北师大版高中数学选择性必修第一册 2.4.1 直线与圆锥曲线的交点 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
2.4.1 直线与圆锥曲线的交点
新授课
1.会用代数法来判断直线与圆锥曲线交点的个数.
2.会由直线与圆锥曲线的交点个数，求参数的范围.
前面已经学习了直线以及圆、椭圆、双曲线和抛物线等一系列的特殊曲线，通过平面直角坐标系，把圆锥曲线上的点和相应的圆锥曲线方程的解建立了一一对应的关系，直线与圆锥曲线交点的个数可以通过作出图象来确定.那么，我们是否还可以通过方程组的解的个数确定两者的交点个数呢？
问题导入
例1:如图,求直线l:y=-x+1与椭圆C: 的交点坐标.
解：直线l与椭圆C的交点坐标是方程组 的解.
将①代入②，得
代入②，得方程组的解为
方程组可化为
①
②
解得
∴直线l与椭圆C的交点坐标为
例2:已知椭圆C: ，若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值.
解：如图，由直线l的方程特征可知，随着m的变化，直线l平行移动，若与椭圆C有唯一的公共点，则直线方程和椭圆方程应有唯一的公共解.
联立直线与椭圆的方程，得
O
x
y
l
方程组可化为
①
②
将②代入①，并整理得
③
∵方程③是一元二次方程，
∴它有唯一的实数解的充要条件是
解得 或
∴当直线l与椭圆C有唯一的公共点时，实数m的值为 或
O
x
y
l
例2:已知椭圆C: ，若直线l:x-y+m=0与椭圆C有唯一的公共点，求实数m的值.
归纳总结
判断直线与椭圆位置关系的方法步骤：
联立椭圆方程与直线方程组成方程组
消去一个未知数，得到关于x(或y)的
元二次方程，并计算判别式 的值
＞0 直线和椭圆相交；
=0 直线和椭圆相切；
＜0 直线和椭圆相离.
算
联
判
练一练
由题意知 =144k2-24(3k2+2)=0，
1.若直线y＝kx+2与椭圆 相切，则斜率k的值是( )
A. B. C. D.
解得
解：由 ，得(3k2+2)x2+12kx+6=0，
C
例3:已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点，求直线l的方程.
解：如图.
(1)当直线l的斜率不存在时，直线l:x=0(y轴)与抛物线C相切于原点，符合条件.
(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=kx+1.
由方程组 消去y并整理，得kx2+(2k-1)x+1=0.(*)
A
x
y
O
·
·
·
例3:已知直线l经过点A(0，1)，且与抛物线C:y2=x有唯一的公共点，求直线l的方程.
①当k2=0时，直线l的方程为y=1，此时，方程组有唯一的实数解，符合条件；
A
x
y
O
·
·
·
②当k2≠0时，方程(*)有唯一的实数解的充要条件是 =(2k-1)2-4k2=0.
解得k= .此时，方程组有唯一的实数解，符合条件.
综上，满足题意的直线l有三条：
归纳总结
设直线l：y＝kx+m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2＝0.
(1)若k≠0，当Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；
当Δ<0时，直线与抛物线相离，没有公共点.
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
练一练
2.已知抛物线方程为y2＝8x，若过点Q(-2,0)的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是 .
[-1,1]
因此直线l的斜率的取值范围是[-1,1].
解：由题意知，直线l的斜率存在，
设直线l的方程为y＝k(x+2)，代入抛物线方程，消去y并整理，
得k2x2+(4k2-8)x+4k2＝0，
当k＝0时，显然满足题意；
当k≠0时，Δ＝(4k2-8)2-4k2·4k2＝64(1-k2)≥0，
解得-1≤k<0或0例4:讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数.
解：联立方程组
消去y，整理，得(1-k2)x2-2kx-2=0.
(1)当k=1时，x=-1；
(2)当k=-1时，x=1；
(3)当k≠±1时， =4k2+8(1-k2)=8-4k2.
若 ＞0，则 ；若 =0，则 ；
若 ＜0，则 或
例4:讨论直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的公共点的个数.
综上，当 或 时，直线l与双曲线C没有公共点；
当 时，直线l与双曲线C相切于一点；
当 时，直线l与双曲线C相交于一点；
当 或 或 时，
直线l与双曲线C有两个公共点；
如图.
把直线与双曲线的方程联立成方程组，通过消元后化为ax2+bx+c＝0的形式，在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)Δ>0时，直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)Δ＝0时，直线与双曲线只有一个公共点.
(3)Δ<0时，直线与双曲线没有公共点.
当a＝0时，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线有一个公共点.
注意：直线与双曲线的关系中，一解不一定相切，相交不一定两解，两解不一定同支.
归纳总结
练一练
代入双曲线方程，得(4-k2)x2-(2k-2k2)x-k2+2k-5＝0.
3.已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
解：(ⅰ)当直线l的斜率不存在时，
l：x＝1与双曲线相切，符合题意.
(ⅱ)当直线l的斜率存在时，
设l的方程为y＝k(x-1)+1，
l与双曲线的渐近线平行，l与双曲线只有一个公共点；
练一练
3.已知双曲线 ，过点P(1,1)的直线l与双曲线只有一个公共点，求直线l的斜率k.
当4-k2＝0时，k＝±2，
当4-k2≠0时，依题意得 =0，得
综上，k= 或k=±2或k不存在.
根据今天所学，回答下列问题：
1.判断直线与椭圆位置关系的方法步骤.
2.如何判断直线与抛物线的位置关系？直线与双曲线呢？