北师大版高中数学选择性必修第一册 3.3.2第2课时空间向量运算的坐标表示及应用 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
3.3.2 第2课时
新授课
空间向量运算的坐标表示及应用
1.进一步熟悉空间向量的坐标表示.
2.能利用空间向量的坐标解决一些简单的长度与夹角问题.
复习回顾：空间向量运算的坐标表示有哪些？
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，则
知识点：空间向量的长度与夹角的坐标表示
设向量a=(x1，y1，z1)，b=(x2，y2，z2)，根据空间向量运算的坐标表示，可以得到：
若点A的坐标为(a1，b1，c1)，点B的坐标为(a2，b2，c2)，
则
例1:已知空间三点A(1,0,0)，B(3,1,1)，C(2,0,1)，求线段AB的长和∠BAC的大小.
解：
又∵两个向量的夹角取值范围为[0，π]，
归纳总结
1.求空间中线段的长度即对应空间向量的模，因此空间两点间的距离公式就是空间向量模的计算.
2.(1)〈a，b〉∈[0，π].
(2)空间两直线夹角可转化为两向量的夹角，设直线AB与CD所成的角为θ，则
练一练
1.已知A(1,0,1)，B(1,1,1)，C(2,3,2)，D(0,2,3)，写出向量
的坐标，并求出它们的长度.
2.已知空间向量a＝(0,1,1)，b＝(-1,0,1)，则a与b的夹角为 .
解：∵空间向量a＝(0,1,1)，b＝(-1,0,1)，
∴a与b的夹角θ满足
例2:如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求证：
解：如图，以点C为原点，CA，CB，CC'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
(1)由题意，得B(0,1,0)，N(1,0,1).
则
例2:如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求证：
(2)由题意,得B(0,1,0)，C(0,0,0)，A'(1,0,2)，B'(0,1,2).
例2:如图，三棱柱ABC-A'B'C'中，侧棱与底面垂直，CA=CB=1，∠BCA=
棱AA'=2，点M，N分别是A'B'和A'A的中点.
(1)求 ；(2)求 的值；(3)求证：
(3)由题意,得A'(1,0,2)，B(0,1,0)，C'(0,0,2)，
归纳总结
空间向量的坐标运算的一般步骤
(1)建系：根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系.
(2)求坐标：①求出相关点的坐标；②写出向量的坐标.
(3)论证、计算：结合公式进行论证、计算.
(4)转化：转化为平行与垂直、夹角与距离问题.
练一练
3.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是DD1，BD，BB1的中点.
(1)求证：EF⊥CF；(2)求EF与CG所成角的余弦值.
解：以点D为原点，以 为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，
则
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何根据空间向量坐标求长度及夹角？解题时需要注意什么？
2.空间向量的坐标运算的一般步骤有哪些？