北师大版高中数学选择性必修第一册 3.4.2第1课时用向量方法研究立体几何中的位置关系 课件(共18张PPT)

(共18张PPT)
3.4.2 第1课时
新授课
用向量方法研究立体几何中的位置关系
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的关系.
2.理解用向量方法证明直线、平面间的平行与垂直的关系不同思路.
思考：平行和垂直是立体几何中主要的位置关系，那么如何用向量方法进行研究呢？
知识点：用向量方法研究立体几何中的位置关系
思考1：由直线与直线的平行关系, 可以得到这两条直线的方向向量有什么关系呢？
设l，m分别是直线l，m的方向向量，
使得
l
l
m
m
思考2：由直线与平面的平行关系, 可以得到直线的方向向量与平面的法向量有什么关系呢？
设l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量，
l
n1
思考3：由平面与平面的平行关系, 可以得到这两个平面的法向量有什么关系呢？
设n1，n2分别是平面α，β的法向量，
使得
思考4：如图，根据直线、平面的位置关系，判断直线的方向向量、平面的法向量有什么关系？
l⊥m，n1∥l，n1⊥n2.
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，用直线的方向向量和平面的法向量表达下列各种位置关系.
几何关系 向量语言
l∥m
l∥α
α∥β
l⊥m
l⊥α
α⊥β
思路1 若只从直线的方向向量和平面的法向量入手考虑，设向量l是直线l的方向向量，n1是平面α的法向量，则只需证明l⊥n1.
想一想：请从不同角度用向量方法证明l∥α.
思路2 考虑向量与平面平行的定义，以及平面向量基本定理，从而得到：将直线l的方向向量l用平面α的一组基线性表示，此时必有l∥α.
由此可知，运用向量证明几何问题的方法，一方面源于立体几何中定理的向量化表述, 另一方面也需要结合向量自身的特点.
思路3 直接将线面平行的判定定理向量化，找到m α，且直线l与m的方向向量共线.
归纳总结
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则
l∥m或l与m重合
l∥α或
α∥β或α与β重合
1.设直线l的方向向量是a，平面α的法向量是n，则“a⊥n”是“l∥α”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析：由l∥α，得a⊥n，
则“a⊥n”是“l∥α”的必要条件，
而a⊥n不一定有l∥α，也可能l α，
则“a⊥n”不是“l∥α”的充分条件.
B
练一练
分析：设m是平面α内的任意一条直线.要证明n⊥α，只需证明n⊥m.如何充分运用条件，表达“m是平面α内的任意一条直线”呢？可以考虑将直线m的方向向量用平面α的一组基表示.
α
n
a
b
m
例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b.
求证：n⊥α.
例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b.
求证：n⊥α.
证明：设m是平面α内的任意一条直线.
α
n
a
b
m
a，b，m，n依次为直线a，b，m，n的方向向量，
∵直线a，b相交，∴向量a，b不共线.
在平面α内，根据平面向量基本定理可知存在唯一的实数对(x，y)使得m=xa+yb，
∴n·m=xn·a+yn·b.
α
n
a
b
m
∵n⊥a，且n⊥b，
∴n·a=0，n·b=0，
∴n⊥α.
∴n·m=0，故n⊥m.
例1:证明“直线与平面垂直的判定定理”：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直.
已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，直线n⊥a，且n⊥b.
求证：n⊥α.
练一练
2.证明“平面与平面垂直的判定定理”：若一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
已知：如图， 求证：
证明：取直线l的方向向量u，平面β的法向量n.
∵ ∴u是平面α的法向量.
∵ 而n是平面β的法向量，∴u⊥n.
∴
例2:证明“两个平面平行的判定定理”：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行.
已知：如图，a，b是平面α内的两条相交直线，且a∥β，b∥β.
求证：α∥β.
证明：设向量a，b分别是直线a，b的方向向量.
α
a
b
∵a∥β，b∥β，∴a∥β，b∥β.
设n是平面β的法向量，则n⊥a，n⊥b.
∴n⊥α，∴α∥β.
∵a，b是平面α内的两条相交直线，
β
n
根据今天所学，完成下列表格：
几何关系 向量语言
l∥m
l∥α
α∥β
l⊥m
l⊥α
α⊥β
设向量l，m分别是直线l，m的方向向量，n1，n2分别是平面α，β的法向量，则