北师大版高中数学选择性必修第一册 3.4.3第4课时用向量方法研究立体几何中的度量关系 课件(共13张PPT)

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3.4.3 第4课时
新授课
用向量方法研究立体几何中的度量关系
经历点到直线距离公式的推导过程，会用公式解决空间内的距离问题.
回顾：如何求平面内直线l外一点P到直线l距离？请写出大致思路.
1.综合几何法：如图(1)，过点P作直线l的垂线，垂足为点D1，一般转化为求三角形的高，即PD1的长度.
2.解析几何法：如图(2)，确定点P的坐标及直线l的方程，利用点到直线的距离公式即可得点P到直线l的距离PD2的长度.
3.平面法向量法：如图(3)，先求出直线l的单位法向量n0，再求向量 在法向量n0方向上的投影向量的长度 即可.
知识点：点到直线的距离
问题1：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，过点P作直线l的垂线，垂足为点P'，则垂线段PP'的长度就是点P到直线l的距离.如何求这个距离呢
事实上，在平面向量中就是这样做的.
按照前面的思路，若能求出垂线段PP'的方向向量，则可在直线l上任取一点A，求 在向量 方向上的投影向量的长度即可.
然而在空间中，求垂线段的方向向量较为困难.
然后在Rt△PP'A中运用勾股定理求得|PP'|即可.
但直线l的方向向量已知，所以可先求出 在l0方向上的投影数量，
在Rt△PP'A中，
于是，点P到直线l的距离为
思考：除了这种方法，你还能怎样推导出点到直线的距离公式呢？
问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小
因此只需求λ的值，使得|PQ|最小即可.
对于直线l上任意一点Q，总存在实数λ，使得
∴ 是关于λ的二次函数.
问题2：如图，设点P是直线l外一定点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，如何在直线l上找到一点Q，使得|PQ|最小
当 时， 最小，
最小值为
∴点P到直线l的距离为
利用向量投影求解距离主要是运用距离的几何属性，而上述利用距离的最小性求解则主要是运用代数方法.
归纳总结
若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是直线l上任意给定的一点，则点P到直线l的距离为
注意：相互平行的两条直线间的距离可以转化为一条直线上任意一点到另一条直线的距离.
例1:如图，在空间直角坐标系中有长方体ABCD-A'B'C'D'，AB=1，BC=2，
AA'=3.用向量的方法求点B到直线A'C的距离.
解：依题意有A'(0,0,3)，C(1,2,0)，B(1,0,0).
∴点B到直线A'C的距离为
在 方向上的投影数量为
用向量法求点到直线的距离的一般步骤
1.求直线的方向向量.
2.计算所求点与直线上某一点所构成的向量在直线的方向向量上的投影向量的长度.
3.利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线间的距离与点到直线的距离之间的转化.
归纳总结
练一练
解析：∵A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0)，
1.已知A(0,0,2)，B(1,0,2)，C(0,2,0) ，则点A到直线BC的距离为( )
A. B.1 C. D.
∴点A到直线BC的距离为
A
根据今天所学，回答下列问题：
1.点到直线的距离公式是什么？如何推导？