北师大版高中数学选择性必修第一册 3.4.2第2课时用向量方法研究立体几何中的位置关系 课件(共13张PPT)

(共13张PPT)
3.4.2 第2课时
新授课
用向量方法研究立体几何中的位置关系
1.理解并掌握三垂线定理及其逆定理.
2.会用空间向量解决立体几何问题，掌握其一般步骤.
例1:已知：如图，AB⊥α，垂足为点B，
求证：l⊥AC.
证明：设向量l是直线l的方向向量.
由l⊥BC可知，
本例所证明的结论，通常称为三垂线定理.这里，直线BC实际上是斜线AC在平面α内的投影.
归纳总结
三垂线定理：若平面内的一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的投影垂直，则它也和这条斜线垂直.
类似地可以得到：
三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线垂直，则它也和这条斜线在这个平面内的投影垂直.
练一练
1.已知：如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD.
(1)所有棱中，与直线PB垂直的有 ；
(2)PC⊥BD的一个充要条件是 ；
(3)四个侧面中，是直角三角形的有 个；
(4)若AB=AD=AP，试在图中作出平面PDC的一个法向量.
DA，CB
AB=AD
4
在平面PAD中，过点A作AH⊥PD， 即为平面PDC的一个法向量.
H
例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
证明：由直三棱柱ABC-A'B'C'，可知A'A⊥平面ABC.
故以点A为原点，AB，AC，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.
又
设AA'=1，
则
例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
∵点M，N分别为A'B和B'C'的中点，
(1)由图易知 是平面A'ACC'的一个法向量.
∴ ∥平面 A'ACC'.
又∵ 平面A'ACC'，∴MN∥平面A'ACC'.
例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
(2)依题意有
设n1=(x，y，z)是平面CMN的一个法向量，
则
不妨取y=1，得
例2:已知：如图，直三棱柱ABC-A'B'C'中，
点M，N分别为A'B和B'C'的中点.
(1)求证：MN∥平面A'ACC'；(2)求证：平面CMN⊥平面A'MN.
同理可得平面A'MN的一个法向量
∴平面CMN⊥平面A'MN.
归纳总结
利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤
1.建立适当的空间直角坐标系，求对应点的坐标；
4.把向量运算的结果“翻译”为几何结论.
3.运用向量方法求解；
2.用坐标表示空间向量；
练一练
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的空间直角坐标系，
设平面B1AC的法向量为n＝(x，y，z)，
则A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2).
练一练
2.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
令x＝1，则y＝1，z＝-1，
∴n＝(1,1,-1)，
∴EF⊥平面B1AC.
根据今天所学，回答下列问题：
1.三垂线定理及其逆定理分别是什么？
2.利用空间向量解决立体几何问题的一般步骤是什么？