北师大版高中数学选择性必修第一册 3.4.3第1课时用向量方法研究立体几何中的度量关系 课件(共16张PPT)

(共16张PPT)
3.4.3 第1课时
新授课
用向量方法研究立体几何中的度量关系
1.会用向量法求线线角、线面角.
2.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角的关系.
在必修课程中，我们学习过异面直线所成的角，直线与平面相交所成的角，以及两个平面相交所成的二面角.
那么，在空间中怎样描述这些角呢？这些角的大小与直线的方向向量、平面的法向量有何关系？
知识点1：两条直线所成的角
当两条直线平行时，规定它们所成的角为0；
当两条直线a与b是异面直线时，
在空间任取一点O，过点O作直线a'和b'，使得a'∥a，b'∥b,
当两条直线a与b相交时，我们把两条直线交角中范围在 内的角叫作两条直线所成的角(如图①)；
a
b
图①
把a'，b'所成的角叫作异面直线a与b所成的角(如图②).
图②
a
b
a'
b'
O
思考1：若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉有怎样的关系？
归纳总结
若向量a，b分别为直线a，b的方向向量，则直线a与b所成的角θ∈
且θ与两个方向向量所成的角〈a，b〉相等或互补.
也就是说，当 时，
当 时，
故
cos θ＝|cos〈a，b〉|.
例1:如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=2，BC=1，AA'=3.求AC'与A'D所成角的余弦值.
解：设s1，s2分别是AC'和A'D的一个方向向量，取
∵A(0,0,0)，C'(2,1,3)，A'(0,0,3)，D(0,1,0)，
设AC'与A'D所成角为θ，
故AC'与A'D所成角的余弦值为
则
练一练
1.如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是BD和AD的中点，求B1M与D1N所成角的余弦值.
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，
则B1(2,2,2)，M(1,1,0)，D1(0,0,2)，N(1,0,0)，
故AC'与A'D所成角的余弦值为
知识点2：直线和平面所成的角
平面的一条斜线和它在平面内的投影所成的锐角就是这条直线与这
个平面所成的角.
当一条直线与一个平面平行或在这个平面内时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为0；
当一条直线与一个平面垂直时，规定这条直线与这个平面所成角的大小为
思考2：观察如图直线l的一个方向向量l与平面α的一个法向量n两者的夹角〈l，n〉与直线l和平面α所成的角θ的关系是什么？
归纳总结
设向量l为直线l的一个方向向量，n是平面α的一个法向量，
故
sin θ＝|cos〈l，n〉|.
则直线l与平面α所成的角θ∈
且θ= 或θ=
解：由正三棱柱知AA'⊥平面ABC，故以点A为原点，AC，AA'所在直线分别为y轴、z轴，如图建立空间直角坐标系.
易知n=(1,0,0)是平面ACC'A'的一个法向量.
由△ABC是边长为2的正三角形，可得
例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
设直线AB'与侧面ACC'A'所成角为θ，
故直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值为
则
例2:如图，在正三棱柱ABC-A'B'C'中，底面边长为2，AA'= ，求直线AB'与侧面ACC'A'所成角的正弦值.
归纳总结
利用平面的法向量求直线与平面夹角的基本步骤
(1)建立空间直角坐标系.
(2)求直线的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)设线面角为θ，则sin θ＝
练一练
解：平面α的一个法向量n=(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a=(1,2,3)，
2.若平面α的一个法向量n=(2,1,1)，直线l的一个方向向量为a=(1,2,3)，则l与α所成角的正弦值为( )
A. B. C. D.
∴l与α所成角的正弦值为
B
根据今天所学，回答下列问题：
1.如何用向量法求空间内的线线、线面夹角？