北师大版高中数学选择性必修第一册 3.4.1第2课时平面的法向量及其应用 课件(共15张PPT)

(共15张PPT)
3.4.1 第2课时
新授课
平面的法向量及其应用
1.能用向量语言表述平面.
2.理解平面的法向量，并且会求平面的法向量.
3.会应用平面的法向量解决一些简单的问题.
如果一条直线l与一个平面α垂直，那么就把直线l的方向向量n叫作平面α的法向量，则n⊥α.
知识点1：平面的法向量
如图，设点M是平面α内给定的一点，向量n是平面α的一个法向量，那么对于平面α内任意一点P，必有
思考：如何用平面的法向量来描述平面内任意一点的位置呢？
①
α
l
M
P
n
反过来，由立体几何知识可以证明：满足①式的点P都在平面α内，所以把①式称为平面α的一个向量表示式.
①
注意：1.平面α的一个法向量垂直于平面α内的所有向量.
2.一个平面的法向量有无限多个，它们相互平行.
练一练
1.若点A(-1,0,1)，B(1,4,7)在直线l上，若l⊥平面α，则平面α的一个法向量为( )
A.(1,2,3) B.(1,3,2)
C.(2,1,3) D.(3,2,1)
A
知识点2：平面的方程
如图，在空间直角坐标系中，若n=(A,B,C)，点M的坐标为(x0,y0,z0)，则对于平面α内任意一点P(x,y,z)，有
①
代入①式，得
②
即
由此可见，平面α内任意一点P的坐标(x,y,z)都满足方程②；
反之，以满足方程②的(x,y,z)为坐标的任意一点也都在平面α内.
所以方程②叫作平面α的方程.
②
练一练
2.写出经过A(3,2,1)且与直线l的方向向量n＝(-1,3,4)垂直的平面α的方程.
解：由题意知平面α的法向量为n＝(-1,3,4)，
即x-3y-4z+7＝0.
则-x＋3y+4z-7＝0，
则-(x-3)+3(y-2)+4(z-1)＝0，
例1:已知点A(0,1,1)，B(1,2,1)，C(2,1,3)，求平面ABC的一个法向量的坐标.
解：由已知可得
设n=(x,y,z)是平面ABC的一个法向量，
则
不妨取x=1，得y=z=-1.
∴平面ABC的一个法向量的坐标为(1,-1,-1).
即
归纳总结
求平面法向量的方法与步骤
(4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量.
(2)设平面的法向量为n＝(x,y,z)；
(1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如
(3)联立方程组 并求解；
例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.
(1)解：以点A为原点，AB，AD，AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系，
则B(1,0,0)，D(0,2,0)，A'(0,0,3).
设N(1,y,z)是四边形BCC'B'内一点，
则
例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.
令
得
解得
∴在四边形BCC'B'内存在一点 ，使得AN⊥平面A'BD.
(2)分析：要证明AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点，可以将直线AC'的方程与平面A'BD的方程联立求得交点坐标，再验证其恰为线段AC'的三等分点；也可以先求出线段AC'三等分点的坐标，再验证其在平面A'BD内.
例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.
又B(1,0,0)，
化简，得(6,3,2)·(x-1,y,z)=0，即6x+3y+2z=6.①
设点E为线段AC'的一个三等分点，且满足
(2)证明：由(1)可知 是平面A'BD的一个法向量；
∴平面A'BD的方程为
例2:在长方体ABCD-A'B'C'D'中，已知AB=1，AD=2，AA'=3.
(1)在四边形BCC'B'内是否存在一点N，使得AN⊥平面A'BD？
(2)求证：AC'与平面A'BD的交点恰为线段AC'的三等分点.
由
可知
代入方程①检验可知，点E的坐标满足平面A'BD的方程①.
说明：（2）中只展示了第二种证明方法，第一种证明方法请同学们课下完成.
即点E的坐标为
∴AC'的三等分点E在平面A'BD内，即AC'与平面A'BD的交点是线段AC'的三等分点.
6x+3y+2z=6.①
根据今天所学，回答下列问题：
1.什么是平面的法向量？
2.平面的方程是什么？
3. 求平面法向量的方法与步骤是什么？