北师大版高中数学选择性必修第一册 6.3.1 离散型随机变量的均值 课件(共17张PPT)

(共17张PPT)
6.3 第1课时
新授课
离散型随机变量的均值
已知在10件产品中有2件不合格品.从这10件产品中任取3件，用X表示取得产品中的不合格品的件数.可求得X的分布列如表:
k 0 1 2
P(X＝k)
取3件该产品时，平均会取到几件不合格品？如何计算呢？
1.通过实例理解离散型随机变量均值的含义，了解随机变量的均值与样本均值的区别与联系.
2.能计算简单离散型随机变量的均值.
知识点一：离散型随机变量的均值的概念
情境 有12个西瓜，其中有4个质量是5kg,3个质量是6kg,5个质量是7kg,求这12个西瓜的平均质量.
由平均数的意义，西瓜的平均质量为
①
①式也可写成如下形式：
②
其中 分别为质量是5kg,6kg和7kg的西瓜个数在总个数中所占的比例.
思考：类似的，如何求解前面“取不合格品的问题”的平均取值呢？
根据X的分布列，有
③
③式表示，在一次的抽取中，3件产品中平均有0.6件是不合格品.
k 0 1 2
P(X＝k)
概念生成
设离散型随机变量X的分布列如表:
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
为随机变量X的均值或数学期望（简称期望）.
则称
注意点：
(1)均值EX刻画的是X取值的“中心位置”，反映了离散型随机变量X取值的平均水平，是随机变量X的一个重要特征.
(2)两个不同的分布可以有相同的均值.
(3)均值EX是随机变量X取各个值的加权平均，由X的分布列完全确定.
(4)而均值只是刻画了随机变量取值的“中心位置”这一重要特征，并不能完全决定随机变量的性质.
思考：随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？
区别：随机变量的均值是一个确定的数，而样本均值具有随机性，它围绕随机变量的均值波动.
联系：随着重复试验次数的增加，样本均值的波动幅度一般会越来越小.常用随机变量的观测值的均值去估计随机变量的均值.
事件的频率
事件的概率
稳定到
样本的均值
随机变量的均值
稳定到
类比
类比
例1 设随机变量X服从参数为p的两点分布，求EX.
所以EX =0·P(X=0)+1·P(X=1)
因此，当X服从参数为p的两点分布时，其均值EX=p.
=0·(1-p)+1·p
=p.
解：因为
P(X=0)=1-p，P(X=1)=p，
在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.8，那么他罚球1次的得分X的均值是多少？
解：因为
P(X=1)=0.8，P(X=0)=0.2，
所以
E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0)=1×0.8+0×0.2 =0.8.
即该运动员罚球1次的得分X的均值是0.8.
练一练
例2 设X表示抛掷一枚均匀骰子掷出的点数，求EX.
解：依题意知X的分布列为
P(X=i)= （i=1,2,3,45,6),
如表：
X 1 2 3 4 5 6
P(X=i)
根据均值的定义可知
怎么解释这个
均值 呢？
例3 一个袋子里装有除颜色外完全相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出2个，则取出的红球个数的均值是多少？
解：设X表示取出红球的个数，则X的取值为0,1,2.
;
;
故X的分布列如表：
X 1 2 3
P
根据均值的定义可知
(1)确定取值：根据随机变量X的意义，写出X可能取得的全部值；
(2)求概率：求X取每个值的概率；
(3)写分布列：写出X的分布列；
(4)求均值：由均值的定义求出E(X).
求离散型随机变量的均值的步骤：
归纳总结
例4 根据气象预报，某地区近期暴发小洪水的概率为0.25，暴发大洪水的概率为0.01.该地区某工地上有一台大型设备，为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元
方案2：建一保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水，
方案3：不采取措施，希望不发生洪水，此时遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元.
你会选择哪一种方案呢？
解：设方案1、方案2、方案3的总损失分别为X1，X2，X3
方案1，无论有无洪水，都损失3800元.因此，P(X1=3800)=1，E(X1)=3800.
方案2，遇到大洪水时，总损失为2000+60000=62000元；没有大洪水时，总损失为2000元.因此，P(X2=62000)=0.01，P(X2=2000)=0.99.
E(X2)=62000×0.01+2000×0.99=2600.
方案3，P(X3=60000)=0.01，P(X3=10000)=0.25，P(X3=0)=0.74.
E(X3)=60000×0.01+10000×0.25+0×0.74=3100.
因此，从期望损失最小的角度，应采取方案2.
根据今天所学，回答下列问题：
1.随机变量的均值与样本均值的联系与区别是什么？
2.求离散型随机变量均值的步骤分为哪几步？