A点表示2;(2)B点表示0.25;(3)C点表示-0.75;(4)D点表示-1.5.
任务三 意图说明
1.通过学生指出数轴上已知点所表示的数,是由“形”到“数”的思维过程,加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
2.根据给定的数在数轴上进行描点,是由“数”到“形”的思维过程,再次渗透数形结合的思想方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.
1.2.3 相反数
能借助数轴理解相反数的意义,掌握求有理数的相反数的方法.
1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定有理数的相反数.
2.通过运用相反数解决实际问题,体会相反数的意义和作用.
3.通过理解相反数的概念,渗透数形结合等思想方法,培养学生的概括能力和推理论证能力.
重点:理解相反数的意义,会求有理数的相反数.
难点:从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法.
1.从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
2.在认识相反数的意义的过程中,通过数形结合,让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
(一)情境导入
成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去,楚国在南边,他硬要往北边走.他的马越好,赶车的本领越大,盘缠带得越多,走得越远,就越到不了楚国.
1.如果点O表示魏国的位置,点A表示楚国的位置,我们假设楚国与魏国的距离为30 km,以魏国为原点,我们规定向南为正方向,而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km,请同学们把这3个点在数轴上表示出来.
2.你还能在数轴上表示出类似于A,B这样的点吗
(二)新知初探
探究一 互为相反数的概念
问题 观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来.
思考
(1)上述各对数有什么相同之处 有什么不同之处
答:只有符号不同,其他都相同
(2)观察各对数所对应的两个点的位置关系有什么规律
答:分别位于原点两侧,且到原点的距离相等.
(3)请再写出一组具有上述特点的数.
答:+5和-5(答案不唯一).
小结:只有符号不同的两个数互为相反数.
追问1 定义中“只有符号不同”这几个字该怎样解释
追问2 定义中“相反”两字又该怎样理解
追问3 “-3是相反数”这句话对吗 0的相反数是多少
任务一 意图说明
1.通过观察各对数的特点及在数轴上的位置,让学生理解相反数从“数”的角度看只有符号不同,从“形”的角度看位于原点两侧且到原点的距离相等.
2.通过对学生进行层层设问,再根据学生判断的结果加深对相反数“互为”的理解,提高学生全面分析问题的能力.
探究二 相反数的表示和性质
1.6的相反数是多少 8的相反数是多少 a的相反数是多少
答:6的相反数是-6,8的相反数是-8,a的相反数是-a.
追问1 如果a=+3,那么a的相反数怎样表示 如果a=-5,那么a的相反数又怎样表示
答:-(+3),-(-5).
追问2 你能说出-(+7),-(-2)分别表示什么意义吗 它们的结果分别是多少
答:-(+7)表示+7的相反数,结果是-7,-(-2) 表示-2的相反数,结果是2.
追问3 在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢
答:表示它本身.
2.在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征
答:位于原点两侧,且与原点的距离相等.
追问 数轴上到原点的距离相等的两个点所表示的数有什么特点 它们是什么关系
答:只是符号不同,它们互为相反数.
小结:在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,并且与原点的距离相等.
任务二 意图说明
1.通过求几个正数的相反数归纳出相反数的表示方法即为在数的前面加上“-”号.通过在数轴上观察表示相反数的点的特点,理解相反数的几何意义.
2.学生在教师引导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生主动探究数学规律的能力.
探究三 例题讲解
1.写出下列各数的相反数:16,-3,0,-,0.7,-3.
分析:只需将各数前面的正、负号换一下即可,但要注意0的相反数是0.
解:相反数依次为:-16,3,0,,-0.7,3.
2.化简下列各数.
(1)-(+10);
(2)+(-0.15);
(3)+(+3);
(4)-(-12);(5)+[-(-1.1)];
(6)-[+(-7)].
解:(1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=3.
(4)-(-12)=12.
(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1.
(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.
[方法归纳] 对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号.
3.若a表示一个数,那么-a一定是负数吗
解:若a是正数,则-a表示负数,若a表示负数,则-a是正数,若a=0,则-a表示0.
小结:正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.
任务三 意图说明
1.通过化简含多重符号的数进一步理解相反数的表示方法,巩固所学知识,培养学生灵活运用定义的能力.
2.通过讨论a的值,渗透分类讨论的数学思想,进一步培养学生的符号意识.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.相反数
(1)只有符号不同的两个数;
(2)a的相反数是-a,0的相反数是0;
(3)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
2.多重符号的化简
(1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数.
(2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数.
1.2.4 绝对值
借助数轴理解绝对值的意义,掌握求有理数的绝对值的方法.
1.从实际出发,借助数轴理解绝对值的意义,会求一个已知数的绝对值.
2.通过运用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
3.在理解绝对值概念的过程中,渗透数形结合、分类讨论等思想.
重点:绝对值的概念与求法.
难点:理解绝对值的几何意义.
1.从实际生活情境出发,激发兴趣,知识建构循序渐进,思想方法有机渗透,知识形成过程清晰明了,创设平等、民主、和谐的课堂气氛,使学生广泛参与自主学习、合作交流.
2.课堂上留给学生一定的提问时间,从而暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维.
(一)情境导入
两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗 它们的行驶路程相同吗
它们的行驶路线不同,行驶路程相同.
在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们不需要考虑数的正负性,比如:在计算行驶路程时,与行驶方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值.
(二)新知初探
探究一 绝对值的意义
1.思考并完成填空:
(1)在数轴上,表示数+2的点与原点的距离是 2 ;
(2)在数轴上,表示数-2的点与原点的距离是 2 .
2.我们知道,互为相反数的两个数(0除外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么
答:表示有理数的点到原点的距离.
追问1 数轴上表示某数的点到原点的距离与它所表示的数的正负性有关系吗
答:没有关系.
小结:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作|a|.
追问2 如果a分别取+5,-10,0时,a的绝对值分别表示什么意义
答:数轴上表示+5,-10,0的点到原点的距离.
追问3 当a分别取上述数时,a的绝对值怎样表示 结果又是多少
答:|+5|=5,|-10|=10,|0|=0.
任务一 意图说明
通过学生思考并填空引出绝对值的概念,教师引导学生挖掘绝对值概念的内涵,使学生在活动的过程中感悟知识的形成过程.
探究二 绝对值的性质
1.(1)问题:借助数轴分别说出+3,+5,+1.5的绝对值.
答:|+3|=3,|+5|=5,|+1.5|=1.5.
追问 观察这些数,它们有什么特点 观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系 把你得到的结论写出来.
答:正数的绝对值是它本身.
(2)问题:借助数轴分别说出-3,-4.5,-50的绝对值.
答:|-3|=3,|-4.5|=4.5,|-50|=50.
追问 观察这些数,它们有什么特点 观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系 把你得到的结论写出来.
答:负数的绝对值是它的相反数.
小结:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
追问1 如果一个数的绝对值是一个负数,那么这样的数存在吗
答:不存在.
追问2 一个数的绝对值一定是什么数
答:非负数.
2.若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗 你能用含字母的式子表达这一规律吗
(1)当a是正数时,|a|= a ;
(2)当a是负数时,|a|= -a ;
(3)当a=0时,|a|= 0 .
小结:|a|=
任务二 意图说明
通过层层设问,引导学生分别归纳总结正数、负数的绝对值与数本身的关系,渗透分类讨论的数学思想.
探究三 例题讲解
1.求下列各数的绝对值:12,,-7.5,0,-(-3),-(+5).
解:|12|=12,=,|-7.5|=7.5,|0|=0,|-(-3)|=|3|=3,|-(+5)|=|-5|=5.
2.把下列各数表示在数轴上,并写出绝对值最大的是哪个数 绝对值最小的是哪个数
4,2.5,-3,-1.5.
解:如图所示.
由数轴可得,绝对值最大的数是4,绝对值最小的数是-1.5.
3.化简:
-|+3|,|-(-8)|,-,-|+(-6)|.
解:-|+3|=-(+3)=-3,
|-(-8)|=|+8|=8,
-=-+1=-1,
-|+(-6)|=-|-6|=-(+6)=-6.
任务三 意图说明
1.通过求一个数的绝对值,让学生明白求一个有理数绝对值的方法.
2.让学生先独立完成任务,然后通过交流展示归纳方法,进一步加深对绝对值的理解.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.绝对值的概念:
数轴上表示数a的点与原点的距离.
2.绝对值的性质
(1)|a|≥0;
(2)|a|=
1.2.5 有理数的大小比较
能比较有理数的大小.
1.通过实际生活情境,结合数轴归纳出有理数大小的比较法则.
2.能利用数轴比较有理数的大小,会利用绝对值比较两个负数的大小.
3.通过对温度计的观察和用数轴上的点来表示有理数,探索有理数大小的比较法则,进一步感受数形结合的思想方法.
重点:借助数轴比较两个有理数的大小.
难点:比较两个负数的大小.
从基础出发,从简单到复杂,层层递进,让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法,引导学生亲身经历知识的产生和归纳总结过程,突出学生的主体地位.通过学生参与教学活动,动手排列数,动眼观察数的特点,动脑总结归纳比较两个负数大小的法则.
(一)情境导入
如图是未来一星期天气预报图,其中最低气温是多少 最高气温是多少 你能将这七天中每天的最低温度按从低到高的顺序排列吗
(二)新知初探
探究一 用数轴比较有理数的大小
某一天我国5个城市的最低气温如下:
武汉:5 ℃ 北京:-10 ℃ 上海:0 ℃
广州:10 ℃哈尔滨:-20 ℃
(1)你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗
解:-20 ℃<-10 ℃<0 ℃<5 ℃<10 ℃.
(2)将上述五个城市的最低气温标在水平的数轴上.
解:
(3)请大家思考这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系
答:在数轴上,左边的点表示的数小于右边的点表示的数.
追问1 在数轴上,原点左边的点表示什么样的数 右边的点表示什么样的数 原点表示什么数
答:原点左边的点表示负数,原点右边的点表示正数,原点表示0.
追问2 你能根据数轴的特点归纳出正数,负数和0的大小比较方法吗
答:正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
(4)分别求出-20和-10的绝对值,观察数轴,你能说出这两数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系吗
答:-20的绝对值为20,-10的绝对值为10.
-20与-10相比,绝对值大的数本身反而小.
追问 再找几对类似的负数试一下,除了用数轴比较两个负数的大小外,从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗
答:两个负数,绝对值大的反而小.
小结:有理数大小比较的一般法则:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小.
任务一 意图说明
1.通过情境模拟,唤起学生已有的生活经验,为本课的学习做铺垫,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观.让学生通过自己的归纳找到正数,0,负数的大小比较及两个负数的大小比较的规律.
2.先留给学生自主思考的时间,然后引导学生进行分析,为进一步学习积累数学活动经验.
探究二 例题讲解
1.在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”号连接.
解:-3,-5,4,0在数轴上表示如图所示:
将它们按从小到大的顺序排列为-5<-3<0<4.
2.比较下列各组数的大小:
(1)-与0;(2)5与0;(3)2.5与-7.
解:(1)-<0.
(2)5>0.
(3)2.5>-7.
3.比较下列各组数的大小.
(1)+(-3)和-(+2);(2)-和-.
解:(1)先化简,+(-3)=-3,-(+2)=-2,
因为|-3|>|-2|,
所以-3<-2,
即+(-3)<-(+2).
(2)两个负数作比较,先求它们的绝对值.
=,==.
因为<,
所以<.
所以->-.
小结:有理数的大小比较:
(1)利用数轴比较大小,先把各个数在数轴上表示出来,然后利用在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于零,负数都小于零,正数都大于负数比较大小;
(2)比较两个负数的大小,利用两个负数,绝对值大的反而小进行比较.基本步骤为:①求出两个负数的绝对值,并比较两个绝对值的大小;②根据法则得出结论.
任务二 意图说明
让学生掌握有理数比较大小有两种方法:可以通过数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数来进行比较,也可以通过有理数的大小比较法则来进行比较.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
比较有理数大小的方法.
(1)数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大;
(2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.
第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
2.1.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
掌握有理数的加法运算,能运用有理数的加法运算解决简单的问题.
1.从实际生活情境出发,归纳出有理数的加法法则.
2.初步掌握有理数的加法法则,并能准确地进行有理数的加法运算.
3.经历探索有理数加法法则的过程,体会分类和归纳的思想方法.
重点:有理数加法法则的理解和运用.
难点:探索有理数的加法法则.
1.从学生身边的实际生活出发,通过自主探究、合作交流对两个有理数加法运算的过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础.
2.坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
(一)情境导入
我们已经熟悉正数及0的加法运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数的范围.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求“结余”时,需要计算18.5+(-6.5),12.0+(-15.2)等.这里用到正数与负数的加法.
(二)新知初探
探究一 有理数的加法法则
一只可爱的小狗,在一条东西走向的笔直公路上行走,现规定向东为正,向西为负.
想一想
问题1 如果小狗先向东行走2 m,再继续向东行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共向东行走了 3 m,写成算式为 (+2)+(+1)=3(m).
问题2 如果小狗先向西行走2 m,再继续向西行走 1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:两次行走后,小狗向西走了 3 m.用算式表示为(-2)+(-1)=-3(m).
你从上面两个式子中发现了什么
答:符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
想一想
问题3 (1)如果小狗先向西行走3 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向西走了 1 m.
用算式表示为(-3)+(+2)=-1(m).
(2)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 3 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向东走了 1 m.
用算式表示为(-2)+(+3)=1(m).
追问 你从上面的两个式子中发现了什么
答:绝对值不相等,符号相反的两个数相加,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
问题4 如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共行走了 0 m.
写成算式为(-2)+(+2)= 0 (m).
追问 你从上面的式子中发现了什么
答:互为相反数的两个数相加得0.
想一想
问题5 如果小狗先向西行走3 m,然后在原地休息,则小狗向哪个方向行走了多少米
解:小狗向西行走了 3 m.
写成算式为(-3)+0= -3 (m).
追问 你从上面的式子中发现了什么
答:一个数与0相加,结果仍是这个数.
小结:有理数的加法法则
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数与0相加,仍得这个数.
追问 按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算,它和小学学过的正数及0的加法运算一致吗
答:不一致,小学的加法不涉及符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.
任务一 意图说明
引导学生通过自主探究、合作交流对加法的运算过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础,同时学生也通过实际问题情境,亲自参与了探索发现、获取知识和技能的全过程,培养了学生的分类和归纳概括的能力.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-24)+(+18);(2)(-10)+(-3);
(3)(+15)+(-5);(4)+3+-3;
(5)0+-13.
解:(1)(-24)+(+18)=-(24-18)=-6.
(2)(-10)+(-3)=-(10+3)=-13.
(3)(+15)+(-5)=+(15-5)=+10.
(4)+3+-3=0.
(5)0+-13=-13.
2.某商场卖出两件衣服,第一件亏损48元,第二件盈利26元,则该商场卖出这两件衣服后的利润是多少元 盈利还是亏损
解:亏损48元记作-48元,盈利26元记作 +26元.则利润为(-48)+(+26)=-(48-26)=-22(元).所以商场亏损22元.
任务二 意图说明
1.通过例题进一步熟悉有理数的加法法则.通过口答、纠错,活跃课堂气氛,充分调动学生的积极性,让学生在一种比较活跃的氛围中解决各种问题.
2.通过应用有理数知识解决生活中的实际问题,一方面体会有理数加法的应用价值,另一方面培养学生在具体情况下灵活应用有理数知识解决实际问题的能力.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
有理数的加法法则:
确定类型 定符号 绝对值
同号 相同符号 加数的绝对值的和
异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的加数的符号 加数中较大者与较小者的差
互为相反数 结果是0
与0相加 仍得这个数
第2课时 有理数加法的运算律
理解有理数加法的运算律,能运用运算律简化运算.能运用有理数的运算解决简单的问题.
1.通过小学学过的运算律,概括出有理数的加法交换律和结合律.
2.掌握有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简化运算及解决实际问题.
3.经历探索有理数加法的运算律的过程,体验探索归纳的数学方法.
重点:掌握有理数的加法交换律和结合律.
难点:运用加法交换律、结合律简化运算.
1.从实际生活出发,使学生在已有的知识经验的基础上构建新知,主动探索有理数加法交换律和结合律,从而激发他们学习的兴趣,使他们由被动地接受学习变成主动探索获取知识.
2.课堂中学生通过自主互助交流,不断地总结规律、方法和解题技巧.
(一)情境导入
宋国有个非常喜欢猴子的老人.他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.因为粮食缺乏,老人想限制口粮.那天,他故意先对猴子们说:“以后给你们吃桃子,早晨三颗晚上四颗,好不好 ”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早上四颗晚上三颗吧,够了吗 ”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来.
大家听完故事,请说说你的看法.
(二)新知初探
探究一 有理数加法的运算律
1.(1)计算:
①2+(-3)= -1 ,(-3)+2= -1 ;
②11+(-7)= +4 ,(-7)+11= +4 .
(2)比较以上每组两个算式有什么特征 各组两个算式的结果有什么关系
答:交换了两个加数的位置 算式的结果相等
(3)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗
(4)请你再换几个加数,试一试,看一看所得的结果如何
(5)从上述计算中,你得到了什么结论
答:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
追问 你能用字母把这个结论表示出来吗
答:a+b=b+a.
小结:有理数的加法交换律:
有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.字母表示:a+b=b+a.
追问 这里的a,b可以表示什么
答:任意有理数.
2.(1)计算:
①[3+(-5)]+(-7)= -9 ,3+[(-5)+(-7)]= -9 ;
②[8+(-4)]+(-6)= -2 ,8+[(-4)+(-6)]= -2 .
(2)两次所得的和相同吗 换几个加数再试一试.
答:相同.
(3)从上述计算中,你能得出什么结论 用字母表示这个结论.
小结:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
追问 我们学习运算律的目的是什么
答:简化有理数的加法运算.
任务一 意图说明
1.通过层层设问,让学生在动手操作的基础上,通过计算、观察、比较,从而得到加法的交换律和结合律在有理数范围内仍然适用.
2.引导学生通过自主探究、合作交流,进一步理解加法的运算律也适用于有理数,并从感性认识上升到理性认识.
探究二 例题讲解
计算:
(1)(-2)+(+7)+(-8);
(2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7).
解:(1)(-2)+(+7)+(-8)
=[(-2)+(-8)]+(+7)
=(-10)+(+7)
=-3.
(2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7)
=[(-1)+(-2)]+[(+4)+(+7)]
=(-3)+(+11)
=8.
小结:把正数与负数分别相加,从而简化计算,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律.
问题 回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便
小结:
(1)先把正数或负数分别结合在一起相加;
(2)有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整;
(3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加.
任务二 意图说明
先让学生在练习本上解答例题,然后教师根据学生的解答情况指定几名学生板演,并引导学生发现简化加法运算一般有三种方法:消去互为相反数的两数(其和为0)、同号结合或凑整数.
探究三 有理数加法运算律的实际应用
10袋小麦称后(单位: kg)如图所示,10袋小麦一共多少千克 如果每袋小麦以50 kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克
解:法一 先计算10袋小麦的总质量:
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5(kg).
再计算总计超过多少千克:
502.5-50×10=2.5(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg.
法二 每袋小麦超过标准质量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4.
0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4
=[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4)
=2.5(kg).
50×10+2.5=502.5(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg.
任务三 意图说明
通过本题的学习使学生感受到在解决实际问题时,解题方法的多样性和灵活性,但对于具体解题时要根据不同题目的特点,采用不同的解题方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数加法的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2.有理数加法运算律的实际应用.
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
掌握有理数的减法运算.能运用有理数的减法运算解决问题.
1.经历探索有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的关系.
2.理解并掌握有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算.
3.通过减法到加法的转化,让学生初步体会转化的数学思想.
重点:有理数减法法则和运算.
难点:归纳总结有理数的减法法则,并体会其意义.
1.通过生活中的现实情境引入,感受数学知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣,并体会有理数减法的必要性.
2.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过适量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,在小组交流中体验有理数的减法的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则;学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想.
(一)情境导入
如图所示的是某日北京的天气情况,从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6 ℃,最低温度为-5 ℃.那么它的温差怎么算 6-(-5)=
(二)新知初探
探究一 有理数的减法法则
问题1 你能从如图所示的温度计上看出5 ℃比 -5 ℃ 高多少摄氏度吗 用式子如何表示
解:能.5-(-5)=10(℃).
问题2 5+(+5)= 10 .
结论:由上面两个式子你能得出什么
解:5-(-5)=5+(+5).
问题3 用上面的方法考虑:
0-(-3)= 3 ,0+(+3)= 3 ,则0-(-3)= 0+(+3) ;
1-(-3)= 4 ,1+(+3)= 4 ,则1-(-3)= 1+(+3) ;
-5-(-3)= -2 ,-5+(+3)= -2 ,则-5-(-3)= -5+(+3) .
问题4 计算:
9-8= 1 ;9+(-8)= 1 ,则9-8= 9+(-8) ;
15-7= 8 ;15+(-7)= 8 ,则15-7= 15+(-7) .
追问 通过上面的探究过程,你能得到什么结论
答:有理数的减法可以转化为加法来进行.
小结:
有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.
有理数减法法则也可以表示成a-b=a+(-b).
任务一 意图说明
让学生动手完成后进行比较,发现规律,揭示了有理数运算中加法与减法的关系,建立新知与旧知之间的联系,体会转化的数学思想,并总结出有理数的减法法则.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-3)-(-5);
(2)0-7;
(3)2-5;
(4)7.2-(-4.8);
(5)-3-5.
解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2.
(2)0-7=0+(-7)=-7.
(3)2-5=2+(-5)=-3.
(4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12.
(5)-3-5=-3+-5=
-8.
2.已知|a|=5,|b|=3,且a>0,b<0,求a-b的值.
解:由|a|=5,|b|=3,得a=±5,b=±3.
又因为a>0,b<0,所以a=5,b=-3.
所以a-b=5-(-3)=5+3=8.
小结:进行有理数的减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行运算.要特别注意减数的符号.
思考 在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(例如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(例如1-2,(-1)-1)吗
追问 一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得的差的符号是什么
任务二 意图说明
通过例题的解决加深对减法法则的理解,同时规范学生的解题过程,培养学生自主学习的能力.
探究三 有理数减法的应用
1.世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度是 8 848.86 m,吐鲁番盆地的海拔高度是-154.31 m,两处高度相差多少米
解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m).
答:两处高度相差9 003.17 m.
2.如图所示的是某市1月份连续4天的天气预报数据,哪一天的温差最大,哪一天的温差最小
1月13日 阴转多云 -8~2 ℃
1月14日 晴 -9~-2 ℃
1月15日 阴 -9~0 ℃
1月16日 阴转多云 -11~-3 ℃
解:1月13日的温差:2-(-8)=10(℃),
1月14日的温差:-2-(-9)=7(℃),
1月15日的温差:0-(-9)=9(℃),
1月16日的温差:-3-(-11)=8(℃),
所以温差最大的是1月13日的温差10 ℃.温差最小的是1月14日的温差7 ℃.
小结:应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时,一般是两个量比较,求一个量比另一个量多(或少)多少,列减法算式即可.
任务三 意图说明
进一步加强学生对减法法则的运用,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数,即a-b=a+(-b).
2.有理数减法法则的应用:
(1)将有理数减法统一成加法运算;
(2)解决一些简单的实际问题.
第2课时 有理数的加减混合运
掌握有理数的加减混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算.
1.理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
2.能根据具体问题适当运用运算律简化运算.
3.通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力.
重点:熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.
难点:能根据具体问题,适当运用运算律进行简化运算.
1.通过对两种算法的比较、分析,让学生体会到加减混合运算可以统一为加法运算,以及加减混合运算可以写成省略括号及加号的和的形式.
2.在例题的讲解中,让学生进行板书并讲解,让学生会做、会讲,真正地理解、认识到易错点,同时教师重点强调解题的规范性和每一步的理论依据,帮助学生更好地理解计算的过程.
(一)情境导入
问题 一口深3.5 m的深井,一只青蛙从井底沿井壁往上爬,第一次爬了0.7 m又下滑了0.1 m,第二次往上爬了0.42 m又下滑了0.15 m,第三次往上爬了1.25 m又下滑了0.2 m,第四次往上爬了 0.75 m 又下滑了0.1 m,第五次往上爬了0.65 m.
请问小青蛙爬出井了吗
(二)新知初探
探究一 加减法统一成加法
1.计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).
问题1 这个算式中有加法,也有减法,根据有理数减法法则,你能把它改写成加法运算吗
解:(-20)+(+3)+(+5)+(-7).
问题2 根据学过的有理数的加法运算计算出结果.
解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]
=(-27)+(+8)
=-19.
追问 在计算过程中你运用了哪些运算律
答:加法交换律,加法结合律.
小结:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.
a+b-c=a+b+(-c).
2.算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是哪几个有理数的和 说出这些有理数.
答:-20,+3,+5,-7的和.
为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,写为-20+3+5-7.
我们可以读作“负20、正3、正5、负7的和”,或读作“负20加3加5减7”.
上面的运算过程也可以简单地写成:
(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19.
任务一 意图说明
让学生进一步体会在做有理数的加减混合运算时,将加减法统一成加法,然后运用加法的交换律和结合律进行简便运算.
探究二 例题讲解
1.把下列算式改写为省略括号和加号的形式:
(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32);
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4.
解:(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32)
=-40-27+19-24+32.
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4
=-9+2-3-4.
问题 观察以上几个式子,你能发现简化符号的规律吗
小结:省略括号与加号时,数字前“-”号是奇数个取“-”,偶数个取“+”.
2.计算:(-2)+(+30)-(-15)-(+27).
解:(-2)+(+30)-(-15)-(+27)
=(-2)+(+30)+(+15)+(-27)
=-2+30+15-27
=(-2-27)+(30+15)
=-29+45
=16.
3.计算:14-25+12-17.
解:14-25+12-17
=14+12-25-17
=26-42
=-16.
[方法归纳] 有理数加减混合运算的步骤
(1)将加减混合运算转化为加法运算;
(2)省略加号和括号;
(3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加;
(4)按有理数加法法则计算.
任务二 意图说明
让学生进一步体会有理数的加减混合运算,把减法都转化为加法,并运用加法运算律进行简化运算.同时强调使用交换律的时候一定要连同前面的符号一起交换.
探究三 加减混合运算的应用
动物园在检查成年麦哲伦企鹅的身体状况时,最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重称量,以4 kg为标准,超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示,称重记录如表所示,求这6只企鹅的总体重.
编号 1 2 3 4 5 6
差值/kg -0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06
解:(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)
=[(-0.08)+(+0.08)]+[(+0.05)+(-0.05)]+(0.09+0.06)
=0.15(kg).
4×6+0.15=24.15(kg).
答:这6只企鹅的总体重为24.15 kg.
任务三 意图说明
让学生充分体会有理数的加减混合运算,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.加减法统一成加法
(1)减法变加法:a+b-c=a+b+(-c);
(2)运用加法运算律简化运算;
(3)按有理数加法法则计算.
2.省略括号法
(1)省略括号;
(2)同号数放在一起;
(3)进行加减运算.
2.2 有理数的乘法与除法
2.2.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
掌握有理数的乘法运算.能运用有理数的乘法运算解决简单问题.
1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论的思想,转化思想.
重点:能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点:有理数乘法法则的推导.
在小学学习的数的乘法及刚接受有理数加减法的基础上,进一步学习有理数的基本运算,教学时强调学生自主探索,在互相交流的过程中理解和掌握有理数乘法法则的本质;另外,要求学生在探索有理数乘法法则的过程中,初步体验分类讨论的数学思想,鼓励学生归纳和总结,形成良好的数学心理品质.
(一)情境导入
甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少
我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢
(二)新知初探
探究一 有理数的乘法法则
如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为 -2 cm ;
(2)如果3 min后记为+3 min,那么3 min前应记为 -3 min .
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O 右 边6 cm处.可以表示为(+2)×(+3)= 6(cm) ;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为(-2)×(+3)= -6(cm) ;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为 (+2)×(-3)=-6(cm) ;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O 右 边 6 cm处.可以表示为 (-2)×(-3)=6(cm) ;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是 0 ,可以表示为 0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0 .
根据上面的结果可知:
(1)正数乘正数,积为 正 数;负数乘负数,积为 正 数;(同号得正)
(2)负数乘正数,积为 负 数;正数乘负数,积为 负 数;(异号得负)
(3)积的绝对值等于各乘数的绝对值的 积 ;
(4)零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是 0 .
小结:
有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘,都得0.
问题 设a,b为正有理数,c为任意有理数,则
(+a)×(+b)= a×b ,(-a)×(-b)= a×b ;
(-a)×(+b)= -(a×b) ,(+a)×(-b)= -(a×b) ;
c×0= 0 ,0×c= 0 .
追问 两个有理数相乘,积是有理数吗
任务一 意图说明
引导学生通过观察数轴,分别得出正数乘正数,负数乘正数,正数乘负数,负数乘负数,一个数与零相乘的结果,从而归纳出有理数乘法的法则.通过乘法法则的推导,揭示了有理数乘法运算中分类讨论的数学思想.
探究二 倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;
(2)(-0.25)×(-4).
解:(1)×2=1.
(2)(-0.25)×(-4)=1.
小结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考 数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
任务二 意图说明
先计算再观察结果,归纳出倒数的概念,再引出互为倒数概念的同时,要注意与互为相反数的概念比较,避免产生混淆.
探究三 例题讲解
1.计算:
(1)8×(-1);(2)-×(-2);
(3)-×-.
解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8.
(2)-×(-2)=+×2=1.
(3)-×-=+×=.
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
2.求下列各数的倒数.
(1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
3.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18(℃).
答:气温下降18 ℃.
任务三 意图说明
1.通过练习帮助学生巩固提高,不仅使学生掌握了运算法则,而且积累了解题经验,发展了他们有条理地思考的能力.
2.教师应提前想到学生容易出现的错误并加以纠正,但只有让学生亲身经历错误,才能真正提高学生解决问题的能力.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积;
(2)任何数与0相乘,都得0.
2.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
第2课时 乘法的运算律
掌握有理数的乘法运算.理解有理数乘法的运算律,能运用运算律简化运算.
1.掌握有理数乘法的运算律,能利用乘法的运算律进行简化计算.
2.会确定多个因数相乘时积的符号,并会用乘法法则进行多个因数的乘积运算.
3.经历探索有理数的乘法运算律的过程,使学生感受从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律.
重点:多个因数的乘法运算及乘法运算律的应用.
难点:利用分配律来简化计算.
1.在猜测运算律在有理数范围内依然适用的基础上,通过举例验证让学生感受由感性认识上升到理性认识的必要性.同时符号语言更能简捷深刻地揭示问题的共性,有助于学生对一般问题的认识,而且为数学交流提供了有效途径.
2.通过观察、思考,引导学生进行分析、讨论和推理,导出数学规律,鼓励学生勤于思考,各抒己见,进一步培养学生的逻辑思维能力和表达交流能力.
(一)情境导入
在小学里,我们都知道,数的乘法满足交换律、结合律和分配律,例如
3×5=5×3;
(3×5)×2=3×(5×2);
3×(5+2)=3×5+3×2.
学习了有理数后,这些运算律是否仍然适用呢 这就是这节课我们要研究的内容.
(二)新知初探
探究一 有理数乘法的运算律
问题1 计算下列各题:
(1)5×(-6),(-6)×5;
(2)[3×(-4)]×(-5),3×[(-4)×(-5)].
追问1 比较它们的结果,你有什么发现
追问2 上面的两组运算分别体现了什么运算律.
小结:一般地,在有理数乘法中,两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
乘法交换律:ab=ba.
在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
乘法结合律:(ab)c=a(bc).
问题2 阅读,并思考:
计算:5×[3+(-7)]= 5×(-4) = -20 ,
5×3+5×(-7)= 15-35 = -20 ,
5×[3+(-7)] = 5×3+5×(-7).
思考 在上述运算过程中,你得到什么规律呢
小结:一般地,在有理数中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
分配律:a(b+c)=ab+ac.
任务一 意图说明
引导学生经过对具体算式的探索,猜想,发现运算律的一般化的表示形式,学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-85)×(-25)×(-4);
(2)2×3×0.5×(-7).
解:(1)(-85)×(-25)×(-4)
=(-85)×[(-25)×(-4)]
=(-85)×100
=-8 500.
(2)2×3×0.5×(-7)
=(2×0.5)×[3×(-7)]
=1×(-21)
=-21.
2.用两种方法计算:+-×12.
解:法一 +-×12
=+-×12
=-×12
=-1.
法二 +-×12
=×12+×12-×12
=3+2-6
=-1.
小结:
(1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换;
(2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏;
(3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘;
(4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律.
任务二 意图说明
1.通过两种方法的运算,一方面是对有理数乘法法则和运算律的巩固,另一方面可以使学生直观地体会到乘法运算律的简便性.
2.检测学生是否能够熟练、正确地应用有理数的乘法运算律进行解答,对出现的问题有针对性地再次强调.
探究三 多个有理数的乘法法则
1.判断下列各式的积是正的、负的还是0
2×3×4×(-5)( 负 );
2×3×(-4)×(-5)( 正 );
2×(-3)×(-4)×(-5)( 负 );
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)( 正 );
8×(-8.1)×0×(-19.6)( 0 ).
问题 几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系 如果有乘数为0,那么积有什么特点
小结:几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;
负的乘数的个数是奇数时,积为负数;
几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
2.计算:
(1)(-3)××-×-;
(2)(-5)×6×-×.
解:(1)(-3)××-×-
=-3×××
=-.
(2)(-5)×6×-×
=5×6××
=6.
任务三 意图说明
分组讨论交流,鼓励学生通过观察实例,用自己的语言表达所发现的规律.培养学生善于观察、勤于思考的习惯,让学生体验获得结论的过程.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:ab=ba;
(2)乘法结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
2.(1)多个有理数的乘法法则:
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数为
(2)几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
2.2.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
掌握有理数的除法运算.
1.根据除法是乘法的逆运算探究除法法则.
2.掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.
3.经历把除法问题转化为乘法问题,体会转化的数学思想.
重点:应用有理数的除法法则进行运算.
难点:有理数的除法法则的推导.
1.采用课本的引例为探究除法法则的导入,让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.从而使学生掌握除法的两种运算方法.
2.通过学生自主学习、探究,培养学生自立的精神.在学习中,教师可以有意识地培养学生的竞争意识,让学生在学习过程中能及时反思自己出现的问题,养成良好的学习习惯.
(一)情境导入
1.小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了 20 min,问小明家离学校有多远
解:50×20=1 000(m).
即小明家离学校1 000 m.
放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟
解:1 000÷50=20(min).即应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系
答:有理数除法是有理数乘法的逆运算.
(二)新知初探
探究一 有理数的除法法则
1.(1)根据“除法是乘法的逆运算”填空:
(-4)×(-2)=8,则8÷(-4)= -2 ;
6×(-6)=-36,则(-36)÷6= -6 ;
-×=-,
则-÷-= ;
(-8)×9=-72,则(-72)÷9= -8 ;
(2)计算:
8÷(-4)=-2,8×-= -2 ,则8÷(-4) = 8×-;
(-36)÷6=-6,则(-36)×= -6 ,则 (-36)÷6 = (-36)×;
-÷-=,-×-= ,则-÷- = -×-;
(-72)÷9=-8,则(-72)×= -8 ,则 (-72)÷9 = (-72)×.
问题 上面各组数计算结果有什么关系 由此你能得到什么结论
答:上面各组数计算结果相同.
由此可得到:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
小结:有理数的除法法则(一):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a×(b≠0).
2.利用上面的除法法则计算下列各题:
(1)(-54)÷(-9);(2)(-27)÷3;
(3)0÷(-7);(4)(-24)÷(-6).
解:(1)(-54)÷(-9)=(-54)×-=6.
(2)(-27)÷3=(-27)×=-9.
(3)0÷(-7)=0×-=0.
(4)(-24)÷(-6)=(-24)×-=4.
想一想:从上面我们能发现商的符号有什么规律
答:商的符号与被除数、除数的符号有关.
小结:有理数除法法则(二):
两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
思考 到现在为止,我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除问题呢
解:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值.
如果两数相除,能够整除的就选择法则二,不能够整除的就选择用法则一.
任务一 意图说明
以小组合作的方式通过观察几组算式,找出被除数、除数、商的符号特征和绝对值的特点,进而猜测、推理出一般的除法算式的特点,最后归纳总结除法法则.学生亲历了知识产生的过程,将知识内化.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-15)÷(-3);
(2)(-4.8)÷0.6;
(3)-÷+;
(4)(-60)÷+3.
解:(1)(-15)÷(-3)=15÷3=5.
(2)(-4.8)÷0.6=-(4.8÷0.6)=-8.
(3)-÷+=-×=-.
(4)(-60)÷+3=(-60)×=-.
2.化简下列分数:
(1); (2); (3).
解:(1)=(-2)÷3=-(2÷3)=-.
(2)=(-3)÷6=-(3÷6)=-.
(3)=(-28)÷(-49)=28÷49=.
[方法归纳] 化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负.
由上面的计算可得=-,从而可以得到是负分数,是有理数;反过来看,有理数-也可以写成这样两个整数相除的形式.
思考 再取几对数试一试 你能得到什么结论
根据有理数的除法,形如(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).
小结:有理数就是形如(p,q是整数,q≠0)的数.
任务二 意图说明
1.通过例题的训练,让学生熟练运用法则,学会选择使用法则,了解除法的运算步骤,加强学生在计算技巧、方法、顺序、符号等方面的训练,减少出错机会.
2.通过分数的化简,让学生明白有理数可以表示为分数形式.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
有理数的除法法则
(1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a·(b≠0);
(2)两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商;
(3)0除以任何一个不等于0的数,都得0.
第2课时 加减乘除混合运算
掌握有理数的混合运算(以三步以内为主),能运用运算律简化运算,能运用有理数的运算解决简单问题.
1.掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除混合运算,并在运算过程中合理使用运算律.
3.会用计算器进行有理数的运算.培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值.
重点:有理数的混合运算.
难点:正确而合理地按有理数的运算顺序计算.
从小学学过的四则运算顺序出发,与前面学过的运算法则结合,并注意弥补运算能力存在的不足和缺漏,使学生完整系统地掌握好计算规则.教师指导学生解题时,要特别提醒学生注意运算顺序和结果的符号,并善于观察题目特征,合理选择运算律.
2.采用开放式教学,让学生自主学习.让学生在组内采取你答我评的方式,使学生既掌握了运算顺序,又培养了学生的语言表达能力.最后在进行运算时,让学生比一比谁的计算更快更准确,培养了学生的参与意识和竞争意识.
(一)情境导入
问题1 小学的四则混合运算的顺序是怎样的
答:先乘除,后加减,同级运算从左至右,有括号时先算括号内,再算括号外.
括号计算顺序:先小括号,再中括号,最后大括号.
问题2 我们目前都学习了哪些运算
答:加法、减法、乘法、除法.
一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算.
(二)新知初探
探究一 有理数的乘除混合运算
1.计算:
(1)-2.5÷×-;
(2)-÷-×-1.
解:(1)-2.5÷×-
=-××-
=××
=1.
(2)-÷-×-1
=-×-×-
=-××
=-4.
问题 观察上面的乘除混合运算,运算顺序是什么 你能得出什么结论
小结:
(1)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算);
(2)有理数除法化为有理数乘法以后,可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
任务一 意图说明
学生试着做出乘除混合运算的计算题,在教师的引导下,从中总结归纳乘除混合运算的技巧,培养学生的运算技能.
探究二 有理数的加、减、乘、除混合运算
1.问题1 观察式子3+50÷2×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么
解:加法、减法、乘法、除法都有,先算乘除,后算加减.
问题2 观察式子-3×(2+1)÷(5-12),应该按照什么顺序来计算
解:先算括号内,再按从左往右顺序计算.
[归纳]有理数混合运算的顺序
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.计算:
(1)-8+4÷(-2);
(2)(-7)×(-5)-90÷(-15).
解:(1)-8+4÷(-2)
=-8+(-2)
=-10.
(2)(-7)×(-5)-90÷(-15)
=35-(-6)
=35+6
=41.
小结:在进行有理数的混合运算时,应先观察算式的特点,若能应用运算律进行简化运算,就先简化运算,在简化运算后,再按混合运算的顺序进行运算.
任务二 意图说明
在教师设计的问题的回答过程中,复习先前的知识,为后续的学习做好铺垫.然后教师组织学生合作完成例题的解答,教师对有疑问的同学给以适当的指导;再通过练习加以巩固,达到让学生掌握有理数加减乘除混合运算的目的.
探究三 有理数的混合运算的实际应用
某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总的盈亏情况如何
解:记盈利额为正数,亏损额为负数,公司去年全年总的盈亏为
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+96+86.8-4.6
=173.7.
答:这个公司去年全年盈利173.7万元.
教师操作多媒体,展示电子计算器面板示意图,介绍计算器的简单使用方法.
小结:
1.计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.
2.提倡在明确算理的情况下,恰当地使用计算器进行一些比较复杂的有理数加减乘除法的混合运算.
任务三 意图说明
1.通过操作计算器,培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值.
2.按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的加减乘除混合运算顺序:先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.进行有理数的混合运算时应注意运用运算律进行简化计算.
2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
理解乘方的意义,掌握有理数的乘方运算.
1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想.
重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点:有理数的乘方的运算及幂的符号法则.
1.从实际问题出发,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念.
2.通过类比乘法与加法的关系,使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性认识,为下一步的验证提供方向,也感受到数学中类比的思想.
(一)情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒麦子,在第二个格子中放进第一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易,可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
(二)新知初探
探究一 乘方的意义
问题1 若正方形的边长为2,则它的面积为多少
2×2=22,读作2的平方(或二次方).
问题2 棱长为2的正方体的体积为多少
2×2×2=23,读作2的立方(或三次方).
问题3 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个
提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢 那么3 h共分裂了多少次 有多少个细胞 请列出算式.
解:一次:2个;
两次:2×2个;
三次:2×2×2个;
四次:2×2×2×2个.
3 h共分裂六次,六次:2×2×2×2×2×2个.
问题4 这些式子有什么相同点
解:它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
小结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”.
求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.
一个数可以看作这个数本身的1次方,例如8就是81,指数1通常省略不写.
任务一 意图说明
1.通过实际问题,为学生提供数学活动的机会,通过动手实践和合作交流,使学生在现实情境中得出乘方的定义,经历数学知识的发生、发展过程.强调乘方是一种特殊的乘法运算.
2.通过解决练习中的问题,让学生明确对于分数及负数的乘方,书写时底数一定要添加括号.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-3)3; (2)-2; (3)-3;
(4)(-1)2 025.
解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)
=-(3×3×3)
=-27.
(2)-2=-×-=.
(3)-3=-×-×-=-.
(4)(-1)2 025=-1.
问题 负数的幂的正负与指数有什么关系
小结:
(1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;
(2)-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1;
(3)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
2.(1)(-2)2与-22表示的意义一样吗
(2)2与表示的意义一样吗
解:(1)不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
(2)不一样,2表示的平方,表示2的平方再除以3.
3.用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:用带符号键(-)的计算器.
((-)8) ^ 5=
显示:(-8)^ 5
-32 768.
((-)3) ^ 6=
显示:(-3)^ 6
729.
所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729.
任务二 意图说明
1.通过具体的例子,引导学生归纳得出幂的符号法则.底数是正数,负数或0时,幂的符号是有区别的.
2.通过习题巩固学生的计算能力,让学生逐步熟悉有理数的乘方运算,进一步规范幂的书写格式,使学生加深对有理数的乘方运算的印象.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.乘方的意义
(1)一般地,n个相同的乘数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”;
(2)求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)零的任何正整数次幂都是零;
(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
第2课时 有理数的混合运算
掌握有理数的混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算.
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
重点:掌握有理数的混合运算的法则,正确、熟练地进行有理数的混合运算.
难点:灵活巧妙地应用运算律进行简便计算.
1.在复习回顾四则运算法则的基础上,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯.
2.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习.
(一)情境导入
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗 下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗
(二)新知初探
探究一 有理数的混合运算
下列式子30+5÷22×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减.
30+5÷22×--1
=30+5÷4×--1
=30+×--1
=30--1
=28.
小结:做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
任务一 意图说明
利用小学学习的四则混合运算的法则,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯,同时还让学生体会知识的延续性.
探究二 例题讲解
1.计算:2×(-3)3-4×(-3)+15.
解:原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27.
2.计算:(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).
解:原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)
=-8+42+4.5
=38.5.
3.计算:(-3)2×-+-.
解:法一 原式=9×-=-11.
法二 原式=9×-+9×-=-6-5=-11.
小结:有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减.
任务二 意图说明
1.学生通过交流,正确归纳出有理数混合运算顺序,再在实际解题过程中寻找规律,发现问题,学生间互相辨析指正.在这个过程中教师重点引导学生发现自己的错误,规范学生的解答过程..
2.合理选择步骤和运算律可以简化运算.
探究三 数字规律探究
1.观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….
(2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,….
第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,….
(3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×
=1 024+1 026+512
=2 562.
2.为了求1+2+22+23+24+…+22 024的值,可令S=1+2+22+23+…+22 024,则2S=2+22+23+24+…+22 025,因此2S-S=22 025-1,所以 1+2+22+23+…+22 024=22 025-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 024= .
任务三 意图说明
观察等式,可发现规律,根据规律即可进行解答.通过练习可培养学生对数的感觉,提高学生抽象与归纳的能力,培养学生思维的逻辑性和灵活性,进一步发展学生的思维.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的混合运算
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.应用运算律简化运算.
2.3.2 科学记数法
会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
1.通过对实际问题的探究,感受用科学记数法表示大数的科学性,感受数学的简洁美.
2.会用科学记数法表示大于或等于10的数.
3.通过探索归纳科学记数法中10的指数与原数整数位数之间的关系,培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力.
重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点:探索归纳出用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系.
1.利用实际生活中的熟悉问题调动学生的求知欲和积极性,再通过复习乘方的意义,引导学生思考如何利用10的乘方表示一些大数,但究竟怎么表示,有什么规律就由学生独立探究,经历小组讨论,表述评判,最后由教师点拨总结等几个环节,使新知识的教与学的目的顺利达到.
2.通过问题的设置调动学生的思维,通过对问题的探究与交流,师生共同发现用科学记数法表示的数中10的指数与小数点移动位数之间的关系,让学生在深刻理解、牢固掌握知识的同时,体会知识的生成过程.
(一)情境导入
生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如:
1.全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽.
2.光的速度约为300 000 000 m/s.
3.地球离太阳约有1亿五千万千米.
4.地球上煤的储量估计15万亿吨以上.
像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢
(二)新知初探
探究一 用科学记数法表示数
1.回顾有理数的乘方,计算:
101= 10 ,102= 100 ,103= 1 000 ,
104= 10 000 ,106= 1 000 000 ,1010= 10 000 000 000 ,….
讨论:
(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系
(2)指数与运算结果的数位有什么关系
[归纳总结] (1)10n=1,n恰好是1后面0的个数;
(2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如:
1=107.
2.把下列各数写成10的n次幂的形式(即写成10( )):100,10 000,100 000 000,300,32 000,345 000 000.
解:100=102,10 000=104,100 000 000=108.
300=3×100=3×102
32 000=3.2×10 000=3.2×104
345 000 000=3.45×100 000 000=3.45×108.
小结:我们可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.这种记数方法叫作科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似表示.
追问 下列三组数是用科学记数法表示的数吗 为什么
(1)0.137×1010;(2)13.7×108;(3)137×107.
任务一 意图说明
1.让学生对幂的意义进行回忆,弄清指数与其结果中零的个数的关系,为学生对下面将要学习的科学记数法的理解做好铺垫.
2.通过把大于10的数写成10的幂的形式,让学生进一步掌握10的指数与原数的整数位的关系.
探究二 例题讲解
1.用科学记数法表示下列各数:
1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000.
解:1 000 000=1×106, 57 000 000=5.7×107, -123 000 000 000=-1.23×1011.
[方法归纳] 用科学记数法表示一个n位整数时,10的指数是n-1.
2.光的速度是300 000 000 m/s,太阳光从太阳射到地球的时间约500 s,请你计算出太阳与地球的距离是多少米(结果用科学记数法表示)
解:300 000 000×500
=150 000 000 000
=1.5×1011(m).
答:太阳与地球的距离为1.5×1011 m.
任务二 意图说明
检查学生的学习效果,看其能否真正掌握科学记数法.找同学板演,便于发现问题.也可以借助此环节,引导学生进行解题后的总结,进一步达成学习目标.
探究三 还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数
(1)2003年10月15日,中国首次发射载人航天飞行,神舟五号飞船绕地球飞行了14圈,行程约为 6×105 km;
(2)一套《辞海》大约有2.3×107个字;
(3)1972年3月发射的“先驱者10号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器,至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时,它已飞离地球1.22×1010 km.
解:(1)6×105=600 000.
(2)2.3×107=23 000 000.
(3)1.22×1010=12 200 000 000.
小结:反过来,如果用科学记数法表示的数10的指数是n,那么原数有n+1位整数位.
任务三 意图说明
通过将用科学记数法表示的数还原,加深学生对科学记数法的理解,对学生存在的问题及时有效地进行反馈,让老师及时准确地掌握学生的课堂学习效果.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.科学记数法
(1)把一个大于10的数表示成a×10n的形式; (2)a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.
2.还原用科学记数法表示的数.
2.3.3 近似数
了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算.
1.结合实际问题理解近似数的概念,并能按要求取近似数.
2.通过学数和精确度的意义以及它们在生活中的应用,让学生体会学习数学的重要性.
重点:理解近似数、精确度的意义,能根据具体要求取近似数.
难点:按给定的精确度求一个数的近似数.
1.多角度选择生活事例作为情境,激发学生参与学习的热情,以学生身边最熟悉的数据引导学生认识概念,再在习题的解答和纠错中准确接受新知识.
2.应给予学生充足的时间,组织学生独立思考、动手操作、合作交流,进一步体会近似数与其精确度之间的关系.
(一)情境导入
北京地铁1号线是我国最早的地铁路线,共设36座车站,全长52.7 km.
“36”一定是准确的数据吗
“52.7”一定是准确的数据吗 它又是怎么来的
(二)新知初探
探究一 准确数与近似数
1.问题1
(1)我班有 名学生, 名男生, 名女生;
(2)你今年约 岁;
(3)你的体重约为 kg,身高约为 cm;
(4)我们的数学课本有 页;
(5)量一量,我们的数学课本的长是 cm,宽是 cm.
问题2 在这些数据中,哪些数据是与实际接近的 哪些数据是与实际完全符合的
(1)(4)与实际完全符合,(2)(3)(5)是与实际接近的.
2.问题 (1)什么样的数是近似数 你能举例说明吗
我们得不到与实际完全相符的数,而是通过测量、估算得到的数,都是近似数.例如,姚明的身高是2.26 m.
(2)有时,我们为了叙述、书写方便,通过四舍五入得到的数也是近似数.例如,2023年全国高考报名的考生共1 291万人.
3.下列语句中,哪些数据是精确的,哪些数据是近似的
(1)妈妈去买水果,买了8个苹果,大约3 kg;
(2)小民与小李买了2瓶水,4根黄瓜,6袋牛肉干,约20元,然后骑车去大约3.5 km外的地方郊游,大约玩了4.5 h回家;
(3)我国共有56个民族.
解:精确数:8,2,4,6,56;近似数:3,20,3.5,4.5.
4.判断下列各数,哪些是近似数,哪些是准确数
(1)某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加;( 近似数 )
(2)检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌 800 000 万个;( 近似数 )
(3)张明家里养了5只鸡;( 准确数 )
(4)据统计,2023年全中国中小学生人数为1.1亿.( 近似数 )
小结:经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数;能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数,一般通过计数数出来的数都是准确数.
任务一 意图说明
提出现实生活中的实际问题,根据自己已有的生活经验观察身边熟悉的事物,收集一些数据,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,从而理解近似数与准确数的意义.
探究二 按要求取近似值
1.小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.
根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少 根据小颖的测量呢 谁的测量结果会更精确一些
解:根据小明的测量,这片树叶的长度约为3 cm,根据小颖的测量,这片树叶的长度约为3.2 cm.
小颖的测量结果更精确一些.
2.按四舍五入法对圆周率π取近似数,有
π≈3(精确到 个位 ),π≈3.1(精确到 0.1 ,或叫作精确到 十分位 ),π≈3.14(精确到 0.01 ,或叫作精确到 百分位 ),π≈3.142(精确到 0.001 ,或叫作精确到 千分位 ),π≈3.141 6(精确到 0.000 1 ,或叫作精确到 万分位 ),……
3.下列结论正确的是(C)
A.近似数4.230和4.23的精确度是一样的
B.近似数89.0是精确到个位
C.近似数0.005 10与0.051 0的精确度不一样
D.近似数6万与近似数60 000的精确度相同
小结:近似数是一个与准确数接近的数,其接近程度可以用精确度表示.
一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
任务二 意图说明
注重学生的自主学习与探究,通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.让学生感受四舍五入取得的近似数是精确到哪一位,即精确度是多少.
探究三 例题讲解
1.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)0.015 8(精确到0.001);
(2)304.35(精确到个位);
(3)1.804(精确到0.1);
(4)1.804(精确到0.01).
解:(1)0.015 8≈0.016;(2)304.35≈304;
(3)1.804≈1.8;(4)1.804≈1.80.
2.下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位
(1)600万;(2)7.03万;
(3)5.8亿;(4)3.30×105.
解:(1)600万,精确到万位;
(2)7.03万,精确到百位;
(3)5.8亿,精确到千万位;
(4)3.30×105,精确到千位.
任务三 意图说明
通过例题,培养学生的迁移类比能力;通过讨论,让学生搞清求近似数的关键是确定省略的最高位上的数字是几,根据是否满5来决定舍还是入,总结交流,提炼方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.判断准确数与近似数.
2.会按照精确度求一个数的近似数.
3.根据近似数判断精确度.
第三章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系
第1课时 代数式
借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义.
1.结合生活中的具体实例,初步感受用字母表示数的必要性.
2.理解代数式的意义,会用代数式表示实际问题中的数量关系.
3.通过列代数式,形成初步的符号感,提高应用数学的意识.
重点:用代数式表示实际问题中的数量关系.
难点:理解并会用语言表达代数式的意义.
让学生经历在实际问题中用字母表示数,初步理解用字母表示数的意义及目的,可以先用数,后用字母来表示.让学生循序渐进的学习本部分内容,在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数,发展学生的符号感.在数学教学中,让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题.
(一)情境导入
我们不少同学都是唱着儿歌长大的,朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首歌是这样唱的:
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,一声扑通跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,两声扑通跳下水;三只青蛙三张嘴,六只眼睛……,a只青蛙a张嘴,2a只眼睛4a条腿,a声扑通跳下水,由此看出a是一个字母,它代表“很多只”的数量,用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系.
今天我们就学习用字母表示数.
(二)新知初探
探究一 代数式的概念
1.智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一,某品牌苹果采摘机器人可以1 s完成5 m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手8 s可以采摘一个苹果,根据这些数据回答下列问题:
问题1 该机器人10 s能识别多大范围内的苹果
5×10=50(m2).
追问1 该机器人60 s能识别多大范围内的苹果
答:5×60=300(m2).
追问2 该机
第一章 有理数
1.1 正数和负数1
1.2 有理数及其大小比较3
1.2.1 有理数的概念3
1.2.2 数 轴5
1.2.3 相反数7
1.2.4 绝对值9
1.2.5 有理数的大小比较11
第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法13
2.1.1 有理数的加法13
第1课时 有理数的加法法则13
第2课时 有理数加法的运算律15
2.1.2 有理数的减法17
第1课时 有理数的减法法则17
第2课时 有理数加减混合运算19
2.2 有理数的乘法与除法21
2.2.1有理数的乘法21
第1课时 有理数的乘法法则21
第2课时 乘法的运算律23
2.2.2 有理数的除法25
第1课时 有理数的除法25
第2课时 加减乘除混合运算27
2.3有理数的乘方29
2.3.1 乘 方29
第1课时 有理数的乘方29
第2课时 有理数的混合运算31
2.3.2 科学记数法33
2.3.3 近似数35
第三章 代数式
3.1列代数式表示数量关系37
第1课时 代数式37
第2课时 列代数式 39
第3课时 反比例关系41
3.2 代数式的值43
第四章 整式的加减
4.1 整 式45
第1课时 单项式45
第2课时 多项式47
4.2 整式的加法与减法49
第1课时 合并同类项49
第2课时 去括号52
第3课时 整式的加减54
第五章 一元一次方程
5.1 方程56
5.1.1 从算式到方程56
第1课时 方 程56
第2课时 一元一次方程58
5.1.2 等式的性质60
5.2 解一元一次方程 62
第1课时 合并同类项解一元一次方程
62
第2课时 移项解一元一次方程64
第3课时 去括号解一元一次方程66
第4课时 去分母解一元一次方程68
5.3 实际问题与一元一次方程70
第1课时 配套、工程问题70
第2课时 销售、球赛积分问题72
第3课时 方案比较、分段计费问题74
第六章 几何图形初步
6.1 几何图形76
6.1.1 立体图形与平面图形76
第1课时 认识立体图形与平面图形76
第2课时 从不同的方向看立体图形和立体
图形的展开图78
6.1.2 点、线、面、体80
6.2 直线、射线、线段82
6.2.1 直线、射线、线段82
6.2.2 线段的比较与运算84
6.3 角87
6.3.1 角87
6.3.2 角的比较与运算89
第1课时 角的比较与运算89
第2课时 角平分线91
6.3.3 余角和补角93
第一章 有理数
1.1 正数和负数
理解负数的意义,会用正数和负数表示具体情境中具有相反意义的量.
1.通过实际生活情境,抽象出负数的概念,并学会用符号表示正数和负数.
2.会用正数和负数表示具有相反意义的量,认识“0”的意义.
3.使学生经历对正负数的学习,体会数学与生活的紧密联系,培养学生分析和解决实际问题的能力.
重点:会判断正数、负数,运用正负数表示具有相反意义的量,理解“0”表示的意义.
难点:对负数的理解以及相反意义的量的理解.
1.通过身边熟悉的事物,让学生感受到负数的引入确实是实际生活的需要,数学与我们的生活密不可分.
2.让学生充分思考,交流探究,进一步体会“负”与“正”是相对的,是表示相反意义的量.经历讨论、探索、交流、合作等过程获得新知,并能用所学的新知识来解决实际问题.这样教学更能激发学生学习数学的兴趣;提升学生的能力,促进学生的发展.
(一)情境导入
数学与数是分不开的,它是一门研究数的学问.现在我们一起来回忆一下,小学里已经学过哪些类型的数
学生回答后,教师指出:小学里学过的数可以分为三类:自然数、分数和小数,它们都是由于实际需要而产生的.
观察下列图片,体会数的产生和发展过程.
根据实际生活的需要,人们引进了另一种数,你知道是什么数吗 结合你在实际生活中接触到的数,试举例.
(二)新知初探
探究一 正数和负数的概念
在生活、生产和科研中,经常遇到数的表示和运算等问题.
例如:北京冬季里某一天的气温为-3 ℃~3 ℃.“3 ℃”的含义是什么 “-3 ℃”的含义是什么
追问1 零上温度与零下温度是具有相反意义的量,零上4摄氏度怎样表示 零下5摄氏度怎样表示
追问2 珠穆朗玛峰高于海平面8 848.86 m可以记作+8 848.86 m,吐鲁番盆地的艾丁湖低于海平面154.31 m,应该怎样表示 这里具有相反意义的量是什么
追问3 某仓库昨天运进货物8吨可以记作 8吨,今天运出货物4吨,应该怎样表示 这里具有相反意义的量是什么 你还能举出其他类似的例子吗
追问4 怎样区别具有相反意义的量才好呢
待学生思考后,请学生回答、评议、补充.
小结:为了用数表示具有相反意义的量,我们把其中一种意义的量,如零上温度、前进、收入、上升、高出等规定为正的,而把与它们相反的量,如零下温度、后退、支出、下降、低于等规定为负的,正的量用算术里学过的数表示,也可以加上符号“+”(读作正),负的量用学过的数前面加上“-”(读作负)号来表示(零除外).
任务一 意图说明
通过学生身边的实例,使学生获取大量的感性材料,为正确建立相反意义的量奠定基础.采取比较轻松的方式,尽量避免使概念复杂化,让学生觉得数学并不难学,增强学生的自信心.
探究二 “零”的认识
我们在小学时知道:0表示没有,0不能作除数,0乘任何数都等于0.
1.你知道温度计中的“0”刻度表示什么意思吗
答:温度计中的0不是表示没有温度,它通常表示水结成冰时的温度,是零上温度与零下温度的分界点.
2.在表示某地的高度时,用正数表示高于海平面的海拔,用负数表示低于海平面的海拔,那么海拔为0 m表示什么意思
追问 在日常生活中,你还能举出类似的例子吗
小结:零既不是正数,也不是负数.在实际意义中,0往往表示基准,比如海平面、警戒水位等,有着丰富的内涵.
任务二 意图说明
通过对实际生活中具体问题的分析,能够帮助学生加深对“0”的内涵的理解,0不仅表示没有,更是正数和负数的分界.
探究三 例题讲解
1.(1)在知识竞赛中,如果用+10分表示加10分,那么扣20分应该怎样表示
(2)某人转动转盘,如果用+5圈表示按逆时针方向转了5圈,那么按顺时针方向转了12圈应该怎样表示
(3)在某次乒乓球质量检测中,如果一只乒乓球超出标准质量0.02 g记作+0.02 g,那么-0.03 g表示什么
解:(1)-20分.
(2)-12圈.
(3)低于标准质量0.03 g.
2.下列各数中,哪些是正数 哪些是负数
-2,7,-,+0.201 4,-1.732,0,.
解:正数有7,+0.201 4,.
负数有-2,-,-1.732.
3.(1)一个月内,小明体重增加1.2 kg,张华体重减少0.5 kg,刘伟体重无变化,写出他们这个月的体重增长值;
(2)四种品牌的手机今年第二季度的销售量与第一季度相比,变化率如下:
A品牌减少2%,B品牌增长4%,C品牌增长1%,D品牌减秒3%.
写出今年第二季度这些品牌的手机销售量的增长率.
解:(1)这个月李明体重增长1.2 kg,张华体重增长-0.5 kg,刘伟体重增长0 kg.
(2)四种品牌的手机今年第二季度销售量的增长率是:A品牌-2%,B品牌4%,C品牌1%,D品牌-3%.
任务三 意图说明
1.通过对实例的分析,让学生知道如何用正负数表示具有相反意义的量.
2.先让学生自己独立完成,教师巡视、点拨,然后分组交流,学生间互相纠错,教师及时给予评价、点评,加深学生对正负数的理解.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.大于0的数叫作正数,正数前面加上“-”的数叫作负数.
2.0既不是正数也不是负数,它是正负数的分界.
3.具有相反意义的量应满足的条件:
①必须是同类量,而且是成对出现的;
②只要求意义相反,不要求数量一定相等.
1.2 有理数及其大小比较
1.2.1 有理数的概念
理解有理数的意义.
1.理解有理数的概念.
2.掌握有理数的分类标准,能够把给出的有理数进行分类.
3.通过对有理数分类的探索,让学生了解分类的思想方法的作用,树立分类讨论的观点和能够正确地进行分类的能力.
重点:会把所给的有理数进行正确的分类.
难点:掌握有理数的分类方法.
1.通过回忆小学对数的分类,引导学生对前面学过的数进行思考,促进学生积极主动地参加学习活动,亲自体验知识的形成过程.避免教师直接分类带来学习的枯燥性.
2.要有意识地突出“分类讨论”数学思想的渗透,明确分类标准不同,分类的结果也不相同,且分类结果应是无遗漏、无重复的.
(一)情境导入
下面是某旅行社对冬季某天天气的预报,方便大家出行:
某地的最高气温为6 ℃,最低气温达到-10 ℃,平均气温是0 ℃,而同一天北京的气温为-3 ℃~7 ℃.
问题1 上面的这段文字中出现了什么数
问题2 像,,,0.2,3.25…又是什么数
(二)新知初探
探究一 有理数的概念
1.想一想,我们已经学过的数有哪些 请你说出两个你认为不同的数.
2.请观察下列一组数.
1,3,5.7,6,-7,-9,-10,0,,,-3,-7.4,-15.2.
问题 以上各数,哪些是小学学过的数 它们可以分为哪几类 哪些是我们刚学过的数 说出它们的名称.
追问1 整数可以写成分数的形式吗 请尝试把以上问题中的整数写成分数的形式.
追问2 想一想小数与分数有什么关系
小结:可以写成分数形式的数称为有理数,其中,可以写成正分数形式的数为正有理数,可以写成负分数形式的数为负有理数.
任务一 意图说明
通过简单问题引入,既能促使学生回忆所学知识,又能诱发学生学习的兴趣,同时在解答问题的过程中让学生体会、感悟有理数的概念.
探究二 有理数的分类
思考并回答下列问题:
(1)0是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(2)-2是整数吗 是正数吗 是有理数吗
(3)自然数就是整数吗 是正数吗 是有理数吗
追问1 “正数”与“整数”有什么不同 与它们相对的是什么数
追问2 有理数除正数外还有什么数,你能根据符号(正,负)对有理数进行分类吗
追问3 你能先将有理数按“正”和“负”的属性分,再按每类数的“整”“分”进行分类吗
小结:有理数的分类结果:
有理数
任务二 意图说明
学生通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.从不同的角度对问题进行研究,有利于促进学生思维方式向多样化发展.让学生经历知识的探究过程,学会分类的思想方法,感受分类的方法和原则——统一标准、不重不漏,同时培养学生自主学习的习惯.
探究三 例题讲解
1.下列各数中,哪些是正整数 哪些是负分数 哪些是有理数
+7,-3.141 5,π,0,,-3,10,-0.,-3.
解:正整数有+7,10.
负分数有-3.141 5,-3,-0..
有理数有+7,-3.141 5,0,,-3,10,-0.,-3.
2.将下列各数填入相应的集合里:-9,+,0,-2,2 000,+61,,-10.8.
正有理数集合{…};
负有理数集合{…};
正整数集合{…};
负整数集合{…}.
解:正有理数集合.
负有理数集合.
正整数集合{2 000,+61,…}.
负整数集合{-9,…}.
任务三 意图说明
1.帮助学生巩固有理数的分类方法,体验分类的方法和原则.
2.让学生理解分类的标准不同,结果也不相同.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的概念.
2.有理数的分类:
(1)按符号(正,负)进行分类;
(2)按“整”和“分”进行分类.
3.注意0的特殊性,分类时不要遗漏.
1.2.2 数 轴
能用数轴上的点表示有理数,初步体会数形结合的思想方法.
1.通过与温度计的类比认识数轴,能正确地画出数轴.
2.能将已知数在数轴上表示出来,能说出数轴上已知点所表示的数.
3.通过数轴概念的学习,初步体会数形结合的思想方法.
重点:正确理解数轴的概念,掌握数轴的画法和用数轴上的点表示有理数.
难点:正确理解有理数与数轴上点的对应关系(数形结合).
1.通过创设问题情境,激发学生的学习热情,发现生活中的数学.让学生通过观察、思考和自己动手操作、经历和体验数轴的形成过程,加深对数轴概念的理解,同时培养学生的抽象和概括能力.
2.教师要给学生思维活动提供具体、直观、感性的支持,借助直观演示、动手操作、启发诱导,让学生由感性认识逐步上升到理性认识,再到抽象概括的认识规律.
(一)情境导入
回忆正负数的意义并回答以下问题:
在一条东西方向的马路上,有一个学校,学校东 50 m 和西150 m处分别有一个书店和一个超市,学校西100 m和东200 m处分别有一个邮局和医院,以学校为“基准”,向东记作“+”,向西记作“-”,用正负数表示书店、超市、邮局、医院的位置.
(二)新知初探
探究一 数轴的概念
1.问题:在一条东西向的马路旁,有一个汽车站牌,汽车站牌东侧3 m和7.5 m处分别有一棵柳树和一根交通标志杆,汽车站牌西侧3 m和4.8 m处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情境.
画一条直线表示马路,从左到右表示从西到东的方向,在直线上任取一个点O表示汽车站牌的位置,规定1个单位长度(线段OA的长)代表1 m长,用点B和点D分别表示柳树和交通标志杆的位置,用点D和点E分别表示槐树和电线杆的位置,请根据要求画出图形.
追问1 说出点B,点C,点D,点E分别相对于点O的位置.
答:点B在点O右边,距离点O 3个单位长度,点C在点O右边,距离点O 7.5个单位长度,点D在点O左边,距离点O 3个单位长度,点E在点O左边,距离点O 4.8个单位长度.
追问2 在上面的问题中,“东”与“西”,“左”与“右”都具有相反意义,在一条直线上取一个点O为基准点,用0表示它,点O右边的点用正数表示,那么点O左边的点可以用什么数表示 点B,C,D,E所表示的点分别用哪些有理数表示
答:负数 +3,+7.5,-3,-4.8
追问3 用上述方法,我们就可以把柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对关系表示出来了,你能说出3和-4.8分别表示什么位置吗
答:3表示位于汽车站牌东侧3 m处的柳树的位置,-4.8表示位于汽车站牌西侧4.8 m处的电线杆的位置.
2.温度计可以看作是表示正数、0和负数的直线.它和上面的问题中所画的图形有什么共同点,有什么不同点
小结:在数学上,可以用一条直线上的点表示数,它满足以下三个条件:
(1)在直线上任取一个点表示数0,这个点叫作原点;
(2)通常规定直线上从原点向右(或上)为正方向,从原点向左(或下)为负方向;
(3)选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示-1,-2,-3,…
像这样,规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
任务一 意图说明
从生活中的实例出发引出如何用数轴表示点,贴近生活、直观具体,易于使学生接受.在教师的层层设问中,让学生感受到可以用直线上的点来表示位置,且在表示位置时,必须设置基准点和单位长度.
探究二 用数轴表示有理数
观察画好的数轴,思考以下问题:
(1)原点表示什么数
答:原点表示0.
(2)原点右边的点表示什么数 原点左边的点表示什么数
答:原点右边的点表示正数,原点左边的点表示负数.
(3)+3,-,-1.5,0分别在数轴的什么位置
答:+3在数轴的正半轴上,距离原点3个单位长度,-在数轴的负半轴上,距离原点个单位长度,-1.5在数轴的负半轴上,距离原点1.5个单位长度,0在原点上.
小结:任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示.一般地,设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在数轴的正半轴上,与原点的距离是a个单位长度;表示数-a的点在数轴的负半轴上,与原点的距离是a个单位长度.数轴上与原点的距离是a个单位长度的点，简称为数轴上与原点的距离是a的点.
任务二 意图说明
探究二中的(1)(2)让学生思考,并与同桌相互叙述,互相纠正补充,然后举手回答.(3)可以让学生在黑板上画图指出.教师也可以给出其他的数让学生说出其对应的点在数轴上的位置.通过以上问题可以加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
探究三 例题讲解
1.下列所画数轴对不对 如果不对,指出错在哪里.
① ②
③ ④
⑤ ⑥ ⑦
解:①错,没有原点;②错,没有正方向;③正确;④错,没有单位长度;⑤错,单位长度不统一;⑥正确;⑦错,正方向标错.
2.在所给数轴上画出表示下列各数的点.
1,-5,-2.5,4,0
解:
3.在下面数轴上,A,B,C,D各点分别表示的是什么数
解:(1)A点表示2;(2)B点表示0.25;(3)C点表示-0.75;(4)D点表示-1.5.
任务三 意图说明
1.通过学生指出数轴上已知点所表示的数,是由“形”到“数”的思维过程,加深学生对数轴的认识,渗透了数形结合的思想.
2.根据给定的数在数轴上进行描点,是由“数”到“形”的思维过程,再次渗透数形结合的思想方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.数轴的定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
2.数轴的画法.
3.所有的有理数都可以用数轴上的点来表示.
1.2.3 相反数
能借助数轴理解相反数的意义,掌握求有理数的相反数的方法.
1.借助数轴理解相反数的概念,并能求给定有理数的相反数.
2.通过运用相反数解决实际问题,体会相反数的意义和作用.
3.通过理解相反数的概念,渗透数形结合等思想方法,培养学生的概括能力和推理论证能力.
重点:理解相反数的意义,会求有理数的相反数.
难点:从数和形两个方面理解相反数,初步体会数形结合的思想方法.
1.从具体的场景出发,利用数轴引导学生感受相反数的意义.通过教师的层层设问,充分展示学生的思维过程,让学生学会“理性”思考,从而归纳出互为相反数的意义.让学生意识到数学“源于生活,又高于生活”.
2.在认识相反数的意义的过程中,通过数形结合,让学生领会归纳相反数意义的多样性、概括性.
(一)情境导入
成语故事《南辕北辙》讲了一个人从魏国要到楚国去,楚国在南边,他硬要往北边走.他的马越好,赶车的本领越大,盘缠带得越多,走得越远,就越到不了楚国.
1.如果点O表示魏国的位置,点A表示楚国的位置,我们假设楚国与魏国的距离为30 km,以魏国为原点,我们规定向南为正方向,而此人从魏国出发向北到了点B也走了30 km,请同学们把这3个点在数轴上表示出来.
2.你还能在数轴上表示出类似于A,B这样的点吗
(二)新知初探
探究一 互为相反数的概念
问题 观察下列一组数:+1和-1,+2.5和-2.5,+4和-4,并把它们在数轴上表示出来.
思考
(1)上述各对数有什么相同之处 有什么不同之处
答:只有符号不同,其他都相同
(2)观察各对数所对应的两个点的位置关系有什么规律
答:分别位于原点两侧,且到原点的距离相等.
(3)请再写出一组具有上述特点的数.
答:+5和-5(答案不唯一).
小结:只有符号不同的两个数互为相反数.
追问1 定义中“只有符号不同”这几个字该怎样解释
追问2 定义中“相反”两字又该怎样理解
追问3 “-3是相反数”这句话对吗 0的相反数是多少
任务一 意图说明
1.通过观察各对数的特点及在数轴上的位置,让学生理解相反数从“数”的角度看只有符号不同,从“形”的角度看位于原点两侧且到原点的距离相等.
2.通过对学生进行层层设问,再根据学生判断的结果加深对相反数“互为”的理解,提高学生全面分析问题的能力.
探究二 相反数的表示和性质
1.6的相反数是多少 8的相反数是多少 a的相反数是多少
答:6的相反数是-6,8的相反数是-8,a的相反数是-a.
追问1 如果a=+3,那么a的相反数怎样表示 如果a=-5,那么a的相反数又怎样表示
答:-(+3),-(-5).
追问2 你能说出-(+7),-(-2)分别表示什么意义吗 它们的结果分别是多少
答:-(+7)表示+7的相反数,结果是-7,-(-2) 表示-2的相反数,结果是2.
追问3 在一个数前面加上“-”号表示求这个数的相反数,如果在这些数前面加上“+”号呢
答:表示它本身.
2.在数轴上,画出几组表示相反数的点,并观察这两个点具有怎样的特征
答:位于原点两侧,且与原点的距离相等.
追问 数轴上到原点的距离相等的两个点所表示的数有什么特点 它们是什么关系
答:只是符号不同,它们互为相反数.
小结:在数轴上表示互为相反数的两个点位于原点的两侧,并且与原点的距离相等.
任务二 意图说明
1.通过求几个正数的相反数归纳出相反数的表示方法即为在数的前面加上“-”号.通过在数轴上观察表示相反数的点的特点,理解相反数的几何意义.
2.学生在教师引导下主动学习并积极思考相关问题,培养学生主动探究数学规律的能力.
探究三 例题讲解
1.写出下列各数的相反数:16,-3,0,-,0.7,-3.
分析:只需将各数前面的正、负号换一下即可,但要注意0的相反数是0.
解:相反数依次为:-16,3,0,,-0.7,3.
2.化简下列各数.
(1)-(+10);
(2)+(-0.15);
(3)+(+3);
(4)-(-12);(5)+[-(-1.1)];
(6)-[+(-7)].
解:(1)-(+10)=-10.
(2)+(-0.15)=-0.15.
(3)+(+3)=3.
(4)-(-12)=12.
(5)+[-(-1.1)]=+(+1.1)=1.1.
(6)-[+(-7)]=-(-7)=7.
[方法归纳] 对于数字前面含有多个符号的数的化简,只要观察“-”号的个数即可.如果有奇数个“-”号,结果的符号就是“-”号;如果有偶数个“-”号,结果的符号就是“+”号.
3.若a表示一个数,那么-a一定是负数吗
解:若a是正数,则-a表示负数,若a表示负数,则-a是正数,若a=0,则-a表示0.
小结:正数的相反数是负数,负数的相反数是正数,0的相反数是0.
任务三 意图说明
1.通过化简含多重符号的数进一步理解相反数的表示方法,巩固所学知识,培养学生灵活运用定义的能力.
2.通过讨论a的值,渗透分类讨论的数学思想,进一步培养学生的符号意识.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.相反数
(1)只有符号不同的两个数;
(2)a的相反数是-a,0的相反数是0;
(3)互为相反数的两个数到原点的距离相等.
2.多重符号的化简
(1)一个数前面有偶数个“-”号,结果为正数.
(2)一个数前面有奇数个“-”号,结果为负数.
1.2.4 绝对值
借助数轴理解绝对值的意义,掌握求有理数的绝对值的方法.
1.从实际出发,借助数轴理解绝对值的意义,会求一个已知数的绝对值.
2.通过运用绝对值解决实际问题,体会绝对值的意义和作用.
3.在理解绝对值概念的过程中,渗透数形结合、分类讨论等思想.
重点:绝对值的概念与求法.
难点:理解绝对值的几何意义.
1.从实际生活情境出发,激发兴趣,知识建构循序渐进,思想方法有机渗透,知识形成过程清晰明了,创设平等、民主、和谐的课堂气氛,使学生广泛参与自主学习、合作交流.
2.课堂上留给学生一定的提问时间,从而暴露学生知识的缺陷,通过问题引导学生联想,大胆猜想,可以拓宽学生的知识面,增强知识的系统性,加深对课本知识的理解,培养学生的创新意识和发散思维.
(一)情境导入
两辆汽车从同一处O出发,分别向东、西方向行驶10 km,到达A,B两处,它们的行驶路线相同吗 它们的行驶路程相同吗
它们的行驶路线不同,行驶路程相同.
在实际生活中,有时存在这样的情况,有些问题我们不需要考虑数的正负性,比如:在计算行驶路程时,与行驶方向无关,这时所走的路程只需要用正数来表示,这样就需要引进一个新的概念——绝对值.
(二)新知初探
探究一 绝对值的意义
1.思考并完成填空:
(1)在数轴上,表示数+2的点与原点的距离是 2 ;
(2)在数轴上,表示数-2的点与原点的距离是 2 .
2.我们知道,互为相反数的两个数(0除外)只有符号不同,这两个数的相同部分在数轴上表示什么
答:表示有理数的点到原点的距离.
追问1 数轴上表示某数的点到原点的距离与它所表示的数的正负性有关系吗
答:没有关系.
小结:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值,记作|a|.
追问2 如果a分别取+5,-10,0时,a的绝对值分别表示什么意义
答:数轴上表示+5,-10,0的点到原点的距离.
追问3 当a分别取上述数时,a的绝对值怎样表示 结果又是多少
答:|+5|=5,|-10|=10,|0|=0.
任务一 意图说明
通过学生思考并填空引出绝对值的概念,教师引导学生挖掘绝对值概念的内涵,使学生在活动的过程中感悟知识的形成过程.
探究二 绝对值的性质
1.(1)问题:借助数轴分别说出+3,+5,+1.5的绝对值.
答:|+3|=3,|+5|=5,|+1.5|=1.5.
追问 观察这些数,它们有什么特点 观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系 把你得到的结论写出来.
答:正数的绝对值是它本身.
(2)问题:借助数轴分别说出-3,-4.5,-50的绝对值.
答:|-3|=3,|-4.5|=4.5,|-50|=50.
追问 观察这些数,它们有什么特点 观察这些数的绝对值,它们与这些数有什么关系 把你得到的结论写出来.
答:负数的绝对值是它的相反数.
小结:一个正数的绝对值是它本身,一个负数的绝对值是它的相反数,0的绝对值是0.
追问1 如果一个数的绝对值是一个负数,那么这样的数存在吗
答:不存在.
追问2 一个数的绝对值一定是什么数
答:非负数.
2.若字母a表示一个有理数,你知道a的绝对值等于什么吗 你能用含字母的式子表达这一规律吗
(1)当a是正数时,|a|= a ;
(2)当a是负数时,|a|= -a ;
(3)当a=0时,|a|= 0 .
小结:|a|=
任务二 意图说明
通过层层设问,引导学生分别归纳总结正数、负数的绝对值与数本身的关系,渗透分类讨论的数学思想.
探究三 例题讲解
1.求下列各数的绝对值:12,,-7.5,0,-(-3),-(+5).
解:|12|=12,=,|-7.5|=7.5,|0|=0,|-(-3)|=|3|=3,|-(+5)|=|-5|=5.
2.把下列各数表示在数轴上,并写出绝对值最大的是哪个数 绝对值最小的是哪个数
4,2.5,-3,-1.5.
解:如图所示.
由数轴可得,绝对值最大的数是4,绝对值最小的数是-1.5.
3.化简:
-|+3|,|-(-8)|,-,-|+(-6)|.
解:-|+3|=-(+3)=-3,
|-(-8)|=|+8|=8,
-=-+1=-1,
-|+(-6)|=-|-6|=-(+6)=-6.
任务三 意图说明
1.通过求一个数的绝对值,让学生明白求一个有理数绝对值的方法.
2.让学生先独立完成任务,然后通过交流展示归纳方法,进一步加深对绝对值的理解.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.绝对值的概念:
数轴上表示数a的点与原点的距离.
2.绝对值的性质
(1)|a|≥0;
(2)|a|=
1.2.5 有理数的大小比较
能比较有理数的大小.
1.通过实际生活情境,结合数轴归纳出有理数大小的比较法则.
2.能利用数轴比较有理数的大小,会利用绝对值比较两个负数的大小.
3.通过对温度计的观察和用数轴上的点来表示有理数,探索有理数大小的比较法则,进一步感受数形结合的思想方法.
重点:借助数轴比较两个有理数的大小.
难点:比较两个负数的大小.
从基础出发,从简单到复杂,层层递进,让学生更加深刻地认识和掌握有理数大小比较的方法,引导学生亲身经历知识的产生和归纳总结过程,突出学生的主体地位.通过学生参与教学活动,动手排列数,动眼观察数的特点,动脑总结归纳比较两个负数大小的法则.
(一)情境导入
如图是未来一星期天气预报图,其中最低气温是多少 最高气温是多少 你能将这七天中每天的最低温度按从低到高的顺序排列吗
(二)新知初探
探究一 用数轴比较有理数的大小
某一天我国5个城市的最低气温如下:
武汉:5 ℃ 北京:-10 ℃ 上海:0 ℃
广州:10 ℃哈尔滨:-20 ℃
(1)你能将上述五个城市的最低气温按从低到高的顺序依次排列吗
解:-20 ℃<-10 ℃<0 ℃<5 ℃<10 ℃.
(2)将上述五个城市的最低气温标在水平的数轴上.
解:
(3)请大家思考这五个数的大小与它们在数轴上的位置有什么关系
答:在数轴上,左边的点表示的数小于右边的点表示的数.
追问1 在数轴上,原点左边的点表示什么样的数 右边的点表示什么样的数 原点表示什么数
答:原点左边的点表示负数,原点右边的点表示正数,原点表示0.
追问2 你能根据数轴的特点归纳出正数,负数和0的大小比较方法吗
答:正数大于0,0大于负数,正数大于负数.
(4)分别求出-20和-10的绝对值,观察数轴,你能说出这两数的大小与它们的绝对值的大小有什么关系吗
答:-20的绝对值为20,-10的绝对值为10.
-20与-10相比,绝对值大的数本身反而小.
追问 再找几对类似的负数试一下,除了用数轴比较两个负数的大小外,从中你能概括出直接比较两个负数大小的法则吗
答:两个负数,绝对值大的反而小.
小结:有理数大小比较的一般法则:
(1)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;
(2)两个负数,绝对值大的反而小.
任务一 意图说明
1.通过情境模拟,唤起学生已有的生活经验,为本课的学习做铺垫,能够较好地体现数学的现实性,充分吸引学生的注意力,让学生感受到数学就在自己身边,激发学生的学习兴趣,有利于学生形成良好的数学观.让学生通过自己的归纳找到正数,0,负数的大小比较及两个负数的大小比较的规律.
2.先留给学生自主思考的时间,然后引导学生进行分析,为进一步学习积累数学活动经验.
探究二 例题讲解
1.在数轴上表示数-3,-5,4,0,并比较它们的大小,将它们按从小到大的顺序用“<”号连接.
解:-3,-5,4,0在数轴上表示如图所示:
将它们按从小到大的顺序排列为-5<-3<0<4.
2.比较下列各组数的大小:
(1)-与0;(2)5与0;(3)2.5与-7.
解:(1)-<0.
(2)5>0.
(3)2.5>-7.
3.比较下列各组数的大小.
(1)+(-3)和-(+2);(2)-和-.
解:(1)先化简,+(-3)=-3,-(+2)=-2,
因为|-3|>|-2|,
所以-3<-2,
即+(-3)<-(+2).
(2)两个负数作比较,先求它们的绝对值.
=,==.
因为<,
所以<.
所以->-.
小结:有理数的大小比较:
(1)利用数轴比较大小,先把各个数在数轴上表示出来,然后利用在数轴上表示的两个数,右边的数比左边的数大,正数都大于零,负数都小于零,正数都大于负数比较大小;
(2)比较两个负数的大小,利用两个负数,绝对值大的反而小进行比较.基本步骤为:①求出两个负数的绝对值,并比较两个绝对值的大小;②根据法则得出结论.
任务二 意图说明
让学生掌握有理数比较大小有两种方法:可以通过数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数来进行比较,也可以通过有理数的大小比较法则来进行比较.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
比较有理数大小的方法.
(1)数轴上表示的两个数,右边的总比左边的大;
(2)正数大于0,0大于负数,正数大于负数;两个负数,绝对值大的反而小.
第二章 有理数的运算
2.1 有理数的加法与减法
2.1.1 有理数的加法
第1课时 有理数的加法法则
掌握有理数的加法运算,能运用有理数的加法运算解决简单的问题.
1.从实际生活情境出发,归纳出有理数的加法法则.
2.初步掌握有理数的加法法则,并能准确地进行有理数的加法运算.
3.经历探索有理数加法法则的过程,体会分类和归纳的思想方法.
重点:有理数加法法则的理解和运用.
难点:探索有理数的加法法则.
1.从学生身边的实际生活出发,通过自主探究、合作交流对两个有理数加法运算的过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础.
2.坚持以学生为主体,教师为主导,致力联系学生已掌握的知识,充分调动学生的兴趣和积极性,使他们最大限度地参与到课堂的活动中.
(一)情境导入
我们已经熟悉正数及0的加法运算,然而实际问题中做加法运算的数有可能超出正数的范围.例如,在本章引言中,把收入记作正数,支出记作负数,在求“结余”时,需要计算18.5+(-6.5),12.0+(-15.2)等.这里用到正数与负数的加法.
(二)新知初探
探究一 有理数的加法法则
一只可爱的小狗,在一条东西走向的笔直公路上行走,现规定向东为正,向西为负.
想一想
问题1 如果小狗先向东行走2 m,再继续向东行走1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共向东行走了 3 m,写成算式为 (+2)+(+1)=3(m).
问题2 如果小狗先向西行走2 m,再继续向西行走 1 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:两次行走后,小狗向西走了 3 m.用算式表示为(-2)+(-1)=-3(m).
你从上面两个式子中发现了什么
答:符号相同的两个数相加,和的符号不变,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
想一想
问题3 (1)如果小狗先向西行走3 m,再继续向东行走2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向西走了 1 m.
用算式表示为(-3)+(+2)=-1(m).
(2)如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 3 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗两次一共向东走了 1 m.
用算式表示为(-2)+(+3)=1(m).
追问 你从上面的两个式子中发现了什么
答:绝对值不相等,符号相反的两个数相加,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.
问题4 如果小狗先向西行走2 m,再继续向东行走 2 m,则小狗两次一共向哪个方向行走了多少米
解:小狗一共行走了 0 m.
写成算式为(-2)+(+2)= 0 (m).
追问 你从上面的式子中发现了什么
答:互为相反数的两个数相加得0.
想一想
问题5 如果小狗先向西行走3 m,然后在原地休息,则小狗向哪个方向行走了多少米
解:小狗向西行走了 3 m.
写成算式为(-3)+0= -3 (m).
追问 你从上面的式子中发现了什么
答:一个数与0相加,结果仍是这个数.
小结:有理数的加法法则
1.同号两数相加,和取相同的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值的和.
2.绝对值不相等的异号两数相加,和取绝对值较大的加数的符号,且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差.互为相反数的两个数相加得0.
3.一个数与0相加,仍得这个数.
追问 按照有理数加法法则进行正数及0的加法运算,它和小学学过的正数及0的加法运算一致吗
答:不一致,小学的加法不涉及符号的问题,而有理数的加法运算总是涉及两个问题:一是确定结果的符号;二是求结果的绝对值.
任务一 意图说明
引导学生通过自主探究、合作交流对加法的运算过程进行总结,为加法运算法则的归纳奠定基础,同时学生也通过实际问题情境,亲自参与了探索发现、获取知识和技能的全过程,培养了学生的分类和归纳概括的能力.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-24)+(+18);(2)(-10)+(-3);
(3)(+15)+(-5);(4)+3+-3;
(5)0+-13.
解:(1)(-24)+(+18)=-(24-18)=-6.
(2)(-10)+(-3)=-(10+3)=-13.
(3)(+15)+(-5)=+(15-5)=+10.
(4)+3+-3=0.
(5)0+-13=-13.
2.某商场卖出两件衣服,第一件亏损48元,第二件盈利26元,则该商场卖出这两件衣服后的利润是多少元 盈利还是亏损
解:亏损48元记作-48元,盈利26元记作 +26元.则利润为(-48)+(+26)=-(48-26)=-22(元).所以商场亏损22元.
任务二 意图说明
1.通过例题进一步熟悉有理数的加法法则.通过口答、纠错,活跃课堂气氛,充分调动学生的积极性,让学生在一种比较活跃的氛围中解决各种问题.
2.通过应用有理数知识解决生活中的实际问题,一方面体会有理数加法的应用价值,另一方面培养学生在具体情况下灵活应用有理数知识解决实际问题的能力.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
有理数的加法法则:
确定类型 定符号 绝对值
同号 相同符号 加数的绝对值的和
异号(绝对值不相等) 取绝对值较大的加数的符号 加数中较大者与较小者的差
互为相反数 结果是0
与0相加 仍得这个数
第2课时 有理数加法的运算律
理解有理数加法的运算律,能运用运算律简化运算.能运用有理数的运算解决简单的问题.
1.通过小学学过的运算律,概括出有理数的加法交换律和结合律.
2.掌握有理数加法的运算律,并能运用加法运算律简化运算及解决实际问题.
3.经历探索有理数加法的运算律的过程,体验探索归纳的数学方法.
重点:掌握有理数的加法交换律和结合律.
难点:运用加法交换律、结合律简化运算.
1.从实际生活出发,使学生在已有的知识经验的基础上构建新知,主动探索有理数加法交换律和结合律,从而激发他们学习的兴趣,使他们由被动地接受学习变成主动探索获取知识.
2.课堂中学生通过自主互助交流,不断地总结规律、方法和解题技巧.
(一)情境导入
宋国有个非常喜欢猴子的老人.他养了一群猴子,整天与猴子在一起,因此能够懂得猴子们的心意.因为粮食缺乏,老人想限制口粮.那天,他故意先对猴子们说:“以后给你们吃桃子,早晨三颗晚上四颗,好不好 ”众猴子听了都很愤怒.老人马上改口说:“那就早上四颗晚上三颗吧,够了吗 ”众猴子非常高兴,大蹦大跳起来.
大家听完故事,请说说你的看法.
(二)新知初探
探究一 有理数加法的运算律
1.(1)计算:
①2+(-3)= -1 ,(-3)+2= -1 ;
②11+(-7)= +4 ,(-7)+11= +4 .
(2)比较以上每组两个算式有什么特征 各组两个算式的结果有什么关系
答:交换了两个加数的位置 算式的结果相等
(3)小学学的加法交换律在有理数的加法中还适用吗
(4)请你再换几个加数,试一试,看一看所得的结果如何
(5)从上述计算中,你得到了什么结论
答:有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.
追问 你能用字母把这个结论表示出来吗
答:a+b=b+a.
小结:有理数的加法交换律:
有理数的加法中,两个数相加,交换加数的位置,和不变.字母表示:a+b=b+a.
追问 这里的a,b可以表示什么
答:任意有理数.
2.(1)计算:
①[3+(-5)]+(-7)= -9 ,3+[(-5)+(-7)]= -9 ;
②[8+(-4)]+(-6)= -2 ,8+[(-4)+(-6)]= -2 .
(2)两次所得的和相同吗 换几个加数再试一试.
答:相同.
(3)从上述计算中,你能得出什么结论 用字母表示这个结论.
小结:在有理数的加法中,三个数相加,先把前两个数相加,或者先把后两个数相加,和不变.
追问 我们学习运算律的目的是什么
答:简化有理数的加法运算.
任务一 意图说明
1.通过层层设问,让学生在动手操作的基础上,通过计算、观察、比较,从而得到加法的交换律和结合律在有理数范围内仍然适用.
2.引导学生通过自主探究、合作交流,进一步理解加法的运算律也适用于有理数,并从感性认识上升到理性认识.
探究二 例题讲解
计算:
(1)(-2)+(+7)+(-8);
(2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7).
解:(1)(-2)+(+7)+(-8)
=[(-2)+(-8)]+(+7)
=(-10)+(+7)
=-3.
(2)(-1)+(+4)+(-2)+(+7)
=[(-1)+(-2)]+[(+4)+(+7)]
=(-3)+(+11)
=8.
小结:把正数与负数分别相加,从而简化计算,这样做既运用加法交换律又运用加法的结合律.
问题 回顾以上例题的解答,思考:将怎样的加数结合在一起,可使运算简便
小结:
(1)先把正数或负数分别结合在一起相加;
(2)有相反数的可先把相反数相加,能凑整的可先凑整;
(3)有分母相同的,可先把分母相同的数结合相加.
任务二 意图说明
先让学生在练习本上解答例题,然后教师根据学生的解答情况指定几名学生板演,并引导学生发现简化加法运算一般有三种方法:消去互为相反数的两数(其和为0)、同号结合或凑整数.
探究三 有理数加法运算律的实际应用
10袋小麦称后(单位: kg)如图所示,10袋小麦一共多少千克 如果每袋小麦以50 kg为质量标准,10袋小麦总计超过多少千克或不足多少千克
解:法一 先计算10袋小麦的总质量:
50.5+50.5+50.8+49.5+50.6+50.7+49.2+49.4+50.9+50.4=502.5(kg).
再计算总计超过多少千克:
502.5-50×10=2.5(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg.
法二 每袋小麦超过标准质量的千克数记作正数,不足的千克数记作负数,10袋小麦对应的数分别为+0.5,+0.5,+0.8,-0.5,+0.6,+0.7,-0.8,-0.6,+0.9,+0.4.
0.5+0.5+0.8+(-0.5)+0.6+0.7+(-0.8)+(-0.6)+0.9+0.4
=[0.5+(-0.5)]+[0.8+(-0.8)]+[0.6+(-0.6)]+(0.5+0.7+0.9+0.4)
=2.5(kg).
50×10+2.5=502.5(kg).
答:10袋小麦总计超过标准质量2.5 kg,总质量是502.5 kg.
任务三 意图说明
通过本题的学习使学生感受到在解决实际问题时,解题方法的多样性和灵活性,但对于具体解题时要根据不同题目的特点,采用不同的解题方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数加法的运算律
(1)加法交换律:a+b=b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c).
2.有理数加法运算律的实际应用.
2.1.2 有理数的减法
第1课时 有理数的减法法则
掌握有理数的减法运算.能运用有理数的减法运算解决问题.
1.经历探索有理数减法法则的过程,体会有理数减法与加法的关系.
2.理解并掌握有理数的减法法则,能熟练进行有理数的减法运算.
3.通过减法到加法的转化,让学生初步体会转化的数学思想.
重点:有理数减法法则和运算.
难点:归纳总结有理数的减法法则,并体会其意义.
1.通过生活中的现实情境引入,感受数学知识与生活的联系,激发学生的学习兴趣,并体会有理数减法的必要性.
2.通过实例计算,激发学生的探索精神.通过适量的数学练习,使学生在计算中巩固解题技能,在小组交流中体验有理数的减法的运算魅力,并在教师的指导下自行归纳运算法则;学生亲身体验知识的形成过程,感悟数学的转化思想.
(一)情境导入
如图所示的是某日北京的天气情况,从下图我们可以得知北京从周五到下周二的最高温度为6 ℃,最低温度为-5 ℃.那么它的温差怎么算 6-(-5)=
(二)新知初探
探究一 有理数的减法法则
问题1 你能从如图所示的温度计上看出5 ℃比 -5 ℃ 高多少摄氏度吗 用式子如何表示
解:能.5-(-5)=10(℃).
问题2 5+(+5)= 10 .
结论:由上面两个式子你能得出什么
解:5-(-5)=5+(+5).
问题3 用上面的方法考虑:
0-(-3)= 3 ,0+(+3)= 3 ,则0-(-3)= 0+(+3) ;
1-(-3)= 4 ,1+(+3)= 4 ,则1-(-3)= 1+(+3) ;
-5-(-3)= -2 ,-5+(+3)= -2 ,则-5-(-3)= -5+(+3) .
问题4 计算:
9-8= 1 ;9+(-8)= 1 ,则9-8= 9+(-8) ;
15-7= 8 ;15+(-7)= 8 ,则15-7= 15+(-7) .
追问 通过上面的探究过程,你能得到什么结论
答:有理数的减法可以转化为加法来进行.
小结:
有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数.
有理数减法法则也可以表示成a-b=a+(-b).
任务一 意图说明
让学生动手完成后进行比较,发现规律,揭示了有理数运算中加法与减法的关系,建立新知与旧知之间的联系,体会转化的数学思想,并总结出有理数的减法法则.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-3)-(-5);
(2)0-7;
(3)2-5;
(4)7.2-(-4.8);
(5)-3-5.
解:(1)(-3)-(-5)=(-3)+5=2.
(2)0-7=0+(-7)=-7.
(3)2-5=2+(-5)=-3.
(4)7.2-(-4.8)=7.2+4.8=12.
(5)-3-5=-3+-5=
-8.
2.已知|a|=5,|b|=3,且a>0,b<0,求a-b的值.
解:由|a|=5,|b|=3,得a=±5,b=±3.
又因为a>0,b<0,所以a=5,b=-3.
所以a-b=5-(-3)=5+3=8.
小结:进行有理数的减法运算时,将减法转化为加法,再根据有理数加法法则进行运算.要特别注意减数的符号.
思考 在小学,只有当a大于或等于b时(其中a,b是0或正数),我们才能计算a-b(例如2-1,1-1).现在,当a小于b时,你能计算a-b(例如1-2,(-1)-1)吗
追问 一般地,在有理数范围内,较小的数减去较大的数,所得的差的符号是什么
任务二 意图说明
通过例题的解决加深对减法法则的理解,同时规范学生的解题过程,培养学生自主学习的能力.
探究三 有理数减法的应用
1.世界上最高的山峰是珠穆朗玛峰,其海拔高度是 8 848.86 m,吐鲁番盆地的海拔高度是-154.31 m,两处高度相差多少米
解:8 848.86-(-154.31)=8 848.86+154.31=9 003.17(m).
答:两处高度相差9 003.17 m.
2.如图所示的是某市1月份连续4天的天气预报数据,哪一天的温差最大,哪一天的温差最小
1月13日 阴转多云 -8~2 ℃
1月14日 晴 -9~-2 ℃
1月15日 阴 -9~0 ℃
1月16日 阴转多云 -11~-3 ℃
解:1月13日的温差:2-(-8)=10(℃),
1月14日的温差:-2-(-9)=7(℃),
1月15日的温差:0-(-9)=9(℃),
1月16日的温差:-3-(-11)=8(℃),
所以温差最大的是1月13日的温差10 ℃.温差最小的是1月14日的温差7 ℃.
小结:应用有理数的减法解决温差、时差等实际问题时,一般是两个量比较,求一个量比另一个量多(或少)多少,列减法算式即可.
任务三 意图说明
进一步加强学生对减法法则的运用,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数减法法则:
减去一个数,等于加这个数的相反数,即a-b=a+(-b).
2.有理数减法法则的应用:
(1)将有理数减法统一成加法运算;
(2)解决一些简单的实际问题.
第2课时 有理数的加减混合运
掌握有理数的加减混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算.
1.理解加减法统一成加法的意义,能熟练地进行有理数加减法的混合运算.
2.能根据具体问题适当运用运算律简化运算.
3.通过加减法的相互转化,培养应变能力、计算能力.
重点:熟练掌握有理数的加减混合运算及其运算顺序.
难点:能根据具体问题,适当运用运算律进行简化运算.
1.通过对两种算法的比较、分析,让学生体会到加减混合运算可以统一为加法运算,以及加减混合运算可以写成省略括号及加号的和的形式.
2.在例题的讲解中,让学生进行板书并讲解,让学生会做、会讲,真正地理解、认识到易错点,同时教师重点强调解题的规范性和每一步的理论依据,帮助学生更好地理解计算的过程.
(一)情境导入
问题 一口深3.5 m的深井,一只青蛙从井底沿井壁往上爬,第一次爬了0.7 m又下滑了0.1 m,第二次往上爬了0.42 m又下滑了0.15 m,第三次往上爬了1.25 m又下滑了0.2 m,第四次往上爬了 0.75 m 又下滑了0.1 m,第五次往上爬了0.65 m.
请问小青蛙爬出井了吗
(二)新知初探
探究一 加减法统一成加法
1.计算:(-20)+(+3)-(-5)-(+7).
问题1 这个算式中有加法,也有减法,根据有理数减法法则,你能把它改写成加法运算吗
解:(-20)+(+3)+(+5)+(-7).
问题2 根据学过的有理数的加法运算计算出结果.
解:(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=(-20)+(+3)+(+5)+(-7)
=[(-20)+(-7)]+[(+3)+(+5)]
=(-27)+(+8)
=-19.
追问 在计算过程中你运用了哪些运算律
答:加法交换律,加法结合律.
小结:引入相反数后,加减混合运算可以统一为加法运算.
a+b-c=a+b+(-c).
2.算式(-20)+(+3)+(+5)+(-7)是哪几个有理数的和 说出这些有理数.
答:-20,+3,+5,-7的和.
为书写简单,可以省略算式中的括号和加号,写为-20+3+5-7.
我们可以读作“负20、正3、正5、负7的和”,或读作“负20加3加5减7”.
上面的运算过程也可以简单地写成:
(-20)+(+3)-(-5)-(+7)
=-20+3+5-7
=-20-7+3+5
=-27+8
=-19.
任务一 意图说明
让学生进一步体会在做有理数的加减混合运算时,将加减法统一成加法,然后运用加法的交换律和结合律进行简便运算.
探究二 例题讲解
1.把下列算式改写为省略括号和加号的形式:
(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32);
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4.
解:(1)(-40)-(+27)+19-24-(-32)
=-40-27+19-24+32.
(2)(-9)-(-2)+(-3)-4
=-9+2-3-4.
问题 观察以上几个式子,你能发现简化符号的规律吗
小结:省略括号与加号时,数字前“-”号是奇数个取“-”,偶数个取“+”.
2.计算:(-2)+(+30)-(-15)-(+27).
解:(-2)+(+30)-(-15)-(+27)
=(-2)+(+30)+(+15)+(-27)
=-2+30+15-27
=(-2-27)+(30+15)
=-29+45
=16.
3.计算:14-25+12-17.
解:14-25+12-17
=14+12-25-17
=26-42
=-16.
[方法归纳] 有理数加减混合运算的步骤
(1)将加减混合运算转化为加法运算;
(2)省略加号和括号;
(3)运用加法交换律和结合律,将同号两数相加;
(4)按有理数加法法则计算.
任务二 意图说明
让学生进一步体会有理数的加减混合运算,把减法都转化为加法,并运用加法运算律进行简化运算.同时强调使用交换律的时候一定要连同前面的符号一起交换.
探究三 加减混合运算的应用
动物园在检查成年麦哲伦企鹅的身体状况时,最重要的一项工作就是称体重.已知某动物园对6只成年麦哲伦企鹅进行体重称量,以4 kg为标准,超过或者不足的千克数分别用正数、负数表示,称重记录如表所示,求这6只企鹅的总体重.
编号 1 2 3 4 5 6
差值/kg -0.08 +0.09 +0.05 -0.05 +0.08 +0.06
解:(-0.08)+(+0.09)+(+0.05)+(-0.05)+(+0.08)+(+0.06)
=[(-0.08)+(+0.08)]+[(+0.05)+(-0.05)]+(0.09+0.06)
=0.15(kg).
4×6+0.15=24.15(kg).
答:这6只企鹅的总体重为24.15 kg.
任务三 意图说明
让学生充分体会有理数的加减混合运算,同时提高学生对实际问题的分析和解决能力,与开始前后呼应,体会数学与现实生活的紧密联系.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.加减法统一成加法
(1)减法变加法:a+b-c=a+b+(-c);
(2)运用加法运算律简化运算;
(3)按有理数加法法则计算.
2.省略括号法
(1)省略括号;
(2)同号数放在一起;
(3)进行加减运算.
2.2 有理数的乘法与除法
2.2.1 有理数的乘法
第1课时 有理数的乘法法则
掌握有理数的乘法运算.能运用有理数的乘法运算解决简单问题.
1.类比正数及0的乘法,归纳有理数的乘法法则.
2.能利用有理数的乘法法则进行简单的有理数乘法运算.
3.通过有理数的乘法法则的推导,渗透分类讨论的思想,转化思想.
重点:能按有理数乘法法则进行有理数乘法运算.
难点:有理数乘法法则的推导.
在小学学习的数的乘法及刚接受有理数加减法的基础上,进一步学习有理数的基本运算,教学时强调学生自主探索,在互相交流的过程中理解和掌握有理数乘法法则的本质;另外,要求学生在探索有理数乘法法则的过程中,初步体验分类讨论的数学思想,鼓励学生归纳和总结,形成良好的数学心理品质.
(一)情境导入
甲水库的水位每天升高3 cm,乙水库的水位每天下降3 cm,4天后甲、乙水库的水位的总变化量各是多少
我们已经熟悉正数及0的乘法运算,引入负数后,怎样进行有理数的乘法运算呢
(二)新知初探
探究一 有理数的乘法法则
如图所示,一只蜗牛沿直线l爬行,它现在的位置在l上的点O处.
填一填:
(1)如果一只蜗牛向右爬行2 cm记为+2 cm,那么向左爬行2 cm应记为 -2 cm ;
(2)如果3 min后记为+3 min,那么3 min前应记为 -3 min .
想一想:
(1)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O 右 边6 cm处.可以表示为(+2)×(+3)= 6(cm) ;
(2)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 后它在什么位置
结果:3 min后蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为(-2)×(+3)= -6(cm) ;
(3)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向右爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O 左 边 6 cm处.可以表示为 (+2)×(-3)=-6(cm) ;
(4)如果蜗牛一直以每分钟2 cm的速度向左爬行,3 min 前它在什么位置
结果:3 min前蜗牛在l上点O 右 边 6 cm处.可以表示为 (-2)×(-3)=6(cm) ;
(5)原地不动或运动时间为零,结果是什么
结果:仍在原处,即结果都是 0 ,可以表示为 0×3=0;0×(-3)=0;2×0=0;(-2)×0=0 .
根据上面的结果可知:
(1)正数乘正数,积为 正 数;负数乘负数,积为 正 数;(同号得正)
(2)负数乘正数,积为 负 数;正数乘负数,积为 负 数;(异号得负)
(3)积的绝对值等于各乘数的绝对值的 积 ;
(4)零与任何数相乘或任何数与零相乘结果都是 0 .
小结:
有理数乘法法则:两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积.
任何数与0相乘,都得0.
问题 设a,b为正有理数,c为任意有理数,则
(+a)×(+b)= a×b ,(-a)×(-b)= a×b ;
(-a)×(+b)= -(a×b) ,(+a)×(-b)= -(a×b) ;
c×0= 0 ,0×c= 0 .
追问 两个有理数相乘,积是有理数吗
任务一 意图说明
引导学生通过观察数轴,分别得出正数乘正数,负数乘正数,正数乘负数,负数乘负数,一个数与零相乘的结果,从而归纳出有理数乘法的法则.通过乘法法则的推导,揭示了有理数乘法运算中分类讨论的数学思想.
探究二 倒数
计算并观察结果有何特点
(1)×2;
(2)(-0.25)×(-4).
解:(1)×2=1.
(2)(-0.25)×(-4)=1.
小结:有理数中,乘积是1的两个数互为倒数.
思考 数a(a≠0)的倒数是什么
答:a≠0时,a的倒数是.
任务二 意图说明
先计算再观察结果,归纳出倒数的概念,再引出互为倒数概念的同时,要注意与互为相反数的概念比较,避免产生混淆.
探究三 例题讲解
1.计算:
(1)8×(-1);(2)-×(-2);
(3)-×-.
解:(1)8×(-1)=-(8×1)=-8.
(2)-×(-2)=+×2=1.
(3)-×-=+×=.
[方法归纳] 有理数乘法的求解步骤:先确定积的符号,再确定积的绝对值.
2.求下列各数的倒数.
(1)-;(2)2;(3)-1.25;(4)5.
解:(1)-的倒数是-.
(2)2=,故2的倒数是.
(3)-1.25=-,故-1.25的倒数是-.
(4)5的倒数是.
3.用正负数表示气温的变化量,上升为正,下降为负.登山队攀登一座山峰,每登高1 km,气温的变化量为-6 ℃,攀登3 km后,气温有什么变化
解:(-6)×3=-18(℃).
答:气温下降18 ℃.
任务三 意图说明
1.通过练习帮助学生巩固提高,不仅使学生掌握了运算法则,而且积累了解题经验,发展了他们有条理地思考的能力.
2.教师应提前想到学生容易出现的错误并加以纠正,但只有让学生亲身经历错误,才能真正提高学生解决问题的能力.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数乘法法则:
(1)两数相乘,同号得正,异号得负,且积的绝对值等于乘数的绝对值的积;
(2)任何数与0相乘,都得0.
2.倒数:乘积是1的两个数互为倒数.
第2课时 乘法的运算律
掌握有理数的乘法运算.理解有理数乘法的运算律,能运用运算律简化运算.
1.掌握有理数乘法的运算律,能利用乘法的运算律进行简化计算.
2.会确定多个因数相乘时积的符号,并会用乘法法则进行多个因数的乘积运算.
3.经历探索有理数的乘法运算律的过程,使学生感受从特殊到一般、从一般到特殊的认知规律.
重点:多个因数的乘法运算及乘法运算律的应用.
难点:利用分配律来简化计算.
1.在猜测运算律在有理数范围内依然适用的基础上,通过举例验证让学生感受由感性认识上升到理性认识的必要性.同时符号语言更能简捷深刻地揭示问题的共性,有助于学生对一般问题的认识,而且为数学交流提供了有效途径.
2.通过观察、思考,引导学生进行分析、讨论和推理,导出数学规律,鼓励学生勤于思考,各抒己见,进一步培养学生的逻辑思维能力和表达交流能力.
(一)情境导入
在小学里,我们都知道,数的乘法满足交换律、结合律和分配律,例如
3×5=5×3;
(3×5)×2=3×(5×2);
3×(5+2)=3×5+3×2.
学习了有理数后,这些运算律是否仍然适用呢 这就是这节课我们要研究的内容.
(二)新知初探
探究一 有理数乘法的运算律
问题1 计算下列各题:
(1)5×(-6),(-6)×5;
(2)[3×(-4)]×(-5),3×[(-4)×(-5)].
追问1 比较它们的结果,你有什么发现
追问2 上面的两组运算分别体现了什么运算律.
小结:一般地,在有理数乘法中,两个数相乘,交换乘数的位置,积不变.
乘法交换律:ab=ba.
在有理数乘法中,三个数相乘,先把前两个数相乘,或者先把后两个数相乘,积不变.
乘法结合律:(ab)c=a(bc).
问题2 阅读,并思考:
计算:5×[3+(-7)]= 5×(-4) = -20 ,
5×3+5×(-7)= 15-35 = -20 ,
5×[3+(-7)] = 5×3+5×(-7).
思考 在上述运算过程中,你得到什么规律呢
小结:一般地,在有理数中,一个数与两个数的和相乘,等于把这个数分别与这两个数相乘,再把积相加.
分配律:a(b+c)=ab+ac.
任务一 意图说明
引导学生经过对具体算式的探索,猜想,发现运算律的一般化的表示形式,学生经历探索知识的过程,最后总结得出有理数乘法的运算律.整个教学过程要让学生积极参与,独立思考和合作探究相结合,教师适当引导,以达到预期的教学效果.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-85)×(-25)×(-4);
(2)2×3×0.5×(-7).
解:(1)(-85)×(-25)×(-4)
=(-85)×[(-25)×(-4)]
=(-85)×100
=-8 500.
(2)2×3×0.5×(-7)
=(2×0.5)×[3×(-7)]
=1×(-21)
=-21.
2.用两种方法计算:+-×12.
解:法一 +-×12
=+-×12
=-×12
=-1.
法二 +-×12
=×12+×12-×12
=3+2-6
=-1.
小结:
(1)运用交换律时,在交换因数的位置时,要连同符号一起交换;
(2)运用分配律时,要用括号外的因数乘括号内每一个因数,不能有遗漏;
(3)三个以上的有理数相乘,可以任意交换因数的位置,或者把其中几个因数相乘;
(4)括号外的因数是括号内所有分母的公倍数时,使用分配律.
任务二 意图说明
1.通过两种方法的运算,一方面是对有理数乘法法则和运算律的巩固,另一方面可以使学生直观地体会到乘法运算律的简便性.
2.检测学生是否能够熟练、正确地应用有理数的乘法运算律进行解答,对出现的问题有针对性地再次强调.
探究三 多个有理数的乘法法则
1.判断下列各式的积是正的、负的还是0
2×3×4×(-5)( 负 );
2×3×(-4)×(-5)( 正 );
2×(-3)×(-4)×(-5)( 负 );
(-2)×(-3)×(-4)×(-5)( 正 );
8×(-8.1)×0×(-19.6)( 0 ).
问题 几个不为0的数相乘,积的符号与负的乘数的个数之间有什么关系 如果有乘数为0,那么积有什么特点
小结:几个不为0的数相乘,负的乘数的个数是偶数时,积为正数;
负的乘数的个数是奇数时,积为负数;
几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
2.计算:
(1)(-3)××-×-;
(2)(-5)×6×-×.
解:(1)(-3)××-×-
=-3×××
=-.
(2)(-5)×6×-×
=5×6××
=6.
任务三 意图说明
分组讨论交流,鼓励学生通过观察实例,用自己的语言表达所发现的规律.培养学生善于观察、勤于思考的习惯,让学生体验获得结论的过程.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的乘法运算律:
(1)乘法交换律:ab=ba;
(2)乘法结合律:(ab)c=a(bc);
(3)乘法分配律:a(b+c)=ab+ac.
2.(1)多个有理数的乘法法则:
几个不为0的数相乘,负的乘数的个数为
(2)几个数相乘,如果其中有乘数为0,那么积为0.
2.2.2 有理数的除法
第1课时 有理数的除法
掌握有理数的除法运算.
1.根据除法是乘法的逆运算探究除法法则.
2.掌握有理数的除法法则,会进行有理数的除法运算.
3.经历把除法问题转化为乘法问题,体会转化的数学思想.
重点:应用有理数的除法法则进行运算.
难点:有理数的除法法则的推导.
1.采用课本的引例为探究除法法则的导入,让学生自己探索并总结除法法则,同时也让学生对比乘法法则和除法法则,加深印象.从而使学生掌握除法的两种运算方法.
2.通过学生自主学习、探究,培养学生自立的精神.在学习中,教师可以有意识地培养学生的竞争意识,让学生在学习过程中能及时反思自己出现的问题,养成良好的学习习惯.
(一)情境导入
1.小明从家里到学校,每分钟走50 m,共走了 20 min,问小明家离学校有多远
解:50×20=1 000(m).
即小明家离学校1 000 m.
放学时,小明仍然以每分钟50 m的速度回家,应该走多少分钟
解:1 000÷50=20(min).即应该走20 min.
2.从上面这个例子你可以发现,有理数除法与有理数乘法之间满足怎样的关系
答:有理数除法是有理数乘法的逆运算.
(二)新知初探
探究一 有理数的除法法则
1.(1)根据“除法是乘法的逆运算”填空:
(-4)×(-2)=8,则8÷(-4)= -2 ;
6×(-6)=-36,则(-36)÷6= -6 ;
-×=-,
则-÷-= ;
(-8)×9=-72,则(-72)÷9= -8 ;
(2)计算:
8÷(-4)=-2,8×-= -2 ,则8÷(-4) = 8×-;
(-36)÷6=-6,则(-36)×= -6 ,则 (-36)÷6 = (-36)×;
-÷-=,-×-= ,则-÷- = -×-;
(-72)÷9=-8,则(-72)×= -8 ,则 (-72)÷9 = (-72)×.
问题 上面各组数计算结果有什么关系 由此你能得到什么结论
答:上面各组数计算结果相同.
由此可得到:除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
小结:有理数的除法法则(一):
除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a×(b≠0).
2.利用上面的除法法则计算下列各题:
(1)(-54)÷(-9);(2)(-27)÷3;
(3)0÷(-7);(4)(-24)÷(-6).
解:(1)(-54)÷(-9)=(-54)×-=6.
(2)(-27)÷3=(-27)×=-9.
(3)0÷(-7)=0×-=0.
(4)(-24)÷(-6)=(-24)×-=4.
想一想:从上面我们能发现商的符号有什么规律
答:商的符号与被除数、除数的符号有关.
小结:有理数除法法则(二):
两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商.
0除以任何一个不等于0的数,都得0.
思考 到现在为止,我们有了两个除法法则,那么两个法则是不是都可以用于解决两数相除问题呢
解:两个法则都可以用来求两个有理数相除的值.
如果两数相除,能够整除的就选择法则二,不能够整除的就选择用法则一.
任务一 意图说明
以小组合作的方式通过观察几组算式,找出被除数、除数、商的符号特征和绝对值的特点,进而猜测、推理出一般的除法算式的特点,最后归纳总结除法法则.学生亲历了知识产生的过程,将知识内化.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-15)÷(-3);
(2)(-4.8)÷0.6;
(3)-÷+;
(4)(-60)÷+3.
解:(1)(-15)÷(-3)=15÷3=5.
(2)(-4.8)÷0.6=-(4.8÷0.6)=-8.
(3)-÷+=-×=-.
(4)(-60)÷+3=(-60)×=-.
2.化简下列分数:
(1); (2); (3).
解:(1)=(-2)÷3=-(2÷3)=-.
(2)=(-3)÷6=-(3÷6)=-.
(3)=(-28)÷(-49)=28÷49=.
[方法归纳] 化简分数时要注意分子、分母的符号,同号结果为正,异号结果为负.
由上面的计算可得=-,从而可以得到是负分数,是有理数;反过来看,有理数-也可以写成这样两个整数相除的形式.
思考 再取几对数试一试 你能得到什么结论
根据有理数的除法,形如(p,q是整数,q≠0)的数都是有理数;有理数又都可以写成上述形式(整数可以看成分母为1的分数).
小结:有理数就是形如(p,q是整数,q≠0)的数.
任务二 意图说明
1.通过例题的训练,让学生熟练运用法则,学会选择使用法则,了解除法的运算步骤,加强学生在计算技巧、方法、顺序、符号等方面的训练,减少出错机会.
2.通过分数的化简,让学生明白有理数可以表示为分数形式.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
有理数的除法法则
(1)除以一个不等于0的数,等于乘这个数的倒数.
用字母表示为a÷b=a·(b≠0);
(2)两数相除,同号得正,异号得负,且商的绝对值等于被除数的绝对值除以除数的绝对值的商;
(3)0除以任何一个不等于0的数,都得0.
第2课时 加减乘除混合运算
掌握有理数的混合运算(以三步以内为主),能运用运算律简化运算,能运用有理数的运算解决简单问题.
1.掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除混合运算,并在运算过程中合理使用运算律.
3.会用计算器进行有理数的运算.培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值.
重点:有理数的混合运算.
难点:正确而合理地按有理数的运算顺序计算.
从小学学过的四则运算顺序出发,与前面学过的运算法则结合,并注意弥补运算能力存在的不足和缺漏,使学生完整系统地掌握好计算规则.教师指导学生解题时,要特别提醒学生注意运算顺序和结果的符号,并善于观察题目特征,合理选择运算律.
2.采用开放式教学,让学生自主学习.让学生在组内采取你答我评的方式,使学生既掌握了运算顺序,又培养了学生的语言表达能力.最后在进行运算时,让学生比一比谁的计算更快更准确,培养了学生的参与意识和竞争意识.
(一)情境导入
问题1 小学的四则混合运算的顺序是怎样的
答:先乘除,后加减,同级运算从左至右,有括号时先算括号内,再算括号外.
括号计算顺序:先小括号,再中括号,最后大括号.
问题2 我们目前都学习了哪些运算
答:加法、减法、乘法、除法.
一个运算中,含有有理数的加、减、乘、除等多种运算,称为有理数的混合运算.
(二)新知初探
探究一 有理数的乘除混合运算
1.计算:
(1)-2.5÷×-;
(2)-÷-×-1.
解:(1)-2.5÷×-
=-××-
=××
=1.
(2)-÷-×-1
=-×-×-
=-××
=-4.
问题 观察上面的乘除混合运算,运算顺序是什么 你能得出什么结论
小结:
(1)乘除混合运算往往先将除法化为乘法,然后确定积的符号,最后求出结果(乘除混合运算按从左到右的顺序进行计算);
(2)有理数除法化为有理数乘法以后,可以利用有理数乘法的运算律简化运算.
任务一 意图说明
学生试着做出乘除混合运算的计算题,在教师的引导下,从中总结归纳乘除混合运算的技巧,培养学生的运算技能.
探究二 有理数的加、减、乘、除混合运算
1.问题1 观察式子3+50÷2×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么
解:加法、减法、乘法、除法都有,先算乘除,后算加减.
问题2 观察式子-3×(2+1)÷(5-12),应该按照什么顺序来计算
解:先算括号内,再按从左往右顺序计算.
[归纳]有理数混合运算的顺序
先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.计算:
(1)-8+4÷(-2);
(2)(-7)×(-5)-90÷(-15).
解:(1)-8+4÷(-2)
=-8+(-2)
=-10.
(2)(-7)×(-5)-90÷(-15)
=35-(-6)
=35+6
=41.
小结:在进行有理数的混合运算时,应先观察算式的特点,若能应用运算律进行简化运算,就先简化运算,在简化运算后,再按混合运算的顺序进行运算.
任务二 意图说明
在教师设计的问题的回答过程中,复习先前的知识,为后续的学习做好铺垫.然后教师组织学生合作完成例题的解答,教师对有疑问的同学给以适当的指导;再通过练习加以巩固,达到让学生掌握有理数加减乘除混合运算的目的.
探究三 有理数的混合运算的实际应用
某公司去年1月-3月平均每月亏损1.5万元,4月-6月平均每月盈利32万元,7月-10月平均每月盈利21.7万元,11月-12月平均每月亏损2.3万元,这个公司去年总的盈亏情况如何
解:记盈利额为正数,亏损额为负数,公司去年全年总的盈亏为
(-1.5)×3+32×3+21.7×4+(-2.3)×2
=-4.5+96+86.8-4.6
=173.7.
答:这个公司去年全年盈利173.7万元.
教师操作多媒体,展示电子计算器面板示意图,介绍计算器的简单使用方法.
小结:
1.计算器是一种方便实用的计算工具,用计算器进行比较复杂的数的计算,比笔算要快捷得多.
2.提倡在明确算理的情况下,恰当地使用计算器进行一些比较复杂的有理数加减乘除法的混合运算.
任务三 意图说明
1.通过操作计算器,培养学生动手操作能力,体会数学知识的应用价值.
2.按课本介绍的方法操作.教师巡视,关注学习有困难的学生,给予指导.注意不同品牌的计算器的操作方法可能有所不同,具体参见使用说明.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的加减乘除混合运算顺序:先算乘除,再算加减,同级运算从左往右依次计算,如有括号,先算括号内的.
2.进行有理数的混合运算时应注意运用运算律进行简化计算.
2.3 有理数的乘方
2.3.1 乘 方
第1课时 有理数的乘方
理解乘方的意义,掌握有理数的乘方运算.
1.在现实背景中感受有理数乘方的必要性,掌握有理数乘方的相关概念.
2.能够正确进行有理数的乘方运算.
3.通过探索有理数乘方的运算过程,感受化归的数学思想.
重点:正确理解乘方的意义,能利用乘方运算法则进行有理数乘方运算.
难点:有理数的乘方的运算及幂的符号法则.
1.从实际问题出发,提出问题,引导学生积极思考,并总结出答案,由答案的表现形式向学生提出问题,激发学生的求知欲望.在教师的引导下自然过渡到新知识的学习,接着层层设问,引出乘方以及与乘方有关的概念.
2.通过类比乘法与加法的关系,使得学生对乘方和乘法的关系有大致的猜测和感性认识,为下一步的验证提供方向,也感受到数学中类比的思想.
(一)情境导入
古希腊数学家阿基米德与国王下棋,国王输了,问阿基米德要什么奖赏.阿基米德对国王说:“我只要在棋盘上第一格放一粒麦子,在第二个格子中放进第一个格子的两倍,每一个格子中都是前一个格子中麦子数量的两倍,一直将棋盘每一个格子摆满.”国王觉得很容易,可以满足他的要求,于是就同意了.但很快国王就发现,即使将国库所有的粮食都给他也不够.你们知道这是为什么吗
(二)新知初探
探究一 乘方的意义
问题1 若正方形的边长为2,则它的面积为多少
2×2=22,读作2的平方(或二次方).
问题2 棱长为2的正方体的体积为多少
2×2×2=23,读作2的立方(或三次方).
问题3 某种细胞每30 min便由一个分裂成两个.经过3 h这种细胞由1个能分裂成多少个
提示:这个细胞分裂一次可得多少个细胞 分裂两次呢 分裂三次呢 四次呢 那么3 h共分裂了多少次 有多少个细胞 请列出算式.
解:一次:2个;
两次:2×2个;
三次:2×2×2个;
四次:2×2×2×2个.
3 h共分裂六次,六次:2×2×2×2×2×2个.
问题4 这些式子有什么相同点
解:它们都是乘法,并且它们各自的因数都相同.
思考 同学们想一想:这样的运算能像平方、立方那样简写吗
小结:一般地,n个相同的乘数a相乘,即,记作an,读作“a的n次方”.
求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.在an中,a叫作底数,n叫作指数.当an看作a的n次方的结果时,也可读作“a的n次幂”.
一个数可以看作这个数本身的1次方,例如8就是81,指数1通常省略不写.
任务一 意图说明
1.通过实际问题,为学生提供数学活动的机会,通过动手实践和合作交流,使学生在现实情境中得出乘方的定义,经历数学知识的发生、发展过程.强调乘方是一种特殊的乘法运算.
2.通过解决练习中的问题,让学生明确对于分数及负数的乘方,书写时底数一定要添加括号.
探究二 例题讲解
1.计算:
(1)(-3)3; (2)-2; (3)-3;
(4)(-1)2 025.
解:(1)(-3)3=(-3)×(-3)×(-3)
=-(3×3×3)
=-27.
(2)-2=-×-=.
(3)-3=-×-×-=-.
(4)(-1)2 025=-1.
问题 负数的幂的正负与指数有什么关系
小结:
(1)负数的奇数次幂是负数,负数的偶数次幂是正数;
(2)-1的奇数次幂是-1,-1的偶数次幂是1;
(3)正数的任何次幂都是正数,0的任何正整数次幂都是0.
2.(1)(-2)2与-22表示的意义一样吗
(2)2与表示的意义一样吗
解:(1)不一样,(-2)2表示-2的平方,-22表示2的平方的相反数.(-2)2与-22互为相反数.
(2)不一样,2表示的平方,表示2的平方再除以3.
3.用计算器计算(-8)5和(-3)6.
解:用带符号键(-)的计算器.
((-)8) ^ 5=
显示:(-8)^ 5
-32 768.
((-)3) ^ 6=
显示:(-3)^ 6
729.
所以(-8)5=-32 768,(-3)6=729.
任务二 意图说明
1.通过具体的例子,引导学生归纳得出幂的符号法则.底数是正数,负数或0时,幂的符号是有区别的.
2.通过习题巩固学生的计算能力,让学生逐步熟悉有理数的乘方运算,进一步规范幂的书写格式,使学生加深对有理数的乘方运算的印象.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.乘方的意义
(1)一般地,n个相同的乘数a相乘,记作an,读作“a的n次幂(或a的n次方)”;
(2)求n个相同乘数的积的运算,叫作乘方,乘方的结果叫作幂.
2.乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)零的任何正整数次幂都是零;
(3)负数的偶次幂是正数,奇次幂是负数.
3.(-a)n与-an的区别和联系
(-a)n表示(-a)的n次方,-an表示a的n次方的相反数.
第2课时 有理数的混合运算
掌握有理数的混合运算(以三步以内为主).能运用运算律简化运算.
1.了解有理数混合运算的意义,掌握有理数的混合运算法则及运算顺序.
2.熟练地进行有理数的加、减、乘、除、乘方的运算,并在运算过程中合理使用运算律.
重点:掌握有理数的混合运算的法则,正确、熟练地进行有理数的混合运算.
难点:灵活巧妙地应用运算律进行简便计算.
1.在复习回顾四则运算法则的基础上,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯.
2.小组讨论有理数运算法则后,教师应提醒学生牢固掌握有理数混合运算的几项规定,特别是加入乘方以后,学生对乘方运算不熟悉,容易算成加法或底数与指数相乘.学生在运算符号多的时候容易出错,需要进行针对性讲解及练习.
(一)情境导入
前面我们学习了有理数的加、减、乘、除和乘方运算,对各种运算的法则、运算律和运算技巧已经比较熟悉,如果遇到有理数的混合运算,你有信心进行准确的计算吗 下图是小玲和小亮的对话,你同意小亮的说法吗
(二)新知初探
探究一 有理数的混合运算
下列式子30+5÷22×--1,含有哪几种运算 先算什么,后算什么 并进行计算.
解:式子中含有加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.先算乘方,再算乘除,最后算加减.
30+5÷22×--1
=30+5÷4×--1
=30+×--1
=30--1
=28.
小结:做有理数的混合运算时,应注意以下运算顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
任务一 意图说明
利用小学学习的四则混合运算的法则,通过计算逐层推进,引导学生分析、比较,主动探究,进而推广到有理数的范围内,得到有理数的混合运算顺序、法则,有利于学生形成良好的数学思维习惯,同时还让学生体会知识的延续性.
探究二 例题讲解
1.计算:2×(-3)3-4×(-3)+15.
解:原式=2×(-27)-(-12)+15
=-54+12+15
=-27.
2.计算:(-2)3+(-3)×(-42+2)-(-3)2÷(-2).
解:原式=-8+(-3)×(-16+2)-9÷(-2)
=-8+(-3)×(-14)-(-4.5)
=-8+42+4.5
=38.5.
3.计算:(-3)2×-+-.
解:法一 原式=9×-=-11.
法二 原式=9×-+9×-=-6-5=-11.
小结:有理数的混合运算可用下面的口诀记忆:混合运算并不难,符号第一记心间;加法需取大值号,乘法同正异负添;减变加改相反数,除改乘法用倒数;混合运算按顺序,乘方乘除后加减.
任务二 意图说明
1.学生通过交流,正确归纳出有理数混合运算顺序,再在实际解题过程中寻找规律,发现问题,学生间互相辨析指正.在这个过程中教师重点引导学生发现自己的错误,规范学生的解答过程..
2.合理选择步骤和运算律可以简化运算.
探究三 数字规律探究
1.观察下面三行数:
-2,4,-8,16,-32,64,…;①
0,6,-6,18,-30,66,…;②
-1,2,-4,8,-16,32,….③
(1)第①行数按什么规律排列
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系
(3)取每行数的第10个数,计算这三个数的和.
解:(1)第①行数是-2,(-2)2,(-2)3,(-2)4,….
(2)第②行数是第①行相应的数加2,即-2+2,(-2)2+2,(-2)3+2,(-2)4+2,….
第③行数是第①行相应的数的倍,即(-2)×,(-2)2×,(-2)3×,(-2)4×,….
(3)每行数中的第10个数的和是(-2)10+[(-2)10+2]+(-2)10×
=1 024+(1 024+2)+1 024×
=1 024+1 026+512
=2 562.
2.为了求1+2+22+23+24+…+22 024的值,可令S=1+2+22+23+…+22 024,则2S=2+22+23+24+…+22 025,因此2S-S=22 025-1,所以 1+2+22+23+…+22 024=22 025-1,仿照以上推理,那么1+5+52+…+52 024= .
任务三 意图说明
观察等式,可发现规律,根据规律即可进行解答.通过练习可培养学生对数的感觉,提高学生抽象与归纳的能力,培养学生思维的逻辑性和灵活性,进一步发展学生的思维.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.有理数的混合运算
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;
(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
2.应用运算律简化运算.
2.3.2 科学记数法
会用科学记数法表示数(包括在计算器上表示).
1.通过对实际问题的探究,感受用科学记数法表示大数的科学性,感受数学的简洁美.
2.会用科学记数法表示大于或等于10的数.
3.通过探索归纳科学记数法中10的指数与原数整数位数之间的关系,培养学生观察、比较、分析、归纳、概括的能力.
重点:会用科学记数法表示大于或等于10的数.
难点:探索归纳出用科学记数法表示的数中10的指数与原数整数位数之间的关系.
1.利用实际生活中的熟悉问题调动学生的求知欲和积极性,再通过复习乘方的意义,引导学生思考如何利用10的乘方表示一些大数,但究竟怎么表示,有什么规律就由学生独立探究,经历小组讨论,表述评判,最后由教师点拨总结等几个环节,使新知识的教与学的目的顺利达到.
2.通过问题的设置调动学生的思维,通过对问题的探究与交流,师生共同发现用科学记数法表示的数中10的指数与小数点移动位数之间的关系,让学生在深刻理解、牢固掌握知识的同时,体会知识的生成过程.
(一)情境导入
生活中,我们经常会遇到一些比较大的数.例如:
1.全球每年大约有577 000 000 000 000 m3的水从海洋和陆地转化为大气中的水汽.
2.光的速度约为300 000 000 m/s.
3.地球离太阳约有1亿五千万千米.
4.地球上煤的储量估计15万亿吨以上.
像这些较大的数据,书写和阅读都有一定的难度,那么有没有这样一种表示方法,使得这些大数易写、易读、易于计算呢
(二)新知初探
探究一 用科学记数法表示数
1.回顾有理数的乘方,计算:
101= 10 ,102= 100 ,103= 1 000 ,
104= 10 000 ,106= 1 000 000 ,1010= 10 000 000 000 ,….
讨论:
(1)指数与运算结果中的0的个数有什么关系
(2)指数与运算结果的数位有什么关系
[归纳总结] (1)10n=1,n恰好是1后面0的个数;
(2)10n=,n比运算结果的位数少1.反之,1后面有多少个0,10的幂指数就是多少.如:
1=107.
2.把下列各数写成10的n次幂的形式(即写成10( )):100,10 000,100 000 000,300,32 000,345 000 000.
解:100=102,10 000=104,100 000 000=108.
300=3×100=3×102
32 000=3.2×10 000=3.2×104
345 000 000=3.45×100 000 000=3.45×108.
小结:我们可以把一个大于10的数表示成a×10n的形式,其中a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.这种记数方法叫作科学记数法.
对于小于-10的数也可以类似表示.
追问 下列三组数是用科学记数法表示的数吗 为什么
(1)0.137×1010;(2)13.7×108;(3)137×107.
任务一 意图说明
1.让学生对幂的意义进行回忆,弄清指数与其结果中零的个数的关系,为学生对下面将要学习的科学记数法的理解做好铺垫.
2.通过把大于10的数写成10的幂的形式,让学生进一步掌握10的指数与原数的整数位的关系.
探究二 例题讲解
1.用科学记数法表示下列各数:
1 000 000,57 000 000,-123 000 000 000.
解:1 000 000=1×106, 57 000 000=5.7×107, -123 000 000 000=-1.23×1011.
[方法归纳] 用科学记数法表示一个n位整数时,10的指数是n-1.
2.光的速度是300 000 000 m/s,太阳光从太阳射到地球的时间约500 s,请你计算出太阳与地球的距离是多少米(结果用科学记数法表示)
解:300 000 000×500
=150 000 000 000
=1.5×1011(m).
答:太阳与地球的距离为1.5×1011 m.
任务二 意图说明
检查学生的学习效果,看其能否真正掌握科学记数法.找同学板演,便于发现问题.也可以借助此环节,引导学生进行解题后的总结,进一步达成学习目标.
探究三 还原用科学记数法表示的数
下列用科学记数法表示的数,原来各是什么数
(1)2003年10月15日,中国首次发射载人航天飞行,神舟五号飞船绕地球飞行了14圈,行程约为 6×105 km;
(2)一套《辞海》大约有2.3×107个字;
(3)1972年3月发射的“先驱者10号”是人类发往太阳系外的第一艘人造太空探测器,至2003年2月人们最后一次收到它发回的信号时,它已飞离地球1.22×1010 km.
解:(1)6×105=600 000.
(2)2.3×107=23 000 000.
(3)1.22×1010=12 200 000 000.
小结:反过来,如果用科学记数法表示的数10的指数是n,那么原数有n+1位整数位.
任务三 意图说明
通过将用科学记数法表示的数还原,加深学生对科学记数法的理解,对学生存在的问题及时有效地进行反馈,让老师及时准确地掌握学生的课堂学习效果.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.科学记数法
(1)把一个大于10的数表示成a×10n的形式; (2)a大于或等于1且小于10(即1≤a<10),n是正整数.
2.还原用科学记数法表示的数.
2.3.3 近似数
了解近似数,在解决实际问题中,能用计算器进行近似计算,会按问题的要求进行简单的近似计算.
1.结合实际问题理解近似数的概念,并能按要求取近似数.
2.通过学数和精确度的意义以及它们在生活中的应用,让学生体会学习数学的重要性.
重点:理解近似数、精确度的意义,能根据具体要求取近似数.
难点:按给定的精确度求一个数的近似数.
1.多角度选择生活事例作为情境,激发学生参与学习的热情,以学生身边最熟悉的数据引导学生认识概念,再在习题的解答和纠错中准确接受新知识.
2.应给予学生充足的时间,组织学生独立思考、动手操作、合作交流,进一步体会近似数与其精确度之间的关系.
(一)情境导入
北京地铁1号线是我国最早的地铁路线,共设36座车站,全长52.7 km.
“36”一定是准确的数据吗
“52.7”一定是准确的数据吗 它又是怎么来的
(二)新知初探
探究一 准确数与近似数
1.问题1
(1)我班有 名学生, 名男生, 名女生;
(2)你今年约 岁;
(3)你的体重约为 kg,身高约为 cm;
(4)我们的数学课本有 页;
(5)量一量,我们的数学课本的长是 cm,宽是 cm.
问题2 在这些数据中,哪些数据是与实际接近的 哪些数据是与实际完全符合的
(1)(4)与实际完全符合,(2)(3)(5)是与实际接近的.
2.问题 (1)什么样的数是近似数 你能举例说明吗
我们得不到与实际完全相符的数,而是通过测量、估算得到的数,都是近似数.例如,姚明的身高是2.26 m.
(2)有时,我们为了叙述、书写方便,通过四舍五入得到的数也是近似数.例如,2023年全国高考报名的考生共1 291万人.
3.下列语句中,哪些数据是精确的,哪些数据是近似的
(1)妈妈去买水果,买了8个苹果,大约3 kg;
(2)小民与小李买了2瓶水,4根黄瓜,6袋牛肉干,约20元,然后骑车去大约3.5 km外的地方郊游,大约玩了4.5 h回家;
(3)我国共有56个民族.
解:精确数:8,2,4,6,56;近似数:3,20,3.5,4.5.
4.判断下列各数,哪些是近似数,哪些是准确数
(1)某歌星在体育馆举办音乐会,大约有一万二千人参加;( 近似数 )
(2)检查一双没洗过的手,发现带有各种细菌 800 000 万个;( 近似数 )
(3)张明家里养了5只鸡;( 准确数 )
(4)据统计,2023年全中国中小学生人数为1.1亿.( 近似数 )
小结:经过“四舍五入”得到的数叫近似数,一般用工具量出来的数都是近似数;能表示原来物体或事件的实际数量的数是准确数,一般通过计数数出来的数都是准确数.
任务一 意图说明
提出现实生活中的实际问题,根据自己已有的生活经验观察身边熟悉的事物,收集一些数据,吸引学生的注意力,激发学生的学习兴趣,从而理解近似数与准确数的意义.
探究二 按要求取近似值
1.小明和小颖分别测量了同一片树叶的长度,他们所用的直尺的最小单位是不同的,分别是厘米和毫米.
根据小明的测量,这片树叶的长度约为多少 根据小颖的测量呢 谁的测量结果会更精确一些
解:根据小明的测量,这片树叶的长度约为3 cm,根据小颖的测量,这片树叶的长度约为3.2 cm.
小颖的测量结果更精确一些.
2.按四舍五入法对圆周率π取近似数,有
π≈3(精确到 个位 ),π≈3.1(精确到 0.1 ,或叫作精确到 十分位 ),π≈3.14(精确到 0.01 ,或叫作精确到 百分位 ),π≈3.142(精确到 0.001 ,或叫作精确到 千分位 ),π≈3.141 6(精确到 0.000 1 ,或叫作精确到 万分位 ),……
3.下列结论正确的是(C)
A.近似数4.230和4.23的精确度是一样的
B.近似数89.0是精确到个位
C.近似数0.005 10与0.051 0的精确度不一样
D.近似数6万与近似数60 000的精确度相同
小结:近似数是一个与准确数接近的数,其接近程度可以用精确度表示.
一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位.
任务二 意图说明
注重学生的自主学习与探究,通过自主学习获得新知,体验成功的快乐.让学生感受四舍五入取得的近似数是精确到哪一位,即精确度是多少.
探究三 例题讲解
1.按括号内的要求,用四舍五入法对下列各数取近似数:
(1)0.015 8(精确到0.001);
(2)304.35(精确到个位);
(3)1.804(精确到0.1);
(4)1.804(精确到0.01).
解:(1)0.015 8≈0.016;(2)304.35≈304;
(3)1.804≈1.8;(4)1.804≈1.80.
2.下列由四舍五入得到的近似数,各精确到哪一位
(1)600万;(2)7.03万;
(3)5.8亿;(4)3.30×105.
解:(1)600万,精确到万位;
(2)7.03万,精确到百位;
(3)5.8亿,精确到千万位;
(4)3.30×105,精确到千位.
任务三 意图说明
通过例题,培养学生的迁移类比能力;通过讨论,让学生搞清求近似数的关键是确定省略的最高位上的数字是几,根据是否满5来决定舍还是入,总结交流,提炼方法.
(三)当堂达标
具体内容见同步课件
(四)课堂小结
1.判断准确数与近似数.
2.会按照精确度求一个数的近似数.
3.根据近似数判断精确度.
第三章 代数式
3.1 列代数式表示数量关系
第1课时 代数式
借助现实情境了解代数式,进一步理解用字母表示数的意义.
1.结合生活中的具体实例,初步感受用字母表示数的必要性.
2.理解代数式的意义,会用代数式表示实际问题中的数量关系.
3.通过列代数式,形成初步的符号感,提高应用数学的意识.
重点:用代数式表示实际问题中的数量关系.
难点:理解并会用语言表达代数式的意义.
让学生经历在实际问题中用字母表示数,初步理解用字母表示数的意义及目的,可以先用数,后用字母来表示.让学生循序渐进的学习本部分内容,在现实情境中去理解、感悟、体会字母能够代替数,发展学生的符号感.在数学教学中,让学生逐步学会用代数的思想方法分析和解决问题.
(一)情境导入
我们不少同学都是唱着儿歌长大的,朗朗上口、童趣横生的儿歌有的至今难以忘怀.其中有一首歌是这样唱的:
一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿,一声扑通跳下水;两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿,两声扑通跳下水;三只青蛙三张嘴,六只眼睛……,a只青蛙a张嘴,2a只眼睛4a条腿,a声扑通跳下水,由此看出a是一个字母,它代表“很多只”的数量,用字母a可以清楚地表示出青蛙、嘴、眼睛、腿和跳水声之间的数量关系.
今天我们就学习用字母表示数.
(二)新知初探
探究一 代数式的概念
1.智能机器人的广泛应用是智慧农业的发展趋势之一,某品牌苹果采摘机器人可以1 s完成5 m2范围内苹果的识别,并自动对成熟的苹果进行采摘,它的一个机械手8 s可以采摘一个苹果,根据这些数据回答下列问题:
问题1 该机器人10 s能识别多大范围内的苹果
5×10=50(m2).
追问1 该机器人60 s能识别多大范围内的苹果
答:5×60=300(m2).
追问2 该机
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