北师大版高中数学选择性必修第一册 6.4.1二项分布 课件(共19张PPT)

(共19张PPT)
6.4 第1课时
新授课
二项分布
1.通过具体实例，了解n重伯努利试验的概念.
2.掌握二项分布及其数字特征，并能解决简单的实际问题.
知识点一：n重伯努利试验的概念
某射击运动员进行了4次射击，假设每次射击命中目标的概率都为 ，且各次命中目标与否是相互独立的.用X表示这4次射击中命中目标的次数，如何表示X的分布列和均值呢？
命中目标
没有命中目标
X的可能取值为
0,1,2,3,4.
用事件Ak(k=1,2,3,4)表示“第k次射击命中目标”，
用事件Bk(k=0,1,2,3,4)表示“运动员进行4次射击，命中目标k次”.
当X=0,即4次都没有命中目标(事件B0发生)时，由于 ,每次射击都是独立的，从而
当X=1,即4次恰有1次命中目标(事件B1发生)时，由于
，从而
当X=k(k=0,1,2,3,4)时，4次射击中有k次命中目标，有(4-k)次没有命中目标(事件Bk发生)，这包含 种情况 ,根据互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式，可得
X的分布列就可以写成如表的形式：
X 0 1 2 3 4
P
在上面的问题中，将一次射击看成做了一次试验，思考并回答下列问题：
(1)一共进行了几次试验？每次试验有几种可能的结果？
(2)如果将每次试验的两种结果分别称为“成功”（命中目标）和“失败”（没有命中目标），那么每次试验成功的概率是多少？它们相同吗？
(3)各次试验是否相互独立？在随机变量X的分布列的计算中，独立性具体应用在哪里？
(1)4次；2种.
(2)成功的概率是 ；相同.
(3)相互独立.
概念生成
一般地，在相同条件下重复做n次伯努利试验，且每次试验的结果都不受其他试验结果的影响，称这样的n次独立重复试验为n重伯努利试验.
一般地，在n重伯努利试验中，用X表示这n次试验中成功的次数，且每次成功的概率均为p，则X的分布列可以表示为
若一个随机变量X的分布列如上所述，则称X服从参数为n，p的二项分布，
简记为X~B(n，p)
注：两点分布是二项分布在参数n=1时的特殊情况.
练一练
下列随机变量X服从二项分布吗？如果服从二项分布,其参数n,p分别是什么？
(1)抛掷n枚均匀的相同骰子，X表示“掷出的点数为1”的骰子数；
(2)n个新生婴儿，X表示男婴的个数；
(3)某产品的次品率为p,X表示n个产品中的次品的个数；
(4)女性患色盲的概率为0.25%，X表示任取n个女性中患色盲的人数.
(2)X~B(n, )；
(3)X~B(n, p)；
(4)X~B(n, 0.0025).
解：(1)X~B(n, )；
判断随机变量X是否服从二项分布的方法：
归纳总结
(1)要看该试验是不是在相同的条件下可以重复进行.
(2)每次试验相互独立，互不影响.
例1 某公司安装了3台报警器，它们彼此独立工作，且发生险情时每台报警器报警的概率均为0.9.求发生险情时，下列事件的概率：
(1)3台都没报警；(2)恰有1台报警；(3)恰有2台报警；
(4)3台都报警；(5)至少有2台报警；(6)至少有1台报警.
解:设X表示在发生险情时3台报警器中报警的台数，由题意知X~B(3,0.9),它的
分布列为
P(X=k)= (k=0,1,2,3),
k 0 1 2 3
P(X=k) 0.001 0.027 0.243 0.729
如表：
(1)3台都没报警的概率为P(X=0)=0.001;
(5)至少有2台报警的概率为P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.243+0.729=0.972;
(2)恰有1台报警的概率为P(X=1)=0.027;
(6)至少有1台报警的概率为P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.001=0.999.
(3)恰有2台报警的概率为P(X=2)=0.243;
(4)3台都报警的概率为P(X=3)=0.729;
例2 一批产品中，次品率为 .现连续抽取4次，每次抽取1件产品，用随机变量ξ表示抽取的次品的件数，求Eξ和Dξ.
解:由题意知 ,它的分布列为
k 0 1 2 3 4
P(ξ=k)
如表：
一般地，若随机变量X~B(n,p)，则
归纳总结
特殊地，若随机变量X服从参数为p的两点分布，则
EX=np,DX=np(1-p).
EX=P,DX=p(1-p).
某广场上有4盏装饰灯，晚上每盏灯都随机地闪烁红灯或绿灯，每盏灯出现红灯的概率都是 ，出现绿灯的概率都是 .记这4盏灯中出现红灯的数量为ξ，当这4盏装饰灯闪烁一次时：
(1)求ξ的均值；(2)求ξ的方差.
练一练
解：∵ξ服从二项分布，即X~B(4, )，
∴Eξ= Dξ=
解：设X为5台机床中正常工作的台数，则X服从参数为n=5,p=0.2的二项分布，即
例3 某车间有5台机床，每台机床正常工作与否彼此独立，且正常工作的概率均为0.2.设每台机床正常工作时的电功率为10kW,但因电力系统发生故障现总功率只能为30kW,问此时车间不能正常工作的概率有多大(结果精确到0,001)
分析:如果令X为5台机床中正常工作的台数，那么X服从二项分布吗？如果服从，其参数n，p分别是什么？
由题意可得:P(X≥4)=P(X=4)+P(X=5)
二项分布的实际应用类问题的求解步骤:
(1)根据题意设出随机变量.
(2)分析随机变量服从二项分布.
(3)求出参数n和p的值.
(4)根据二项分布的相关计算公式求解.
归纳总结
已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.
(1)设10颗豌豆种子播种后发芽的种子数为X，求X＝8的概率及X的均值(结果精确到0.1)；附：0.98≈0.430.
(2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999
练一练
解：(1)依题意得X～B(10,0.9)，
则
EX＝10×0.9＝9.
已知一批豌豆种子的发芽率为0.9，假设每颗种子是否发芽相互独立.
(2)试问每穴至少要播种几颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999
解：(2)设每穴至少要播种n颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999，
则1-(1-0.9)n＝1-0.1n≥0.999，
则0.1n≤0.001，
解得：n≥3，
故每穴至少要播种3颗种子，才能确保每穴至少有1颗发芽的概率不低于0.999.
针对本节课所学内容，说说你都学到了哪些知识？
二项分布
X的分布列：
若随机变量X~B(n,p)，则EX=np,DX=np(1-p)
二项分布记为：X~B(n，p)
若随机变量X服从参数为p的两点分布，则EX=p,DX=p(1-p)